Езу9у. Учебное пособие Рекомендовано методическим советом Уральского федерального университета в качестве учебного пособия для студентов вуза, обучающихся по направлениям подготовки
 Скачать 5.85 Mb.
|
|
Пример 1.7. Рассмотрим модель Леонтьева на простом примере, где n = 2 (две отрасли производства). В табл. 1.19 приведены данные об исполнении баланса за отчетный период, усл. ден. ед. На основании этих данных необ- ходимо: 41 Таблица 1.19 Отрасль Потребление Конечный продукт Валовой продукт А В Производство А 10 15 75 100 В 20 30 100 150 1. Вычислить конечное (непроизводственное) потребление отраслей, если валовой продукт отрасли А увеличить в два раза, а отрасли В сохранить на прежнем уровне. По каждой строке выполнены уравнения распределения продукции: отрасль А отрасль В 10 15 75 100 ( ), 20 30 100 150 ( ). + + = + + = По формуле (1.15) находим матрицу прямых затрат: A 10 15 0,1 0,1 100 150 20 30 0,2 0,3 100 150 = = Все элементы матрицы неотрицательны и удовлетворяют критерию про- дуктивности: max {0,1 0,2; 0,1 0,3} 0,4 1. + + = < Найдем матрицу E A 0,9 0,1 0,2 0,7 − − = − Тогда ( ) E A 0,9 0,1 200 165 0,2 0,7 150 65 Y X − = − = = − Итак, y 1 = 165, y 2 = 65, т. е. конечный продукт отрасли А увеличился на 96 ед., в то время как для отрасли В уменьшился на 55 ед. Имеем x 1 = 200, x 2 = 150. Вычисляем потребности отраслей в сырье по фор- мулам x ij = a ij x j ( , 1, ): i j n = 11 11 1 12 12 2 0,1 200 20, 0,1 150 15; x a x x a x = = ⋅ = = = ⋅ = 21 21 1 22 22 2 0,2 200 40, 0,3 150 45. x a x x a x = = ⋅ = = = ⋅ = Оформим новое распределение продукции в виде табл. 1.20. 42 Таблица 1.20 Отрасль Потребление Конечный продукт Валовой продукт А В Производство А 20 15 165 200 В 40 45 65 150 Баланс составлен! 2. Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление отрасли А увеличится на 40 усл. ед., а отрасли В, соот- ветственно, на 10 усл. ед. Матрица прямых затрат из предыдущего пункта A 0,1 0,1 0,2 0,3 = Для лю- бого вектора конечного продукта Y можно найти необходимый объем валово- го продукта X по формуле X = (E − A) –1 Y. Матрица E A 0,9 0,1 0,2 0,7 − − = − Новый вектор конечного потребления 115 110 Y = Воспользуемся преобразованиями Гаусса — Жордана ((E − A) | Y) → (E|X): 0,9 0,1115 0,9 0,1115 0,9 0,1 115 0,2 0,7 110 0 0,61122 0 1 200 0,9 0 135 1 0 150 0 1 200 0 1 200 − − − → → → − → → Итак, 150 , 200 X = т. е. валовой выпуск в отрасли А надо увеличить до 150 усл. ед., а в отрасли В — до 200 усл. ед. Рассчитываем новые значения межотраслевых потоков сырья: 11 11 1 12 12 2 21 21 1 22 22 2 0,1 150 15, 0,1 200 20; 0,2 150 30, 0,3 200 60. x a x x a x x a x x a x = = ⋅ = = = ⋅ = = = ⋅ = = = ⋅ = Оформим новое распределение продукции в виде табл. 1.21. 43 Таблица 1.21 Отрасль Потребление Конечный продукт Валовой продукт А В Производство А 15 20 115 150 В 30 60 110 200 Баланс составлен! Пример 1.8. По данным В. В. Леонтьева матрица технологических коэф- фициентов для восьми отраслей экономики США в 1958 г. и вектор конечного потребления Y (млрд долларов США) имеют вид (табл. 1.22). Таблица 1.22 Отрасль 1 2 3 4 5 6 7 8 Y 1. Продукты пита- ния, лекарства 0,1993 0,0149 0,0076 0,0065 0,0074 0,0059 0,0054 0,0328 52,728 2. Ткани, одежда, мебель 0,0045 0,3511 0,0043 0,0152 0,0110 0,0061 0,0016 0,0052 21,369 3. Оборудование, машины 0,0056 0,0059 0,1093 0,0382 0,0202 0,0291 0,0101 0,1070 13,385 4. Транспортные средства, бытовая техника 0,0048 0,0043 0,0384 0,2187 0,0198 0,0172 0,0045 0,0045 38,691 5. Строительные материалы 0,0152 0,0060 0,0054 0,0057 0,0007 0,0101 0,0382 0,0059 65,117 6. Металлы 0,0135 0,0130 0,1447 0,1120 0,0933 0,2827 0,0096 0,0407 2,244 7. Энергия 0,0283 0,0179 0,0175 0,0149 0,0400 0,0605 0,1708 0,0957 23,851 8. Химические про- дукты 0,0256 0,0282 0,0095 0,0088 0,0176 0,0163 0,0177 0,2124 3,218 Построить по этим данным таблицу межотраслевого баланса. 1.9.3. Процесс решения задачи средствами Microsoft Excel Для решения задачи межотраслевого баланса необходимо уметь выполнять с помощью Excel следующие операции над матрицами: • умножение матрицы на вектор; • сложение двух матриц; • умножение двух матриц; • обращение матриц; • транспонирование матрицы или вектора. 44 Решение. Введем матрицу Ав ячейки А2:H9 (рис. 1.2) и вектор Y в ячейки J32:J39 (рис. 1.7). Введем единичную матрицу Е в ячейки с номерами А12:H19 (рис. 1.2). Вычислим матрицу E − A. Для вычисления разности двух матриц необхо- димо выделить диапазон А22:H29, в котором будет вычислен результат, затем нажать клавишу А2: H9 второй матрицы А (рис. 1.2). После ввода формулы нажимаем сочетание клавиш <Ctrl> + Рис. 1.2. Задание исходных данныхзадачи и вычисление матрицы E–A 45 Найдем матрицу S = (E − A) –1 с помощью функции «= МОБР()». Для этого выделим диапазон А32:H39, который будет содержать элементы обратной матрицы, на вкладке «Формулы» выберем «Вставить функцию». В диалоговом окне в поле «Категория» выбрать «Математические», а в поле «Выберите функ- цию» — «МОБР» (рис. 1.4). Нажать «ОК». В диалоговом окне «Аргументы функции» указываем диапазон массива А22:H29, содержащего элементы матрицы E − A. Нажимаем на клавиатуре сочетание клавиш «ОК» (рис. 1.5). Рис. 1.3. Разность матриц E − A Рис. 1.4. Диалоговое окно «Вставка функции» 46 Если просто нажать «ОК», то программа вычислит значение только первой ячейки диапазона матрицы S = (E − A) –1 В результате в ячейках А32:H39 появится искомая матрица S = (E − A) –1 (рис. 1.6). Замечание. При выделении массивов следует использовать меню «Формат ячеек». Для этого выделяем ячейки, в которых расположены искомые матрицы, и нажатием правой кнопки мыши выбираем в раскрывающемся меню «Фор- мат ячеек». В появившемся окне выбираем «Числовые форматы»: например, «Числовой», «Число десятичных знаков». Закрыть диалоговое окно нажатием кнопки «ОК». Проверка продуктивности матрицы А. Все элементы матрицы S = (E − A) –1 неотрицательны, поэтому матрица Апродуктивна. Вычисление вектора валового выпуска X Вычисление вектора валового выпуска X находим по матричной форму- ле X = SY = (E − A) –1 Y, в которой матрица S вычислена, а вектор Y задан. Про- Рис. 1.5. Диалоговое окно функции обращения матриц «МОБР» Рис. 1.6. Матрица полных затрат 47 изведение матриц S = (E − A) –1 и Y найдем с помощью встроенной функции «МУМНОЖ()». Получим матрицу размерностью 8×1. Для этого выделим ди- апазон А42:А49, в котором будет находиться вектор X. На вкладке «Формулы» выберем «Вставить функцию».В диалоговом окне «Вставка функции» в поле «Категория» выберем «Математические» — функция «МУМНОЖ» — «ОК». В диалоговом окне «Аргументы функции» выберем диапазоны, содержа- щие матрицы S = (E − A) –1 и Y. Для этого напротив массива 1 щелкнем по крас- ной стрелке. Выделим диапазон A32:H39, содержащий элементы матрицы S (имя диа пазона появится в строке аргументов), и щелкнем по красной стрел- ке. Для массива 2 выполним те же действия. Щелкнем по стрелке напротив массива 2. Выделим диапазон J32:J39, содержащий элементы матрицы Y, и щелкнем по красной стрелке. В диалоговом окне рядом со строками ввода диапазонов матриц появятся элементы матриц, а внизу — элементы произ- ведения SY. После ввода значений нажимаем на клавиатуре сочетание кла- виш В диапазоне ячеек А42:А49 появится искомый вектор X = (E − A) –1 Y (рис. 1.8). Рис. 1.7. Диалоговое окно функции умножения матриц «МУМНОЖ» 48 Вычисление межотраслевых поставок продукции x ij Межотраслевые поставки продукции x ij вычисляются по формуле x ij = a ij x j ( , 1, ), i j n = где a ij — элементы исходной матрицы А, расположенной в ячейках А2:H9; x j — элементы вектора X, найденного выше, расположенные в ячейках А42:А49. Для проведения вычислений x ij необходимо проделать следующее: 1. Получить транспонированный вектор X T . Для этого ввести диапазон вектора X T в ячейки A52:H52. Это необходимо для согласования размерностей дальнейшего умножения элементов векторов. На вкладке «Формулы» выберем «Вставка функции»,далее категорию «Cсылки и массивы» — функция «ТРАНСП» — «ОК». В диалоговом окне «Аргументы функции» указываем диапазон массива A3:C4, содержащего элементы матрицы A. Нажимаем на клавиатуре сочета- ние клавиш В результате в поле ячеек A52:H52 расположится транспонированный вектор X T (рис. 1.8). 2. Вычислить межотраслевые поставки продукции x ij . Для этого: • поставить курсор мыши в ячейку А55, в которой будет расположено значение x 11 . В этой ячейке набрать формулу: « = A2 * А$52», которая означает, что x 11 = a 11 x 1 , при этом наличие знака «$» в формуле фиксирует строку A52; • введенную формулу скопировать во все ячейки матрицы x ij (А55:Н62), протащив мышью крестик в правом нижнем углу от ячейки А55 при нажатой левой кнопке мыши до ячейки Н55 и затем выделенную строку до ячейки Н62. В результате все межотраслевые поставки продукции будут найдены и рас- положены в матрице с ячейками А55:Н62 (рис. 1.9). Рис. 1.8. Вектор валового производства Наконец, проверяем балансовые соотношения (объем внутриотраслевого потребления 1 ) n ij j x Y X = + = ∑ (рис. 1.10). Рис. 1.9. Матрица межотраслевых поставок Рис. 1.10. Проверка балансовых соотношений 50 Задачи для самостоятельного решения 1.1. Исследовать совместность данных систем линейных уравнений и в слу- чае совместности найти общее решение и не менее двух базисных решений: а) 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 7, 2 2 6, 2 11 3; x x x x x x x x x x x x + + − = + + + = − + + + = б) 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 3 4 2 2 8, 5 2 0, 2 4 1. x x x x x x x x x x x x + + + = + + − = − + + = 1.2. Найти не менее двух базисных неотрицательных решений для системы линейных уравнений: 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 4 1 2 3 4 2 4 10, 2 5 12 24, 2 6, 4 12 18. x x x x x x x x x x x x x x x + + − = + + − = + − = + + + = 1.3. Выяснить, является ли данная система векторов линейно зависимой или линейно независимой: а) A 1 = (1, 1, −1, 0), A 2 = (0, 1, 0, 1), A 3 = (0, 0, 1, −1), A 4 = (−2, 0, 0, 4); б) A 1 = (−1, 2, 1, 0), A 2 = (0, 1, 0, 1), A 3 = (1, 2, −2, 2), A 4 = (0, −1, 1, 0). 1.4. Найти базис системы векторов и векторы, не входящие в базис, разло- жить по векторам базиса: A 1 = (2, 1, −1, 1), A 2 = (1, 2, 1, −1), A 3 = (1, 1, 2, 1), A 4 = (3, 1, −4, 1), A 5 = (−1, −3, 0, 3). 1.5. Найти все базисы системы векторов; векторы, не входящие в базис, разложить по векторам базиса: A 1 = (2, 3, −4), A 2 = (1, −2, 1), A 3 = (5, −3, −1), A 4 = (3, 8, −9). Ответы к задачам для самостоятельного решения 1.1. а) Х 1 = (1, 0, 5, 0), Х 2 = (4, 0, 0, 1), Х 3 = (0, 5, 0, −2), Х 4 = (0, −1, 8, 0), 5 6 8 5 20 1 , , 0, 0 , 0, 0, , ; 3 3 3 3 X X = = − б) система несовместна. 1.2. Х 1 = (6, 0, 1, 0), Х 2 = (2, 4, 0, 0), Х 3 = (14, 0, 0, 4). 51 1.3. а) векторы A 1 , A 2 , A 3 , A 4 линейно зависимы, например, в базисе (A 1 , A 2 , A 3 ), A 4 = −2A 1 + 2A 2 − 2A 3 ; б) α 1 = … = α 4 = 0, система векторов линейно независима. 1.4. Например, в базисе (A 1 , A 2 , A 3 ), A 4 = 2A 1 − A 3 , A 5 = −2A 2 + A 3 1.5. В базисе {A 1 , A 2 }: A 3 = A 1 + 3A 2 , A 4 = 2A 1 − A 2 ; в базисе {A 1 , A 3 }: 2 1 3 4 1 3 1 1 7 1 , ; 3 3 3 3 A A A A A A = − + = − в базисе {A 1 , A 4 }: A 2 = 2A 1 − A 4 , A 3 = 7A 1 − 3A 4 ; в базисе {A 3 , A 4 }: 1 3 4 2 3 4 1 3 2 1 , ; 7 7 7 7 A A A A A A = + = − в базисе {A 2 , A 3 }: A 1 = −3A 2 + A 3 , A 4 = −7A 2 + A 3 ; в базисе {A 2 , A 4 }: 1 2 4 3 2 4 1 1 7 1 , 2 2 2 2 A A A A A A = + = + 52 2. ОБЩАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И СОСТАВЛЕНИЕ МОДЕЛЕЙ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 2.1. Необходимость экономико-математического моделирования Основной целью экономики является рациональное функционирование хозяйствующих субъектов, или иными словами, оптимальная деятельность при ограниченных ресурсах. Для того чтобы увидеть все элементы и взаимные связи экономической деятельности еще до начала реализации идеи, необходимо визуализировать механизм бизнеса изначально при помощи экономико-математического моде- лирования. Более того, это поможет лучше понимать, на что направить усилия, внимание и какие действия следует еще предпринять, какие управленческие решения принять. Возможно, в простой коммерции «купить подешевле — продать подороже» модели несколько избыточны, но если нужно развивать свой бренд, совершенствовать предложения о своих услугах и товарах, лучше прорабатывать технологию производства с целью получения максимальной прибыли, то без моделирования не обойтись. Экономико-математические методы представляют собой своеобразный инструментальный набор, с помощью которого экономисты, бизнесмены, менеджеры, стремясь добиться наилучшего эффекта, «обрабатывают» свой материал. Этот инструментарий имеет свою историю. В 1938 г. к двадцатипятилетнему профессору Ленинградского университе- та Леониду Витальевичу Канторовичу обратились представители фанерного треста с необычной для того времени просьбой. Требовалось рассчитать самое выгодное распределение работы восьми станков при условии, что известна производительность каждого станка по каждому из пяти видов материалов. Оказалось, что на тот момент еще не было методов, позволяющих решить эту экономико-производственную задачу. Тогда молодой ученый разработал свой оригинальный метод решения поставленной перед ним задачи. Отталкиваясь от этой частной задачи, Л. В. Канторович нашел общий метод решения целого 53 ряда важнейших экономико-производственных проблем. Новый метод, на- званный линейным программированием, дал ответ на вопрос, как управлять предприятием, чтобы обеспечить максимально возможную прибыль. За раз- работку метода линейного программирования и экономических моделей ака- демик Л. В. Канторович совместно с американским профессором К. Купмансом в 1975 г. получил Нобелевскую премию по экономике. Линейное и, шире, математическое программирование сейчас один из ос- новных методов обоснования производственно-экономических решений, но не единственный. Сегодня наряду с ним существует целый арсенал мате- матических средств выработки наилучших (или как принято говорить, опти- мальных) решений. Решение реальных экономико-производственных проблем, как правило, не обходится без моделирования. Стоит отметить, что процесс этот долгий и требует совместной работы многих отделов: аналитических, IT, планирования и пр. Не обойтись и без знаний реальной ситуации, исходящих от клиента, для которого и решается та или иная проблема. На практике реализация данного процесса должна включать следующие этапы: 1. Формализация исходной проблемы. 2. Построение математической модели. 3. Решение модели. 4. Проверка адекватности модели. 5. Реализация решения (т. е. перевод результатов решения модели в ре- комендации, представленные в форме, понятной для лица, принимающего решение). Линейное программирование предназначено для выработки оптимально- го решения экономической задачи для случая, когда ее условия и имеющиеся ограничения описываются уравнениями или неравенствами первой степени. Нелинейное программирование служит для выработки оптимального решения экономической задачи в том случае, когда ее условия и ограничения описываются уравнениями или неравенствами второй и более степени. |