Езу9у. Учебное пособие Рекомендовано методическим советом Уральского федерального университета в качестве учебного пособия для студентов вуза, обучающихся по направлениям подготовки
 Скачать 5.85 Mb.
|
|
b Квадратная матрица n-го порядка, у которой все элементы, находящиеся выше и ниже главной диагонали, равны нулю, называется диагональной. Диагональная матрица называется единичной, если все ее элементы, рас- положенные на главной диагонали, равны единице. Матрица любого размера называется нулевой, если все ее элементы равны нулю. Две матрицы A = (a ij ) и B = (b ij ) размера m × n называются равными, если они совпадают поэлементно, то есть , 1, , ; 1, , . ij ij a b i m j n = = = Операция умножения матрицы A = (a ij ) на число λ∈ R задается по правилу: A ( ) ( ), 1, , ; 1, , , ij ij a a i m j n λ = λ = λ = = то есть при умножении матрицы на число lнужно каждый элемент матрицы A умножить на число l. Операция сложения матриц A = (a ij ) и B = (b ij ) одного и того же размера m×n задается по правилу: ( ) A B , 1, , ; 1, , . ij ij a b i m j n + = + = = Матрица (−1) A = −A называется противоположной к А. Матрица A T , полученная из матрицы А заменой строк на соответствующие столбцы, называется транспонированной к матрице А: 11 12 1 11 21 1 21 22 2 12 22 2 T 1 2 1 2 A , A n m n m m m mn n n mn a a a a a a a a a a a a a a a a a a = = 11 Произведением матрицы A = (a ij ) размера m × n на матрицу B = (b ij ) размера n × l называется матрица C = (c ij ) размера m × l, каждый элемент c ij которой ра- вен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В: ( ) 1 2 1 2 1 1 2 2 1 , , , , 1, , ; 1, , . j j ij i i in nj n i j i j in nj ik kj k b b c a a a b a b a b a b a b i m j l = = = = + + + = = = ∑ Каждой квадратной матрице А порядка n ставится в соответствие по опре- деленному закону (правилу) некоторое число, называемое определителем n-го порядка этой матрицы. Определитель n-го порядка обозначается символом 11 12 1 21 22 2 1 2 A n n n n n nn a a a a a a a a a = ∆ = Для вычисления определителей n-го порядка на практике используют теорему Лапласа * . Для ее рассмотрения введем некоторые понятия. Пусть дана квадратная матрица А n-го порядка. Минором элемента a ij квадратной матрицы A называется число M ij ,равное определителю матрицы (n − 1)-го порядка, полученной из A вычеркиванием i-й строки и j-го столбца. Алгебраическим дополнением A ij элемента a ij матрицы A называется его минор, взятый со знаком (−1) i + j : ( 1) i j ij ij A M + = − * Пьер-Симон, маркиз де Лаплас (1749–1827) — французский математик, механик, физик и астроном; известен работами в области небесной механики, дифференциальных уравнений, один из создателей теории вероятностей. Лаплас состоял членом шести академий наук и ко- ролевских обществ, в том числе Петербургской академии (1802), и членом Французского гео- графического общества. Его имя внесено в список величайших ученых Франции, помещенный на первом этаже Эйфелевой башни. 12 Теорема 1.1 (теорема Лапласа о разложении определителя). Определитель квадратной матрицы порядка n равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения: 1 1 2 2 1 A n n i i i i in in ij ij j a A a A a A a A = = ∆ = + + + = ∑ (разложение по элементам i-й строки, i = 1, …, m); 1 1 2 2 1 A n n j j j j nj nj ij ij i a A a A a A a A = = ∆ = + + + = ∑ (разложение по элементам j-го столбца, j = 1, …, n). Квадратная матрица В называется обратной по отношению к матрице A того же порядка, если AB BA E. = = Обратная матрица обозначается символом A –1 МатрицаA называется невырожденной (неособенной), если ее определитель |A| ≠ 0. 1.3. Ранг матрицы В матрице A = A m×n вычеркиванием каких-либо строк или столбцов можно получить квадратную матрицу порядка k × k. Определитель M k такой матрицы называется минором k-го порядка, min( , ). k m n ≤ Рангом матрицыA = A m×n называется наивысший порядок r отличных от нуля миноров этой матрицы. Любой минор порядка r, отличный от нуля, называется базисным минором, если при этом все миноры порядка r + 1 равны нулю или таковых нет. Ранг матрицы A обозначается rang A или r(A). Очевидно, что в матрице может быть несколько разных базисных миноров, и все они имеют один и тот же порядок. Столбцы и строки, на пересечении которых расположен базисный минор, называются базиснымистолбцами и строками. Каждую строку (столбец) матрицы A = A m×n будем рассматривать как вектор из R n (R m ). Теорема_1.2.'>Теорема 1.2. Ранг матрицы A равен рангу системы ее векторов-строк (векто- ров-столбцов); при этом система векторов-строк (векторов-столбцов), содержащая базисный минор, образует базис в системе всех строк (столбцов) этой матрицы. Назовем элементарными преобразованиями матрицы следующие операции: 13 1) перестановка строк или столбцов матрицы; 2) умножение всех элементов строки или столбца матрицы на число, не рав- ное нулю; 3) вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк или удаление ну- левой строки; 4) прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на любое число; 5) транспонирование матрицы. При элементарных преобразованиях строк (столбцов) матриц их опреде- лители либо сохраняются, либо изменяют свою величину, не обращаясь при этом в нуль. В результате сохраняется наивысший порядок отличных от нуля миноров исходной матрицы, т. е. ранг сохраняется. Теорема1.3. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразо- ваниях матрицы. Матрицы, полученные в результате элементарных преобразований, назы- ваются эквивалентными. 1.4. Системы линейных алгебраических уравнений Система m линейных алгебраических уравнений с n переменными имеет вид: 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 , , , n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = (1.2) или в краткой записи: ( ) 1 1, . n ij j i j a x b i m = = = ∑ (1.3) Здесь x j — неизвестные, 1, ; j n = a ij — коэффициенты при j-м неизвестном в i-м уравнении, 1, ; i m = b i — свободный член i-го уравнения. Если b 1 = … = b m = 0, то систему линейных уравнений называют однородной. Матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных, называется матрицей системы: 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a = 14 Обозначим через 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 , , , ,B — n n n m m mn m a a a b a a a b A A A a a a b = = = = векторы-столбцы коэффициентов при неизвестных x 1 , x 2 , …, x n и столбец свобод- ных членов. Система линейных уравнений (1.2) в векторной форме имеет вид: 1 1 2 2 B. n n A x A x A x + + + = (1.4) Удобной и компактной является матричная форма записи системы урав- нений: A B, X = где 1 2 m x x X x = — вектор-столбецнеизвестных, 1 2 B m b b b = — вектор-столбец сво- бодных членов. Матрица системы, дополненная справа столбцом свободных членов, назы- вается расширенной матрицей системы: 11 1 1 1 1 1 (A |B) j n i ij in i m mj mn m a a a b a a a b a a a b = Решением системы линейных уравнений (1.2) называется такая совокуп- ность n чисел x 1 = c 1 , …, x n = c n , при подстановке которых каждое уравнение сис- темы обращается в верное равенство. Если такая совокупность чисел существу- ет, то система линейных уравнений называют совместной. В противном случае систему называют несовместной. Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения (точнее, бесконечное множество решений). Решить систему — значит найти все ее решения или доказать, что их нет. Две совместные системы линейных уравнений одинаковых размеров на- зываются равносильными или эквивалентными, если их множества решений 15 совпадают. Любые две несовместные системы, имеющие одинаковое число неизвестных, по определению равносильны. 1.5. Метод Гаусса — Жордана построения общего решения системы линейных уравнений Назовем элементарными преобразованиями системы линейных уравнений следующие: 1) перестановка i-го и k-го уравнений системы; 2) умножение i-го уравнения системы на число l ≠ 0; 3) прибавление к i-му уравнению j-го уравнения, умноженного на любое число; 4) вычеркивание уравнения 0 · x 1 + 0 · x 2 + … + 0 · x n = 0; 5) удаление уравнений, являющихся линейными комбинациями других уравнений системы. Метод Гаусса * — Жордана ** решения систем линейных уравнений основан на последовательном исключении неизвестных из уравнений с помощью эле- ментарных преобразований. Для этого расширенная матрица системы (A | B) преобразуется к виду, при котором r переменных системы (r = rang (A | B)) обра- зуют диагональную матрицу с точностью до перестановки строк или столбцов, что позволяет сразу, без дополнительных преобразований, получить решение системы. Неизвестное x j называют разрешенным, если существует уравнение системы, содержащее это неизвестное с коэффициентом 1, а в остальных уравнениях системы коэффициенты при этом неизвестном равны нулю. Рассмотрим систему линейных уравнений: 1 2 4 5 2 3 4 5 2 5, 3 5 2. x x x x x x x x − + − = + + − = Здесь x 1 , x 3 — разрешенные неизвестные. Если каждое уравнение системы содержит одно разрешенное неизвестное, то такую систему называют разрешенной или приведенной к единичному базису. * Иоганн Карл Фридрих Гаусс (1777–1855) — немецкий математик, механик, физик, астро- ном и геодезист. Считается одним из величайших математиков всех времен, «королем математи- ков». Лауреат медали Копли (1838), иностранный член Шведской (1821) и Петербургской (1824) академий наук, английского Королевского общества. ** Вильгельм Йордан (1842–1899) — немецкий геодезист. Занимался также и математи- кой — в этой области известен модификацией метода Гаусса, получившей название метод Гаусса — Йордана (часто называемого методом Гаусса — Жордана). 16 Общим решением совместной системы линейных уравнений называют решение равносильной ей разрешенной системы. С помощью элементарных преобразований можно преобразовать данную систему линейных уравнений в равносильную ей разрешенную. Общее решение системы линейных уравнений получают исходя из исход- ной с помощью элементарных преобразований. Алгоритм метода Гаусса — Жордана Систему линейных уравнений записывают в виде матрицы: ( ) A|B 11 1 1 1 1 1 1 1 j l n i ij il in i k kj kl kn k m mj ml mn m a a a a b a a a a b a a a a b a a a a b = Шаг 1. Возьмем любой отличный от нуля коэффициент a kl (разрешающий или ведущий элемент) (строку и столбец, в которых он находится, называют разрешающими) и k-е уравнение системы разделим на a kl . Затем, умножая по- лученное уравнение на (−a il ) и прибавляя его к i-му уравнению ( 1, , ), i m i k = ≠ исключим x l из всех уравнений, кроме k-го. В результате первого шага (состо- ящего из двух элементарных преобразований) система линейных уравнений (1.2) преобразуется в эквивалентную ей систему 1 ( 1, ) n ij j i j a x b i m = ′ ′ = = ∑ или ( ) 11 1 1 1 1 1 1 ... 0 ... ... 0 ... | ... 1 ... ... 0 ... j n i ij in i k kj kn k m mj mn m a a a b a a a b A B a a a b a a a b ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ = ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ , |