Езу9у. Учебное пособие Рекомендовано методическим советом Уральского федерального университета в качестве учебного пособия для студентов вуза, обучающихся по направлениям подготовки
 Скачать 5.85 Mb.
|
|
Теорема 1.6 (о симплексных преобразованиях). Если все свободные члены системы линейных уравнений неотрицательны, то после симплексных пре- образований системы они останутся неотрицательными. Пример 1.5. Найти всенеотрицательные базисные решения системы ли- нейных уравнений: 1 4 5 2 4 5 3 5 2 5, 3 3, 2 4. x x x x x x x x + + − = − + = + = Решение. Представим решение задачи в виде табл. 1.17. Таблица 1.17 БП x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b i i a θ 5 θ 4 θ 2 θ 3 Базисное решение x 1 1 0 0 2 –1 5 7 — X 1 = (5, 3, 4, 0, 0) x 2 0 1 0 –1 3 3 6 1 x 3 0 0 1 0 2 4 7 2 x 1 3 1 0 5 0 18 27 3,6 X 2 = (6, 0, 2, 0, 1) x 5 0 1 0 –1 3 3 6 — x 3 0 –2 3 2 0 6 9 2 x 1 6 12 –15 0 0 6 9 1/2 X 3 = (1, 0, 0, 3, 2) x 5 0 0 3 0 6 12 21 — x 4 0 –2 3 2 0 6 9 — x 2 6 12 –15 0 0 6 9 — 4 1 7 0, , 0, , 2 2 2 X = x 5 0 0 3 0 6 12 21 4 x 4 12 0 6 24 0 84 126 14 x 2 6 12 0 0 30 66 114 5 11 5 0, , 4, , 0 2 2 X = x 3 0 0 3 0 6 12 21 x 4 12 0 0 24 –12 60 84 При проведении базисных преобразований (БП) каждого шага базисные столбцы выделяются. Использовались преобразования Гаусса — Жордана. Для 34 предотвращения случайных ошибок в расчетах был введен специальный конт- рольный столбец 1 n i ij i j à a b = = + ∑ Далее, если выбирать в качестве ведущего столбца x 1 , то ведущий элемент нужно выбирать в третьей строке, так как min{66/6; 60/12} = 5, и тогда мы бы пришли к базису, состоящему из векторов {A 1 , A 2 , A 3 }, но это базис исходной системы. Если же выбрать столбец x 5 , то за разрешающий элемент следует вы- бирать число 6, и тогда мы получим базис третьего шага. Итак, получили пять возможных неотрицательных решений. Заметим, что всего базисных решений могло быть 3 5 5! 10. 2!3! C = = Пример 1.6. Найти всенеотрицательные базисные решения системы ли- нейных уравнений: 2 3 4 5 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2 4 2 2, 2 1, 2 2 1. x x x x x x x x x x x x x − + + = − + + − = + − + + = Решение. Представим решение задачи в виде табл. 1.18. Выберем в качестве разрешающего элемента коэффициент при x 2 . Так как min {2/2, 1/1} = 1, то возникает неопределенность в выборе разрешающей строки. В таких ситуациях будем выбирать строку с наименьшим номером, в нашем случае — первую. Разрешающий элемент выбран в первой и в тре- тьей строке, осталось выбрать во второй. Далее неотрицательные элементы содержатся только в столбце x 4 , но min {2/2, 12/12} = 1. Так как разрешающие элементы выбраны в первой строке и в третьей, то выберем в оставшейся второй. Предварительно разделим элементы второй строки на 3. В резуль- тате получим первое неотрицательное базисное решение X 1 = (0, 0, 0, 1, 0). В этом решении равными нулю оказались не только свободные неизвестные x 3 и x 5 , но и два базисных — x 1 и x 2 . Так как количество ненулевых неизвест- ных меньше числа уравнений, то это решение вырожденное. Далее вводим в базис столбец x 3 , при этом столбец x 1 будет выведен из базиса. В результате получим X 2 = (0, 0, 0, 1, 0). Мы получили то же решение, но нулю равны другие базисные неизвестные: x 2 и x 3 . Аналогичным образом можно провести еще две операции однократного замещения. В результате получим X 3 = (0, 0, 0, 1, 0) и X 4 = (0, 0, 0, 1, 0). На самом деле это одно и то же решение, но «базисные нули» занимают четыре позиции. 35 Таблица 1.18 Шаг БП x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b i i a θ l Базисное решение 1 0 2 –4 2 1 2 3 1 0 –3 3 3 –6 3 0 — x 1 2 1 –1 1 2 1 6 1 2 x 2 0 2 –4 2 1 2 3 1 0 0 –6 12 –9 12 9 1 x 1 4 0 2 0 3 0 9 x 2 0 2 –4 2 1 2 3 1 x 4 0 0 –2 4 –3 4 3 1 x 1 4 0 2 0 3 0 9 — 3 x 2 0 8 –12 0 10 0 6 1 (0, 0,0,1,0) X = x 4 0 0 –2 4 –3 4 3 ← x 1 4 0 2 0 3 0 9 0 4 x 2 24 8 0 0 28 0 60 x 4 4 0 0 4 0 4 12 x 3 4 0 2 0 3 0 9 x 2 6 2 0 0 7 0 15 2 (0, 0, 0,1,0) X = x 4 1 0 0 1 0 1 3 x 3 4 0 2 0 3 0 9 Замечание. Неотрицательное решение можно было получить и ранее: в последней строке второго шага имеем уравнение 4x 1 + 2x 3 + 3x 5 = 0. Так как x j ≥ 0, то x 1 = x 3 = x 5 = 0. Тогда система относительно остальных неизвестных записывается в виде 2 4 4 2 2 2, 12 12, x x x + = = откуда x 2 = 0, x 4 = 1. 36 1.9. Линейная балансовая модель Леонтьева Балансовые модели (в частности модель Леонтьева * ) предназначены для оп- ределения сбалансированных объемов производства и потребления различных товаров и услуг в рамках замкнутой экономической системы (страны, региона, предприятия, банка) в течение того или иного фиксированного временного интервала (интервала планирования). Пусть весь производственный сектор экономики разбит на n отраслей (про- изводственных технологических процессов), каждая из которых производит один (свой) продукт. Будем считать, что в процессе производства своего продукта каждая от- расль нуждается в продуктах лишь рассматриваемых отраслей (в том числе может быть и своей), т. е. внешние по отношению к экономической системе ресурсы отсутствуют. Рассмотрим процесс производства за некоторый период времени (напри- мер, год). Введем обозначения: • x i — общий (валовой) объем продукции i-й отрасли x i ≥ 0 ( ); 1, i n = • x ij — объем продукции i-й отрасли, потребляемой j-й отраслью в процессе производства (межотраслевые потоки сырья); • y i — объем конечного продукта i-й отрасли y i ≥ 0 для непроизводственно- го потребления (конечный продукт используется для накопления и возмещения основных фондов, прироста запасов, на личное потребление и обслуживание населения, оборону, чистый экспорт, содержание государственных институтов и т. д.). Так как валовой объем каждой i-й отрасли равен суммарному объему про- дукции, потребляемой n отраслями, и конечного продукта, то в самой простой форме (гипотеза линейности или простого сложения) балансовые соотношения имеют вид: 1 11 12 1 1 2 21 22 2 2 1 2 , , n n n n n nn n x x x x y x x x x y x x x x y = + + + + = + + + + = + + + + (1.14) * Василий Васильевич Леонтьев (1905–1999) — американский экономист российского происхождения, создатель теории межотраслевого анализа. Доктор Брюссельского (1961), Па- рижского (1972) и Ленинградского (1990) университетов. Офицер ордена Почетного легиона (Франция, 1968), награжден орденами Восходящего солнца (Япония, 1984) и Искусств и лите- ратуры (Франция, 1985). Лауреат премии Б. Хармса (1970) и Нобелевской премии (1973) «за развитие метода “затраты — выпуск” и его применение к важным экономическим проблемам». 37 Будем предполагать, что взаимосвязи между отраслями носят устойчивый характер (не меняются от года к году). Поскольку продукция разных отраслей имеет разные измерения, будем в дальнейшем рассматривать стоимостный межотраслевой баланс, когда все величины, входящие в (1.14), имеют стои- мостное выражение. Объемы валовой продукции и межотраслевые потоки сырья выражаются неотрицательными числами. Напротив, объемы конечной продукции могут быть отрицательными, если в течение отчетного планового периода потребно- сти отраслей в сырье покрывались не только за счет его производства, но также за счет его запасов или за счет поступления недостающей продукции извне. Определим технологические коэффициенты (коэффициенты прямых за- трат) a ij , равные средним затратам продукции i-й отрасли на производство единицы продукции для j-й отрасли, то есть: ( ) , 1, . ij ij j x a i j n x = = (1.15) Матрица A = (a ij )называется технологической матрицей (матрицей прямых затрат). Из (1.15) следует: ( ) , 1, , ij ij j x a x i j n = = то есть затраты линейно зависят от валового выпуска. Тогда балансовые соотношения (модель межотраслевого баланса Леонтьева) можно записать в виде системы уравнений: 1 11 1 12 2 1 1 2 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 , , n n n n n n n nn n n x a x a x a x y x a x a x a x y x a x a x a x y = + + + + = + + + + = + + + + или в матричной форме A , X X Y = + (1.16) где 1 2 n x x X x = — вектор валового производства; 1 2 n y y Y y = — вектор конечного потреб- ления; А 11 12 1 21 22 2 1 2 ( ) n n ij n n nn a a a a a a a a a a = = — технологическая матрица прямых затрат. 38 В. В. Леонтьевым на основании анализа экономики был установлен важный факт: в течение длительного времени величины ij ij j a x x = меняются очень слабо (технологии производства остаются на одном и том же уровне довольно длитель- ное время) и могут рассматриваться как постоянные числа. Поэтому валовые объемы производства x i и объемы конечной продукции y i следующего планового периода должны удовлетворять тем же самым уравнениям. Эти уравнения и со- ставляют ядро статической балансовой модели Леонтьева для чистых отраслей. В случае, когда матрица E − A обратима (| E − A | ≠ 0), модель (1.16)перепи- шем в виде EX − AX = Y или (E − A)X = Y. (1.17) Так как матрица E − A невырожденная, то X = (E − A) –1 Y или X = SY. Итак, получена еще одна форма записи модели межотраслевого баланса Леонтьева: X = SY, где S = (E − A) –1 Матрица S = (E − A) –1 называется матрицей полных затрат. Укажем эко- номический смысл ее элементов. Зададим конечный спрос (конечный продукт), например, в виде вектора 1 1 0 , 0 Y = т. е. требуется обеспечить спрос на одну единицу продукции первой отрасли. Матрица (вектор) выпусков отраслей будет иметь вид: 1 11 12 1 11 2 21 22 2 21 1 2 1 1 0 0 0 n n n n n nn n x s s s s x s s s s x s s s s = ⋅ = Следовательно, каждый элемент 1 , 1, i s i n = матрицы полных затрат S есть выпуск продукции каждой из отраслей для обеспечения единицы конечного продукта на продукцию первой отрасли. 39 Итак, элемент матрицы полных затрат s ij показывает, сколько всего нужно произвести продукции i-й отрасли, чтобы обеспечить появление единицы конечного продукта j-го вида. Замечание. На практике балансовые равенства не точны, так как некоторые значения округляются. Возникает вопрос о точности счета обратной матрицы, чтобы новые балансовые равенства удовлетворяли заданной точности. В модели Леонтьева для чистых отраслей число уравнений не превосходит количество переменных. Как правило, системы уравнений имеют много решений, среди которых экономисты выбирают «лучшие». Ряд недостатков и возможных упро- щений позволяют, однако, сделать модель практичной и легко используемой, например, в практике прогнозирования вектора конечной продукции по за- данным объемам их валового производства на очередной плановый период. 1.9.1. Применение модели Леонтьева в планировании Первая задача межотраслевого баланса предполагает фиксирование вало- вой продукции следующего года по отраслям и при известной матрице прямых затрат A = (a ij ) определение плана следующего года по потреблению, сохраня- ющего балансовые соотношения: A (E A) , 0. Y X X X X = − = − ≥ Кратко: Дано: X Найти: Y = (E − A)X Вторая задача межотраслевого баланса состоит в отыскании отраслевых заданий на валовые объемы их производства Х, которые при известной матрице прямых затрат A = (a ij ) обеспечивают желаемые (заданные) объемы потребления следующего года Y, сохраняющего балансовые соотношения: A , 0. X X Y X = + ≥ Кратко: Дано: Y Найти: X = (E − A) –1 Y Рассматриваются и другие задачи смешанного типа. Для решения матричного уравнения (1.17) полезно использовать преобра- зования Гаусса — Жордана: AX = B, (A|B) → (E|X), X = A –1 B. (В нашем случае: (E − A)X = Y: ((E − A)|Y) → (E|X), X = (E − A) –1 Y.) 40 При большом объеме данных прибегают, например, к помощи Microsoft Excel (пример 1.8). 1.9.2. Продуктивность балансовой модели Модель Леонтьева (матрица A) называется продуктивной, если при подхо- дящем выборе неотрицательных объемов производства она может обеспечить любые наперед заданные неотрицательные объемы конечной продукции (т. е. способна обеспечить наполнение «прилавков» без привлечения внешних про- изводителей), иначе, если для любого вектора Y ≥ 0 существует вектор X ≥ 0, удовлетворяющий балансовой модели. Как правило, технологические матрицы задаются из априорных полити- ческих, экономических, социальных задач(берутся, например, из отчетного баланса предыдущего года). А значит, вопросы продуктивности носят важный самостоятельный характер. Существует несколько критериев продуктивности матрицы A. Приведем некоторые из них. Утверждение 1. Модель Леонтьева (матрица A) продуктивна, если для лю- бых , 1, i j n = a ij ≥ 0 и 1 max 1, n ij j i a = ≤ ∑ и если существует номер j такой, что 1 1. n ij i a = < ∑ Утверждение 2. Модель Леонтьева продуктивна тогда и только тогда, ког- да матрица E − A неотрицательно обратима, т. е. существует обратная матрица (E − A) –1 , все элементы которой неотрицательны. Пример непродуктивной матрицы: пусть A 0,5 0,5 , 0,5 0,5 = находим E A 0,5 0,5 , 0,5 0,5 − − = − (E − A)X = Y или 1 2 1 1 2 2 0,5 0,5 , 0,5 0,5 x x y x x y − = − + = Последняя система линейных уравнений не имеет решений, поэтому ма- трица не является продуктивной: если сложить последние два уравнения, то по- лучим 0 · x 1 + 0 · x 2 = y 1 + y 2 . Так как y 1 ≥ 0, y 2 ≥ 0, то y 1 = y 2 = 0, т. е. обеспечивается только нулевое потребление. |