Езу9у. Учебное пособие Рекомендовано методическим советом Уральского федерального университета в качестве учебного пособия для студентов вуза, обучающихся по направлениям подготовки
 Скачать 5.85 Mb.
|
|
Пример 2.3.Имеется два вида кормов: американский и белорусский, кото- рые можно купить по ценам 8 и 10 ден. ед. за килограмм. В 1 кг американского корма содержится 50 г питательного вещества М и 100 г питательного вещест- ва N. Для белорусского корма соответствующие цифры составляют 100 г и 50 г соответственно. Сколько требуется закупить американского и белорусского кормов, чтобы общее число питательных веществ М и N составило не менее 4 кг и 5 кг соответственно, и при этом расходы были бы минимальны. Составить экономико-математическую модель данной задачи. Решение. Для формализации задачи удобно все данные занести в табл. 2.2. Таблица 2.2 Питательные ве- щества Количество питательных веществ в корме, г Необходимый минимум пита- тельных веществ, г американском белорусском M 50 100 4 000 N 100 50 5 000 Стоимость 1 кг корма, ден. ед. 8 10 — Обратите внимание, что так как содержание в 1 кг корма питательных единиц у нас приведено в граммах, то и необходимый минимум приема пита- тельных веществ нам также необходимо перевести в граммы, при этом нужно понимать, что количество корма у нас измеряется в килограммах. Далее задаемся вопросом: какова наша цель? Минимизировать издержки. Какие? Те, которые мы несем с покупки корма. Введя переменные x 1 — коли- чество американского корма (в кг), x 2 — количество белорусского корма (в кг), составим функцию издержек: Z (x 1 , x 2 ) = 8x 1 + 10x 2 Затем учитываем ограничения, а именно, что питательное вещество М содержится и в американском корме, и в белорусском, получаем, что всего суммарно у нас будет 50x 1 + 100x 2 г вещества М. По условию норма этого вещества составляет 4 000 г, значит, имеем: 50x 1 + 100x 2 ≥ 4 000, аналогично ограничение на вещество N: 100x 1 + 50x 2 ≥ 5 000. Учитывая, что количество неотрицательно, получаем следующую экономико-математическую модель данной задачи: 1 2 1 2 ( , ) 8 10 min, Z x x x x = + → 62 1 2 1 2 1 2 50 100 4 000, 100 50 5 000, 0, 0. x x x x x x + ≥ + ≥ ≥ ≥ Задача об использовании мощностей (задача о загрузке оборудования) Предприятию задан план производства продукции по времени и номен- клатуре: требуется за время T выпустить n 1 , n 2 , …, n k единиц продукции P 1 , P 2 , …, P k . Продукция производится на станках S 1 , S 2 , …, S m . Для каждого станка известны производительность a ij (т. е. число единиц продукции P j , которое можно произвести на станке S i ) и затраты b ij на изготовление продукции P j на станке S i в единицу времени. Необходимо составить такой план работы станков (т. е. так распределить выпуск продукции между станками), чтобы затраты на производство всей продукции были минимальными. Составим экономико-математическую модель задачи. Обозначим x ij — время, в течение которого станок S i будет занят изготов- лением продукции P j (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, k). Так как время работы каждого станка ограничено и не превышает T, то справедливы неравенства: 11 12 1 21 22 2 1 2 , , k k m m mk x x x T x x x T x x x T + +…+ ≤ + +…+ ≤ …………………… + +…+ ≤ Для выполнения плана выпуска по номенклатуре необходимо, чтобы вы- полнялись следующие равенства: 11 11 21 21 1 1 1 12 12 22 22 2 2 2 1 1 2 2 , , m m m m k k k k mk mk k a x a x a x n a x a x a x n a x a x a x n + +…+ ≤ + +…+ ≤ ………………………… … + +…+ ≤ Кроме того, ( ) 0 1, 2, , ; 1, 2, , . ij x i m j k ≥ = … = … Затраты на производство всей продукции выразятся целевой функцией 11 11 12 12 mk mk Z b x b x b x = + +…+ 63 Экономико-математическая модель задачи об использовании мощностей примет вид: найти такое решение Х = (x 11 , x 12 , …, x mk ) T , удовлетворяющее вы- шеприведенным ограничениям, при котором целевая функция принимает минимальное значение. Задача о раскрое материалов На раскрой (распил, обработку) поступает материал одного образца в коли- честве a единиц. Требуется изготовить из него l разных комплектующих изделий в количествах, пропорциональных числам b 1 , b 2 , …, b l (условие комплектности). Каждая единица материала может быть раскроена n различными способами, причем использование i-го способа (i = 1, 2, …, n) дает a ik единиц k-го изделия (k = 1, 2, …, l). Необходимо найти план раскроя, обеспечивающий максимальное число комплектов. Составим экономико-математическую модель задачи. Обозначим x i — число единиц материала, раскраиваемых i-м способом, и r — число изготавливаемых комплектов изделий. Так как общее количество материала равно сумме его единиц, раскраива- емых различными способами, то 1 n i i x a = = ∑ Требование комплектности выразится уравнениями 1 , ( 1, 2, , ). n i ik k i x a b r k l = = = ∑ Очевидно, что 0 ( 1, 2, , ). i x i n ≥ = … Экономико-математическая модель задачи: найти такое решение x = (x 1 , x 2 , …, x n ), удовлетворяющее всем вышеописанным условиям, при котором функция z = r принимает максимальное значение. Пример 2.4. Для изготовления брусьев длиной 1,2 м, 3 м и 5 м в соотно- шении 2 : 1 : 3 на распил поступают 195 бревен длиной 6 м. Определить план распила, обеспечивающий максимальное число комплектов. Составить эконо- мико-математическую модель задачи. Решение. Сначала составим так называемую карту раскроя (в нашем случае распила бревен). Для этого определим, какое наибольшее количество брусьев по 1,2 м можно получить из шестиметрового бревна. Ответ очевиден: 6 : 1,2 = 5 штук. Это первый способ. Далее, так как необходимы все брусья разной длины, то аналогичным образом нужно найти все возможные способы распила. Удобно представить их в виде табл. 2.3. 64 Таблица 2.3 Число брусьев длиной, м Способы распила 1-й 2-й 3-й 4-й 1,2 5 2 0 0 3 0 1 2 0 5 0 0 0 1 По данной таблице легко понять, что, например, пятиметровые брусья мож- но распилить только четвертым способом, причем из одного бревна получится всего только один брус. Обозначим x i — количество бревен, распиленных i-м способом, i = 1, 2, 3, 4; r — число комплектов трехметровых брусьев. Далее учитываем, что все бревна должны быть распилены, то есть: 1 2 3 4 195. x x x x + + + = Количество комплектов каждого вида брусьев должно находиться в отно- шении 2 : 1 : 3, т. е. брусьев по 1,2 м, а таких 5x 1 + 2x 2 штук, должно быть точно 2r комплектов. Аналогично брусьев по 3 м x 2 + 2x 3 штук должно быть в коли- честве r комплектов, а пятиметровых в количестве x 4 штук нужно произвести 3r комплектов. Учитывая неотрицательность количества, получаем следующую экономи- ко-математическую модель данной задачи: max, Z r = → 1 2 3 4 1 2 2 3 4 195, 5 2 2 , 2 , 3 , 0, 1, 2, 3, 4. i x x x x x x r x x r x r x i + + + = + = + = = ≥ = Пример 2.5. В продаже есть трубы длиной по 5 м и по 2 м по цене 20 руб. и 8 руб. соответственно за штуку. Сколько нужно купить тех и других и как их распилить, чтобы с минимальными затратами обеспечить себя заготовками длиной 150 см и 70 см в количестве 140 и 220 штук соответственно? Составить экономико-математическую модель данной задачи. Решение. Необходимо минимизировать расходы на изготовление заго- товок, при этом распиливать мы можем только трубы длиной 5 м = 500 см и 2 м = 200 см и только на заготовки длиной 150 см и 70 см. Составим карту распила на заготовки длиной 150 см и 70 см (табл. 2.4). 65 Таблица 2.4 Число заготовок длиной, см Способы распила трубы по 5 м Способы распила трубы по 2 м 1-й 2-й 3-й 4-й 1-й 2-й 150 3 2 1 0 1 0 70 0 2 5 7 0 2 Обозначим переменные: x i — число труб по 5 м, распиленных i-м способом; y j — число труб по 2 м, распиленных j-м способом. Составим экономико-математическую модель: 1 2 3 4 1 2 ( ) 250 8 ( 0 min, ) Z x x x x y y = + + + + + → 1 2 3 1 2 3 4 2 3 2 1 400, 2 5 7 2 2 200, 0, 0, 1, , 4, 1, 2. i j x x x y x x x y x y i j + + + = + + + = = … = ≥ ≥ Модель транспортной задачи будет сформулирована в гл. 6 данного посо- бия. Сейчас приведем пример так называемых смешанных задач планирования. Пример 2.6. Некоторая негосударственная банковская организация пла- нирует вложить до 5 млн руб. в потребительский кредит и в автокредитование. При этом комиссионные организации составляют 19 % по потребительским кредитам и 15,5 % по автокредитам. Оба типа кредитов возвращаются в конце периода кредитования. Из опыта известно, что около 8,5 % потребительских и 3,5 % автомобильных кредитов не возвращаются. В связи с тем, что авто- кредитование менее рискованно, руководство банка решило предоставить их в 2,5 раза больше, чем потребительских. Необходимо найти оптимальное раз- мещение средств по двум описанным видам кредитования. Составить эконо- мико-математическую модель данной задачи. Решение. Пусть x 1 — планируемая сумма потребительских кредитов, x 2 — сумма автокредитов, Z — функция прибыли от кредитования. Оптимальным будет размещение средств в случае, если прибыль будет максимальна. При- быль — это доход за вычетом издержек. Доход банк получает с процента от вы- данных кредитов, а расходы несет в связи с невыплатой по ним. Согласно условию не возвращается 8,5 % потребительских кредитов, т. е. банк получит доход только с 91,5 % выданных потребительских кредитов, соот- ветственно, доход будет получен только с суммы, равной 0,915x 1 руб. и составит 0,19 · 0,915x 1 руб. Аналогично доход с автокредитов составит 0,155 · 0,965x 2 руб. Расходы же формируются исходя из количества невыплаченных кредитов и со- ставят 0,085x 1 + 0,035x 2 руб. Таким образом, прибыль будет равна 0,19 · 0,915x 1 + + 0,155 · 0,965x 2 − (0,085x 1 + 0,035x 2 ). 66 Изначально планируется вложить не более пяти миллионов в кредитование, т. е. вся сумма кредитования, равная x 1 + x 2 руб., не должна превышать 5 млн руб. А условие, что руководство банка решило предоставить автокредитов в 2,5 раза больше, чем потребительских, можно записать в виде: x 2 ≥ 2,5x 1 Учитывая, что сумма кредитов неотрицательна, получаем следующую эко- номико-математическую модель данной задачи: 1 2 1 2 ( ( ) 0,17385 0,149575 – 0,085 0,035 ) max, Z X x x x x → = + + 1 2 2 1 1 2 5 000 000, 2,5 , 0, 0. x x x x x x + ≤ ≥ ≥ ≥ Задачи для самостоятельного решения 2.1. Привести к канонической форме следующие задачи линейного програм- мирования: 2.1.1. 1 2 3 1 2 3 1 3 2 3 1 2 ( ) 4 min, 3 2 5, 8 4, 2 3, 0, 0. Z X x x x x x x x x x x x x = − + → − − ≤ − = − + ≥ ≥ ≥ 2.1.2. 1 2 3 4 1 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 3 4 ( ) 3 2 max, 2 7 3, 4 3 9, 3 5 7, 0, 0, 0. Z X x x x x x x x x x x x x x x x x x = + − + → + − − ≤ + − = + − ≥ ≥ ≥ ≥ 2.1.3. 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 3 4 5 1 3 5 ( ) 2 5 2 min, 3 4 3, 10 8 6, 0, 0, 0. Z X x x x x x x x x x x x x x x x x x = − + + − → + − − − ≤ + − + = ≥ ≥ ≥ 67 2.1.4. 1 2 3 4 5 1 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 4 ( ) 7 2 max, 5 8 3, 3 3 1, 6 10 5 5, 0, 0, 0. Z X x x x x x x x x x x x x x x x x x x = + − + + → + − − ≤ + − ≤ + − ≥ ≥ ≥ ≥ 2.2. Составить экономико-математическую модель следующих задач. 2.2.1. Фирма ООО «Ромашка» располагает следующими ресурсами: пло- щадь — 120 ед., труд — 100 ед., тяга — 85 ед. Хозяйство производит четыре вида продукции: П 1 , П 2 , П 3 , П 4. Организация производства характеризуется следующей таблицей: Продукция Затраты на 1 ед. продукции Доход от единицы продукции Площадь Труд Тяга П 1 2 2 2 1 П 2 2 1 4 4 П 3 4 2 1 3 П 4 5 4 1 6 Составить план выпуска продукции, обеспечивающий хозяйству макси- мальную прибыль. 2.2.2. Предприятие выпускает заготовки двух видов. Для изготовления заготовок обоих видов используются железо и проволока. Общий запас желе- за — 4 т, проволоки — 20 т. На одну заготовку первого вида расходуются 6 кг железа и 3 кг проволоки, на вторую 5 кг железа и 2,5 кг проволоки. За каждую проданную заготовку первого вида предприятие получает 5 ден. ед., второ- го — 4 ден. ед. Составить план выпуска заготовок, обеспечивающий заводу максимальную прибыль. 2.2.3. Совхоз отвел три земельных массива размером 5 тыс., 8 тыс., 9 тыс. га на посевы ржи, пшеницы, кукурузы. Средняя урожайность в центнерах на 1 га по массивам указана в следующей таблице: Посевы Земельные массивы I II III Рожь 12 14 15 Пшеница 14 14 22 Кукуруза 30 35 25 68 За 1 ц ржи совхоз получает 2 ден. ед., за 1 ц пшеницы — 2,8 ден. ед., за 1 ц кукурузы — 1,4 ден. ед. Сколько гектаров и на каких массивах совхоз должен отвести на каждую культуру, чтобы получить максимальную выручку, если по плану он обязан сдать не менее 190 тыс. т ржи, 158 тыс. т пшеницы и 30 тыс. т кукурузы? 2.2.4. Три типа самолетов следует распределить между четырьмя авиали- ниями. Данные об организации процесса перевозок приведены в следующей таблице: Тип самолета Число само- летов, ед. Месячный объем пере- возок одним самолетом по авиалиниям, ед. Эксплуатационные рас- ходы на один самолет по авиалиниям, ед. I II III IV I II III IV «Ан» 60 15 10 20 50 19 20 25 40 «Ил» 30 20 20 15 10 65 28 15 45 «Ту» 40 35 50 30 45 40 70 50 65 Распределить самолеты по авиалиниям так, чтобы при минимальных сум- марных эксплуатационных затратах перевезти по каждой из четырех авиалиний соответственно не менее 350, 250, 950, 450 ед. груза. 2.2.5. Имеются четыре оперативных базы и три цели. В силу различия в ти- пах самолетов и высоте полета вес бомб, доставляемых с любой базы к любой цели, определяется по следующей таблице: База Цель Ближняя Дальняя Смежная Мурзинка 7 5 6 Хмелевка 6 5 5 Ягодная 9 9 5 Фруктовая 8 6 4 Дневная интенсивность каждой базы составляет 150 самолетов в день. На каждую цель необходимо организовать 200 самолето-вылетов в день. Определить план вылетов с каждой базы к каждой цели, дающий макси- мальный общий вес бомб, доставляемых к целям. 2.2.6. В секретной лаборатории из трех материалов — образец А, образец Б, образец В — составляется смесь. В состав смеси должно входить не менее 6 ед. секретного вещества № 1, 8 ед. — вещества № 2 и не менее 12 ед. вещества № 3. Структура химических веществ приведена в следующей таблице: 69 Материал Содержание химического вещества в 1 ед. продукции Стоимость 1 ед. продукции № 1 № 2 № 3 А 2,5 1,5 2,5 2 Б 1 2,5 4 3 В 3 1,5 2 4 Составить наиболее дешевую смесь. 2.2.7. В загородном центре «Таватуй» решили провести конкурс. На- значили ответственным вожатого, который должен был все подготовить. А именно купить гуашь по цене 50 руб. за коробку, маркеры по цене 25 руб. за мини-коробку, линейки по цене 13 руб., блокноты по цене 18 руб. При этом вожатому было четко указано, что красок нужно купить не менее трех коробок, блокнотов — столько, сколько коробок маркеров и гуаши вместе, линеек не более шести. На покупки выделяется не менее 400 руб. Сколько указанных предметов должен купить вожатый, чтобы общее число предметов было наибольшим? 2.2.8. Фирма «Всё Ок’ей» выпускает три вида секретных заготовок — важ- ные, суперважные, сверхважные. Каждая заготовка обрабатывается тремя станками. Организация производства в фирме характеризуется следующей таблицей: Станок Длительность обработки детали, мин Фонд времени, ч Важные Суперважные Сверхважные I 11 9 8 220 II 14 17 19 400 III 8 5 3 100 Цена за одну заготовку 29 31 30 Составить план загрузки станков, обеспечивающий цеху получение мак- симальной прибыли. 2.2.9. Два выпускника экономического факультета задумали открыть не- большое предприятие по выпечке пирожков. Начать решили с малого, а имен- но изготавливать пока только два вида пирожков: с капустой и с картошкой, используя при этом четыре чудо-печки. Данные о технологическом процессе указаны в следующей таблице: 70 Чудо-печка Трудоемкость на один пирожок Фонд времени, у. е. с капустой с картошкой I 3 3 15 II 2 6 18 III 4 0 16 IV 1 2 8 Цена за один пирожок, ден. ед. 15 16 — Составить план выпуска продукции, обеспечивающий предприятию наи- большую прибыль. 2.2.10. Предприятие для производства запасных частей для автомобилей использует три вида ресурсов. Выпускает три вида запасных частей. Органи- зация производства на предприятии характеризуется следующей таблицей: Ресурсы Расход материалов на производство одной запасной части, кг Запас ресурсов, кг 1 2 3 I 4 6 3 1 200 II 0 2 2 300 III 4 0 4 800 Прибыль от реализации од- ной запасной части, ден. ед. 7 9 6 — Составить план производства запасных частей, обеспечивающий предпри- ятию наибольшую прибыль. 2.2.11. Нефтеперерабатывающий завод получает четыре полуфабриката: 400 тыс. л алкилата, 250 тыс. л крекинг-бензина, 350 тыс. л бензина прямой перегонки и 100 тыс. л изопентона. В результате смешивания этих четырех компонентов в разных пропорциях образуется три сорта авиационного бен- зина: бензин А — 2 : 3 : 5 : 2, бензин В — 3 : 1 : 2 : 1, бензин С — 2 : 2 : 1 : 3. Стои- мость 1 тыс. л указанных сортов бензина характеризуется числами 120 ден. ед., 100 ден. ед., 150 ден. ед. Составить план выпуска разных сортов авиационного бензина из условия получения максимальной стоимости всей продукции. 2.2.12. Планируется нанесение удара по некоторому объекту тремя различ- ными видами оружия: оружием А — в течение 3 мин, оружием Б — в течение 5 мин, оружием В — в течение 4 мин. Возможности средств обеспечения стрельбы таковы, что при применении оружия А в течение 3 мин, оружия Б в течение 2 мин, оружия В в течение 4 мин общее количество залпов не должно превышать 15. При применении оружия А в течение 2 мин и оружия В в течение 3 мин общее коли- 71 чество залпов не должно превышать 8 ед. Кроме того, для преодоления противо- действия противника необходимо, чтобы количество залпов оружием В за 1 мин было больше, чем 5 ед. Рассчитайте темп стрельбы (количество залпов в 1 мин) всеми видами оружия, при котором общее количество залпов будет наибольшим. 2.2.13. Для участия в соревнованиях спортклуб должен выставить команду, состоящую из спортсменов I и II разрядов. Соревнования проводятся по бегу, прыжкам в высоту, прыжкам в длину. В беге должны участвовать 5 спортсме- нов, в прыжках в длину — 8 спортсменов, а в прыжках в высоту — не более 10. Количество очков, гарантируемых спортсмену каждого разряда по каждому виду, указано в следующей таблице: Разряд Бег Прыжки в высоту Прыжки в длину I 4 5 5 II 2 3 3 Распределить спортсменов в команды так, чтобы сумма очков команды была наибольшей, если известно, что в команде I разряд имеют только 10 спорт- сменов. 2.2.14. Звероферма выращивает черно-бурых лисиц и песцов. На зверо- ферме имеется 10 тыс. клеток. В одной клетке могут быть либо две лисы, либо один песец. По плану на ферме должно быть не менее 3 тыс. лис и 6 тыс. песцов. В одни сутки необходимо выдавать каждой лисе корма — 4 ед., а каждому пес- цу — 5 ед. Ферма ежедневно может иметь не более 200 тыс. ед. корма. От реа- лизации одной шкурки лисы ферма получает прибыль 10 ден. ед., а от реализа- ции одной шкурки песца — 5 ден. ед. Какое количество лисиц и песцов нужно держать на ферме, чтобы получить наибольшую прибыль? 2.2.15.Планируется вложитьденежные средства для финансирования двух выгодных проектов. Проект «Альфа» гарантирует получение прибыли в размере 65 центов на вложенный доллар через год. Проект «Бэта» гарантирует полу- чение прибыли в размере 1 доллара и 90 центов на каждый инвестированный доллар, но через два года. При финансировании проекта «Бэта» период инвес- тиций должен быть кратным двум годам. Как следует распорядиться капиталом в 120 тыс. долларов, чтобы максимизировать суммарную величину прибыли, которую можно получить через три года после начала инвестиций? 2.2.16. Предприятие выполняет сборку автомашин «Москвич» и «Жигули». Для суточного выпуска в наличии имеются следующие материалы: 20 комплек- тов заготовок металлоконструкций, необходимых для сборки автомашин в ко- личестве 5 и 3 ед. соответственно; 14 комплектов подшипников (соответственно 1 и 2 ед.); 9 двигателей с арматурой и электрооборудованием, необходимых по одному для каждой машины «Москвич»; 10 двигателей с арматурой и элек- трооборудованием, необходимых по одному для каждой машины «Жигули». 72 Стоимость «Москвича» 70 тыс. руб., а «Жигулей» 62 тыс. руб. Суточный объем выпуска «Москвича» не должен превышать суточного объема выпуска «Жигу- лей» более чем на 6 автомашин. Найти план выпуска автомашин, доставляющего предприятию максимальную выручку. 2.2.17. Ежедневно в ресторане фирменный коктейль (порция составляет 0,33 л) заказывают в среднем 600 человек. Предполагается, что в ближайшее время их количество увеличится в среднем на 50 человек. Согласно рецепту в составе коктейля должно быть: • не менее 20, но и не более 35 % спирта; • не менее 2 % сахара; • не более 5 % примесей; • не более 76 % воды; • не менее 7 и не более 12 % сока. Процентный состав напитков, из которых смешивается коктейль, и их количество, которое ресторан может ежедневно выделять на приготовление коктейля, приведены в таблице. Напиток Состав напитка, % Количество, л/сут Спирт Вода Сахар Примеси Водка 40 57 1 2 50 Вино 18 67 9 6 184 Сок 0 88 8 4 46 Построить модель, на основании которой можно определить, хватит ли ресторану имеющихся ежедневных запасов напитков для удовлетворения воз- росшего спроса на коктейль. 2.2.18. Для изготовления четырех видов продукции используют три типа сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и прибыль от реализации каждого продукта приведены в таблице. Тип сырья Норма расхода сырья на одно изделие Запасы сырья А Б В Г I 1 2 1 0 18 II 1 1 2 1 30 III 1 3 3 2 40 Цена изделия 12 7 18 10 — Определить план выпуска продукции из условия максимизации его стоимости. 2.2.19. Частный инвестор предполагает вложить 500 тыс. руб. в различные ценные бумаги. После консультаций со специалистами фондового рынка он отобрал три типа акций и два типа государственных облигаций. Часть денег предполагается положить на срочный вклад в банк (см. таблицу). Вложение Доход, % Риск Акции А 15 Высокий Акции В 12 Средний Акции С 9 Низкий Долгосрочные облигации 11 — Краткосрочные облигации 8 — Срочный вклад 6 — Имея в виду качественные соображения диверсификации портфеля и не- формализуемые личные предпочтения, инвестор выдвигает следующие требо- вания к портфелю ценных бумаг: • все 500 тыс. руб. должны быть инвестированы; • по крайней мере 100 тыс. руб. должны быть на срочном вкладе в банке; • по крайней мере 259 тыс. руб., инвестированных в акции, должны быть инвестированы в акции с низким риском; • в облигации нужно инвестировать по крайней мере столько же, сколько в акции; • не более чем 125 тыс. руб. должно быть вложено в бумаги с доходом менее 10 %. Определить портфель бумаг инвестора, удовлетворяющий всем требова- ниям и максимизирующий годовой доход. 2.2.20. Старшему менеджеру банка были представлены четыре проекта, претендующие на получение кредита в банке. Доступная наличность банка, потребности проектов и прибыль по ним приведены в таблице (тыс. руб.). Проект Период 1 Период 2 Период 3 Период 4 Прибыль А 7 8 11 10 20 Б 8 10 8 9 16 В 5 6 8 11 15 Г 8 9 8 7 18 Ресурс банка 22 25 38 10 — При оценке этих предложений следует принять во внимание потребность проектов наличности и массу доступной наличности для соответствующих периодов. Какие проекты следует финансировать и какое количество налич- ности необходимо в течение каждого периода, если цель состоит в том, чтобы максимизировать прибыль? |