Учебное пособие 700347. Учебное пособие Воронеж 2011 фгбоу впо "Воронежский государственный технический университет "

• Название: Учебное пособие Воронеж 2011 фгбоу впо "Воронежский государственный технический университет "
• Дата: 19.05.2023
• Размер: 3.16 Mb.
• Имя файла: Учебное пособие 700347.doc
• Тип: Учебное пособие; #1143494
• страница: 4 из 12

Решение

Общий вид уравнения затухающих колебаний в контуре запишем в виде:

, (1)

где ,

.

Начальную фазу и амплитудное значение заряда

определим из начальных условий. Учитывая, что при , получаем

. (2)

Взяв производную по t от выражения (1), найдём закон изменения силы тока

. (3)

Так как при иI = 0,получаем

.

Откуда и .
Наконец, из (2) находим

.

С учётом найденных параметров уравнения (3) определим силу тока в контуре в момент времени , .


Пример 10. В цепи, состоящей из последовательно соединённых резис- тора , катушки индуктив- ностью и конденсатора ёмкостью , действует синусо- идальная ЭДС. Определите частоту ЭДС, при которой в цепи наступит резонанс. Найти действующие значения силы тока I и напряжений U_R , U_L , U_C на всех элементах цепи при резонансе, если при этом действующее значение ЭДС .

Решение

Под действием переменной ЭДС в цепи установятся вынужденные колебания. При этом амплитудные значения тока и ЭДС связаны соотношениями

.

В соответствии с формулами, связывающими амплитуд- ные и действующие значения токов и напряжений ( , ), данное соотношение имеет аналогичный вид и для действующих значений:

.

Максимальному току при резонансе соответствует такое значение ,при котором выполняется условие

, откуда .

При этом сила тока . Зная силу тока , найдём действующие значения напряжения на каждом из элементов контура. В соответствии с законом Ома для каждого из участков получим:

,

,

Равенство следует из равенства при резонансе.

5. ВОЛНОВАЯ ОПТИКА
5.1. Световая волна. Когерентность и монохроматичность световых волн
Свет представляет собой электромагнитную волну, в которой происходят колебания векторов напряженности электрического и магнитного полей. Однако, как показывает опыт, различные действия света (физиологическое, фото- химическое, фотоэлектрическое и др.) вызываются колеба- ниями электрического вектора. Поэтому в дальнейшем этот вектор будем называть световым вектором, а плоскую световую волну описывать лишь одним уравнением

(5.1)

где A-амплитуда светового вектора, - частота колебаний, - волновое число.

Длины и частоты видимого света лежат в пределах и .

Скорость распространения света в вакууме есть одна из важнейших констант физики и равна . В других средах она меньше и определяется по формуле

, (5.2)

где n-показатель преломления среды.

Для всех прозрачных сред , поэтому .

При переходе света из одной среды в другую частота колебаний ν в световой волне сохраняется, но длина волны изменяется

. ( 5.3)

Средний по времени световой поток через единицу поверхности площадки, перпендикулярной к направлению распространения волны, носит название интенсивности света. Интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды световой волны

(5.4)

где n-показатель преломления среды.

Световая волна, описываемая уравнением (5.1), называется монохроматической. Однако, ни один реальный источник (исключая лазерный) не даёт строго монохромати- ческого света. Реальное излучение содержит в себе ни одну определённую частоту, а некоторый набор частот. Чем уже интервал частот ∆ν, тем более монохроматичным оно является.

Причина немонохроматичности излучения всякого источника, кроме лазерного, заключается в самом механизме испускания света. Излучение светящегося тела слагается из волн, испускаемых атомами. Излучение отдельного атома продолжается τ ≈ . За это время образуется цуг протяжён- ностью . Одновременно излучает большое количество атомов. Возбуждаемые ими цуги, налагаясь друг на друга, образуют световую волну. Фаза реальной световой волны изменяется с течением времени, поскольку излучение одной группы атомов сменяется излучением другой. Время, за которое случайные изменения фазы в световой волне достигают значение , называют временем когерентности. За это время волна становится некогерентной к самой себе. Таким образом, время когерентности гораздо меньше времени излучения одного цуга.
5.2. Интерференция света
5.2.1. Условия максимума и минимума интерференции
Явление интерференции состоит в наложении световых волн с перераспределением светового потока в пространстве, в результате чего в одних местах возникают максимумы, а в других минимумы интенсивности.

Необходимые условия интерференции:

- когерентность световых волн, т.е. равенство частот и постоянство разности фаз;

- поляризация световых волн в одной плоскости, т.е. чтобы колебания светового вектора интерферирующих волн совершались вдоль одного и того же направления.

Волны, излучаемые любыми независимыми источниками света, всегда некогерентны и не являются поляризованными. Причина заключается в механизме испускания света атомами светящегося тела. Поэтому для осуществления интерференции необходимо волну, излучаемую реальным источником, разделить на две и заставить их пройти различные оптические пути, а затем наложить друг на друга.

Оптическим путем называется произведение показа- теля преломления средына геометрическую длину пути луча в данной среде:

(5.5)

Разность оптических длин, проходимых волнами путей, называется оптической разностью хода:

. (5.6)

Пусть разделение на две когерентные волны происходит в точке О, а наложение волн в точке Р (рис.5.1). Если - фаза колебания в точке О, тогда первая волна возбудит в точке Р колебание

, (5.7)

а вторая – колебание

, (5.8) где и - фазовые скорости волн, и - амплитуды световых волн.

Амплитуда результирующего колебания

, (5.9)

где , .

Разность фаз колебаний в точке Р равна

Учитывая, что , а , получим

. (5.10)

Если разность фаз кратна , то в точке Р колебания усиливают друг друга

,

отсюда следует условие максимума интерференции

, (5.11)

где =0,1,2…

Если кратна нечетному числу , то колебания ослабляют друг друга

,

о
Рис. 2.3
тсюда получаем условие минимума интерференции

, (5.12)

где
5.2.2. Способы получения когерентных световых волн
а) Метод зеркал Френеля


Рис. 2.2
Два плоских зеркала OM и ON располагают так, что их отража- ющие поверхности образуют угол, близкий к (рис.5.2). Парал- лельно линии пересечения зеркал на расстоянии помещают прямо- линейный источник света . Зеркала отбрасывают на экран две цилиндрические когерентные волны, распространяющиеся так, как если бы они исходили из мнимых источников и . Область, в которой волны перекрываются, называется полем интерференции.
б) Бипризма Френеля


Бипризма представляет собой две призмы с малыми преломляющими углами α , сложенные своими основаниями (рис.5.3). Парал- лельно основанию на расстоянии от него располагается прямо- линейный источник света S. Падающий от него пучок света вследствие преломления в бипризме разделяется на два перекрывающихся пучка, как бы исходящих из двух мнимых источников и .

в) Метод Юнга.


Источником когерентных волн являются две узкие щели и в непрозрачном экране А (рис.5.4). Первичным источ- ником света служит ярко освещенная щель S, которая параллельна щелям и и находится от них на одина- ковом расстоянии.
5.2.3. Расчет интерференционной картины

от двух когерентных источников

Рис. 2.5
Рассмотрим две цилиндрические когерентные световые волны, исходящие из источников и , имеющих вид параллельных светящихся тонких нитей или узких щелей (рис.5.5). Наблюдаемая на экране интерференционная картина имеет вид чередующихся светлых и темных полос, параллель- ных щелям. Найдем ширину полос, предполагая, что экран параллелен плоскости, проходящей через источники и .


Рис. 2.6

y

Положение точки на экране будем характеризо- вать координатой y. За начало отсчета выберем точку О, относительно кото- рой и расположены симметрично. Пусть .

Из рис. 5.5 следует, что

, (5.13)

. (5.14)

Вычтем (5.14) из (5.13). Получим:

. (5.15)

Или

.

Откуда

. (5.16)

Четкая интерференционная картина наблюдается вблизи середины экрана. Поэтому, можно считать, что , а . Тогда

. (5.17)

В среде с показателем преломления , . Следовательно

(5.18)

Подставив (5.18) в условие максимума (5.11) и минимума интерференции (5.12), получим координаты максимумов и минимумов интенсивности

, (5.19)

. (5.20)

Расстояние между соседними максимумами или миниму- мами называют шириной интерференционной полосы

(5.21)

При постоянных и уменьшение расстояния между источниками приводит к уширению полосы, т.е. картина становится более четкой.
5.2.4. Интерференция в тонких пленках

Рис. 2.7
Пусть на тонкую прозрачную пленку с показателем преломления n и толщиной d падает плоская монохрома- тическая волна, представленная лучом 1 (рис. 5.6).


экран


n₂>n₁


Рис.5.6

Интерференция возникает в результате наложения когерентных волн, отраженных от верхней и нижней поверхностей пленки (лучи и ).

Оптическая разность хода лучей и возникает на пути от точки М до плоскости АВ, которая представляет собой фронт отраженных волн,

. (5.22)

Потеря полуволны происходит в точке М за счет отражения от более плотной среды.

Так как , а ,

то

. (5.23)

Из закона преломления света следует, что .

С учетом последнего получим

, (5.24)

или

. (5.25)

На экране будет наблюдаться максимум интенсивности отраженных лучей, если или

, (5.26)

где

Условием минимума интенсивности является

, (5.27)

_где
Интерференция в тонких пленках наблюда- ется не только в отражен- ном, но и в проходящем свете. Оптическая раз- ность хода для проходя- щего света отличается от для отраженных лучей (5.25) на .

Следовательно, максиму- мам интерференции в отраженном свете соответствуют минимумы в проходящем свете и наоборот.
5.2.5. Полосы равной толщины. Кольца Ньютона
Пусть прозрачная пленка имеет форму клина с углом при вершине . На нее падает плоская волна, ограниченная параллельными лучами 1 и 2 (рис.5.7), которые отразившись от верхней и нижней поверхностей клина будут интерфе- рировать в точках M и N. При небольшом угле оптическую разность хода интерферирующих лучей можно вычислить по формулам (5.24) и (5.25). При этом под d понимают толщину клина в месте падения светового луча, а под - угол падения н
а нижнюю поверхность клина. Если расположить экран так, чтобы он был сопряжен с поверхностью, проходящей через точки M и N, то на нем возникнет система светлых и темных полос. Каждая из полос образуется за счет отражения от мест пленки (пластинки), имеющей одинаковую толщину. Поэтому интерференционная картина носит название полос равной толщины.

Частным случаем полос равной толщины являются кольца Ньютона.

Они наблюдаются при отражении света от соприкасаю- щихся друг с другом плоскопараллельной толстой стеклянной пластины и плоско-выпуклой линзы с большим радиусом кривизны. Роль тонкой пленки, от поверхностей которой отражаются когерентные волны, играет воздушный зазор между пластинкой и линзой (рис.5.8). При падении света по нормали к пластинке , тогда при выражение (5.24) для оптической разности хода примет вид

. (5.28)

Второе слагаемое в формуле (5.24) берется со знаком плюс, так как потеря полуволны происходит при отражении от нижней поверхности клина.

Из рис. 5.8 следует, что

,

где - радиус кольца Ньютона, всем точкам которого соответствует зазор , -радиус кривизны линзы.

Ввиду малости величиной пренебрегаем по сравне- нию с . Тогда получим

. (5.29)

Выражение (5.28) для оптической разности хода примет вид

. (5.30)

В точках, для которых , возникнут максимумы, а в точках, для которых - минимумы интенсивности.

Из условия интерференции определим радиусы светлых колец Ньютона:

,

отсюда радиусы светлых колец в отраженном свете

, (5.31)

Аналогично

,

отсюда радиусы темных колец в отраженном свете

, (5.32)

При наблюдении интерференции в проходящем свете потери полудлины волны не происходит и разность хода между интерферирующими лучами

. (5.33)

При этом радиусы светлых и темных колец в проходящем свете определяются соответственно формулами

, (5.34)

, (5.35)

Правильная форма колец Ньютона легко искажается при всяких незначительных дефектах в обработке выпуклой поверхности линзы и верхней поверхности пластины. Поэтому наблюдение за формой колец Ньютона позволяет осуществлять быстрый и точный контроль качества шлифовки плоских пластин и линз.

5.2.6. Применение интерференции

a) Интерферометры


Явление интерференции света используется в ряде весьма точных измерительных приборов, получивших название интерферо- метров. На рисунке 5.9 представ- лена принципиальная схема интерферометра Майкельсона. Он состоит из двух плоских зеркал и и полупрозрач- ной пластинки . Свет от источ- ника падает на пластинку под углом и разделяется на два луча.

После отражения от зеркал и лучи и выходят из пластинки и направляются в зрительную трубу. Луч 1 проходит через пластинку только один раз, в то время как луч 2 – три раза. С целью создания идентичных условий для обоих лучей на пути луча 1 помещают пластинку , имеющую такую же толщину, что и (компенсатор).

Лучи, приходящие в зрительную трубу и , когерентны. Результат их интерференции зависит от оптической разности хода лучей. Перемещая одно из зеркал параллельно самому себе, можно наблюдать изменение интерференционной картины. Поэтому интерферометр Майкельсона можно использовать для точных измерений длин .

б) Просветление оптики

В современных оптических системах из-за большого числа отражающих поверхностей интенсивность проходящего света ослабляется, т.е. уменьшается светосила прибора.


Явление интерференции позволяет свести к миниму- му коэффициент отражения поверхностей. Для этого осуществляется «просветле- ние» оптики. На отражаю- щую поверхность (например, линзы) наносится тонкая пленка с коэффициентом преломления , меньшим, чем у материала линзы .

Падающий на поверхно- сть пленки луч 1 частично отражается от внешней и внутренней границы просветляющего слоя. Вследствие когерентности отраженных лучей и , возникает интерференция, результат которой определяется толщиной пленки и значениями коэффициентов и . Если , и подобрать так, чтобы отраженные волны и находи- лись в противофазе, то произойдет их взаимное ослабление, в результате чего уменьшится коэффициент отражения. Полное гашение волн и наблюдается при условии . Так как наибольшей чувствительности глаза соответствует зеленый свет с , то толщину пленки подбирают равной указанной длины волны. Для краев видимого спектра (красных и фиолетовых лучей) условие минимума интерференции не выполняется, эти лучи будут отражаться. Поэтому просветленная оптика имеет красно-фиолетовую окраску.
5.3. Дифракция света
5.3.1. Принцип Гюйгенса-Френеля
Дифракцией света называется совокупность явлений, связанных с огибанием световыми волнами препятствий, их проникновением в область геометрической тени и образова- нием максимумов и минимумов интенсивности.

О
гибание светом препятствия можно объяснить с помощью принципа Гюйгенса, согласно которому каждая точка фронта волны является элементар- ным источником вторичных волн (рис.5.11). Огибающая вторичных волн образует новый фронт волны. Однако принцип Гюйгенса не в состоянии решить задачу по определению интенсив- ности волн.

Френель дополнил принцип Гюйгенса представлением об интерференции вторичных волн.

Содержание принципа Гюйгенса-Френеля составляют следующие три утверждения:

1. Реальный источник света можно заменить эквивалентной системой фиктивных вторичных источников и возбуждаемых ими вторичных волн. В качестве вторичных источников можно выбрать малые участки любой замкнутой поверхности охватываю- щей источник (рис.5.12). Выбор поверхности произволен, но целесообразно её совмещать с одной из волновых поверхностей, соответствующих реальному источ- нику . При этом фазы колебаний всех вторичных источников будут одинаковы.

2. Вторичные источники, эквивалентные одному и тому же источнику , когерентны между собой. Поэтому волны, распространяющиеся от вторичных источников, интерфери- руют при наложении, приводя к образованию максимумов и минимумов интенсивности.

3. Амплитуда колебаний , возбуждаемых в точке наблюдения, пропорциональна площади соответствую- щего участка волновой поверхности и зависит от угла φ между внешней нормалью к волновой поверхности и направлением распространения света

, (5.36)

где а - величина, пропорциональная амплитуде первичной волны в точках элемента , r – расстояние до точки наблюдения, - монотонно убывает от 1 при φ=0 до 0 при φ = π/2.
5.3.2. Прямолинейное распространение света.

Метод зон Френеля
С помощью принципа Гюйгенса Френеля можно обосновать с волновой точки зрения закон прямолинейного распространения света.

Пусть свет от точечного источника распространяет- ся в точку M. Амплитуда колебаний в этой точке зависит от результата интерференции вторичных волн. Френель предложил в качестве вторичных источников рассматривать кольцевые зоны, расположенные на волновой поверхности и построенные таким образом, чтобы расстояния от краев каждой зоны до точки M отличались на , где - длина волны света (рис. 5.13).


Колебания, возбужда- емые в точке М двумя соседними зонами, противопо- ложны по фазе, поэтому будут ослаблять друг друга.


Рис. 3.3
Расчёты показывают, что площади зон при небольшом числе m примерно одинаковы, но с увеличением номера зоны возрастают расстояние rи угол между нормалью к поверхности зоны и направлением к точке М, а следовательно, согласно (5.36) уменьшается амплитуда.

Таким образом, амплитуды колебаний в точке М образуют монотонно убывающую последовательность.

(5.37)

Фазы колебаний, возбуждаемых соседними зонами, отличаются на . Поэтому амплитуда результирующего колебания может быть найдена алгебраически:

(5.38)

Это можно записать в виде:

(5.39)

Вследствие монотонного убывания можно приближенно считать, что

. (5.40)

При этом условии выражения, заключенные в скобки, будут равны нулю и формула (5.39) упрощается:

Таким образом, амплитуда в точке М равна половине амплитуды центральной зоны Френеля. Размеры центральной зоны невелики. Поэтому свет от источника распростра- няется в точку М как бы в пределах очень узкого прямолиней- ного канала, т.е. практически прямолинейного.
5.3.3. Дифракция Френеля на круглом отверстии
Свет от точечного источника S, проходя через круглое отверстие в экране , создаёт дифракционную картину на экране , расположенном параллельно (рис. 5.14).


Рис. 5.14

Вопрос о том, что будет наблюдатся в точке М, лежащей против центра отверстия, легко разрешается путём построения в открытой части фронта волны (участок ВС) зон Френеля, соответствующих точке М. Если в отверстии ВС укладывается зон Френеля, то формулу (5.39) можно переписать


Выражения, стоящее в скобках, можно положить равными нулю. В результате получится

(5.41)

где знак (+) берется для нечётных m и знак (–) – для чётных зон.

Таким образом, экран с отверстием, открывающим нечётное число зон, не только не ослабляет свет в точке M, а напротив, приводит к увеличению амплитуды почти в 2 раза, а интенсивности почти в 4 раза. Когда отверстие открывает чётное число зон, то амплитуда (интенсивность) будет равна нулю.

Дифракционная картина на круглом отверстии в области точки М представляет собой чередование светлых и тёмных концентрических колец. В центре будет либо светлое (m-нечётное), либо тёмное (m-чётное) пятно. График распределения интенсивности на экране в зависимости от расстояния rдо центра экрана изображен на рис. 5.15.


m- нечётное

m- чётное


Рис. 5.15
5.3.4. Дифракция Френеля на круглом диске
Между точечным источником света S и точкой наблюдения M поместим непрозрачный круглый диск BC, так чтобы он закрывал m первых зон Френеля (рис.5.16).


Рис. 5.16

L+ 2λ/2






Амплитуда световой волны в точке M определяется совместным действием всех открытых зон, начиная с первой открытой:

Так как выражения в скобках можно принять равными нулю, то получаем

, (5.42)

то есть в точке M всегда будет наблюдаться максимум интер- ференции. При небольшом числе закрытых зон амплитуда мало отличается от , поэтому интенсивность в точке M будет такая же как и при отсутствии преграды.

Таким образом, в центре картины при любом m (как чётном, так и нечётном) наблюдается светлое пятно. Центральный максимум окружён концентрическими с ним тёмными и светлыми кольцами, интенсивность которых убывает с расстоянием от центра (рис. 5.17).

Рис. 5.17

5.3.5. Дифракция плоской волны (дифракция Фраунгофера) на узкой щели
Щелью называется прямоугольное отверстие, имеющее незначительную ширину и практически бесконечную длину. Пусть монохроматическая световая волна падает по нормали к плоскости щели шириной b (рис. 5.18). При этом все точки фронта волны, совмещённого с плоскостью щели, будут колебаться с одинаковой фазой.


Рис. 5.18


Параллельный пучок света, пройдя через щель, дифрагирует под разными углами в правую и левую сторону от первоначального направления. Линза Л собирает парал- лельные пучки дифрагированных лучей в соответствующих точках экрана Э, расположенного в её фокальной плоскости. Недифрагирующие лучи соберутся в центре экрана в точке О и здесь всегда будет максимум освещённости. Лучи, дифраги- рующие влево под углом , соберутся в точке M. Освещенность этой точки зависит от разности хода между крайними лучами:

. (5.43)

Найдём условие максимума и минимума дифракции с помощью метода зон Френеля. Разобьём щель АВ на зоны, имеющие вид полос, параллельных ребру щели, так чтобы расстояние от двух соседних полос до точки наблюдения М различалось на . При интерференции света от каждой пары соседних зон амплитуда результирующих колебаний равна нулю, так как эти зоны вызывают колебания с одинаковыми амплитудами, но противоположными фазами. Результат интерференции определяется тем, сколько зон укладывается на ширине щели. При четном числе зон в точке наблюдения будет минимум дифракции, при нечётном – максимум. Чётному числу зон Френеля на ширине щели соответствует чётное число на оптической разности хода (рис. 5.19).


Рис. 5,19


Поэтому условия дифракционного минимума и максимума соответственно будут иметь вид:




(5.44)

(5.45)

5.4155

(2.42)



Знак (–) в этих выражениях соответствует лучам, распространяющимся под углом ( ) относительно направле- ния падающих лучей.


На рис. 5.20 представ- лен график распределения интенсивности света на экране. Основная часть световой энергии сосредо- точена в центральном максимуме. Примерно 5% энергии приходится на первые и 2% – на вторые максимумы.


Рис. 5.20


5.3.6. Дифракция Фраунгофера на решётке
Дифракционная решётка представляет собой систему, состоящую из большого числа одинаковых по ширине и параллельных друг другу щелей, лежащих в одной плоскости и разделённых непрозрачными промежутками, равными по ширине (рис. 5.21)

Рис.5.21

Расстояние между соседними щелями называется периодом дифракционной решётки:

, (5.46)

где - ширина щели, - ширина непрозрачного промежутка.

При освещении решётки монохроматическим светом дифракционная картина на экране усложняется (по сравнению с одной щелью) за счет интерференции света от различных щелей.

Пусть монохроматическая волна падает на поверхность решётки по нормали (рис. 5.21). Колебания во всех точках щелей происходят в одной фазе, так как они принадлежат одной волновой поверхности. Найдём амплитуду световой волны в точке M экрана, в которой собираются лучи от всех щелей, дифрагированные под углом .

В одном и том же направлении все щели излучают свет одинаково, то есть все амплитуды равны. Колебания от сходственных точек соседних щелей в точке M будут усиливать друг друга, если на их разности хода будет укладываться в соответствии (5.11) чётное число полуволн или целое число длин волн.

Таким образом, положение главных максимумов определяется формулой

, (5.47)

где определяет порядок максимума.

Амплитуда колебаний в этой точке экрана равна

,

где - амплитуда колебания, посылаемого одной щелью под углом .

Для направлений, удовлетворяющих условию

, (5.48)

которое является условием минимума дифракции для одной
щели, все равны нулю. Поэтому амплитуда результи- рующего колебания в соответствующей точке экрана также равна нулю. Таким образом, условие (5.48) минимума для одной щели является также условием минимума дифракции для решётки.

Кроме главных минимумов, определяемых условием (5.48), в промежутках между соседними главными максимумами имеется по (N-1) - му добавочному минимуму. Эти минимумы возникают в тех направлениях, для которых колебания от отдельных щелей взаимно погашают друг друга. Направление добавочных минимумов определятся условием

, (5.49)

где принимает все целочисленные значения ( ) кроме .

Между дополнительными минимумами располагаются слабые вторичные максимумы. Число таких максимумов, находящихся в промежутке между соседними главными максимумами, равно (N-2).

Дифракционная картина, полученная от решётки с N = 4 и , изображена на рис. 5.22.

Рис. 5.22

При пропускании через решётку белого света все максимумы, кроме центрального разложатся в спектр, фиолетовый конец которого расположен к центру дифракцион- ной картины, красный – наружу. Дифракционная решётка является спектральным прибором, предназначенным для анализа спектрального состава исследуемого излучения. Качество спектрального прибора характеризуется дисперсией и разрешающей силой.

Дисперсия характеризует ширину спектра, получаемого дифракционной решёткой. Различают угловую и линейную дисперсию. Угловая дисперсия определяет угловое расстояние между двумя спектральными линиями, отличающимися по длине волны на :

(5.50)

Линейная дисперсия определяет линейное расстояние в фокальной плоскости между этими линиями

(5.51)

где F – фокусное расстояние линзы, d – период дифракцион- ной решётки, к – порядок максимума.

Из представленного выражения следует, что дисперсия обратно пропорциональна периоду решётки и прямо пропорциональна порядку спектра.

Разрешающая сила характеризует свойства дифракцион- ной решётки разделять излучения близкие по длине волны и определяется выражением

, (5.52)

где - минимальное различие в длине волны, которое может быть обнаружено, N – число щелей дифракционной решётки.

Таким образом, разрешающая сила дифракционной решётки пропорциональна порядку спектра и числу щелей.

5.3.7. Дифракция на пространственной (объёмной) решётке
В качестве пространственных решёток могут быть использованы кристаллы, в которых атомы располагаются в правильном порядке на определённом расстоянии ( м) друг от друга по трём координатным осям. При прохождении электромагнитных волн через кристалл, атомы, расположенные в узлах кристаллической решётки, становятся источниками вторичных волн, интерференция которых и приводит к возникновению дифракционной картины.

Для получения дифракционной картины необходимо, чтобы период структуры был больше длины волны . Видимый свет этому условию не удовлетворяет. Для дифракции на пространственной решётке нужны рентгеновские лучи.

Проведем через узлы кристаллической решётки атом- ные плоскости. Пучок параллельных рентгеновских лучей падает на кристалл под углом скольжения (рис. 5.23) и отражается под таким же углом.

Для того чтобы лучи, отраженные от соседних плоскостей усиливали друг друга, разность хода должна быть кратна целому числу длин волн, т.е. . Следовательно максимум интенсивности дифрагированных лучей наблюдается под углами , которые удовлетворяют условию:

. (5.53)

Рис.5.23
Формула (5.53) была получена русским учёным Г.В. Вульфом и английским учёным У.Л. Брэггом и называется формулой Вульфа–Брэгга.

Дифракция рентгеновских лучей от кристаллов используется для исследования спектрального состава рентгеновского излучения (рентгеновская спектроскопия) и для изучения структуры кристаллов (рентгеноструктурный анализ).
5.4. Поляризация света
5.4.1. Естественный свет и различные типы поляризованного света
С вет – это поперечные электромагнитные волны, в которых колебания векторов напряженности электрического и магнитного полей происходят перпендикулярно направлению распространения волны. Вместе с тем световые волны не обнаруживают ассиметрии относительно направле- ния распространения, так как они слагаются из множества цугов волн, испускаемых отдельными атомами светящегося тела. Плоскость колебаний светового вектора для каждого цуга ориентирована случайный образом. Поэтому в результирую- щей волне колебания различных направлений представлены с равной вероятностью, такой свет называется естественным (рис. 5.24).

Свет, в котором колебания каким-либо образом упорядочены, называется поляризованным.

Если колебания светового вектора происходят только в одной плоскости, свет называется плоско - поляризованным. Плоскость в которой колеблется световой вектор называется плоскостью колебаний, а перпендикулярная к ней плоскость, в которой колеблется вектор , называется плоскостью поляризации.

Свет, в котором колебания одного направления преобла- дают над колебаниями других направлений, называется частично - поляризованным. Такой свет можно рассмат- ривать как смесь естественного и плоскополяризованного. Если пропустить частично поляризованный свет через поляризатор, то при вращении прибора вокруг направления луча, интенсивность прошедшего света будет изменяться от I_max до I_min , причём переход от одного из этих значений к другому будет совершаться при повороте на угол . За один полный оборот два раза будет достигаться максимальное и два раза минимальное значение интенсивности.

Степенью поляризации называют выражение

. (5.54)

Для плоскополяризованного света I_min=0 и P=1, для естествен- ного света и Р = 0.

Плоскополяризованный свет можно получить из естественного с помощью прибора, называемого поляриза- тором. Он пропускает колебания, параллельные плоскости поляризатора, и полностью задерживает колебания, перпендикулярные этой плоскости.

Пусть на поляризатор падает плоскополяризованнный свет амплитуды и интенсивности (рис.5.25). Сквозь прибор пройдет составляющая колебания с амплитудой

, (5.55)

где - угол между плоскостью колебаний и плоскостью поляризатора.

Следовательно интенсивность света , вышедшего из анализатора, пропорциональна квадрату амплитуды и определяется выражением

, (5.56)

которое называется законом Малюса.

Если на поляризатор падает естественный свет, то все значения являются равновероятными. Поэтому доля света, проходящего через поляризатор, будет равна среднему значению , т. е. равна 1/2.

.
5.4.2. Поляризация при отражении и преломлении
Если угол падения света на границу раздела двух диэлектриков, не равен нулю, то отраженный и преломлен- ный лучи оказываются частично поляризованными. В отраженном луче преобладают колебания, перпендикулярные к плоскости падения, а в преломленном луче – колебания, параллельные плоскости падения (рис.5.26). Степень поляризации зависит от угла падения . При угле падения, удовлетворяющем условию

, (5.56)

где - показатель преломления второй среды относительно первой, отраженный луч полностью поляризован в плоскости, перпендикулярной плоскости падения (рис. 5.27).

Степень поляризации преломленного луча при достигает наибольшего значения, а угол между отраженным и преломленным лучами становится равным . Соотношение (5.56) носит название закона Брюстера.



Рис.5.27


Если преломленный луч пропустить через систему, состоящую из 8 10, наложенных друг на друга, пластинок, называемых стопой Столетова, подбирая показатели преломле- ния пластин таким образом, чтобы каждый раз выполнялся закон Брюстера, то вышедший из такой системы свет будет практически полностью поляризованным.
5.4.3. Поляризация при двойном лучепреломлении
При прохождении света через прозрачные анизотропные кристаллические диэлектрики с некубической решеткой наблюдается явление двойного лучепреломления, которое заключается в том, что световой луч разделяется на два: обыкновенный и необыкновенный (рис. 5.28).

Обыкновенный луч удовлетворяет обычному закону преломления и лежит в одной плоскости с падающим лучом и нормалью. Для необыкновенного луча отношение не остается постоянным при изменении угла падения , и луч не лежит в одной плоскости с падающим лучом и нормалью к преломляющей поверхности.

А низотропными называ-ются кристаллы, у которых физические свойства (такие, например, как скорость света, показатель преломления и т.д.) различны в различных направлениях. Анизотропные кристаллы делятся на одноосные и двуосные.

У одноосных кристаллов имеется направление, вдоль которого обыкновенный и необыкновенный лучи распростра- няются, не разделяясь и с одинаковой скоростью. Это направление называется оптической осью кристалла.

Любая плоскость, проходящая через оптическую ось, называется главным сечением кристалла. Обычно главное сечение проводят через оптическую ось и световой луч. К одноосным кристаллам относятся исландский шпат, турмалин, кварц. Обыкновенный и необыкновенный лучи в одноосных кристаллах полностью поляризованы во взаимно перпендику- лярных направлениях (рис.5.28). Плоскость колебаний обыкновенного луча перпендикулярно главному сечению. В необыкновенном луче колебания вектора совершаются в плоскости, совпадающей с главным сечением.

В двуосных кристаллах (слюда, гипс и др.) существует два направления, вдоль которых двойного лучепреломления не наблюдается. Под главным сечением в двуосных кристаллах понимают плоскость, проходящую через обе оптические оси. Оба луча, полученные при двулучепреломле- нии, являются необыкновенными. Двойное лучепреломление объясняется анизотропией кристаллов, в частности, зависимость от направления обнаруживает диэлектрическая проницаемость , а следовательно и показатель преломления n, так как .


В одноосных кристаллах  в направлении оптической оси и в направлениях, перпендикулярных к ней, имеет различные значения: _{| |} и _. В других направлениях  имеет промежуточные значения (рис.5.29). Таким образом из анизотропии  вытекает, что электромагнитным волнам с разными направлениями колебаний вектора соответст- вуют различные значения показа- теля преломления n. Поэтому скорость световых волн в кристалле будет зависеть от направления колебаний светового вектора , то есть от угла  между направлением колебания и оптической осью кристалла.

Так как в обыкновенном луче колебания светового вектора происходят в направлении, перпендикулярном главному сечению, то при любом направлении распростране- ния обыкновенного луча (1, 2 или 3) (рис.5.30) вектор образует с оптической осью кристалла прямой угол и скорость световой волны будет одна и та же, равная . Изображая скорости обыкновенного луча в виде отрезков, отложенных по разным направлениям, получим сферическую поверхность, которая представляет собой волновую поверх- ность обыкновенных лучей в кристалле, если точечный источник в кристалле помещен в точке O.

В необыкновенном луче колебания совершаются в главном сечении. Поэтому для разных лучей направление колебаний вектора образуют с оптической осью разные углы  (рис.5.31). Для луча 1 , поэтому скорость . Для луча 2 угол и скорость . Для луча 3 скорость имеет промежуточное значение.


Рис.5.30 Рис.5.31

Таким образом, волновая поверхность необыкновенных лучей представляет собой эллипсоид вращения. В точках пресечения с оптической осью кристалла волновые поверхности обыкновенных и необыкновенных лучей (сфера и эллипсоид) соприкасаются и в зависимости от того, какая из скоростей, или больше, различают положительные и отрицательные анизотропные кристаллы. Зная вид волновых поверхностей, можно с помощью принципа Гюйгенса определить направление обыкновенного и необыкновенного лучей в кристалле.

Устройство в котором необыкновенный луч можно отделить от обыкновенного, называется призмой Николя. Она состоит из двух прямоугольных призм (рис.5.32) изготовленных из исландского шпата, и склеенных по грани BC канадским бальзамом.

Углы призм подобраны так, чтобы необыкновенный луч проходил сквозь призму практически не преломляясь, а обыкновенный луч на границе канадского бальзама испытывал полное внутренние отражение. Это возможно потому, что
показатель преломления исландского шпата для обыкновен- ного луча больше показателя преломления канадского бальзама.


О


Рис. 5.32


C


5.5. Примеры решения задач по волновой оптике
Пример 1. На зеркала Френеля, угол между которыми = 10', падает монохромати­ческий свет от узкой щели S, находящейся на расстоянии r = 0,1 м от линии их пересечения Отраженный от зеркал свет дает интерференционную кар­тину на экране Э, отстоящем на расcтоянии а=2,7м от линии их пересечения, причем расстояние между интерференционными полосами равно х = 2,9 · 10^-11 м. Определить длину волны λ света.