Учебное пособие 700347. Учебное пособие Воронеж 2011 фгбоу впо "Воронежский государственный технический университет "
 Скачать 3.16 Mb.
|
УДК 3;530.1 Краткий курс физики. Ч.2: Электромагнетизм. Колебания и волны. Оптика. Квантовая физика. Физика ядра: учеб. пособие / А.Г. Москаленко, М.Н. Гаршина, И.А. Сафонов, Т.Л. Тураева, А.В. Бугаков. Воронеж: ФГБОУ ВПО “Воронежский государст- венный технический университет”, 2011, 235. с. В учебном пособии кратко изложен теоретический материал, соответствующий учебной программе курса физики за 2011 год для заочной сокращённой формы обучения по электромагнитым явлениям, механическим и электрическим колебаниям, волновой и квантовой оптике, основам квантовой механики и физики твёрдого тела, основам физики ядра. Приведены примеры решения типовых задач с подробным описанием методов решения. По каждому из разделов предложен фонд контрольных заданий с таблицами вариантов контрольных работ. Издание соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования для всех специальностей технического профиля. Учебное пособие подготовлено в электронном виде в тестовом редакторе MS Word 2003 и содержится в файле Физика ч.2.doc. Предназначено для студентов технических специаль- ностей сокращённой заочной формы обучения. Рецензенты: кафедра общей физики ВГПУ (зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. В.А.Хоник); д-р физ.-мат. наук, проф. А.А. Щетинин © Москаленко А.Г., Гаршина М.Н., Сафонов И.А., Тураева Т.Л., Бугаков А.В. 2011 © Оформление. ФГБОУ ВПО “Воронежский государственный технический университет”, 2011 ВВЕДЕНИЕ Учебное пособие, являющееся продолжением первой части [1] краткого курса общей физики включает разделы: электромагнетизм, колебания и волны, волновая и квантовая оптика, квантовая механика, физика атома и ядра. Теоретический материал излагается в соответствии с типовой программой по курсу общей физики. Главное внима- ние при этом обращается на физическую сущность основных понятий и законов. Наряду с теоретическими основами в пособии рассматриваются практические приёмы решения типовых задач. По каждому из разделов представлен фонд контрольных заданий с таблицами вариантов контрольных работ. В конце пособия в виде приложения даются некоторые сведения из математики, а также основные справочные данные. Выписка из типовой программы дисциплины Физика за 2011 год семестр) Магнетизм Магнитостатика. Магнитное взаимодействие постоянных токов. Вектор магнитной индукции. Закон Ампера. Сила Лоренца. Движение зарядов в электрических и магнитных полях. Закон Био-Савара-Лапласа. Теорема о циркуляции (закон полного тока). Магнитное поле в веществе. Магнитное поле и магнитный дипольный момент кругового тока. Намагничение магнетиков. Напряженность магнитного поля. Магнитная проницаемость. Классификация магнетиков. Электромагнитная индукция. Феноменология электромагнитной индукции. Правило Ленца. Уравнение электромагнитной индукции. Самоиндук- ция. Индуктивность соленоида. Работа по перемещению контура с током в магнитном поле. Энергия магнитного поля. Уравнения Максвелла. Система уравнений Максвелла в интегральной форме и физический смысл входящих в нее уравнений. Колебания и волны. Оптика. Гармонические колебания. Идеальный гармонический осциллятор. Уравнение идеального осциллятора и его решение. Амплитуда, частота и фаза колебания. Энергия колебаний. Примеры колебательных движений различной физической природы. Свободные затухающие колебания осциллятора с потерями. Вынужденные колебания. Сложение колебаний (биения, фигуры Лиссажу). Анализ и синтез колебаний, понятие о спектре колебаний. Связанные колебания. Волны. Волновое движение. Плоская гармоническая волны. Длина волны, волновое число, фазовая скорость. Уравнение волны. Одномерное волновое уравнение. Упругие волны в газах, жидкостях и твердых телах. Элементы акустики. Эффект Доплера. Поляризация волн. Интерференция волн. Интерференционное поле от двух точечных источников. Опыт Юнга. Интерферометр Майкельсона. Интерференция в тонких пленках. Стоячие волны. Дифракция волн. Принцип Гюйгенса-Френеля. Дифракция Френеля на простейших преградах. Дифракция Фраунгофера. Дифракци- онная решетка как спектральный прибор. Понятие о голографическом методе получения и восстановления изображений. Поляризация волн. Форма и степень поляризации монохроматических волн. Получение и анализ линейно-поляризованного света. Линейное двулучепреломление. Прохождение света через линейные фазовые пластинки. Искусственная оптическая анизотропия. Фотоупругость. Электрооптические и магнито- оптические эффекты. Поглощение и дисперсия волн. Нелинейные процессы в оптике. Квантовая физика. Квантовые свойства электромагнитного излучения. Тепловое излучение и люминесценция. Спектральные характеристики теплового излучения. Законы Кирхгофа, Стефана-Больцмана и закон смещения Вина. Абсолютно черное тело. Формула Релея-Джинса и «ультрафиолетовая катастрофа». Гипотеза квантов. Формула Планка. Квантовое объяснение законов теплового излучения. Корпускулярно-волновой дуализм света. Планетарная модель атома. Модель атома Томсона. Опыты Резерфорда по рассеянию альфа-частиц. Ядерная модель атома. Эмпирические закономерности в атомных спектрах. Формула Бальмера. Элементы квантовой механики. Гипотеза де Бройля. Опыты Дэвиссона и Джермера. Дифракция микрочастиц. Принцип неопределенности Гейзенберга. Волновая функция, ее статистический смысл и условия, которым она должна удовлетворять. Уравнение Шредингера. Квантовая частица в одномерной потенциальной яме. Одномерный потенциальный порог и барьер. Квантово-механическое описание атомов. Стационарное уравнение Шредингера для атома водорода. Волновые функции и квантовые числа. Правила отбора для квантовых переходов. Опыт Штерна и Герлаха. Эффект Зеемана. Оптические квантовые генераторы. Спонтанное и индуцированное излучение. Инверсное заселение уровней активной среды. Основные компоненты лазера. Условие усиления и генерации света. Особенности лазерного излучения. Основные типы лазеров и их применение. Ядерная физика Основы физики атомного ядра. Состав атомного ядра. Характеристики ядра: заряд, масса, энергия связи нуклонов. Радиоактивность. Виды и законы радиоактивного излучения. Ядерные реакции. Деление ядер. Синтез ядер. Детектирование ядерных излучений. Понятие о дозиметрии и защите. Элементарные частицы. Фундаментальные взаимодействия и основные классы элементарных частиц. Частицы и античастицы. Лептоны и адроны. Кварки. Электрослабое взаимодействие. Физическая картина мира. Особенности классической и неклассической физики. Методология современных научно-исследовательских программ в области физики. Основные достижения и проблемы субъядерной физики. Попытки объединения фундаментальных взаимодействий и создания «теории всего». Современные космологические представления. Достижения наблюдательной астрономии. Теоретические космологические модели. Антропный принцип. Революционные изменения в технике и технологиях как следствие научных достижений в области физики. Физическая картина мира как философская категория. Парадигма Ньютона и эволюционная парадигма. 1. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ 1.1. Магнитная индукция движущегося заряда. Взаимодействие движущихся зарядов. Сила Лоренца Движущийся заряд создает в окружающем его пространстве помимо электрического еще и магнитное поле, существование которого обусловлено релятивистскими свой-ствами пространства и времени. Силовой характеристикой магнитного поля является вектор магнитной индукции . В результате обобщения экспериментальных данных был получен закон, определяющий индукцию поля точечного заряда, движущегося с постоянной нерелятивистской скоростью , (1.1) где - радиус-вектор, проведенный от заряда к точке наблюдения, - магнитная постоянная. Вектор перпендикулярен плоскости, в которой расположены векторы и , образуя тройку векторов правой ориентации (рис.1.1). Величина обратно пропор–циональна , максимальна в направлении перпендикулярном скорости заряда, и равна нулю в направлении, совпадающим с направлением движения заряда. Линии индукции магнитного поля являются замкнутыми окружностями, “нанизанными” на ось, определяемую вектором (рис.1.2). Силу взаимодействия двух движущихся электрических зарядов можно разделить на две составляющие – электри- ческую и магнитную. Электрическая составляющая не зависит от движения зарядов и описывается законом Кулона , (1.2) где - вектор напряженности электрического поля, создавае- мого вторым зарядом. Магнитная составляющая, зависящая от скорости электрического заряда, имеет следующий вид , (1.3) где - магнитная индукция, обусловленная зарядом . Следовательно, полная сила взаимодействия между движущимися зарядами определяется выражением . (1.4) Обобщая эту формулу, можно считать, что на электрический заряд, движущийся в электрическом и магнитномполях, действует сила . (1.5) Эту силу называют силой Лоренца. Выражение для магнитной составляющей силы Лоренца может быть использовано для установления физического смысла и единицы измерения магнитной индукции. Из формулы следует, что индукция B численно равна силе, которая действует на единичный положительный заряд, движущийся перпендикулярно вектору со скоростью, равной единице: , . Единица измерения магнитной индукции называется Тесла (Тл). 1.2. Закон Био – Савара - Лапласа и его применение к расчёту магнитного поля прямого и кругового токов Используя выражение (1.1) для индукции поля движу- щегося заряда, выведем формулу для индукции поля элемента тока. Пусть магнитное поле создается произвольным тонким проводником, по которому течет ток (рис.1.3). Выделим элемент проводника dl. Число носителей тока в данном элементе равно , (1.6) где n – концентрация носителей, а S – площадь сечения проводника. Каждый носитель тока создает магнитное поле, индук- ция которого в некоторой точке А определяется выражением , (1.7) где - средняя скорость упорядоченного движения носи- телей тока, - вектор, соединяющий с точкой А. Поле, создаваемое элементом тока dl, будет равно . (1.8) Приняв во внимание, что , получим закон Био - Савара – Лапласа , (1.9) где - угол между векторами и . Вектор перпендикулярен плоскости, проходящей через dl и точку A, а его направление определяется правилом правого винта. Результирующее поле, созданное проводником с током , в соответствии с принципом суперпозиции находится путем интегрирования по всем элементам тока. Воспользуемся формулой (1.9) для расчета индукции магнитного поля прямого и кругового токов. Пусть поле в некоторой точке А создается током , текущим по тонкому прямому проводнику длиной l (рис.1.4). Все в данной точке имеют одинаковое направление (за чертеж), поэтому сложение векторов можно заменить сложением модулей . (1.10) Учитывая, что , приведем (1.10) к виду, удобному для интегрирования . Интегрируя в пределах от до , получим . (1.11) В частности, для прямого тока бесконечной длины ( ), получим . (1.12) Вычислим теперь магнитное поле на оси кругового тока. Вектор , создаваемый элементом тока в произ- вольной точке А, лежащей на оси OX, показан на рис.1.5. Векторы от всех элементов контура будут образовывать симметричный конический веер, поэтому результирующий вектор направлен вдоль оси OX. Так как (1.13) Тогда . (1.14) Если учесть, что , то получим окончательно выражение для индукции магнитного поля B на оси кругового тока . (1.15) В центре витка (x=0) , (1.16) а для . (1.17) Введя понятие магнитного момента контура с током , (1.18) где S – площадь контура, - положительная нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока правилом правого винта, выражение (1.17) приводится к виду . (1.19) Эта формула подобна формуле для напряженности поля электрического диполя на его оси, что дает основание контурный ток называть магнитным диполем. Таким образом, контур с током в магнетизме играет ту же роль, что и электрический диполь в электростатике, а дипольный магнитный момент является аналогом электрического момента . 1.3. Теорема Гаусса и теорема о циркуляции для магнитного поля. Поле соленоида По аналогии с электростатическим полем, введем такие важнейшие характеристики магнитного поля, как магнитный поток и циркуляция вектора . Магнитный поток сквозь произвольную поверхность S представляет собой число линий магнитной индукции, пронизывающих данную поверхность, и определяется выраже- нием , (1.20) где , - единичный вектор нормали к площадке dS, - проекция вектора на направление нормали. В СИ магнитный поток измеряется в веберах (Вб): . В силу того, что линии индукции магнитного поля являют- ся замкнутыми, число линий , выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью, всегда равно числу линий, входящих в этот объем. Следовательно, магнитный поток сквозь произвольную замкнутую поверхность равен нулю . (1.21) Данное выражение представляет собой теорему Гаусса для вектора . Перейдем теперь к определению циркуляции вектора , (1.22) где - проекция вектора на направление , L - произволь- ный замкнутый контур. Сначала вычислим циркуляцию вектора по контуру, охватывающему прямолинейный проводник с током (рис 1.6а). Разобьем контур на элементы dl. В каждой точке контура вектор направлен по касательной к окружности радиуса b с центром на оси проводника и численно равен . (1.23) Произведя замену , , получим . (1.24) При обходе контура угол изменяется от 0 до , поэтому . (1.25) Если ток создается системой произвольных проводников с токами , то в соответствии с принципом суперпозиции, получим . (1.26) Таким образом, циркуляция вектора магнитной индук- ции поля в вакууме вдоль произвольного замкнутого контура равна произведению магнитной постоянной на алгебраическую сумму токов, охватываемых контуром. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением обхода контура правилом правого винта, ток противоположного направления – отрицательным. Тот факт, что циркуляция вектора не равна нулю, означает, что магнитное поле не потенциально. Ему нельзя приписать скалярный потенциал, поскольку он был бы неоднозначным. Такое поле называют вихревым или соленоидальным. Теорема о циркуляции вектора играет в магнито-статике ту же роль, что и теорема Гаусса в электростатике. При наличии определенной симметрии в распределении токов теорема о циркуляции оказывается весьма эффектив- ной для расчета индукции магнитного поля. Покажем это на примере расчета магнитного поля соленоида. Соленоид представляет собой цилиндрическую катушку, длина которой значительно больше ее диаметра. Поле внутри соленоида является однородным, а вне соленоида – неоднородным и очень слабым. Чем длиннее соленоид, тем меньше значение магнитной индукции вне соленоида. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще. Найдем магнитную индукцию внутри длинного соленоида, на единицу длины которого приходится n витков проводника, и по которому течет ток I. С этой целью рассмотрим прямоугольный замкнутый контур, одна из сторон которого параллельна оси соленоида и равняется l (рис.1.7). Циркуляцию вектора по данному контору можно предста- вить следующим образом: . . Так как поле вне соленоида практически отсутствует и вектор перпендикулярен к участкам 2-3 и 4-1, то все слагаемые, кроме первого равны нулю. Поэтому, . (1.27) С другой стороны, по теореме о циркуляции можно написать , (1.28) где n – плотность намотки (число витков на единице длины соленоида). Из формул (1.27) и (1.28) следует . (1.29) Полученная формула и определяет магнитное поле соленоида в вакууме. . 1.4. Проводник и контур с током в магнитном поле. Работа по перемещению проводника и контура с током в магнитном поле На движущиеся в проводнике носители тока со стороны магнитного поля действуют магнитные силы. Геометрическая сумма этих сил и обусловливает воздействие магнитного поля на проводник с током. Найдем эту силу. Рассмотрим элемент проводника длиной dl и площадью поперечного сечения S, находящийся в магнитном поле с ин- дукцией . Если концентрация носителей тока в проводнике n, а их средняя скорость упорядоченного движения , то сила действующая на элемент тока dl, определяется следую- щим образом: . (1.30) Учитывая, что , а , получим , (1.31) где dl – вектор, направленный по току. Направление силы можно определить по правилу векторного произведения, либо по правилу левой руки. Данная формула выражает закон Ампера, а силы, действующие на токи в магнитном поле, называют силами Ампера. Интегрируя (1.31) по линии тока, можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной проводник в целом. В частности, для однородного поля и прямолиней- ного проводника длиной l с током I, сила Ампера равна , (1.32) где α - угол между направлением тока и вектора . Выражение (1.32) позволяет также установить физический смысл и единицу измерения силовой характеристики магнитного поля. Если α = π/2 , то , (Тесла) т.е. индукция численно равна силе, действующей на единицу длины проводника, по которому течет единичный ток и который расположен перпендикулярно направлению однородного магнитного поля. Если проводник l, по которому течёт ток, не закреплён, то под действием силы Ампера он будет перемещаться в магнитном поле (рис.1.8). Вычислим работу, совершаемую силой Ампера, при перемеще- нии проводника на расстояние dx. Учитывая, что , получим , или после интегрирования . (1.33) Работа, совершаемая при перемещении проводника с током в магнитном поле, равна произведению силы тока на магнитный поток сквозь поверхность, охватываемую проводником при его движении. Найдём работу, совершаемую над замкнутым контуром. Предположим, что контур, перемещаясь, остаётся в одной плоскости (рис.1.9). Разобьём контур на два участка 1-2 и 2-1. Силы приложенные к участку 1-2, образуют с направлением перемещения острые углы, поэтому работа А1>0. где Ф0и ФК – потоки магнитной индукции, пересекаемые участком 1-2 при его движении. Работа, совершаемая над участком 2-1 отрицательная, так как силы с направлением перемещения участка образуют тупые углы Работа, совершаемая над всем контуром, равна . Разность магнитного потока в конце перемещения ФК и в начале перемещения ФН дает приращение потока ΔФ через замкнутый контур. Таким образом (1.34) Эта формула справедлива при любом движении контура в произвольном магнитном поле. Магнитное поле оказывает ориентирующее действие на замкнутый проводящий контур, по которому идет постоянный ток. Найдем выражение для момента сил, действующих в однородном магнитном поле на плоский прямоугольный контур с током (рис.1.10). Силы и , приложенные к проводникам 1-2 и 3-4, численно равны и направлены в противоположные стороны, поэтому они создают пару сил, вращательный момент которой , где S= ab - площадь контура. Учитывая, что IS = Pм , получим , (1.35) или в векторной форме . (1.36) Таким образом, магнитное поле стремится повернуть контур с током так, чтобы его магнитный момент сориентировался в направлении вектора . Контур с током в магнитном поле обладает определенным запасом потенциальной энергии, связанной с действием вращательного момента. Так, для того, чтобы угол α между векторами и увеличился на dα, нужно совершить работу против сил поля, равную . (1.37) Работа внешних сил идет на увеличение потенциальной энергии контура . (1.38) Интегрируя (1.38) по углу поворота и полагая константу интегрирования равной нулю, будем иметь . (1.39) Из полученной формулы видно, что минимум потенциаль- ной энергии достигается в положении устойчивого равновесия, когда . 1.5. Магнитное поле в веществе 1.5.1. Намагничивание вещества. Вектор намагниченности. Теорема Гаусса и теорема о циркуляции вектора для магнитного поля в веществе Любое вещество под действием внешнего магнитного поля намагничивается, т. е. создает свое собственное поле. Для объяснения намагничивания Ампер предположил, что в веще- стве циркулируют круговые микротоки. Современные представления о строении вещества позволяют связать гипоте- тические токи Ампера с движением электронов в атомах или молекулах, а следовательно, с существованием молекулярных токов, обладающих магнитными моментами . При отсутствии внешнего магнитного поля магнитные моменты отдельных атомов ориентированы хаотически, поэто- му средний суммарный магнитный момент образца равен нулю. Если же все вещество поместить во внешнее магнитное поле, то молекулярные токи будут располагаться так, что их магнитные моменты будут преимущественно ориентированы в направлении намагничивающего поля. В результате весь образец приобретает отличный от нуля суммарный магнитный момент. Для количественной характеристики степени намагничи- вания вещества вводится вектор намагниченности , определяемый выражением , (1.40) где - физически бесконечно малый объем; - магнитный момент отдельной молекулы. Суммирование проводится по всем молекулам в объеме . Намагниченность численно равна магнитному моменту единицы объема магнетика, поэтому может быть представ- лена в виде , (1.41) где n – концентрация молекул; - средний магнитный момент одной молекулы. В результате намагничивания вещества в нем появляется собственное магнитное поле , связанное с вектором соотношением . (1.42) Наложение внешнего поля и собственного поля вещества образует результирующее поле . (1.43) Линии вектора и при наличии вещества остаются непрерывными, поэтому для результирующего магнитного поля теорема Гаусса имеет тот же вид, что и для поля в вакууме, т.е. . (1.44) Циркуляция вектора суммарного магнитного поля в магнетике определяется не только макротоками проводимости, но и молекулярными токами, охватываемыми контуром . (1.45) Сумма молекулярных токов может быть выражена через вектор намагничивания . (1.46) С учетом этого, циркуляция вектора (1.45) приводится к виду . (1.47) Введя новую вспомогательную характеристику магнитного поля, называемуюнапряженностью и равную , (1.48) получим окончательно . (1.49) Таким образом, циркуляция вектора напряженности магнитного поля по произвольному контуру равна алгебраи- ческой сумме токов проводимости, охватываемых этим контуром. Уравнение (1.49) называется теоремой о циркуляции вектора или законом полного тока. Из этого уравнения следует, что единицей H является ампер, делённый на метр ([H] = А/м). В однородной изотропной среде векторы и связаны простым соотношением , (1.50) где (хи) – магнитная восприимчивость среды. Подставляя (1.50) в формулу (1.48), получим или , (1.51) где - магнитная проницаемость среды. Вектор является аналогом электрического смещения . Его введение во многих случаях значительно упрощает расчеты поля в магнетиках, поскольку напряженность поля в веществе совпадает с напряженностью внешнего поля , тогда как индукция результирующего поля равна . (1.52) Магнитная проницаемость , следовательно, показы- вает, во сколько раз магнетик усиливает внешнее поле. В зависимости от величины магнитной проницаемости и знака магнитной восприимчивости все магнетики подразделя- ются на: диамагнетики, у которых и ; парамагнетики, у которых и ; 3) ферромагнетики, у которых . 1.5.2. Магнитные моменты электрона и атома. Атом в магнитном поле Для того чтобы более детально разобраться с природой намагничивания и объяснить существование различных видов магнетиков, необходимо обратиться к внутреннему строению вещества и рассмотреть магнитные свойства атомов и особен- ности их поведения в магнитном поле. Согласно представлениям классической физики, электроны в атоме движутся по замкнутым орбитам, образуя систему орбитальных токов. Электрон, движущийся по орбите радиуса r со скоростью (рис.1.11), образует круговой ток . (1.53) Орбитальному току соответ- ствует орбитальный магнит- ный момент электрона . (1.54) Движущийся по орбите электрон обладает также моментом импульса или орбитальным механическим моментом . (1.55) Поскольку направления скорости электрона и орбиталь- ного тока, вызванного его движением, противоположны, то противоположны также и направления векторов и (рис.1.11). Отношение орбитального магнитногo и механического моментов получило название гиромагнитного отношения . (1.56) Кроме орбитальных моментов и , электрон обладает ещё собственным механическим моментом LS, получив -шим название спина, и связанного с ним собственным магнитным моментом Pms, гиромагнитное отношение которых в два раза больше орбитального . (1.57) Установлено, что для электрона и (1.58) , (1.59) где , - магнетон Бора, представляющий естественную единицу магнитного момента. Результирующий магнитный момент атома или молекулы вещества равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электрона . (1.60) Измерения магнитных моментов атомов дали для большин- ства из них значение порядка нескольких магнетонов Бора. Рассмотрим теперь влияние магнитного поля на движение электронов в атомах. Пусть орбита электрона ориентирована так, что вектор орбитального магнитного момента состав- ляет с направлением некоторый угол (рис.1.12). В данном случае на орбиту электрона будет действовать вращательный момент , (1.61) под действием которого векторы и будут совершать прецессию, т. е. конусообразное движение вокруг вектора . Угловая скорость прецессии определяется выражением . (1.62) Из данной формулы следует, что скорость прецессии не зависит ни от угла , ни от радиуса орбиты, ни от скорости электрона и, следовательно, одинакова для всех электронов, входящих в состав атома. Прецессия электронных орбит приводит к появлению дополнительного тока . (1.63) Этот ток создает индуцированный магнитный момент, направленный против внешнего поля . (1.64) Здесь - проекция площади орбиты на плоскость, перпенди- кулярную магнитному полю . Наведение магнитного момента против поля свойственно всем атомам, находящимся в магнитном поле, и называется диамагнитным эффектом. 1.5.3. Диа -, пара - и ферромагнетики К диамагнетикам относятся вещества, магнитные моменты атомов которых в отсутствие внешнего магнитного поля равны нулю. Диамагнетиками являются инертные газы, вода, стекло, мрамор, большинство органи- ческих соединений, многие металлы (висмут, цинк, золото, серебро, медь, ртуть и другие). При внесении такого вещества в магнитное поле в каждом его атоме или молекуле за счет прецессионного движения электронных орбит наводится магнитный момент (1.64), направленный противоположно вектору , что приводит к уменьшению суммарного магнитного поля. Таким образом, для диамагнетиков магнитная восприимчивость имеет отрицательное значение, а магнитная проницаемость . Величина диамагнетиков не зависит от температуры и напряженности магнитного поля. Процесс намагничивания диамагнетиков характеризуется линейной зависимостью от H (рис.1.13, кр.1). К парамагнетикам относятся вещества, атомы которых в отсутствие внешнего магнитного поля обладают магнитным моментом. Однако, намагниченность парамагнетика равна нулю, так как из - за теплового движения магнитные моменты атомов ориентированы беспорядочно. При внесении парамагнетика в магнитное поле, наряду с возникшей прецессией электронных орбит и появлением индуцированного момента происхо- дит ориентация магнитных моментов атомов по направлению поля. При этом положительный магнитный момент оказывает- ся значительно больше, чем отрицательный индуцированный момент, в результате чего парамагнетик намагничивается по полю. Таким образом, процесс намагничивания парамагне- тиков во многом аналогичен тому, как поляризуется диэлект- рик, состоящий из полярных молекул. Кривая намагничивания парамагнетика (рис 1.13, кр.2) свидетельствует о явлении насыщения, которое связано с ориентационным упорядочением магнитных моментов атомов вещества. Тепловое движение молекул препятствует этому процессу, поэтому в не очень сильных магнитных полях восприимчивость парамагнетика оказывается обратно пропор- циональной температуре , (1.65) где С – константа парамагнетика. Это соотношение носит название закона Кюри. Парамагнетиками являются щелочные и щелочно- - земельные металлы, редкоземельные элементы, алюминий, платина, кислород, окись азота и другие вещества. К ферромагнетикам относят вещества, которые обладают спонтанной (самопроизвольной) намагничено- стью. Типичные представители ферромагнетиков – это железо, кобальт, никель и их сплавы. Характерной особенностью ферромагнетиков является нелинейная зависимость J(H) и B(H). Уже при небольших значениях H намагниченность достигает насыщения Jнас (рис.1.14), тогда как зависимость B(H) продолжает расти с увеличением H по линейному закону (рис.1.15), согласно уравнению B = H + Jнас. Ввиду нелинейной зависимости B(H) магнитная проницаемость ферромагнетика также является функцией H (рис.1.16). Вначале она быстро растет с увеличением H, достигает максимума, а затем убывает, стремясь к единице в очень сильных намагничивающих полях. Второй отличительной особенностью ферромагнетиков является гистерезис намагничивания. При медленном циклировании магнитного поля получается петля гистере- зиса, внутри которой расположена основная кривая намагни- чивания (рис.1.17). Величина Bост называется остаточной индукцией, а Hк – коэрцитивной силой, представляющей собой напряженность размагничивающего поля, при котором остаточная индукция обращается в ноль. Площадь петли гистерезиса пропорциональна количеству теплоты, выделяю- щейся в единице объема ферромагнетика за цикл перемагни- чивания. В зависимости от значения коэрцитивной силы различаютмагнитомягкие и магнитотвердые ферро- магнетики. Первые отличаются малым значением Hк и малыми потерями энергии при перемагничивании. Эти материалы используются для изготовления сердечников трансформаторов. Магнитотвердые материалы, характеризую- щиеся широкой петлей гистерезиса (Hк – велико), используются для изготовления постоянных магнитов. Ответственными за магнитные свойства ферромагнетиков являются нескомпенсированные спиновые магнитные момен- ты электронов, взаимодействие которых приводит к возникно- вению областей спонтанного намагничивания, называемых доменами. Линейные размеры доменов порядка см. В пределах каждого домена ферромагнетик намагничен до насыщения и обладает определенным магнитным моментом. Направления этих моментов различны, так что в отсутствие внешнего поля суммарный момент ферромагнетика может быть равен нулю. При постепенном увеличении напряженности внешнего магнитного поля происходит рост благоприятно ориенти- рованных доменов, т. е. тех доменов, моменты которых составляют с небольшой угол. На начальной стадии намагничивания этот процесс носит плавный и обратимый характер. В дальнейшем, из-за наличия в образцах различных дефектов, мешающих плавному смещению доменных границ, наблюдаются скачкообразные изменения J (эффект Баркгаузена). Наконец, в области близкой к насыщению, наблюдается поворот магнитных доменов в направлении поля. Последние процессы являются необратимыми, что и служит причиной гистерезиса. Для каждого ферромагнетика имеется определенная температура Tс, при которой области спонтанного намагничи- вания распадаются, и вещество утрачивает ферромагнитные свойства. Эта температура называется точкой Кюри. При температуре выше точки Кюри Тс ферромагнетик становится обычным парамагнетиком, магнитная восприим- чивость которого подчиняется закону Кюри-Вейса . (1.66) При охлаждении ферромагнетика ниже точки Кюри его магнитные свойства восстанавливаются. 1.6. Примеры решения задач по электромагнетизму Пример 1. По контуру, изображённому на рисунке, идёт ток силой I= 10 А. Определить магнитную индукцию в точке О, если радиус дуги , РешениеПо принципу суперпозиции полей . Магнитную индукцию, создаваемую дугой AB, найдём путём интегрирования: . Для нахождения магнитной индукции, создаваемой проводником BC, воспользуемся формулой где С учётом данных значений Магнитная индукция ВСА, создаваемая проводником СА в точке О, равна нулю, т. к. для любого элемента Поскольку вектор направлен от наблюдателя, а вектор – к наблюдателю, то результирующая индукция равна . Пример 2. Рядом с длинным прямым проводом MN, по которому течёт ток силой I1, расположена квадратная рамка со стороной b, обтекаемая током силой I2. Рамка лежит в одной плоскости с проводником MN, так что её сторона, ближайшая к проводу, находится от него на расстоянии a. Определить магнитную силу, действующую на рамку, а также работу этой силы при удалении рамки из магнитного поля. Решение Рамка с током находится в неоднородном магнитном поле, создаваемым бесконечно длинным проводником MN: Каждая сторона рамки будет испытывать действие сил Ампера, направление которых показано на рисунке. Так как стороны АВ и DC расположены одинаково относительно провода MN, действующие на них силы численно равны и равнодействующая всех сил, приложенных к рамке, равна F=F1–F2 , где , a Окончательно Работа по удалению рамки из магнитного поля равна . Для нахождения магнитного потока через рамку в неоднородном магнитном поле разделим её на узкие полосы шириной dx, в пределах которых магнитную индукцию можно считать постоянной. Элементарный магнитный поток через полоску, находящуюся на расстоянии x от прямого тока, равен где знак минус обусловлен тем, что Bn=-B. После интегрирования по x найдём: . Окончательно Пример 3. Провод в виде тонкого полукольца радиусом R=10 см находится в однородном магнитном поле (B= 50 мТл). По проводу течёт ток I= 10 А. Найти силу F, действующую на провод если плоскость полукольца перпендикулярна линиям магнитной индукции, а подводящие провода находятся вне поля. Решение Расположим провод в плоскости чертежа перпендикулярно линиям магнитной индукции и выделим на нём малый элемент dl с током. На этот элемент тока Idl будет действовать по закону Ампера сила Направление этой силы можно определить по правилу векторного произведения или по правилу левой руки. Используя симметрию, выберем координатные оси так, как это изображено на рисунке. Силу dF представим в виде , где i и j – единичные векторы (орты); dFx и dFy – проекции вектора dF на координатные оси Ox и Oy. Силу F, действующую на весь провод, найдём интегрированием: где символ L указывает на то, что интегрирование ведётся по всей длине провода L. Из соображений симметрии первый интеграл равен нулю . Тогда . (1) Из рисунка следует, что dFy= dFcosα, где dF – модуль вектора ( ). Так как вектор перпендикулярен вектору ( ), то . Выразив длину дуги dl через радиус R и угол α, получим . Тогда . Введём под интеграл соотношения (1) и проинтегрируем в пределах от –π/2 до +π/2 (как это следует из рисунка): . Из полученного выражения видно, что сила сонаправлена с положительным направлением оси Oy (единичным вектором ). Найдём модуль силы : Убедимся в том, что правая часть этого равенства даёт единицу силы (Н): [I][B][R]=1А·1Тл·1м = 1А·1Н·1м·1м/(1А·(1м)2)=1Н. Произведём вычисления: F= 2·10·50·10-3·0,1Н = 0,1Н. Пример 4. В центре длинного соленоида, имеющего n=5103 витков на метр, помещена рамка, состоящая из N=50 витков провода площадью S= 4 см2. Рамка может вращаться вокруг оси ОО, перпендикулярной оси соленоида. При пропускании тока по рамке и соленоиду, соединённых последовательно, рамка повернулась на угол = 60. Oпреде- лить силу тока, если жёсткость пружины, удерживающей рамку в положении равновесия, равна k= 610–5Н·м / рад. РешениеПри появлении тока рамка установится в таком положе- нии, когда момент сил магнитного поля М уравновесится моментом упругих сил пружины: M=Mупр. По определению где – магнитный момент, – индукция поля соленоида. С учётом этих выражений имеем: Заметим, что вначале, когда тока нет, Согласно закону Гука где и, следовательно, Таким образом, откуда Пример 5. Электрон, влетев в однородное магнитное поле с индукцией стал двигаться по окружности радиуса Определить магнитный момент эквива- лентного кругового тока. Решение Электрон начинает двигаться по окружности, если он влетает в однородное магнитное поле перпенди- кулярно линиям магнитной индукции, т. е. В этом случае сила Лоренца сообщит электрону нормальное ускорение Согласно второму закону Ньютона . Отсюда находим скорость электрона и период его обращения Движение электрона по окружности эквивалентно круговому току . Зная , найдем магнитный момент эквивалентного тока, который выражается соотношением , где S=πR2 – площадь, ограниченная окружностью, описываемой электроном. Подставим значения и S в формулу магнитного момента, окончательно получим Убедимся в том, что правая часть равенства даст единицу измерения магнитного момента (Ам2): Произведем вычисление: Пример 6. Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией В= 10мТл по винтовой линии, радиус которой равен 1 см и шаг h= 6 см. Определить период Т обращения электрона и его скорость υ. Решение Разложим скорость электрона на две составляю- щие: параллельную вектору - и перпендикулярную ему . Скорость в магнитном поле не изменяется и обеспе- чивает перемещение электрона вдоль силовой линии. Скорость в результате действия силы Лоренца будет изменяться только по направлению, обеспечивая движение по окружно- сти. Таким образом, электрон будет участвовать одновременно в двух движениях: равномерном перемещении его со скоростью и вращательном со скоростью . Согласно второму закону Ньютона Перпендикулярная составляющая скорости будет равна . Период обращения электрона связан именно с этой составляю- щей скоростью соотношением Проверим размерность полученного выражения и произведем вычисление: Модуль скорости υ, как видно из рисунка, можно выразить через и : Параллельную составляющую скорости найдем из следующих соображений. За время, равное периоду обращения Т, электрон пройдет вдоль силовой лини расстояние h, т.е. , откуда Таким образом, модуль скорости электрона Произведем вычисления: . Пример 7. В одной плоскости с бесконечно длинным прямым проводом, по которому течёт ток I= 50А, расположена прямоугольная рамка так, что две большие стороны её длиной l= 65см параллельны проводу, а расстояние от провода до ближайшей из этих сторон равно её ширине. Каков магнитный поток Ф, пронизывающий рамку? Решение Магнитный поток Ф через поверхность площадью S определяется выражением . В нашем случае вектор магнитной индукции перпендикулярен плоскости рамки. Поэтому для всех точек рамки Bn=B. Магнитная индукция B, создаваемая бесконечно длинным прямым проводником с током, определяется формулой , где х – расстояние от провода до точки, в которой определя- ется B. Для вычисления магнит- ного потока заметим, что так как В зависит от х и элементарный поток Ф будет также зависеть от х, то dФ=В(х)dS. Разобьём площадь рамки на узкие элементарные площадки длиной l, шириной dx и площадью dS=ldx(см. рис.). В пределах этой площадки магнитную индукцию можно считать постоянной, так как все части площадки равноудалены (на расстояние x) от провода. С учётом сделанных замечаний элементарный магнитный поток можно записать в виде . Проинтегрировав полученное выражение в пределах от x1= a до x2 = 2a, найдём . Подставив пределы, получим . Убедимся в том, что правая часть полученного равенства дает единицу магнитного потока (Вб): [μ0][I][l] = 1Гн/м·1А·1м = 1 Вб. Произведя вычисления, найдём Ф = 4,5 мкВб. Пример 8. Плоский квадратный контур со стороной а = 10 см, по которому течет ток I = 100А, свободно устано- вился в однородном магнитном поле с индукцией В = 1 Тл. Определить работу А, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его противоположных сторон на угол 90˚. РешениеНа контур с током в магнитном поле действует момент силы , где – магнитный момент контура; α – угол между векторами (направлен по направлению положи- тельной нормали к контуру) и . По условию задачи в начальном положении контур свободно установился в магнитном поле, т.е. М=0, а значит векторы и сонаправлены (α=0). Если внешние силы выведут контур из положения равновесия, то возникший момент сил будет стремиться возвратить контур в исходное положение. В силу зависимости М от угля поворота α, для подсчета работы внешних сил воспользуемся методом интегрирования. Элементарная работа равна dA= Mdα = IBa2sinαdα. Взяв интеграл от этого выражения, найдем работу при повороте контура на конечный угол : . (1) Производя расчет в единицах СИ, получим А = 100·1·0,12 Дж =1 Дж. Задачу можно решить и другими способами: 1) Работа внешних сил по перемещению контура с током в магнитном поле равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока, пронизывающего контур: где Ф1 – магнитный поток, пронизывающий контур до перемещения, Ф2 – то же, после перемещения. Если , то Ф1=ВS, Ф2=0. Следовательно, А = IBS = IBa2, что совпадает с выражением (1). 2) Воспользуемся выражением для механической потенциальной энергии контура с током в магнитном поле. Тогда работа внешних сил А=ΔWп = W2- W1, или Так как рm= Ia2, cosα1=1 иcosα2=0, то A=IBa2, что также совпадает с выражением (1) |