Учебное пособие 700347. Учебное пособие Воронеж 2011 фгбоу впо "Воронежский государственный технический университет "

• Название: Учебное пособие Воронеж 2011 фгбоу впо "Воронежский государственный технический университет "
• Дата: 19.05.2023
• Размер: 3.16 Mb.
• Имя файла: Учебное пособие 700347.doc
• Тип: Учебное пособие; #1143494
• страница: 7 из 12

6.6. Примеры решения задач по квантовой оптике
Пример 1. Железный шар диаметром d = 0,1 м, нагретый до температуры Т₁=1500К, остывает на открытом воздухе. Через какое время его температура понизится до Т₂ = 1000 К? При расчете принять, что шар излучает как серое тело с коэффициентом излучения  = 0,5. Теплопроводностью воздуха пренебречь.

Решение

Количество теплоты, теряемое шаром при понижении температуры на малую величину dT, равно

dQ = cmdT, (1)

где c – удельная теплопроводность железа; m – масса шара.

Учитывая, что

m = V= 4/3 r³, (2)

где r – радиус шара;  - плотность железа, получаем

dQ= 4/3 r³cdT, (3)

С другой стороны, количество теплоты, теряемое шаром вследствие излучения, можно найти, используя закон Стефана-Больцмана:

dQ=  T⁴ S dt =  T⁴ 4  r² dt, (4)

где dt – время излучения, соответствующее понижению температуры на dT. Приравнивая правые части равенств (3) и (4), получаем

.(5)

Проинтегрировав это выражение, найдем

t= cr(1/T₂³ – 1/T₁³)/ 3. (6)

После подстановки числовых значений получим t= 500 с.

Пример 2. Вследствие изменения температуры черного тела максимум спектральной плотности энергети- ческой светимости сместился с длины волны ₁ = 2,4 мкм на ₂ = 0,8 мкм. Как и во сколько раз изменилась энергетическая светимость тела и максимальная спектральная плотность энергетической светимости?

Решение

Зная длины волн, на которые приходятся максимумы лучеиспускательной способности тела, и, используя закон смещения Вина, находим начальную и конечную температуры тела

T


₁= b/ ₁, T₂= b/ ₂ .

Энергетическая светимость черного тела определяется согласно закону Стефана-Больцмана

R^*= T⁴ ,

следовательно, R₁^*/ R₂^* = (T₂/T₁)⁴ = (₁/₂)⁴ .

Максимальное значение спектральной плотности энергетической светимости определяется по второму закону Вина

r^*_Tmax= cT⁵ .

Тогда r^*_2max/ r^*_1max = (T₂/T₁)⁵ = (₁/₂)⁵ .

Подставляя числовые значения, получаем

R₂*/R₁* = 81;

r^*_2max/ r^*_1max = 243.
Пример 3. Красная граница фотоэффекта у рубидия равна ₀ =0,8мкм. Определить максимальную скорость фото- электронов при облучении рубидия монохроматическим светом с длиной волны  = 0,4 мкм. Какую задерживающую разность потенциалов нужно приложить к фотоэлементу, чтобы прекратился ток?

Решение

Энергия фотона вычисляется по формуле  =hc/ и составляет для = 0,4 мкм  = 3,1 эВ. Эта величина значительно меньше энергии покоя электрона, поэтому максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона может быть выражена классической формулой T_max= ½ mV_max². Выразив работу выхода через красную границу фотоэффекта, на основании уравнения Эйнштейна получим

T_max= ½ m V_max² = h c/  - h c/ ₀ .

Откуда

V_max= (2 hc(₀ - )/(m₀ ))^1/2 .
Подставив числовые значения, найдем V_max= 0,7410⁸ м/с.

При U<0 внешнее поле между катодом и анодом фотоэлемента тормозит движение электронов. Задерживающая разность потенциалов Uз, при которой сила тока обращается в нуль, определится из уравнения eU_з =mV_max² /2.

Следовательно, U_з= hc(1/ - 1/₀) /e= 1,58 В.

Пример 4. Уединенный медный шарик облучают ультра- фиолетовыми излучением с длиной волны  = 165 нм. До какого максимального потенциала зарядится шарик?

Решение

Вследствие вылета электронов под действием излучения шарик заряжается положительно. Электрическое поле шарика тормозит вылетевшие электроны, однако, если их кинетическая энергия достаточно велика для преодоления электростатического притяжения, то они будут уходить практически в бесконечность. Максимальный потенциал, до которого зарядится шарик, определится из выражения

e_max= mV_max² /2.

Из уравнения Эйнштейна

mV_max² /2= h - A = hc/  - A ,

тогда

_max= (hc/  - A) /e = 3 эВ.
Пример 5. Фотон испытал рассеяние на покоившемся свободном электроне. Найти импульс налетавшего фотона, если энергия рассеянного фотона равна кинетической энергии электрона отдачи при угле  = /2 между направлениями их разлета.

Решение

Кинетическая энергия T электрона отдачи на основании закона сохранения энергии равна разности между энергией падающего фотона и энергией ’ рассеянного фотона

T=  - ’ .

По условию задачи T= ’, значит, = 2 ’, или

hc/ = 2hc/ ’ ,

откуда  / ’= 0,5 , а с учетом формулы P= h/ , P’/P =0,5. Воспользуемся законом сохранения импульса, в соответствии с которым

.

Построим векторную диаграмму.

Угол  = 90 между направлениями разлета рассеянного фотона и электрона отдачи складывается из углов  и . Учитывая, что sinα = P^’/P = 0,5 , а α = 30⁰, получим  =  -  = 60. На основании формулы Комптона = 0,5 _k , следователно получаем

P= h/ 0,5_k = 2m₀ с = 1,02 МэВ/с.
Пример 6. Определить импульс электрона отдачи при эффекте Комптона, если фотон с энергией, равной энергии покоя электрона, был рассеян под угол = 180.

Решение

Используя формулы для энергии и импульса фотона, определяем длину волны и импульс падающего фотона. Так как по условию

= hc/ =m₀c²,

то

λ=h /m₀ c , P= h / = m₀ c.

В соответствии с формулой Комптона для данного случая

’ -  = _k (1 – cos180) = 2_k ,

откуда длина волны рассеянного фотона равна

’= 2_k + = 2h/ (m₀ c) + h/ (m₀ c) = 3h /(m₀ c).

Величина его импульса

P’= h/ ’ = m₀ c/ 3.

Для нахождения импульса электрона отдачи построим векторную диаграмму импульсов.
По закону сохранения импульса , или P = -P’ + mυ

Из полученного уравнения найдем

mυ= P + P’ = 4/3m₀c.

Подставив числовые значения, получим

mυ= 3,6410^-22 кг м/с.

Пример 7. Пучок монохроматического света с длиной волны λ = 663 нм падает нормально на зеркальную плоскую поверхность. Поток излучения Ф_е= 0,6 Вт. Определить:

1) силу давления F_е, испытываемую этой поверхностью;

2) число фотонов ежесекундно падающих на поверхность.
Решение

1. 
   Сила светового давления на поверхность равна произведению светового давления p на площадь S поверхности:
   

F = p·S. (1)

Световое давление может быть найдено по формуле

р = Е₀(ρ + 1)/ c, (2)

где, Е₀ – энергетическая освещённость; с – скорость света в вакууме; ρ - коэффициент отражения.

Подставляя правую часть уравнения (2) в формулу (1), получаем

F = Е₀ S(ρ + 1)/ c. (3)

Так как Е₀ S представляет собой поток излучения Ф_е, то

F = Ф_е (ρ + 1)/ c. (4)

Проведём вычисления, учитывая, что для зеркальной поверхности ρ=1:

.

2. 
   Произведение энергии ε одного фотона на число фотонов n₁, ежесекундно падающих на поверхность, равно мощности излучения, т.е.потоку излучения: Ф_е= εn₁, а так как ε = hс/λ, то
   

Ф_е = hс n₁ / λ,

откуда

n₁= Ф_е λ / hс . (5)

Произведя вычисления, получим

n₁=2·10¹⁸ с^-1.


7. ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ И

ФИЗИКИ АТОМА
7.1. Корпускулярно-волновой дуализм.

Формула де Бройля

В явлениях интерференции, дифракции, поляризации, дисперсии и других, свет проявляет волновые свойства, т.е. это электромагнитная волна с  = с/ и  = 2.

В явлениях теплового излучения, фотоэффекте, эффекте Комптона свет представляет поток фотонов с E = h и p = E /c = h/.

Таким образом, свет может проявлять как волновые, так и корпускулярные свойства, т.е. имеет двойственную природу (корпускулярно - волновой дуализм). В 1924 г. Французский физик Луи де Бройль предположил, что двойственная природа свойственна любым движущимся частицам, а не только фотонам. Частице с энергией Е и импульсом p соответствует волна с длиной волны и частотой , определяемых выражениями

 = h/p;  = E/h. (7.1)

Эти формулы называются соотношениями де Бройля. Волны де Бройля имеют вероятностное, статистическое толкование и не имеют аналогов в классической физике. В 1927 г. гипотеза получила экспериментальное подтверждение – К. Дэвидсон и Л. Джермер наблюдали дифракцию электро- нов на пластинахNi. В дальнейшем волновые свойства были обнаружены у протонов, нейтронов и других микрочастиц. Опытами Фабриканта и других было показано, что волновые свойства характерны не только для ансамбля частиц, но и для отдельной частицы.

Таким образом, корпускулярно-волновой дуализм микрочастиц - объективная реальность.

7.2. Соотношение неопределенностей
Состояние классической частицы полностью определяется ее координатами и импульсом. Зная начальное положение частицы и действующие силы, можно записать и решить уравнение движения (2-ой закон Ньютона) и тем самым определить координаты и импульс частицы для любого момента времени.

Для микрочастицы, вследствие наличия у нее волновых свойств, ситуация другая.

Пусть частица движется вдоль оси Х. Если точно определена координата частицы, то ничего нельзя сказать о ее импульсе, т.к. в соответствии с формулой де Бройля он определяет длину соответствующей волны, но понятие длины волны в данной точке не имеет смысла. Если же точно задан импульс частицы, то получаем монохроматическую волну, имеющую бесконечную протяженность, т.е. не определена координата частицы. Таким образом, координата и импульс частицы не могут быть одновременно определены точно, всегда будет погрешность. Можно показать, что это справедливо не только для координат и соответствующего импульса, но и для энергии и времени. Степень точности задается соотношениями неопределенности (соотношениями Гейзенберга):

x^. p_xh,

y ^. p_y h, (7.2)

z ^. p_z h,

t ^. E  h.

В силу малой величины h эти соотношения существенны только в микромире и не проявляются в опытах с макроскопическими телами.

Из этих соотношений следует несколько выводов:

1. 
   микрочастица не может находиться в покое;
   
2. 
   нельзя разделять полную энергию микрочастицы на кинетическую и потенциальную;
   
3. 
   принципиально невозможно точно определить одновременно координату и импульс частицы.
   

7.3. Уравнение Шредингера
Наличие волновых свойств у микрочастиц не позволяет описывать их с помощью классического уравнения динамики, дающего возможность по заданным силам и начальным условиям найти для любого момента времени координаты частицы и её скорость (импульс). Возникла необходимость получения основного уравнения квантовой механики, которое позволило бы решить аналогичные задачи, но с учётом волновых свойств частиц. Такое уравнение было получено в 1929г. Шредингером. Оно как и уравнения Ньютона, не выводится, а постулируется как основной закон природы. Единственным доказательством его справедливости может быть лишь экспериментальная проверка выводимых из него следствий. Такую проверку уравнение Шредингера выдержало.

В нерелятивистской квантовой механике уравнение имеет вид:

, (7.3)

где , m – масса частицы, U(x,y,z,t) – потенциальная энергия частицы в силовом поле, в котором она движется, - дифференциальный оператор Лапласа, (x,y,z,t) – волновая функция частицы.

Это уравнение является волновым уравнением, решение которого позволяет найти волновую функцию (пси-функцию), однозначно описывающую состояние микро- частицы в любых условиях. Физический смысл имеет не сама волновая функция, а квадрат ее модуля, определяющий плотность вероятности пребывания частицы в данной точке пространства

(7.4)

где *- величина, комплексно сопряженная с , а dp/dV – плотность вероятности (вероятность, отнесенная к единице объема) пребывания частицы в данной точке пространства. Вероятность нахождения частицы в объеме V определяется формулой

. (7.5)

Связь волновой функции и вероятности приводит к следующим ограничениям на волновую функцию: она должна быть непрерывной, конечной, однозначной, иметь непрерыв- ные производные, удовлетворять условию нормировки

, (7.6)

(наличие частицы в какой либо точке бесконечного пространства - достоверное событие, его вероятность равна 1).

Если потенциальная энергия U(x,y,z) не зависит от времени, то в уравнении волны волновую функцию можно разделить на временную и пространственную части и представить его в виде

, (7.7)

где E – полная энергия частицы,  = E/ ħ. Подставляя эту формулу в общее уравнение, для пространственной части волновой функции получаем:

. (7.8)

Это уравнение называется стационарным уравнением Шредингера или уравнением для стационарных состояний, т.к. плотность вероятности не зависит от времени. Функции , удовлетворяющие уравнению, называются собственными функциями, а значения Е, при которых существуют решения – собственными значениями энергии.

Рассмотрим несколько примеров решения этого уравнения.