7.4. Движение свободной частицы
При движении свободной частицы (U = 0) ее полная энергия совпадает с кинетической. Для частицы, движущейся вдоль оси Х, стационарное уравнение Шредингера принимает вид
(7.9)
Решением его является функция
, (7.10)
где k =(1/ħ) = Px/ ħ, Px – импульс частицы,A =const. Тогда полную волновую функцию можно записать в виде
, (7.11)
что представляет собой плоскую монохроматическую волну, распространяющуюся вдоль оси Х. Учитывая, что k =2/, для длины волны получаем =h/P, что совпадает с формулой де Бройля. Таким образом, решение уравнения Шредингера для свободной частицы представляет собой волну де Бройля. Волны де Бройля по физическому смыслу совпадают с волновой функцией и имеют статистическую интерпретацию: их интенсивность пропорциональна плотности вероятности обнаружения частицы.
Энергия свободной частицы E = ħ2k2/(2m) может принимать любые значения, т.е. энергетический спектр её является непрерывным. Вероятность обнаружения частицы не
зависит от времени и одинакова в любой точке пространства .
7.5. Частица в потенциальной яме
Рассмотрим движение микрочастицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме длиной lс бесконечно высокими стенками (рис.7.1). Тогда для потенциальной энергии имеем:U = 0 при 0 x l и U = ∞ при x < 0 и x > l. Внутри ямы уравнение Шредингера имеет вид
,
или , (7.12)
где k2 = 2mE/ ħ2.
Решение уравнения записы- вается в виде
Ψ(x)=Asin(kx)+Bcos(kx), (7.13)
где A и B – постоянные, которые определяются из граничных условий.
Вероятность нахождения частицы вне ямы равна нулю, следовательно, волновая функция вне ямы и на ее границах (в силу непрерывности) также равна 0:
Ψ(0)=Ψ(l)=0.
Из первого условия Ψ(0)= Bполучаем B= 0, из второго
Ψ(l)= Asin(kl)= 0
следует, что kl = n или k = n / l, где n = 1, 2, 3 … (n = 0 соответствуетΨ = 0, т.е. отсутствию частицы в яме).
Тогда для собственных значений энергии получаем выражение
, (n = 1, 2, 3 …). (7.14)
Таким образом, энергия и импульс частицы в потенциальной яме могут принимать лишь определенные, дискретные значения, т.е. квантуются (рис.7.1). Минимальное значение энергии равно E = 2ħ2/(2ml2), т.е. частица в яме не может покоиться, что находится в соответствии с соотношениями неопределенности.
Интервал энергии между соседними уровнями составляет
.
Рассмотрим несколько примеров. Для молекул идеального газа (m = 10-26кг, l = 0,1м) En = 10-20nэВ, для свободных электронов в металле (m10-30кг, l=0,1м) En=10 -16nэВ, т.е. в этих случаях можно считать, что энергия меняется непрерывно. Для электрона в атоме (m10-30кг, l=10-10м) En=102nэВ. Следовательно, здесь квантование существенно и можно говорить лишь о дискретном спектре энергии.
Относительное расстояние между уровнями En/En 2/n уменьшается с увеличением квантового числа n, уровни располагаются ближе и спектр энергии становится квазинепрерывным.
В этом выражается принцип соответствия Бора: при больших квантовых числах выводы и результаты квантовой механики должны соответствовать классическим результатам.
Для определения постоянной A в волновой функции используем условие нормировки:
,
откуда .
Таким образом, собственные функции выражаются формулой
, n = 1, 2, 3… (7.15)
Графики собственных функций и соответствующие плотности вероятности приведены на рис.7.2.
Из рисунка видно, что в разных квантовых состояниях есть точки, в которых плотность вероятности обнаружения частицы равна нулю. Такое поведение частицы несовместимо с классическими представлениями о траектории движения и равновероятности всех положений частицы.
a) в)
Рис.7.2
Из формулы 7.15 и рис. 7.2 следует, что существуют лишь такие состояния частицы в потенциальной яме, при которых на ширине ямы укладывается целое число полуволн де Бройля. Здесь можно провести аналогию с механическими волнами. Для колеблющейся струны или закрытого акустического резонатора возникающие стоячие волны удовлетворяют такому же условию, все остальные волны существовать не могут, они затухают.
7.6. Прохождение микрочастицы через потенциальный барьер
Пусть микрочастица движется вдоль оси X на которой находится прямоугольной формы потенциальный барьер шириной l и высотой U (рис.7.3).
При данных условиях классическая частица либо беспрепятственно пройдёт над барьером при Е>U, либо отразится от него при E<U, и будет двигаться в противоположную сторону.
Для микрочастицы даже при энергии El, т.е. проникнет сквозь барьер. Это явление получило название туннельного эффекта.
Для описания туннельного эффекта используют понятие коэффициента прозрачности D потенциального барьера, определяемого как отношение плотности потока прошедших частиц к плотности потока падающих.
, (7.16)
где А1 и А3 амплитуды падающей и прошедшей волн де Бройля.
Для прямоугольного потенциального барьера коэффициент прозрачности определяется из выражения
, (7.17)
где D0 – постоянный множитель, который можно принять равным единице.
Коэффициент прозрачности D сильно зависит от массы частицы m, ширины барьера l и от ; чем шире барьер, тем меньше вероятность прохождения сквозь него барьера.
Туннельный эффект - это специфическое квантовое явление, не имеющее аналога в классической физике. С классической точки зрения частица, находящаяся внутри потенциального барьера при Е < U, должна иметь отрицательную кинетическую энергию. С точки зрения квантовой механики деление энергии на кинетическую и потенциальную бессмысленно, поэтому ничего парадоксального в этом нет.
Туннельный эффект объясняет многие физические явления, такие, как холодная эмиссия электронов из металлов, альфа – распад, спонтанное деление ядер и другие.
7.7. Атом водорода в квантовой механике
Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром атома водорода определяется выражением
(7.18)
где r – расстояние между электроном и ядром, e – элементарный заряд.
Графически функция U(r) изображается кривой, представляющей собой гиперболическую потенциальную яму (рис.7.4).
Рассмотрим основные результаты, вытекающие из реше- ния уравнения Шредингера для электрона в атоме водорода.
1. Энергия электрона принимает ряд дискретных значе- ний, т.е. квантуется
(7.19)
где n = 1, 2, 3… - главное квантовое число.
Самый нижний энергети- ческий уровень электрона в атоме водорода называется основным, все остальные – возбужденными (рис.7.4). При этом каждому En (кроме E1) соответствует несколько волно- вых функций, отличающихся величиной и ориентацией момента импульса электрона. Различные состояния с одинако- вой энергией называются вырожденными, а их число – кратностью вырождения.
2. Момент импульса (орбитальный механический момент) электрона и его проекция на направление внешнего магнитного поля квантуется по законам
L = ħ , (7.20)
Lz = ħ m, (7.21)
где l = 0, 1, 2,…,(n-1) – орбитальное квантовое число; m = 0, 1, 2, …, l – магнитное квантовое число.
При данном значении главного квантового числа n орбитальное квантовое число l принимает n значений, а при данном l магнитное квантовое число m принимает (2l+1) значение.
Квантование проекции вектора L, получившее назва- ние пространственного квантования, обусловлено дискрет- ностью ориентации момента импульса во внешнем поле. Графически оно представляется в виде векторных диаграмм (рис.7.5).
Рис.7.5
Дополнительно к этому, было установлено, что электрон, помимо орбитального, обладает и собственным механическим моментом импульса, получившим название – спин. Значение спина электрона равно
ħ, (7.22)
а его проекция на направление внешнего поля квантуется
Lsz = ħ ms, (7.23)
где ms = 1/2 – спиновое квантовое число.
Наряду с механическими орбитальным и спиновым моментами импульса электрон обладает магнитными орбитальным и спиновым моментами. Величина орбитального магнитного момента и его проекция на направление внешнего
магнитного поля квантуется по тем же законам, что и орбитальный механический момент
pm = gL = B, (7.24)
pm = - Bm, (7.25)
где g = e/2m – гиромагнитное отношение, B = е ħ/2m – магнетон Бора.
Собственный магнитный момент электрона ориентиру- ется по полю или против поля, при этом
pmsz = B . (7.26)
Следовательно, магнетон Бора является как бы естественной единицей магнитного момента электрона.
Состояния электрона в атоме принято обозначать следующим образом:
l = 0 s– состояние,
l = 1 p– состояние,
l = 2 d– состояние,
l = 3 f– состояние.
Значение главного квантового числа указывается перед условным обозначением числа l. Например, электрон в состоя- нии с n = 2 и l = 1 обозначается 2 p, с n = 3 и l = 0 – 3 s и т.д.
В квантовой механике нельзя говорить о траектории движения электрона в атоме. Электрон при своем движении как бы «размазан» по всему объему, образуя электронное облако, плотность которого характеризует вероятность нахождения электрона в различных точках объема атома. При этом, боровские стационарные орбиты представляют собой геометрическое место точек, в которых с наибольшей вероятностью может быть обнаружен электрон.
7.8. Спектр атома водорода
Спектр атома водорода является линейчатым. Спектральные линии объединяются в отдельные серии. Линию c наибольшей длиной волны среди других линий этой серии называют головной линией, а линию, около которой сгущаются другие линии серии, называют коротковолновой границей.
Все серии атома водорода можно описать обобщенной формулой Бальмера
(7.27)
где R = 1.09 .107 м-1 – постоянная Ридберга, m имеет постоян- ное для каждой серии значение (m = 1, 2, 3…), а n принимает ряд целых значений, начинающихся с (m +1).
В ультрафиолетовой части спектра находится серия Лаймана (m = 1), в видимой – серия Бальмера (m = 2), в инфракрасной области спектра лежат серии Пашена (m = 3), Брекета (m = 4), Пфунда (m= 5). Спектральные закономер- ности атома водорода получают простое объяснение на основе энергетической схемы (рис.7.6).
Рис.7.6
Испускание и поглощение света происходит при переходе электрона с одного энергетического уровня на другой. При этом возможны только такие переходы, при которых изменения орбитального и магнитного квантовых чисел удовлетворяют условиям
l = 1, (7.28)
m = 0, 1. (7.29)
Эти условия получили название правил отбора.
7.9. Многоэлектронные атомы. Рентгеновские спектры
Состояние каждого электрона в атоме характеризуется четырьмя квантовыми числами:
главным – n = 1, 2, 3…,
орбитальным – l = 0, 1, 2,…, n-1,
магнитным – m = 0, 1, 2,…, l,
спиновым – ms = 1/2.
Распределение электронов в многоэлектронном атоме по состояниям подчиняется принципу Паули, согласно которому в любом атоме не может быть более одного электрона с одинаковым набором четырех квантовых чисел, т.е.
z(n,l,m,ms) = 0 или 1.
Пользуясь принципом Паули можно легко найти максимальное число электронов в атоме с заданным значением квантовых чисел по формулам
z(n,l,m) = 2, (7.30)
z(n,l) = 2(2l + 1), (7.31)
z(n) = 2 n2. (7.32)
Совокупность электронов в атоме, имеющих одно и то же квантовое число n, образует электронную оболочку. В каждой оболочке электроны подразделяются по под- оболочкам, соответствующим заданному значению l. Если все состояния в электронной подоболочке заняты, то она называется замкнутой. Распределение электронов по оболочкам и подоболочкам представлено в таблице.
Номер оболочки
n
|
Число электронов в подоболочке
|
Количество электронов
в оболочке
|
s
l=0
|
p
l =1
|
d
l=2
|
f
l=3
|
g
l =4
|
|
1
|
2
|
-
|
-
|
-
|
-
|
2
|
2
|
2
|
6
|
-
|
-
|
-
|
8
|
3
|
2
|
6
|
10
|
-
|
-
|
18
|
4
|
2
|
6
|
10
|
14
|
-
|
32
|
5
|
2
|
6
|
10
|
14
|
18
|
50
|
В исследовании свойств электронных оболочек атомов большую роль сыграло рентгеновское излучение. Для получения рентгеновского излучения используют рентгенов- ские трубки, в которых ускоренные электрическим полем электроны бомбардируют антикатод (рис.7.7).
Рентгеновское излучение представляет собой электро- магнитные волны с длиной = (10-12 10-8) м.
Существует два типа рентгеновского излучения. При энергиях электронов, не превышающих некоторой критиче- ской величины, зависящей от материала антикатода, возникает излучение со сплошным спектром (рис.7.8), характеризую- щимся коротковолновой границей min. С увеличением
ускоряющего напряжения между катодом и антикатодом, интенсивность излучения возрастает, а длина min уменьшается.
Сплошной спектр обусловлен торможением быстрых электронов в материале антикатода и рентгеновское излучение называется тормозным. В соответствии с классической электродинамикой при торможении электронов должны возникать волны всех длин. Наличие коротковолновой границы спектра можно объяснить лишь на основе квантовых представлений. Очевидно, что максимальная энергия рентгеновского кванта, возникшего за счет энергии электрона, не может превышать этой энергии. Отсюда
hmax = eU
min = c/max = ch/eU, (7.33)
где U – ускоряющая разность потенциалов.
Вторым типом рентгеновского излучения является характеристическое излучение. Оно возбуждается при достаточно большой скорости электронов и имеет линейчатый спектр, характеризующий вещество антикатода рис.7.9. Атомы каждого элемента, независимо от того, в каких химических соединениях они находятся, обладают своим, вполне определенным линейчатым спектром. Как и оптические спектры, рентгеновские линейчатые спектры состоят из линий, объединенных в серии. У разных элементов наблюдаются однотипные серии линий.
Тот факт, что характеристические спектры не изменяются при химических реакциях атомов, указывает на то, что их возникновение связано с процессами, происходящими во внутренних электронных оболочках. Механизм возникнове-
ния рентгеновских серий схематически показан на рис.7.10.
При выбивании электрона, например с К-оболочки, на его место может перейти электрон с L-, M-, N-оболочки. Такие переходы приводят к возникновению К-серии. Частоты линий возрастают в ряду К К К , тогда как их интенсивность убывает. Аналогично возникают и другие серии.
Рис.7.9 Рис.7.10
При исследовании зависимости частоты ν характеристи- ческого излучения от атомного номера Zэлемента антикатода, Мозли установил следующий закон
, (7.34)
где - постоянная экранирования, с – константа, имеющая свои значения для каждой линии.
Данное соотношение можно представить в виде, напоминающем обобщенную формулу Бальмера
где R’= Rc = 3.29 .1015 с-1 – постоянная Ридберга, m = 1, 2, 3… определяет уровень, на который переходит электрон, n принимает целочисленные значения от (m +1) и определяет уровень, с которого переходит электрон. Постоянная экранирования для К - серии - = 1, для L- серии - = 7,5.
7.10. Понятие о квантовых генераторах.
С точки зрения квантовой механики основное, не возбужденное состояние атома должно сохраняться как угодно долго, если нет внешних причин, вызывающих изменение энергии атома. Под действием внешнего излучения атом осуществляет переход в возбужденное состояние, что приводит к поглощению излучения (рис. 7.11,а). Среднее время жизни атома в возбужденном состоянии по экспериментальным оценкам составляет
10-8с. Из этого состояния он сам собой переходит в основное состояние, излучая свет с частотой (рис.7.11,6). Такое излучение, называется самопроизвольным или спонтанным. Поскольку спонтанные переходы атомов взаимно не связаны, то такое излучение является некогерентным. Помимо процес- сов поглощения и спонтанного излучения существует еще один процесс, получивший название индуцированного излучения.
Р
ис.7.11.
Е сли на атом, находящийся в возбужденном состоянии Е2, действует внешнее излучение с частотой ω, удовлетворя- ющее условию =E2-E1, то существует вероятность перехода атома в основное состояние, с излучением фотона той же энергии (рис.7.11,в). Важно отметить, что вторичный фотон, испущенный атомом, тождественен первичному. Он имеет такую же частоту, фазу, поляризацию и направление распространения, как и первичный. Таким образом, индуциро- ванное излучение строго когерентно с вынуждающим излуче- нием. Фотоны, появившиеся в результате индуцированного излучения, будут усиливать свет, проходящий через среду.
При прохождении излучения через вещество акты вынужденного испускания фотонов будут преобладать над актами поглощения, если число атомов в возбуждённом состоянии больше, чем в основном ( ). Такие состояния называют инверсными (обращёнными), а среды в которых за счёт вынужденных переходов происходит усиление света,- активными. Перевод среды в инверсное состояние называют накачкой. Способы достижения и поддержания инверсии в активной среде зависят от её структуры. В твёрдых телах и жидкостях используется главным образом оптическая накачка, в газовых средах используется более эффективные методы: электрический разряд, газодинамическое истечение, химиче- ские реакции и другие, обеспечивающие высокие мощности. Возбуждение полупроводниковых сред может производится постоянным током, пучком электронов, оптической накачкой.
Первый квантовый генератор был разработан в 1954 г. советскими физиками А.М. Прохоровым, Н.Г. Басовым и американским физиком Таунсом.
В настоящее время широкое распространение получили газовые и полупроводниковые лазеры, лазеры на сложных органических соединениях, ионные лазеры и др.
Основными компонентами любого лазера являются:
1) активная среда, в которой осуществляются вынужден- ные переходы;
2) система накачки, обеспечивающая инверсную населен- ность;
3) оптический резонатор, формирующий лазерный луч.
В простейшем случае оптический резонатор состоит из двух вогнутых параллельных зеркал (1,2), расположенных на общей оптической оси с активной средой (рис.7.12). Одно из зеркал (1) полупрозрачно. Любой фотон возникший в активной среде за счёт спонтанного испускания атомов среды является ”затравкой” процесса генерации света. Фотон, который движется параллельно оси резонатора, рождает лавину фотонов, летящих в том же направлении (рис.7.12а). Часть этой лавины частично пройдёт через полупрозрачное зеркало, а часть отразится и будет нарастать в активной среде (рис.7.12.б). Те из фотонов, которые движутся вдоль оси, испытывают многократное отражение, в результате чего поток фотонов, параллельный оси резонатора, будет лавинообразно нарастать. Когда лазерный луч становится достаточно интенсивным, часть его выходит через полупрозрачное зеркало (рис.7.12.в).
2 3 1
а)
б)
в)
Рис.7.12.
Таким образом, с помощью зеркал в оптическом квантовом генераторе реализуется положительная обратная связь, необходимая для того, чтобы был обеспечен режим генерации, и формируется лазерное излучение с высокими когерентными свойствами.
Основные свойства лазерного излучения:
- временная и пространственная когерентность (lк
10-5 м);
- строгая монохроматичность (Δλ<10-11 м);
- большая мощность излучения (
1010 Вт/м);
- узость пучка;
Основные области применения лазеров:
- обработка, резание и микросварка твердых металлов;
- получение и исследование высокотемпературной плазмы,
- управление термоядерным синтезом;
- измерительная техника;
- создание систем голографической памяти с высокой степенью считывания и большой емкостью;
- микрохирургия.
7.11. Примеры решения задач по квантовой механике и физике атома
Пример 1. Поток моноэнергетических электронов падает нормально на диафрагму с узкой щелью шириной b= 2мкм. Найти скорость электронов, если на экране, отстоящем от щели на L= 50 см, ширина центрального дифракционного максимума x = 0,36 мм.
Решение
Согласно гипотезе де Бройля длина волны , соответствующая частице массой m, движущейся со скоростью V, выражается формулой
= h/ mV . (1)
При дифракции на узкой щели ширина центрального дифракционного максимума равна расстоянию между дифракционными минимума- ми первого порядка. Дифракциионные минимумы при дифракции на одной щели наблюдаются при условии
bsin= k , (2)
где k = 1,2,3… - порядковый номер минимумов.
Для минимумов первого порядка (k=1), угол заведомо мал, поэтому sin = , и, следовательно, формула (2) примет вид
b = , (3)
ширина центрального максимума
x= 2Ltg = 2L . (4)
Выражая из (4) и подставляя его в (3), получаем
= bx/ 2L. (5)
Искомую скорость электронов найдем из соотношения (1) с учетом формулы (5):
V= h/m= 2hL/ mbx. (6)
После вычисления по формуле (6) получим V= 106 м/с.
Пример 2. Определить длину волны де Бройля λ электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов 700 кВ.
Решение
Связь длины волны де Бройля с импульсом
,
где h= 6,6310-34Джс – постоянная Планка, причём импульс вычисляется различным образом для релятивистского ( ) и нерелятивистского ( ) случаев, где m, T, E0 – соответственно масса, кинетическая энергия, энергия покоя частицы.
Кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряю- щую разность потенциалов U,
Т= e U = 0,7эВ,
а энергия покоя электрона Е0 = mc2 = 0,5МэВ, т.е. в данном случае имеем дело с релятивистской частицей.
Тогда искомая длина волны де Бройля
где m= 9,1110-31кг; c =3108м/c; е =1,610-19Кл.
Вичисляя, получаем λ= 1,13пм.
Пример 3. Используя соотношения неопределенностей xpxh/ 2 , найти выражение, позволяющее оценить минимальную энергию E электрона, находящегося в одномерном потенциальном ящике шириной l.
Решение
Из данного соотношения следует, что, чем точнее определяется положение частицы, тем более неопределенным становится импульс, а, следовательно, и энергия частицы. Неопределенность координаты электрона x= l/ 2. Тогда соотношение неопределенностей можно записать в виде
l /2 ph/ 2,
откуда
p h/ l.
Физически разумная неопределенность импульса p, во всяком случае, не должна превышать значения самого импульса, т.е. pp.
Энергия E электрона, находящегося в одномерном потенциальном ящике, есть его кинетическая энергия T, величину которой можно связать с импульсом соотношением
T= p2 / 2m .
Заменив pна p, получим
Emin= (h2/22)/(ml2).
Пример 4. Электрон находится в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной L. Вычислить вероятность обнаружения электрона на первом энергетическом уровне в интервале L /4, равноудаленном от стенок ямы.
Решение
Вероятность P обнаружить частицу в интервале x1<x<x2 определяется равенством
(1)
где (x) – нормированная собственная волновая функция, отвечающая данному состоянию.
Нормированная собственная волновая функция, описывающая состояние электрона в потенциальной яме, имеет вид
n(x)= (2/L)½sin(nx/L).
Невозбужденному состоянию (n = 1) отвечает волновая функция
1(x)= (2/L)½sin(x/L). (2)
Подставив 1(x) в подынтегральное выражение формулы (1) и вынося постоянные за знак интеграла, получим
(3) Согласно условию задачи x1=3L/8 и x2=5L/8. Произведя замену sin2(x/L) = 1 /2 [1 – cos(2x/L)] , получим
Пример 5. Электрон в возбужденном атоме водорода находится в 3d – состоянии. Определить изменение механи- ческого и магнитного моментов, обусловленных орбитальным движением электрона, при переходе атома в основное состояние.
Решение
Изменение механического L и магнитного Pm моментов находится как разность моментов в конечном (основном) и начальном (возбужденном) состояниях, т.е.
L = L2 – L1,
Pm = Pm2 - Pm1 .
Механические и магнитные моменты орбитального движения электрона зависят только от орбитального квантово- го числа l:
L = (h /2) ( l (l + 1))½ , Pm = Б ( l (l + 1))½ .
Учитывая, что в основном состоянии l=0, L2= 0, Pm= 0, а в возбужденном состоянии (3d) l=2, найдем изменение орбитального механического и магнитного моментов:
.
Знак минус показывает, что в данном случае происходит уменьшение орбитальных моментов.
Подставив значения, получим
L= -2,5710-34 Дж с;
Pm = -2,2710-23 Дж/Тл.
Пример 6. Определить скорость электронов, падающих на антикатод рентгеновской трубки, если минимальная длина волны min в сплошном спектре рентгеновского излучения равна 1 нм.
Решение
В рентгеновской трубке электрон приобретает кинетиче- скую энергию T=mV2/2, которая связана с ускоряющей разностью потенциалов U соотношением
T= eU, (1)
где e – заряд электрона.
Следовательно, скорость электронов, падающих на анти- катод рентгеновской трубки, зависит от напряжения, приложенного к рентгеновской трубке:
V= (2eU/m)½. (2)
Тормозное рентгеновское излучение возникает за счет энергии, теряемой электроном при торможении. В соответ-ствии с законом сохранения энергии энергия фотона не может превысить кинетическую энергию электрона. Максимальная энергия фотона определяется равенством
hmax= hc /min= T = eU. (3)
Из последнего выражения находим U и, подставляя в (2), получаем:
V= (2 hc/ (mmin))½.
Произведя вычисления, найдем:
V 21 Мм/с .
Пример 7. Вычислить длину волны и энергию фотона, принадлежащего K -линии в спектре характеристи- ческого рентгеновского излучения платины.
Решение
K- линия в спектре характеристического рентгенов- ского излучения платины возникает при переходе электрона с L-слоя на K-слой. Длина волны этой линии определяется по закону Мозли:
1/= R(z- σ)2((1/m2) – (1/n2)). (1)
Учитывая, что m = 1, n = 2, = 1 (для K–серии), z= 78 (для платины), а постоянная Ридберга R = 1,1∙10-7 1/м, находим:
= 20,5∙10 -12 м
Зная длину волны, определим энергию фотона по формуле
= hc /. (2)
Подстановка числовых значений дает = 60,5 кэВ.
8. ОСНОВЫ ФИЗИКИ ЯДРА
8.1. Основные свойства и строение ядра
Ядро - центральная часть атома, в которой сосредото- чена практически вся масса атома и его положительный электрический заряд. Все ядра состоят из протонов (р) и нейтронов (n), которые считаются двумя зарядовыми состояниями одной частицы – нуклона. Протон имеет положи- тельный заряд, равный по величине заряду электрона. Нейтрон не имеет заряда.
Ядро химического элемента обозначают , где X– символ химического элемента, Z – порядковый номер в таблице Менделеева, равный числу протонов в ядре, А - массовое число, равное числу нуклонов (протонов и нейтронов) в ядре, следовательно, число нейтронов в ядре N = A - Z, заряд ядра . Ядра с одинаковыми Z, но различным А называются изотопами (например , - изотопы водорода).
Размер ядра характеризуется радиусом, равным
, (8.1)
где .
Плотность ядерного вещества постоянна для всех ядер и составляет ≈ .
Между нуклонами в ядре существует сильное ядерное взаимодействие, обеспечивающее устойчивость ядер несмотря на отталкивание одноименно заряженных протонов. Ядерные силы являются короткодействующими и проявляются лишь на расстояниях между нуклонами порядка . Они обнаруживают зарядовую независимость: притяжение между двумя нуклонами одинаково независимо от их зарядового состояния. Ядерные силы обладают свойством насыщения, которое проявляется в том, что нуклон в ядре взаимодействует лишь c ограниченным числом ближайших к нему соседей. Наконец, ядерные силы не являются центральными и зависят от ориентации взаимодействующих нуклонов.
Одной из важнейших величин, характеризующих прочность ядра, является энергия связи ядра. Она определя- ется работой, которую нужно совершить, чтобы расщепить ядро на составляющие его нуклоны. Мерой энергии связи ядра служит дефект массы, характеризующий уменьшение суммар- ной массы при образовании ядра из составляющих его нуклонов
,
или
(8.2)
где и - массы протона и нейтрона, - масса водорода, - масса ядра, -масса атома.
Энергия связи, приходящаяся на один нуклон
, (8.3 )
называется удельной энергией связи. Она зависит от массово- го числа элемента. Для легких ядер удельная энергия связи круто возрастает до 6-7 МэВ, затем более медленно возраста- ет до максимальной величины 8.7 МэВ у элементов с А=50-60, а потом постепенно уменьшается у тяжёлых элемен- тов. Таким образом, наиболее устойчивыми с энергетической точки зрения являются ядра средней части таблицы Менделеева. Это означает, что энергетически выгодно как деление тяжёлых ядер на более лёгкие, так и слияние лёгких ядер в более тяжёлые.
8.2. Радиоактивность. Закон радиоактивного распада
Под радиоактивностью понимается способность некото- рых изотопов одного химического элемента самопроизвольно превращаться в изотопы другого элемента с испусканием различных видов излучений. Атомное ядро, испытывающее радиоактивный распад, называется материнским, возникаю- щее ядро – дочерним. К основным типам радиоактивности относят - и - распад.
Альфа-распад является свойством тяжёлых ядер (А>200), внутри которых происходит обособление двух протонов и двух нейтронов (α - частицы) и их вылет из ядра. Правило смещения, в основе которого лежат законы сохране- ния заряда и массового числа, позволяет установить, какое ядро возникает при распаде данного материнского ядра
, ( 8.4)
где - ядро гелия (α-частица).
Энергетическая схема α - распада представлена на рисунке.
Видно, что α- частицы имеют определённые значения энергии. Это связано с тем, что ядра обладают дискретными энергетическими уровнями и возникающее дочернее ядро, как правило, оказывается в различных возбуждённых состояниях (ΔΕ – превышение энергии дочернего ядра и α частицы над энергией покоя дочернего ядра). Его переход в основное состояние сопровождается γ - излучением.
К β - распаду относятся электронный ( ) и позитрон- ный ( ) распады, а также электронный захват (К - захват), которые подчиняются следующим правилам смещения:
- распад
- распад
К – захват
где - электрон, - позитрон (античастица электрона).
Данные распады происходят путём самопроизвольного превращения одного вида нуклона в ядре в другой (нейтрона в протон или протона в нейтрон). Эти превращения соверша- ются по схемам
где и -электронные нейтрино и антинейтрино, имеющие нулевой заряд и весьма малую массу.
В случае К – захвата превращение протона в нейтрон происходит по схеме
и заключается в том, что протон как бы “захватывает” один из электронов на ближайшей к ядру К - оболочке атома. При этом, электронный захват сопровождается характеристическим рентгеновским излучением, обусловленным переходом электронов атома с вышестоящих оболочек на К- оболочку.
Энергетический спектр - частиц является непрерыв- ным что связано с хаотическим распределением уносимой энергии между -частицей и нейтрино. - распад также сопровождается -излучением, испускаемым дочерним ядром при его переходе в основное состояние.
Самопроизвольный распад атомных ядер подчиняется закону радиоактивного распада
, (8.5)
где - начальное число ядер, N - число не распавшихся ядер в момент времени t, - постоянная радиоактивного распада.
Промежуток времени, за который распадается половина первоначального количества ядер, называется периодом полураспада. Согласно (8.5)
. (8.6)
Среднее время жизни радиоактивного изотопа является величиной, обратной постоянной радиоактивного распада, т.е.
. (8.7)
Интенсивность радиоактивного распада характеризует активность распада
(8.8)
Данная величина представляет собой число распадов радиоактивного вещества за единицу времени. Активность, отнесённая к единице массы вещества, называется удельной активностью.
Единица активности в СИ - беккерель (Бк) - активность, при которой за 1с происходит один акт распада. Внесистемная единица активности–Кюри (Ки):
1 Ки = Бк.
8.3. Ядерные реакции
Ядерной реакцией называется процесс взаимодействия ядра с другим ядром или элементарной частицей, приводящий к преобразованию ядер. Символическая запись ядерной реакции
Х(a, b)Y, (8.9)
где X и Y - исходное и конечное ядра, а и b- исходная и конечная частицы в реакции.
В любой ядерной реакции выполняются законы сохранения электрического заряда и массового числа. При протекании ядерной реакции энергия либо выделяется, либо поглощается. Тепловой эффект у ядерной реакции определя-ется выражением
, (8.10)
где - сумма масс частиц до реакции, - сумма масс частиц после реакции.
Если > , то Q>0, если < , то Q<0.
Первая ядерная реакция была осуществлена с помощью - частиц Резерфордом. Уравнение этой реакции
Наибольшее значение имеют реакции, вызываемые нейтронами, поскольку они не испытывают кулоновского отталкивания и могут проникать в ядра, обладая малой энергией. Взаимодействие нейтронов с ядрами состоит, главным образом, либо в упругом рассеянии нейтронов на ядрах, либо захвате нейтронов ядрами. Быстрые нейтроны {Е=(0,1- 50) МэВ} в веществах, называемых замедлителями (графит, тяжёлая вода), рассеиваются на ядрах, в результате нейтроны становятся тепловыми (Е ≈ 0,025 эВ). Для медлен- ных нейтронов характерно упругое рассеяние на ядрах (реакция типа (n,n)) и радиационный захват (Cd(n,γ)Cd).Часто в результате реакции радиационного захвата образуются искусственно - радиоактивные изотопы, например
.
Важное значение имеет реакция деления тяжёлых ядер, сопровождающаяся выделением огромной энергии. Так, под действием тепловых нейтронов ядро изотопа урана делится на два осколка с выделением энергии ≈200 МэВ. При этом реакция деления сопровождается испусканием двух-трёх нейтронов, называемых мгновенными. Радиоактивные осколки деления при своём распаде также выделяют нейтроны, которые называются запаздывающими.
Возникновение при реакции деления нескольких нейтронов делает возможным осуществление цепной ядерной реакции. Условием возникновения цепной ядерной реакции является наличие размножающихся нейтронов. Развитие ядерной энергетики связно с осуществлением управляемых цепных реакций, которые реализуются на атомных электро- станциях.
Вторым путём выделения внутриядерной энергии, помимо деления тяжёлых ядер, являются реакции синтеза лёгких ядер. Эти реакции могут проходить лишь при температурах выше К, поэтому они называются термо- ядерными реакциями. Примером такой реакции является синтез дейтерия и трития
.
При данной реакции выделяется энергия 17,6 МэВ, что примерно в четыре раза больше, чем в реакции деления урана.
Термоядерные реакции являются главным источником энергии Солнца и звёзд. Особый интерес представляет осуществление управляемой термоядерной реакции, которая откроет доступ к неисчерпаемым запасам ядерной энергии. Решение этой проблемы дело недалёкого будущего.
8.4. Примеры решения задач по ядерной физике
Пример 1. Определить начальную активность радио- активного препарата магния массой m= 0.2 мкг, а также его активность А через время t = 6 час. Период полураспада магния Т = 600с.
|
Скачать 3.16 Mb.