В. Г. Тимирясова (иэуп) Д. В. Шевченко, З. Ш. Аглямова, Е. А. Храмкова Методические указания
 Скачать 1.62 Mb.
|
|
m FV 0,5 647 677 499,18 1 657 336 942,91 2 662 411 899,08 3 664 142 064,84 4 665 014 565,16 12 666 774 626,09 36,5 667 369 882,37 73 667 516 011,07 365 667 633 013,94 и далее в MS Excel по этим данным построим график 37 В таком виде график не очень нагляден. Гораздо информативнее выглядит график с логарифмической шкалой для числа наращений: Как видно из графика, существенные изменения наращенной суммы происходят примерно до ежемесячных начислений ( 12 m = ). При более частых начислениях наращенная сумма возрастает уже слабо. Для примера использования формул расчетов эффективных процентных ставок, рассчитаем случаи 1) – 5) по общей формуле, а случаи 6) – 10) – по частным. 1) 1 20 1 300 000 000 647 677 499,18 0,03923 3,923% f j = − = 2) 1 20 1 300 000 000 657 336 942,91 0,04 4% f j = − = = 3) 1 20 1 300 000 000 662 411 899,08 0,0404 4,04% f j = − = 4) 1 20 1 300 000 000 664 142 064,84 0,04054 4,054% f j = − = 5) 1 20 1 300 000 000 665 014 565,16 0,04060 4,06% f j = = − 6) 12 0,04074 4,07 0,04 1 1 12 4% f j = + − = 7) 36,5 0,04079 4,0 0,04 1 1 36, 79% 5 f j = = + − 8) 73 0,04080 4,0 0,04 7 8 3 % 1 1 f j = = + − 38 9) 365 0,040808 4,0 0,04 1 81% 1 365 f j = + − 10) 0,04 0,040811 4,081 1 % f j e = − Сравнение долгосрочных финансовых операций Сравнение долгосрочных финансовых операций проводится на основе сравнения их эффективных процентных ставок, определенных для метода сложных процентов. Так как часто финансовые операции не подчиняются идеальным схемам, то лучше использовать общую формулу для определения эффективной годовой процентной ставки 1 где в данном случае PV – вложенные коммерсантом средства FV – сумма, полученная коммерсантов в конце операции n – срок операции в годах. Пример НАМЕК пример похож на задание 7) Коммерсант рассматривает 4 варианта деятельности 1) вложить 300 000 рублей в покупку недвижимости, которую можно будет продать через 3 года заруб) организовать совместное предприятие, вложив в него 5 000 000 руб. вместе с партнером, доля которого 10 000 000 руб, что позволит получить через 4 года прибыль 24 000 000 руб, которая будет разделена пропорционально первоначальному вкладу 3) закупить товар наруби продать его в течение года заруб, но заплатив 15% налог с продажи и 200 000 руб. продавцу) вложить 5 000 000 руб. в банк на 2 года под 11% годовых с ежеквартальным начислением процентов. Определить, какая схема является наиболее выгодной для коммерсанта с экономической точки зрения. Решение Ответ на поставленный вопрос будем давать на основе сравнения эффективных процентных ставок. Так как операции длительные (от года и более, то будем использовать формулы для сложного процента. Так как из возможных схем только одна является стандартной, то лучше использовать общую формулу для определения эффективной годовой процентной ставки 1 1 n f FV j PV = − 39 где в данном случае PV – вложенные коммерсантом средства FV – сумма, полученная коммерсантов в конце операции n – срок операции в годах. Применим эту формулу для всех возможных вариантов деятельности 1) В этом варианте 5 300 000 PV = ; 7 500 000 FV = ; 3 n = . Тогда 1 3 1 7 500 000 1 0,1227 12, 27% 5 300 000 f j = − = 2) В этом варианте 5 000 000 PV = ; 4 n = . Для определения FV надо найти часть прибыли, которую получит коммерсант. По условию, его доля равна ( ) 5 000 000 5 000 000 10 000 000 1 3 + = . Значит, он получит треть отруб. то есть 8 000 000 руб. То есть 7 000 000 FV = . Тогда 1 4 2 8 000 000 1 0,1247 12, 47% 5 000 000 f j = − = 3) В этом варианте 4 000 000 PV = ; 1 n = . Для определения FV надо найти прибыль коммерсанта. После выплаты 15% налога с продажи у коммерсанта останется 5 500 000 5 500 000 0,15 4 675 000 − = руб. После выплаты зарплаты продавцу у него остается прибыль 4 675 000 200 000 4 475 000 − = руб. Тогда 1 1 3 4 475 000 1 0,1188 11,88% 4 000 000 f j = − = 4) В этом варианте 5 000 000 PV = ; 2 n = . Определим, какую сумму получит коммерсант из банка через 2 года по формуле сложного процента с начислением 4 раза в год (ежеквартально 4 2 0,11 5 000 000 1 6 211 902,76 4 FV = +Тогда 1 2 4 6 211 902,76 1 0,1146 11, 46% 5 000 000 f j = − Чем выше годовая эффективная ставка, тем экономически выгоднее вариант вложения средств для коммерсанта. Наибольшая годовая эффективная ставка реализуется во втором варианте. Именно его и нужно выбрать коммерсанту. Комбинированные схемы начисления процентов Комбинированные схемы наращения используются, как правило, в случае изменения условий операции. 40 Например, вклад был сделан на 4 года с ежегодным начислением процентов, но через 2 года и 4 месяца был прерван вкладчиком. Как тогда рассчитывать неполный период в 4 месяца Банки рассчитывают такой период по- особенному, часто – поставке вкладов до востребования. Другой пример заемщик решает погасить взятый налет кредит через 4 года 3 месяца и 10 дней. Как должен быть рассчитан неполный период (10 дней, если начисления ежемесячные Часто этот период рассчитывается по правилу простого процента. Обычно расчет неполных интервалов осуществляется не в пользу того, чьи действия приводят к изменению условий договора. В первом примере вкладчик, прерывая договор, получает начисления за неполный период по значительно меньшей процентной ставке, чем прописано в договоре. Во втором случае за неполный период пользования средствами заемщику придется заплатить немного больше, чем было бы заплачено по схеме сложного процента. Так как комбинированные схемы обычно используются не сами по себе, а как вариант расчета прерванных или измененных операций, то интервалы времени рассчитываются обычно от начала операции в полных периодах и после исключения всех полных периодов определяется продолжительность оставшегося интервала в необходимой единице времени. Например, если основная схема договора имеет интервал расчета квартал, то с 13 февраля до 24 октября пройдет квартала с 13 февраля по 13 мая и с 13 мая по 13 августа, и останется еще 72 дня с 13 августа по 24 октября (незабываем, что день открытия и день закрытия операции – это один день. Наращение по смешанной схеме При этой схеме наращение за все полные периоды проводится по схеме сложных процентов, аза оставшийся неполный – по схеме простого процента. Формула наращения имеет вид ( ) ( ) 1 1 N FV PV i r i = + + ; где PV – сумма вложенных средств FV – наращенная сумма – проценты – процентная ставка, отнесенная к расчетному периоду времени (год, квартал, месяц и т.п.); n N r = + – продолжительность времени между началом и концом финансовой операции N – число целых расчетных периодов между началом и концом операции r – оставшийся неполный интервал времени между началом и концом операции, выраженный в долях расчетного периода, всегда 0 1 r Схема смешанного процента используется чаще всего при прерывании операции заемщиком. 41 Пример НАМЕК пример похож на часть задания) Предприятие берет 22 марта 2016 года кредит в размере 20 000 000 руб. под 8% годовых с ежеквартальным начислением процентов и выплатой в конце х летнего срока. 20 августа 2017 года предприятие хочет полностью рассчитаться за кредит. Какова сумма выплаты, если для расчетов используется схема смешанного процента При расчетах считать, что в полном квартале 91 день. Решение Определим полное число кварталов между датами финансовой операции. С 22.03.2016 по 20.08.2017 пройдет 5 полных кварталов 1) 22.03.16 – 22.06.16; 2) 22.06.16 – 22.09.16; 3) 22.09.16 – 22.12.16; 4) 22.12.16 – 22.03.17; 5) 22.03.17 – 22.06.17. Следующий полный квартал закончился бы только 22.09.17, то есть позже окончания финансовой операции. Определим оставшийся неполный интервал времени. Для этого сначала найдем число дней между 22.06.17 и 20.08.17. Между этими датами 59 дней (9 дней в июне, 31 день в июле и 20 дней в августе минус один день. Значит 91 r Заметим, что начисления процентов происходят поквартально, а в договоре зафиксирована годовая процентная ставка 8% 0, 08 j = = . Тогда ставка, отнесенная к расчетному периоду времени (кварталу) будет равна 0, 08 4 4 j i = = , так как в году 4 квартала. Наращенная сумма по формуле смешанного процента будет равна ( ) ( ) 5 1 1 0, 08 59 0, 08 20 000 000 1 1 22 367 949,11 4 91 4 N FV PV i r i = + + = = + + То есть завод должен будет заплатить 22 367 949,11 руб. Процент, полученный банком и выплаченный заводом, будет равен 22 367 949,11 20 000 000 2 367 То есть завод заплатит банку дополнительно ко взятой сумме еще 3 367 949 руб. 11 коп. 42 Наращение по смешанной схеме с измененной ставкой за неполный период начисления При этой схеме наращение за все полные периоды проводится по схеме сложных процентов, аза оставшийся неполный – по схеме простого процента, нос другим значением ставки начисления процентов. Формула наращения имеет вид, похожий на формулу для прошлого подраздела ( ) ( ) 2 1 1 N FV PV i r i = + + , где PV – сумма вложенных средств FV – наращенная сумма I – процент i – основная процентная ставка операции, отнесенная к расчетному периоду времени (год, квартал, месяц и т.п.); 2 i – измененная процентная ставка операции, отнесенная к расчетному периоду времени n N r = + – продолжительность времени между началом и концом финансовой операции N – число целых расчетных периодов между началом и концом операции r – оставшийся неполный интервал времени между началом и концом операции, выраженный в долях расчетного периода, всегда 0 1 r Такая схема используется часто при прерывании операции кредитором. При этом измененная ставка 2 i бывает заметно меньше исходной ставки i . Пример НАМЕК этот пример дан для общности изложения материала темы) 02 июня 2016 года пенсионер сделал срочный вклад в банк в размере 150 000 руб. на 4 года под 10% годовых с ежемесячным начислением и капитализацией процентов. По условию, при досрочном расторжении договора, для последнего неполного периода начисления процентов используется процентная ставка банка для вкладов до востребования, равная 2% годовых. Какую сумму получит пенсионер, если решит прервать вклад 26 мая 2017 года При расчетах считать, что в полном месяце дней. Решение Определим полное число месяцев между датами финансовой операции. Со 2.06.2016 по 26.05.2017 пройдет 11 полных месяцев 1) 02.06.16 – 02.07.16; 2) 02.07.16 – 02.08.16; 3) 02.08.16 – 02.09.16; 4) 02.09.16 – 02.10.16; 5) 02.10.16 – 02.11.16; 6) 02.11.16 – 02.12.16; 7) 02.12.16 – 02.01.17; 8) 02.01.17 – 02.02.17; 43 9) 02.02.17 – 02.03.17; 10) 02.03.17 – 02.04.17; 11) 02.04.17 – 02.05.17; Определим оставшийся неполный интервал времени. Для этого сначала найдем число дней между 02.05.17 и 26.05.17. Между этими датами 24 дня (25 дней минус 1 с учетом того, что день открытия и день закрытия операции считается одним днем. Значит, 24 30 r Заметим, что начисления процентов происходят помесячно, а в договоре зафиксирована годовая процентная ставка. Тогда ставка, отнесенная к расчетному периоду времени (кварталу) будет равна 0,1 12 12 j i = = , так как в году месяцев. Аналогично, измененная процентная ставка будет равна 2 2 0,02 12 12 j i Наращенная сумма по формуле смешанного процента с измененной ставкой будет равна ( ) ( ) 2 11 1 1 0,1 24 0,02 150 000 1 1 164 556,60 12 30 12 N FV PV i r i = + + = = + + То есть пенсионер получит 556,60 руб. Процент, полученный пенсионером, будет равен 164 556,60 150 000 То есть пенсионер получит дополнительно к своему вкладу 14 руб. 60 коп. Наращение по схеме без начисления процентов за неполный последний период начисления При этой схеме наращение за все полные периоды проводится по схеме сложных процентов, аза оставшийся неполный период проценты не начисляются. Можно считать, что эта схема с нулевой измененной процентной ставкой (см. прошлый подраздел. Формула наращения имеет вид ( ) 1 N FV PV i = +где PV – сумма вложенных средств FV – наращенная сумма I – процент i – процентная ставка, отнесенная к расчетному периоду времени (год, квартал, месяц и т.п.); n N r = + – продолжительность времени между началом и концом финансовой операции N – число целых расчетных периодов между началом и концом операции r – оставшийся неполный интервал времени между началом и концом операции, выраженный в долях расчетного периода, всегда 0 1 r 44 Такая схема тоже может используется при прерывании операции кредитором и аналогичных операциях. Пример НАМЕК пример похож на часть задания 2) Для привлечения средств клиентов банк использует следующую акцию. При пользовании зарплатной пластиковой картой клиенту предоставляется возможность отложить ровно 100 000 руб. на накопительную (условно) часть счета и получать 9% годовых с начислением процентов разв полгода. Если количество средств на карте становится меньше обозначенной суммы, то акция прерывается, а неполный период никак не учитывается. У Андрея П. после получения премии 25 декабря 2013 года на карте оказалось немногим более 100 000 рублей. Андрей долго использовал свои средства так, чтобы сумма на карте не снижалась ниже 100 000, однако 19 сентября 2015 года он вынужден был снять большую сумму и на карте осталось всего 25 000 рублей. Какой дополнительный процент получил Андрея за счет акции банка Решение Определим полное число полугодий между датами финансовой операции. С 25.12.2013 по 19.09.2015 прошло полных полугодия 1) 25.12.13 – 25.06.14; 2) 25.06.14 – 25.12.14; 3) 25.12.14 – 25.06.15; Следующий период будет длиться уже меньше чем полгода. Заметим, что начисления процентов происходят разв полгода, а в договоре зафиксирована годовая процентная ставка 9% 0,09 j = = . Тогда ставка, отнесенная к расчетному периоду времени (полугодию) будет равна 0,09 2 2 j i = = , так как в году полугодия. Наращенная сумма по схеме без начисления процентов за неполный последний период начисления будет равна ( ) 3 0, 09 1 100 000 1 114 116, 61 2 N FV PV i = + = +Значит процент, который получил Андрей за счет акции банка, будет равен То есть дополнительно к своей сумме получил 14 116 руб. 61 коп. 45 Наращение по схеме с дробным периодом начисления При этой схеме наращение за все периоды проводится по схеме сложных процентов, то есть в формуле сложного процента появляется дробный показатель степени. Формула наращения имеет вид ( ) 1 n FV PV i = +где PV – сумма вложенных средств FV – наращенная сумма I – процент i – процентная ставка, отнесенная к расчетному периоду времени (год, квартал, месяц и т.п.); n N r = + – продолжительность времени между началом и концом финансовой операции N – число целых расчетных периодов между началом и концом операции r – оставшийся неполный интервал времени между началом и концом операции, выраженный в долях расчетного периода, всегда 0 1 r Заметим, что несмотря на использование в формулах полного срока операции без использования по-отдельности параметров N и r , при расчетах интервала времени обычно выделяют полные части и дробную (см. подробнее пример. Такая схема чаще используется для упрощения условий долгосрочных договоров, если никаких дополнительных условий к договору со схемой сложного процента не указано. Пример НАМЕК пример похож на часть задания 2) Определить, какую сумму получит 30 апреля 2017 года клиентка фонда, вложившая 13 января 2016 года в фонд деньги в размере 400 000 руб, если в условиях начисления процентов стоит дробный закон наращения с месячной процентной ставкой 1,5%. При расчете неполного периода считать, что в месяце дней. Решение Определим полное число месяцев между датами финансовой операции. С 13.01.2016 по 30.04.2017 всего 15 полных месяцев 12 месяцев спои еще 3 месяца с 13.01.2017 по 13.04.2017. Значит 15 N Определим дробную часть периода. С 13.04.2017 побудет дней. Значит дробная часть 17 30 r Таким образом, 17 467 15 30 30 n = + = . (Заметим, что если взять точное число дней между операциями и поделить на 30, то получится немного другое число. 46 Так как процентная ставка уже соответствует периоду начисления, никаких преобразований для нее делать ненужно. Наращенная сумма подробной схеме начисления процентов ( ) ( ) 467 30 1 400 000 1 0, 015 504 329,90 n FV PV i = + = +То есть клиентка получит из фонда 504 329 руб. 90 коп. Процент, который получит клиентка, будет равен 504 329,90 400 000 104 То есть дополнительно к своей сумме она получит 329 руб. 90 коп. Дисконтирование денежных величин Дисконтированием называют приведение денежных величин к некоторому заданному моменту времени. Суть операции дисконтирования известна денежная величина FV вне- который момент времени (номинальная величина необходимо определить ее ценность PV на момент приведения (приведенная величина. Чаще всего денежные величины приводят к текущему моменту. Математическое дисконтирование Математическое дисконтирование – операция, обратная к операции наращения. Она опирается на понятие процентной ставки, определенной как отношение процента к исходной денежной величине В этом случае рассматриваются схемы простого и сложного процента. Математическое дисконтирование по схеме простого процента Формула имеет вид ( ) 1 FV PV n i = + ; где PV –дисконтированная (приведенная) величина FV – номинальная величина процентная ставка, отнесенная к расчетному периоду времени (год, квартал, месяц и т.п.); n – продолжительность времени между моментом приведения и номинальным моментом. Заметим, что формула простого математического дисконтирования справедлива только для дисконтирования в прошлое, то есть при 0 n . Дисконтирование в будущее реализуется по основной формуле наращения по схеме простых процентов. 47 Математическое дисконтирование по схеме сложного процента Формула имеет вид ( ) ( ) 1 1 n n FV PV FV i i − = = + + ; где PV – дисконтированная (приведенная) величина FV – номинальная величина процентная ставка, отнесенная к расчетному периоду времени год, квартал, месяц и т.п.); n – продолжительность времени между моментом приведения и номинальным моментом. Формула сложного математического дисконтирования справедлива при любых n . При 0 n она очевидно совпадает с формулой наращения по схеме сложных процентов. Банковский учет Банковский учет – операция, возникшая из необходимости в текущий момент оперировать с ценными бумагами, стоимость которых фиксирована на будущие моменты времени. Она опирается на понятие учетной ставки, определенной как отношение процента к будущей денежной величине Часто вместо i для учетной ставки используется обозначение Банковский учет всегда предполагает дисконтирование в прошлое, то есть 0 n , величина FV отнесена к моменту более позднему, чем В этом случае также рассматриваются схемы простого и сложного процента. Банковский учет по схеме простого процента Формула имеет вид ( ) 1 PV FV n d = − ; где PV – дисконтированная (приведенная) величина FV – номинальная величина учетная процентная ставка, отнесенная к расчетному периоду времени (год, квартал, месяц и т.п.); n – продолжительность времени между моментом приведения и номинальным моментом. Заметим, что формула банковского учета с простым процентом справедливо для краткосрочных операций и всегда должно быть 1 n d Банковский учет по схеме сложного процента Формула имеет вид ( ) 1 n PV FV d = − ; 48 где PV – дисконтированная (приведенная) величина FV – номинальная величина учетная процентная ставка, отнесенная к расчетному периоду времени (год, квартал, месяц и т.п.); n – продолжительность времени между моментом приведения и номинальным моментом. Пример НАМЕК пример похож на задание 6) За какую сумму можно передать вексель с вексельной суммой 500 000 руби сроком платежа через 2 года, если при передаче фиксируется годовой дисконт 15%. Расчеты провести по всем вариантам дисконтирования. Решение Согласно условию, в этой операции 500 000 FV = ; 2 n = ; 0,15 i d = = 1. Математическое дисконтирование по простому проценту. 500 000 384 615,38 1 1 0,15 2 FV PV i n = = + + 2. Математическое дисконтирование по сложному проценту. ( ) ( ) 2 500 000 378 071,83 1 1 0,15 n FV PV i = = + + 3. Банковский учет по простому проценту. ( ) ( ) 1 500 000 1 0,15 2 350 000, 00 PV FV d n = − = − = 4. Банковский учет по сложному проценту. ( ) ( ) 2 1 500 000 1 0,15 361 250, 00 n PV FV d = − = Учет инфляции в финансовых расчетах Вкладывая деньги в банк или инвестируя в бизнес процессы на некоторый срок, удается в итоге получить большие суммы. Но за это время цены, как правило, тоже растут. Общий рост среднего уровня цен называется инфляцией. Инфляция описывается одним из двух параметров • индексом цен J , показывающим, во сколько раз выросли средние цены за заданный интервал времени • уровнем инфляции , показывающим, насколько процентов выросли средние цены за заданный интервал времени. Индекс цени уровень инфляции, отнесенные к одному моменту времени, связаны простым соотношением 1 J = + 49 Реальная наращенная сумма Пусть за интервал времени n за счет некоторой финансовой операции сумма PV наросла до суммы FV , а индекс ценза этот же интервал равен Тогда заполученную сумму можно приобрести меньше благ, чем можно было бы сделать в момент начала финансовой операции. Так как цены выросли враз, то за FV можно приобрести в среднем товаров столько же, сколько раньше можно было приобрести за Эта величина называется реальной наращенной суммой с учетом инфляции. Индекс цен определяется через уровень инфляции всегда по закону сложного процента. Если индекс цен соответствует моменту времени n , а уровень инфляции единичному моменту времени, то справедлива формула ( ) 1 n J = +Таким образом, если за время n наращенная сумма стала равна FV , а средний уровень инфляции за единичный момент времени равен , то реальная наращенная сумма определяется по формуле Если уровень инфляции соответствует 1 k года, то индекс ценза лет будет равен ( ) 1 k тогда реальная сумма определится по формуле ( ) 1 k Заметим, что при высокой инфляции реальная наращенная сумма может оказаться меньше исходной. Пример пример для общего понимания) Среднемесячный уровень инфляции в России в первом квартале 2015 года составил 2,42%. Во сколько раз возросли средние цены за первый квартал Решение Месячный уровень инфляции по условию задачи равен 2, 42% 0, 0242 = = . Индекс ценза квартал равен ( ) 3 1 J = + , так как в квартале месяца. То есть ( ) 3 1 0, 0242 1, 074 J = + . То есть средние цены выросли в 1,074 раза или на 7,4%. Пример НАМЕК пример похож на часть задания 5) Предприниматель вложил в бизнес-проект 20 000 000 руб. Через 5 лет он получил 40 000 000 руб. с которых был вынужден заплатить 15% налогов. Определить реальную наращенную сумму за указанный интервал времени, если среднегодовой уровень инфляции был равен 8%. Решение Определим сначала сумму, которую получит предприниматель после выплаты налога ( ) 40 000 000 1 0,15 34 000 000 FV = руб. Годовой уровень инфляции равен 8% 0, 08 = = , число лет 5 n = . Тогда реальная наращенная сумма будет равна ( ) 5 34 000 000 23 139 828, 7 1 0, руб. То есть заруб. теперь предприниматель сможет приобрести товары примерно в таком количестве, какое можно было приобрести 5 лет назад заруб коп. Реальная процентная ставка Как видно, за счет инфляции реальные наращенные суммы меньше номинальных наращенных сумм. Рассмотрим случай вклада денег в банк под проценты. За счет инфляции оказывается, что вкладчик получает полезность от наращенных сумм меньшую, чем можно ожидать по номинальной банковской ставке i . Этот эффект учитывается понятием реальная процентная ставка r i Реальная процентная ставка – это такая величина процентной ставки, при которой вкладчик в той же банковской операции получит реальную наращенную сумму. Если уровень инфляции и период капитализации процентов совпадают, то определить реальную ставку достаточно просто. Действительно, при этом ( ) 1 n FV PV i = + ; 51 По определению реальной ставки ( ) 1 n r FV PV i = +Откуда получаем 1 В общем случае формула для долгосрочных вкладов такова ( ) 1 1 1 r k m i m i m + = где m – число наращений процентов в год по вкладу – уровень инфляции, который соответствует 1 k года. Если задан годовой уровень инфляции, то 1 k Пример НАМЕК пример похож на часть задания 5) Пенсионерка делает вклад в банк в размере 130 000 руб. под 10,5% годовых на 2 года с начислением процентов разв месяца. Ожидаемый уровень инфляции за этот промежуток времени равен 3% в квартал. Определить реальную наращенную сумму и реальную процентную ставку. Решение Определим сначала сумму, которую получит пенсионерка в конце вклада. Так как проценты начисляются разв месяца, то есть 3 раза в год, то 3 m = . Число лет 2 n = : 3 2 0,105 1 130 000 1 159 803,19 3 m n i FV PV m = + = + руб. Определим реальную наращенную сумму. Так как уровень инфляции отнесен к кварталу, тов году 4 квартала. Реальная наращенная сумма будет равна ( ) ( ) 4 2 159 803,19 126 150,11 1 1 0, 03 k n FV FV = = + + руб. В данном случае за счет высокой инфляции пенсионерка получит сумму, позволяющую приобрести товаров в среднем меньше, чем это можно было сделать до вклада. Определим по формуле реальную процентную ставку 52 ( ) ( ) 4 3 0,105 1 1 3 1 3 1 0,015 1,5% 1 1 0,03 r k m i m i m + + = − = − − = Так как реальная сумма оказалась ниже суммы вклада, то и реальная процентная ставка оказалась отрицательной. Обеспечивающая процентная ставка Обеспечивающая процентная ставка o i – такая ставка финансовой операции, которая обеспечивает заданную реальную доходность Для долгосрочных вкладов обеспечивающая процентная ставка определяется по формуле ( ) 1 1 1 k r m o i i m m = + +где r i – необходимый годовой уровень доходности m – число наращений процентов в год по вкладу – уровень инфляции, который соответствует 1 года. Пример НАМЕК пример похож на задание 5) Какой должна быть ставка в банке для предыдущего примера с пенсионеркой, чтобы она смогла обеспечить реальную доходность не ниже 7% годовых (То есть нужно определить ставку процента, обеспечивающую 7% годовых реальной доходности. Решение В этом случае, как уже было рассмотрено ранее, 3 m = ; 4 k = ; 0, Требуемая реальная ставка, согласно условию, 7% 0, 07 r i = = . По формуле определяем обеспечивающую ставку ( ) ( ) 4 3 0,07 1 1 1 3 1 1 0,03 1 0,1934 19,34% 3 k r m o i i m m = + + − = + + − То есть, для того, чтобы реальная сумма вклада росла на 7% в год, необходимо, чтобы номинальная ставка была равна 19,34%. Компенсирующая процентная ставка Компенсирующая процентная ставка i – такая ставка финансовой операции, которая обеспечивает только компенсацию инфляционного роста цен, то есть при ней реальная доходность равна нулю. Для долгосрочных вкладов компенсирующая процентная ставка определяется по формуле 53 ( ) 1 1 k m i m = где r i – необходимый годовой уровень доходности m – число наращений процентов в год по вкладу – уровень инфляции, который соответствует 1 года. Пример НАМЕК пример похож на задание 5) Какой должна быть ставка в банке для предыдущего примера с пенсионеркой, чтобы она смогла компенсировать рост ценза счет инфляции Решение В этом случае, как уже было рассмотрено ранее, 3 m = ; 4 k = ; По формуле определяем компенсирующую ставку ( ) ( ) 4 3 1 1 3 1 0,03 1 0,1206 12,06% k m i m = + − = То есть, для того, чтобы данная банковская операция компенсировала инфляционный рост цен, необходимо, чтобы номинальная ставка была равна 12,06%. Финансовые договоры Базой составления финансовых договоров и изменения их условий служит понятие эквивалентности схем платежей. Две схемы платежей считаются эквивалентными, если при приведении дисконтировании) их на одну дату по определенной договором эффективной ставке доходности операции они дают одинаковый результат. Из этих же соображений формируются и сами условия выплаты подо- говору. Сумма всех выплат по договору, дисконтированных на дату начала операции, должна быть равна сумме средств, получаемых в долг. Аналогичный результат дает понятие баланса финансовой операции сумма всех потоков платежей по финансовому договору, дисконтированных на одну дату по взаимно согласованной процентной ставке, должна быть равна нулю. Пусть i R – платежи по финансовому договору в моменты i n (направление платежа задается положительным или отрицательным знаком i R ). Согласно договору определена j – эффективная процентная ставка его доходности. Тогда справедливо соотношение баланса ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 2 0 3 0 1 2 3 0 1 1 где 0 n – момент времени приведения. 54 Определение неизвестного параметра финансового договора Из балансового соотношения можно определить любой один неизвестный платеж в рамках финансового договора. Определить его будет проще, если датой приведения выбрать дату этого платежа. Например, если из 5 платежей неизвестен й, то балансовое соотношение, приведенное к моменту времени 4 n будет выглядеть так ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 4 2 4 3 4 5 4 3 5 1 2 4 0 1 1 1 Откуда получим ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 4 2 4 3 4 5 4 3 5 1 2 4 1 1 1 1 n n n n n n n n R R R R R j j j j − − − − = Пример поможет разобраться в задании 8) Предприятие берету банка долгосрочный кредит в размере 200 000 000 руб. под 6% годовых. Схема выплаты такова через 2 года выплачивается руб через 5 лет еще некоторая сумма завершается операция через 7 лет платежом 8 000 000 руб. Каким должен быть второй платеж, осуществляемый через 5 лет Решение Будем рассматривать ситуацию сточки зрения банка-кредитора. Тогда предоставляемый кредит будет иметь отрицательный знак (деньги уходят из банка, а все остальные платежи будут положительными (деньги приходят в банк. Параметры финансового договора для примера таковы 6% 0,06 j = = ; 1 20 000 000 R = − ; 2 10 000 000 R = ; 3 R неизвестно 4 8 000 000 R = ; 1 0 n = (кредит выдается вначале операции 1 2 n = ; 3 5 n = ; 4 7 n Приведем все величины к 5-му году и запишем уравнение баланса ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 0 5 2 5 5 5 7 5 20 000 000 10 000 000 8 000 000 0 1 0,06 1 0,06 1 0,06 1 Тогда ( ) 3 5 3 2 20 000 000 10 000 000 8 000 000 7 734 380,03 1,06 1,06 1,06 R − − − = То есть й платеж будет примерно равен 7 734 380 руб. 55 Пример поможет разобраться в задании 8) Какую сумму может фабрика запросить у банка, если она готова отдать долг двумя платежами 40 000 000 руб. через 3 года и 50 000 000 руб. через 8 лет Банк согласен выдать кредит под 8,5% годовых. Решение Будем рассматривать ситуацию сточки зрения фабрики. Тогда предоставляемый кредит будет иметь положительный знак (деньги приходят на фабрику, а все платежи будут отрицательными (деньги уходят. Параметры финансового договора для примера таковы 8,5% 0,085 j = = ; неизвестно 2 40 000 000 R = − ; 3 50 000 000 R = − ; 1 0 n = ; 2 3 n = ; 3 8 n Так как неизвестна первоначальная сумма кредита, то лучше привести все величины к 0-му году. Запишем уравнение баланса ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 3 0 8 0 40 000 000 50 000 000 0 1 0, 085 1 0, 085 1 0, Тогда ( ) ( ) 1 3 8 40 000 000 50 000 000 57 349 796,32 1, 085 1, 085 R − − = То есть фабрика может получить кредит примерно 57 349 796 руб. Изменение и сравнение условий финансовых договоров На основе того же уравнения баланса можно определить параметры изменений финансового договора. Для сравнений финансовых договоров можно определить и сравнить их эффективные нормы доходности. Но это сделать технически трудно (если не привлекать MS Excel или другие пакеты программ. Варианты договоров можно сравнить также на основе определения баланса договора на некоторую любую дату. Определив баланс с учетом дисконтирования величин поставке исходного договора, можем сделать два типа выводов) Если баланс оказался положительным, тоновое условие выгоднее исходного для того участника договора, сточки зрения которого рассматриваются знаки потоков платежей. Соответственно, при отрицательном балансе для этого участника новый договор менее выгоден. 56 2) Для участника договора, сточки зрения которого рассматриваются знаки потоков платежей, выгоднее тот вариант договора, который приводит к большему значению баланса. Пример поможет разобраться в задании 8) Холдинг, взял кредит в банке в размере 15 000 000 руб. под 14% годовых и должен был рассчитаться последующей схеме через 2 года 10 000 000 руб. через 4 года 12 338 402 руб. Можно проверить, что операция сбалансирована. Холдинг предлагает банку изменить условие договора и рассчитаться двумя одинаковыми платежами по 11 000 000 руб. через 2 и 3 года от начала операции. Выгодно ли такое изменение договора банку Решение Составим баланс нового договора с позиции банка. В этом случае параметры договора будут равны 0,14 j = ; 1 15 000 000 R = − ; 2 3 11 000 000 R R = = 1 0 n = ; 2 2 n = ; 3 3 n В качестве момента приведения можно использовать любую дату. Выберем датой приведения момент начала операции. Баланс договора равен ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 3 1 3 1 2 0 0 2 0 3 0 1 1 1 15 000 000 11 000 000 11 000 000 888829, 49 0 1 0,14 1 0,14 1 Так как баланс, составленный сточки зрения банка, оказался положительным, можно сделать вывод, что данное изменение банку выгоднее и банк согласится на предложенный вариант изменения договора. Пример поможет разобраться в задании 8) Продолжим рассмотрение прошлого примера. Холдинг предлагает банку еще один вариант погашения задолженности единым платежом 30 000 000 через 5 лет. Какой из вариантов изменения договора выгоднее для банка 57 Решение Составим баланс нового договора с позиции банка. В этом случае параметры договора будут равны 0,14 j = ; 1 15 000 000 R = − ; 2 30 000 000 R = 1 0 n = ; 2 5 n Для того, чтобы сравнить варианты, в качестве момента приведения нужно использовать туже дату, для которой был произведен первый расчет, то есть момент начала операции. Баланс этого варианта договора равен ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 1 2 0 0 5 0 15 000 000 30 000 000 581059,93 0 1 1 1 0,14 1 Как видно из баланса, этот вариант тоже выгоднее исходного договора так как баланс оказался положительным, но менее выгоден, чем предыдущий вариант изменения (так как 888829 ). Оценка инвестиционных проектов Инвестиционные проекты будем оценивать только на основе принципа дисконтирования денежных потоков, отнесенных к соответствующим моментам времени (расходов и доходов, осуществленных в разные моменты времени. Чистый приведенный доход При оценке инвестиционных проектов используется метод расчета чистого приведенного дохода (net present value), который предусматривает дисконтирование денежных потоков все доходы и затраты приводятся код- ному моменту времени. Центральным показателем в рассматриваемом методе является показатель чистого приведенного дохода – текущая стоимость денежных потоков за вычетом текущей стоимости денежных оттоков. Обозначим через k I инвестиции (расходы, затраты) в моменты времени k n . Через k D обозначим доходы (прибыль, полученные в эти же моменты времени. Некоторые из этих величин могут быть равны нулю. Тогда чистый приведенный доход определяется по формуле ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 k k k k k k k n n n k k k D I D I NPV i i i − = − = + + + ( |