Эконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядо - Носко В.П.. Эконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядо - Но. В. П. Носко Эконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядов

• Название: В. П. Носко Эконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядов
• Анкор: Эконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядо - Носко В.П..pdf
• Дата: 29.05.2018
• Размер: 3.08 Mb.
• Имя файла: Эконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядо - Но.pdf
• Тип: Документы; #19771
• Категория: Экономика. Финансы
• страница: 1 из 30

В.П.Носко
Эконометрика
Введение в регрессионный анализ временных рядов
Москва
2002

Оглавление
Оглавление
Введение
Глава 1. Особенности регрессионного анализа для стохастических объясняющих переменных
Глава 2. Стационарные ряды. Модели ARMA
2.1. Общие понятия.
2.2. Процесс белого шума
2.3. Процесс авторегрессии
2.4. Процесс скользящего среднего
2.5. Смешанный процесс авторегрессии – скользящего среднего (процесс авторегрессии с остатками в виде скользящего среднего)
2.6. Модели ARMA, учитывающие наличие сезонности
Глава 3. Подбор стационарной модели ARMA для ряда наблюдений
3.1. Идентификация стационарной модели ARMA
3.2. Оценивание коэффициентов модели
3.3. Диагностика оцененной модели
Глава 4. Регрессионный анализ для стационарных объясняющих переменных
4.1. Асимптотическая обоснованность стандартных процедур
4.2. Динамические модели
4.3. Векторная авторегрессия
4.4. Некоторые частные случаи динамических моделей
Глава 5. Нестационарные временные ряды
5.1. Нестационарные ARMA модели
5.2. Проблема определения принадлежности временного ряда классу TS рядов или классу
DS рядов
5.3. Различение TS и DS рядов в классе моделей ARMA. Гипотеза единичного корня.
Глава 6. Процедуры для различения TS и DS рядов
6.1. Предварительные замечания
6.2. Критерии Дики – Фуллера
6.3. Расширенные критерии Дики - Фуллера
6.4. Краткий обзор критериев Дики – Фуллера
6.5. Некоторые другие сочетания DGP и SM
6.6. Ряды с квадратичным трендом.
6.7. Многовариантная процедура проверки гипотезы единичного корня
6.8. Обзор некоторых других процедур
6.8.1. Критерий Филлипса – Перрона
6.8.2. Критерий Лейбурна

6.8.3. Критерий Шмидта – Филлипса.
6.8.4. Критерий DF-GLS
6.8.5. Критерий Квятковского – Филлипса – Шмидта – Шина (KPSS)
6.8.6. Процедура Кохрейна (отношение дисперсий)
6.9. Некоторые проблемы, возникающие при различении TS и DS гипотез
6.9.1. Коррекция сезонности
6.9.2. Протяженность ряда и мощность критерия
6.9.3. Проблема согласованности статистических выводов при различении TS и DS гипотез
6.9.4. Наличие нескольких единичных корней
6.10. Критерий Перрона и его обобщение
6.10.1. Критерий Перрона
6.10.2. Обобщенная процедура Перрона
Глава 7. Регрессионный анализ для нестационарных объясняющих переменных
7.1. Проблема ложной регрессии
7.2. Коинтегрированные временные ряды. Модели коррекции ошибок
7.3. Проверка нескольких рядов на коинтегрированность. Критерии Дики – Фуллера
7.4. Оценивание коинтегрированных систем временных рядов
Глава 8. Процедура Йохансена
8.1. Оценивание ранга коинтеграции
8.2. Оценивание модели коррекции ошибок
Заключение
Список литературы
Указатель

Документ1
Введение
В начальных курсах эконометрики, в том числе и в ранее изданном автором учебном пособии “Эконометрика для начинающих” [Носко (2000)], первоочередное внимание уделяется статистическим выводам в рамках классической нормальной
линейной модели наблюдений
y
t
=
θ
1
x
t1
+
θ
2
x
t2
+ …+
θ
p
x
tp
+
ε
t
, t = 1, 2, …, n , в которой предполагается, что значения объясняющих переменных x
t1
, x
t2
, …, x
tp
, t
= 1, 2, …, n , фиксированы, а случайные составляющие
ε
1
,
ε
2
, …,
ε
n
(“ошибки”) являются независимыми случайными величинами, имеющими одинаковое нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и конечной дисперсией (такие предположения об ошибках мы называем “стандартными”). Далее обычно анализируются последствия различного типа нарушений таких предположений об ошибках и рассматриваются методы коррекции статистических выводов о коэффициентах модели при наличии соответствующих нарушений стандартных предположений.
В упомянутом пособии обсуждались методы коррекции статистических выводов
• при наличии гетероскедастичности (неоднородности дисперсий ошибок);
• при наличии автокоррелированности ошибок;
• при наличии сезонности.
При этом сохранялось предположение о фиксированности значений объясняющих переменных.
Последнее предположение в совокупности со стандартными предположениями об ошибках удобно с чисто математической точки зрения: при таких предположениях оценки параметров, получаемые методом наименьших квадратов, имеют нормальное распределение, что, в свою очередь, дает возможность
• строить доверительные интервалы для коэффициентов линейной модели, используя квантили t -распределения Стьюдента;
• проверять гипотезы о значениях отдельных коэффициентов, используя квантили t -распределения Стьюдента;
• проверять гипотезы о выполнении тех или иных линейных ограничений на коэффициенты модели, используя квантили F-распределения Фишера;
• строить интервальные прогнозы для “будущих” значений объясняемой переменной, соответствующих заданным будущим значениям объясняющих переменных.
Вместе с тем, используемое в классической модели предположение о фиксированности значений объясняющих переменных в n наблюдениях означает, что мы можем повторить наблюдения значений объясняемой переменной при том же наборе значений объясняющих переменных x
t1
, x
t2
, …, x
tp
, t = 1, 2, …, n ; при этом мы получим другую реализацию (другой набор значений) случайных составляющих
ε
t
, t
= 1, 2, …, n , что приведет к значениям объясняющей переменной, отличным от значений y
1
, y
2
, …, y
n
, наблюдавшихся ранее.
С точки зрения моделирования реальных экономических явлений, предположение о фиксированности значений объясняющих пременных можно считать реалистическим

Документ1 лишь в отдельных ситуациях, связанных с проведением контролируемого эксперимента. Например, можно представить себе гипотетический эксперимент, в котором в течение определенного периода времени значения располагаемого месячного дохода n домохозяйств остаются неизменными и наблюдаются ежемесячные расходы этих домохозяйств на личное потребление. Величина этих расходов для каждого отдельного домохозяйства будет изменяться от месяца к месяцу за счет факторов, не известных исследователю в рамках проводимого эксперимента, а потому эта изменчивость, с точки зрения исследователя, носит “случайный” характер, что формально описывается включением в модель наблюдений случайной составляющей – “ошибки”.
Между тем в реальных ситуациях по большей части нет возможности сохранять неизменными значения объясняющих переменных. Более того, и сами наблюдаемые значения объясняющих переменных ( как и “ошибки”) часто интерпретируются как реализации некоторых случайных величин. В таких ситуациях становится проблематичным использование техники статистических выводов, разработанной для классической нормальной линейной модели.
В наиболее выраженной степени сказанное относится к моделям, в которых наблюдения развернуты во времени, т.е. производятся в последовательные моменты времени (годы, кварталы, месяцы, дни и т.п.). При этом значения отдельной объясняющей переменной в последовательные моменты времени образуют временной
ряд, и если говорить опять о линейной модели наблюдений, то теперь уже такая модель связывает временные ряды, и это самым существенным образом сказывается на свойствах оценок коэффициентов линейной модели. Упомянем в связи с этим простую по форме модель
y
t
=
β
y
t – 1
+
ε
t
, t = 1, 2, …, n , y
0
= 0, в которой
ε
1
,
ε
2
, …,
ε
n
– независимые случайные величины, имеющие одинаковое нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и дисперсией
σ
2
Это линейная модель наблюдений, в которой в качестве значения объясняющей переменной x
t
в момент времени t выступает запаздывающее на одну единицу времени значение объясняемой переменной, т.е. x
t
= y
t – 1
Предполагая, что процесс порождения данных описывается такой моделью (с не известными нам значениями параметров
β
и
σ
), мы можем получить для
β
оценку наименьших квадратов, которая вычисляется по формуле
β
ˆ =
∑
∑
=
−
−
=
n
t
t
t
n
t
t
y
y
y
2 2
1 1
2
.
В отличие от ситуации, когда значения объясняющей переменной фиксированы, теперь наблюдаемые значения объясняющей переменной сами являются реализациями случайных величин и выражаются через значения случайных величин
ε
t
:
x
1
= 0 ,
x
2
= y
1
=
ε
1
,
x
3
= y
2
=
β
y
1
+
ε
2
=
β
ε
1
+
ε
2
,
x
4
= y
3
=
β
y
2
+
ε
3
=
β
(
β
ε
1
+
ε
2
)
+
ε
3
=
β
2
ε
1
+
β
ε
2
+
ε
3
,
…
x
n
= y
n – 1
=
β
n – 2
ε
1
+
β
n – 3
ε
2
+ …
+
ε
n – 1
Это приводит к тому, что на сей раз распределение оценки наименьших квадратов для параметра
β
не является нормальным, так что t- и F- статистики, используемые для статистических выводов в классической нормальной линейной модели, уже не имеют t- и F-распределений, соответственно.

Документ1
Более того, если в действительности в процессе порождения данных
β
= 1, так что мы имеем дело с популярной моделью случайного блуждания (выходящего из нуля),
y
t
= y
t – 1
+
ε
t
, t = 1, 2, …, n , y
0
= 0, то тогда распределение (центрированной и нормированной) оценки наименьших квадратов для
β
не сближается с нормальным даже при неограниченном возрастании количества наблюдений. Иначе говоря, в такой модели оценка наименьших квадратов для
β
даже не является асимптотически нормальной. Впервые на этот факт было указано в работе [White (1958)], и это открытие привело впоследствии к полному пересмотру методологии эконометрического анализа статистических данных, представляемых в виде временных рядов.
На первый план вышло фундаментальное различие между TS (trend stationary) рядами (стационарными или стационарными относительно детерминированного тренда) и DS (difference stationary) рядами, приводящимися к стационарным только в результате однократного или многократного дифференцирования. Это различие определяется наличием у DS рядов так называемого стохастического тренда, собственно и приводящего к неприменимости стандартной асимптотической теории при работе с такими рядами. В создании и развитии асимптотической теории, учитывающей возможное наличие у рассматриваемых переменных стохастического тренда, приняло участие большое количество авторов, среди которых непременно следует упомянуть Dickey D.A., Fuller W.A, Granger C.W.J., Hansen B.E., Johansen S.,
Juselius K., Perron P., Phillips P.S.B., Sims C.A., Stock J.H., Watson M.W.J. Прекрасный обзор полученных в этом направлении результатов содержится в работе [Maddala G.S.,
Kim In-Moo (1998)]; см. также [Hatanaka M. (1996)].
В предлагаемом учебном пособии мы даем краткое введение в современные методы эконометрического анализа статистических данных, представленных в виде временных рядов, которые учитывают возможное наличие у рассматриваемых переменных стохастического тренда. Основные акценты, как и в работе [Носко (2000)], смещены в сторону разъяснения базовых понятий и основных процедур статистического анализа данных с привлечением смоделированных и реальных экономических данных. Вместе с тем, от читателя требуется несколько большая осведомленность в отношении вероятностно-статистических методов исследования.
Предполагается, что читатель имеет представление о совместной функции распределения, многомерном нормальном распределении, методе максимального правдоподобия, свойстве состоятельности оценок, характеристиках статистических критериев (ошибки первого и второго рода, мощность), а также владеет методами регрессионного анализа в рамках начального курса эконометрики. Кроме того он должен иметь некоторое представление о комплексных числах и комплексных корнях полиномов.
Пособие написано на основании курса лекций, прочитанных автором в Институте экономики переходного периода.

Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
1
Глава 1. Особенности регрессионного анализа для
стохастических объясняющих переменных
Как уже было указано во Введении, в начальных курсах эконометрики первоочередное внимание уделяется статистическим выводам в рамках классической
нормальной линейной модели наблюдений
y
t
=
θ
1
x
t1
+
θ
2
x
t2
+ …+
θ
p
x
tp
+
ε
t
, t = 1, 2, …, n , в которой предполагается, что значения объясняющих переменных x
t1
, x
t2
, …, x
tp
,
t = 1, 2, …, n , фиксированы, а случайные составляющие
ε
1
,
ε
2
, …,
ε
n
(“ошибки”) являются независимыми случайными величинами, имеющими одинаковое нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и конечной дисперсией (такие предположения об ошибках мы называем “стандартными”). Далее анализируются последствия различного типа нарушений таких предположений об ошибках и рассматриваются методы коррекции статистических выводов о коэффициентах модели при наличии соответствующих нарушений стандартных предположений.
Предположение о фиксированности значений объясняющих переменных в совокупности со стандартными предположениями об ошибках удобно с чисто математической точки зрения: при таких предположениях оценки параметров, получаемые методом наименьших квадратов, имеют нормальное распределение, что, в свою очередь, дает возможность
• строить доверительные интервалы для коэффициентов линейной модели, используя квантили t -распределения Стьюдента;
• проверять гипотезы о значениях отдельных коэффициентов, используя квантили t -распределения Стьюдента;
• проверять гипотезы о выполнении тех или иных линейных ограничений на коэффициенты модели используя квантили F-распределения Фишера;
• строить интервальные прогнозы для “будущих” значений объясняемой переменной, соответствующих заданным будущим значениям объясняющих переменных.
Вместе с тем, используемое в классической модели предположение о фиксированности значений объясняющих переменных в n наблюдениях означает, что мы можем повторить наблюдения значений объясняемой переменной при том же наборе значений объясняющих переменных x
t1
, x
t2
, …, x
tp
, t = 1, 2, …, n ; при этом мы получим другую реализацию (другой набор значений) случайных составляющих
ε
t
, t = 1, 2, …, n , что приведет к значениям объясняемой переменной, отличающимся от значений y
1
, y
2
, …, y
n
, наблюдавшихся ранее.
С точки зрения моделирования реальных экономических явлений, предположение о фиксированности значений объясняющих пременных можно считать реалистическим лишь в отдельных ситуациях, связанных с проведением контролируемого эксперимента. Между тем в реальных ситуациях по большей части нет возможности сохранять неизменными значения объясняющих переменных.
Более того, и сами наблюдаемые значения объясняющих переменных ( как и
“ошибки”) часто интерпретируются как реализации некоторых случайных величин.
В таких ситуациях становится проблематичным использование техники статистических выводов, разработанной для классической нормальной линейной модели.

Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
2
Поясним последнее, обратившись к матрично-векторной форме записи классической линейной модели с p объясняющими переменными:
y = X
θ
+
ε
, в которой
y = (y
1
, ..., y
n
)
T
- вектор значений объясняемой переменной в n наблюдениях,
X – (n×p)-матрица значений объясняющих переменных в n наблюдениях, n > p,
θ
= (
θ
1
,
θ
2
, …,
θ
p
)
T
- вектор коэффициентов,
ε
= (
ε
1
,
ε
2
, …,
ε
n
)
T
- вектор случайных ошибок (возмущений) в n наблюдениях.
Если матрица X имеет полный ранг p , то матрица X
T
X является невырожденной, для нее существует обратная матрица (X
T
X)
– 1
, и оценка наименьших квадратов для вектора
θ
неизвестных коэффициентов имеет вид
θ
ˆ
= (
X
T
X
)
– 1
X
T
y
Математическое ожидание вектора оценок коэффициентов равно
E
(
θ
ˆ ) =
E
((
X
T
X
)
– 1
X
T
(
X
θ
+
ε
)) =
E
((
X
T
X
)
– 1
X
T
X
θ
)
+
E
((
X
T
X
)
– 1
X
T
ε
) =
θ
+ E
(
X
T
X
)
–
1
X
T
ε
).
Если матрица
X
фиксирована, то
E
((
X
T
X
)
– 1
X
T
ε
) = (
X
T
X
)
– 1
X
T
E
(
ε
) = 0, так что
E
(
θ
ˆ ) =
θ
, т.е.
θ
ˆ
–
несмещенная оценка для
θ
Если же мы имеем дело со
стохастическими
(случайными,
недетерминированными)
объясняющими переменными, то в общем случае
E
((
X
T
X
)
–
1
X
T
ε
) ≠ 0, так что
E
(
θ
ˆ ) ≠
θ
, и
θ
ˆ
–
смещенная оценка для
θ
, и, кроме того, эта оценка уже не имеет нормального распределения.
Если объясняющие переменные стохастические, то в некоторых случаях все же остается возможным использовать стандартную технику статистических выводов, предназначенную для классической нормальной линейной модели, по крайней мере, в асимптотическом плане (при большом количестве наблюдений).
В этом отношении наиболее благоприятной является
Ситуация A
• случайная величина
ε
s
не зависит (статистически) от
x
t1
,
x
t2
,
…
,
x
tp
при всех
t
и
s
,
•
ε
1
,
ε
2
, …,
ε
n
являются независимыми случайными величинами, имеющими одинаковое нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и конечной дисперсией
σ
2
> 0. (Далее мы кратко будем обозначать это как
ε
t

i.i.d. N
(0,
σ
2
). Здесь
i.i.d. – independent, identically distributed
.)
При выполнении таких условий имеем
E
((
X
T
X
)
– 1
X
T
ε
) =
E
((
X
T
X
)
– 1
X
T
) ·
E
(
ε
) = 0,

Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
3
так что оценка наименьших квадратов для
θ
является несмещенной.
Распределение статистик критериев (“тестовых статистик”) можно найти с помощью двухшаговой процедуры. На первом шаге находим условное распределение при фиксированном значении
X
; при этом значения объясняющих переменных рассматриваются как детерминированные (как в классической модели). На втором шаге мы получаем безусловное распределение соответствующей статистики, умножая условное распределение на плотность
X
и интегрируя по всем возможным значениям
X
Если применить такую процедуру для получения безусловного распределения оценки наименьших квадратов
θ
ˆ , то на первом шаге находим:
θ
ˆ
|
X

( )
(
)
1 2
,
−
X
X
N
T
σ
θ
Интегрирование на втором этапе приводит к распределению, являющемуся смесью нормальных распределений
(
)
(
)
1 2
,
−
X
X
N
T
σ
θ
по
X
. Это распределение, в отличие от классического случая, не является нормальным.
В то же время, для оценки
j-
го коэффициента имеем:
j
θ
ˆ
|
X

( )
(
)
1 2
,
−
j
j
T
j
X
X
N
σ
θ
, где
( )
1
−
jj
T
X
X
–
j
-й диагональный элемент матрицы
( )
1
−
X
X
T
, так что
1
)
(
ˆ
−
−
j
j
T
j
j
X
X
σ
θ
θ
X
N (0, 1) .
Условным распределением отношения S
2
/σ
2
, где S
2
= RSS/(n – p), RSS – остаточная сумма квадратов, является распределение хи-квадрат с (n – p) степенями свободы,
S
2
/σ
2
|
X χ
2
(n – p) .
Заметим теперь, что t-статистика для проверки гипотезы H
0
:
j
θ =
*
j
θ
определяется соотношением
t =
(
)
2 2
1
*
1
*
)
(
ˆ
)
(
ˆ
σ
σ
θ
θ
θ
θ
S
X
X
X
X
S
j
j
T
j
j
j
j
T
j
j
−
−
−
=
−
Из предыдущего вытекает, что если гипотеза H
0
верна, то условное распределение этой t-статистики имеет t-распределение Стьюдента с (n – p) степенями свободы,
t |
X
t(n – p).
Это условное распределение одно и то же для всех X . Поэтому вне зависимости от того, какое именно распределение имеет X , безусловным распределением t-
статистики для H
0
:
j
θ =
*
j
θ
при выполнении этой гипотезы будет все то же распределение t(n – p) .

Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
4
Аналогичное рассмотрение показывает возможность использования стандартных F-критериев для проверки линейных гипотез о значениях коэффициентов.
Те же самые выводы остаются в силе при замене предположений ситуации A следующим предположением.
Ситуация A΄
•
ε
|
X
N(0, σ
2
I
n
) , где I
n
– единичная матрица (размера n × n) .
Для краткости мы будем далее обозначать
x
t
= (x
t1
, x
t2
, …, x
tp
)
T
– вектор значений p объясняющих переменных в t-м наблюдении.
Ситуация B
• случайная величина
ε
s
не зависит (статистически) от x
t1
, x
t2
, …, x
tp
при всех t и
s ;
• распределение случайной величины
t
ε
не является нормальным, но
ε
t
i.i.d., E(
ε
t
) = 0, D(
ε
t
) = σ
2
> 0 и E(
ε
t
4
) = µ
4
< ∞ ;
• E(x
t
x
t
T
) = Q
t
– положительно определенная матрица, (1/n)( Q
1
+ … + Q
n
) → Q при n → ∞ , где Q – положительно определенная матрица;
• E(x
it
x
jt
x
kt
x
st
) < ∞ для всех i, j, k, s ;
• (1/n)( x
1
x
1
T
+ … + x
n
x
n
T
) → Q по вероятности .
В силу первого предположения, оценка наименьших квадратов вектора коэффициентов
θ
остается несмещенной, как и в ситуации A. Однако при конечном количестве наблюдений n из-за негауссовости (ненормальности) распределения
ε
t
распределения статистики S
2
, а также t- и F-статистик, будут отличаться от стандартных, получаемых в предположении гауссовости. Чтобы продолжать пользоваться обычной техникой регрессионного анализа, мы должны здесь сослаться на следующие асимптотические результаты, строгий вывод которых можно найти, например, в книге [Hamilton (1994)].
Пусть
θ
ˆ (n) – оценка наименьших квадратов вектора
θ
по n наблюдениям, X
n
– матрица значений объясняющих переменных для n наблюдений, а
2
n
S
,
t
n
, F
n
- статистики
S
2
,
t
, F , вычисляемые по n наблюдениям. Если выполнены предположения, перечисленные при описании ситуации B, то при n → ∞
n
(
θ
ˆ (n)
–
θ
) → N (0, σ
2
Q
– 1
),
n (
2
n
S
– σ
2
) → N (0, µ
4
– σ
4
),
t
n
→ N (0, 1),
qF
n
→ χ
2
(q) , где q – количество линейных ограничений на компоненты вектора
θ
Здесь везде имеются в виду сходимости по распределению, т.е. распределения случайных величин, стоящих слева от стрелки, неограниченно сближаются при n → ∞ с распределениями, стоящими справа от стрелки. При этом имеют место приближенные соотношения
θ
ˆ (n)
≈ N (
θ
, σ
2
Q
– 1
⁄ n), или
θ
ˆ (n)
≈ N (
θ
, σ
2
(X
n
T
X
n
)
– 1
)
,
(последнее аналогично точному соотношению в гауссовской модели),

Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
5 2
n
S
≈ N (σ
2
, (µ
4
– σ
4
) ⁄ n),
t
n
≈ N (0, 1),
qF
n
≈ χ
2
(q).
Если в ситуации B при имеющемся количестве наблюдений n использоватьне асимптотические распределения, а распределение Стьюдента t(n – p) для t-статистики
(вместо N (0, 1)) и распределение Фишера F(q, n – p) для F-статистики (вместо χ
2
(q) для qF
n
), то это приводит к более широким доверительным интервалам (по сравнению с интервалами, построенными по асимптотическим распределениям). Многие исследователи предпочитают поступать именно таким образом, учитывая это обстоятельство и то, что при конечных n распределения Стьюдента и Фишера могут давать лучшую аппроксимацию истинных распределений статистик t
n
и F
n
Ситуация C
В рассмотренных выше ситуациях, как и в классической модели, предполагалось, что
ε
t
|
X
i.i.d. Теперь мы откажемся от этого предположения и предположим, что
• условное распределение случайного вектора ε относительно матрицы X является n-мерным нормальным распределением N (0, σ
2
V) ;
• V – известная положительно определенная матрица размера n×n.
Поскольку V – ковариационная матрица, она к тому же и симметрична; таковой же будет и обратная к ней матрица V
–1
. Но тогда существует такая невырожденная
(n×n)-матрица P , что V
–1
= P
T
P . Используя матрицу P , преобразуем вектор ε к вектору
ε
*
= P ε .
При этом E (
ε
*
) = 0 и условная (относительно X) ковариационная матрица вектора
ε
*
Cov (
ε
*
|
X
) = E (
ε
*
ε
*T
|
X
) = E (P ε (P ε)
T
|
X
)
= P E (ε ε
T
|
X
) P
T
= P σ
2
V P
T
.
Но V = (V
– 1
)
– 1
= (P
T
P)
– 1
, так что
Cov (
ε
*
|
X
) = P σ
2
V P
T
= σ
2
P(P
T
P)
– 1
P
T
= σ
2
I
n
Преобразуя с помощью матрицы P обе части основного уравнения
y = X
θ
+
ε
, получаем:
Py = PX
θ
+ P
ε
, или
y
*
= X
*
θ
+
ε
*
, где
y
*
= Py , X
*
= PX , ε
*
= P ε .
В преобразованном уравнении
ε
*
|
X N (0, σ
2
I
n
) , так что преобразованная модель удовлетворяет условиям, характеризующим ситуацию A΄. Это означает, что все результаты, полученные в ситуации A, применимы к модели y
*
= X
*
θ
+
ε
*
В частности, оценка наименьших квадратов
θ
*
= (X
*T
X
*
)
– 1
X
*T
y
*
= (X
T
P
T
PX)
– 1
X
T
P
T
Py = (X
T
V
– 1
X)
– 1
X
T
V
– 1
y

Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
6
является несмещенной, т.е. E(
θ
*
) =
θ
, ее условное распределение (относительно
X) нормально и имеет ковариационную матрицу
Cov (
θ
*
|
X
) = σ
2
(X
*T
X
*
)
– 1
= σ
2
(X
T
V
– 1
X)
– 1
Эта оценка известна как
обобщенная оценка наименьших квадратов (GLS –
generalized least squares)
В рамках модели y
*
= X
*
θ
+
ε
*
можно использовать обычные статистические процедуры, основанные на t- и F-статистиках.
Если ковариационная матрица V не известна априори, то обычно ограничиваются моделями, в которых она параметризована, так что V = V(β) , где β – векторный параметр, который приходится оценивать по имеющимся наблюдениям. При этом достаточно часто можно использовать стандартные выводы в асимптотическом плане, заменяя в выражении для GLS оценки
θ
*
= (X
T
V
– 1
X)
– 1
X
T
V
– 1
y неизвестную матрицу V = V(β
0
) (V(β
0
) – истинная ковариационная матрица вектора ε ) матрицей
V(
n
β
ˆ ), где
n
β
ˆ
– любая состоятельная оценка для β
0
. Более того, такую состоятельную оценку часто можно получить простым анализом остатков при оценивании обычной процедурой наименьших квадратов.
Рассмотренные ситуации не охватывают, однако, наиболее интересных для нас моделей стационарных и нестационарных временных рядов. Мы перейдем теперь к обсуждению основных понятий и фактов, касающихся стационарных и нестационарных временных рядов, и рассмотрению процедур регрессионного анализа временных рядов.

Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
1