Эконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядо - Носко В.П.. Эконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядо - Но. В. П. Носко Эконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядов
 Скачать 3.08 Mb.
|
модели ARX. Последнее означает, что по мере продвижения в будущее (т.е. с ростом t ) устанавливается определенная “долговременная” (long-run) связь между переменными y t , z t1 , z t2 , …, z tM , по отношению к которой происходят достаточно быстрые осцилляции. 4.2. Динамические модели Среди различных ARX моделей, в эконометрических исследованиях широкое применение нашли динамические модели (модели с авторегрессионно распределенными запаздываниями – ADL ) y t = α 0 + a 1 y t – 1 + a 2 y t – 2 + … + a p y t – p + + ( β 10 x 1, t + β 11 x 1, t – 1 + … + β 1r x 1, t – r ) + + … + + ( β s 0 x s, t + β s 1 x s, t – 1 + … + β s r x s, t – r ) + ε t Для такой модели используют обозначение ADL(p,r; s) , где p – глубина запаздываний по переменной y t , r – глубина запаздываний по переменным x 1, t , x 2, t , …, x s, t , не являющимся запаздываниями переменной y t , s – количество таких переменных. При такой форме записи допускается, что некоторые из коэффициентов Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm 6 β ij равны нулю, так что глубина запаздываний может быть различной для различных переменных x i, t Модель ADL( p,r; s) можно представить в компактном виде a(L) y t = µ + b 1 ( L) x 1, t + … + b s ( L) x s, t + ε t , где a(L) = 1 – a 1 L – a 2 L 2 – … – a p L p , b i ( L) = β i 0 + β i 1 L + … + β i r L r , i = 1, … , s . Если выполнено условие стабильности, то y t представляется в виде , ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( 1 , , 1 1 t t s s t t L a x L b L a x L b L a L a y ε µ + + + + = K или , ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 , , 1 1 t t s s t t L a x L c x L c L a y ε µ + + + + = K где ) ( ) ( ) ( L a L b L c i i = Долговременную связь между переменными можно найти, полагая в выражении для y t L = 1, ε t ≡ 0. При этом получаем ; ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 1 , , 1 1 t s s t t x c x c a y + + + = K µ строго говоря, в последнем выражении указание на момент t следует исключить: ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 1 1 1 s s x c x c a y + + + = K µ Коэффициенты с 1 (1) , … , с s (1) в последнем сотношении называются долгосрочными мультипликаторами (long-run multipliers) Поясним это название на примере модели ADL(1, 1; 1), которую запишем в виде (1 – α 1 L) y t = µ + β 0 x t + β 1 x t – 1 + ε t При α 1 < 1 получаем равносильное представление ( ) ( )( ) , 1 1 1 1 1 1 0 1 1 t t t t x x L L y ε β β α µ α + + − + − = − т.е. y t = (1 + α 1 + α 1 2 + …) µ + (1 + α 1 L + α 1 2 L 2 + …)( β 0 x t + β 1 x t – 1 + ε t ), из которого последовательно находим: ∂ y t ⁄ ∂ x t = β 0 , ∂ y t +1 ⁄ ∂ x t = ∂y t ⁄ ∂ x t – 1 = β 1 + α 1 β 0 , ∂ y t +2 ⁄ ∂ x t = ∂y t ⁄ ∂ x t – 2 = α 1 β 1 + α 1 2 β 0 , ∂ y t +3 ⁄ ∂ x t = ∂y t ⁄ ∂ x t – 3 = α 1 2 β 1 + α 1 3 β 0 , Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm 7 и т.д. Правые части дают значения импульсных мультипликаторов , показывающих влияние единовременного (импульсного) изменения значения x t на текущее и последующие значения переменной y t . Просуммировав полученные выражения, получаем: ∂ y t ⁄ ∂ x t + ∂y t ⁄ ∂ x t – 1 + ∂ y t ⁄ ∂ x t – 2 + ∂ y t ⁄ ∂ x t – 3 + … = = β 0 (1 + α 1 + α 1 2 + …) + β 1 (1 + α 1 + α 1 2 + …) = = (1 – α 1 L) – 1 ( β 0 + β 1 ). Правая часть этого соотношения, как легко заметить, представляет собой долгосрочный мультипликатор рассматриваемой ADL(1, 1; 1). В соответствии с левой частью, этот мультипликатор показывает изменение значения y t при изменении на единицу текущего и всех предыдущих значений переменной x t Прежде, чем перейти к рассмотрению примера оценивания конкретной ADL модели, следует заметить следующее. При выполнении условий, обеспечивающих возможность использования стандартной техники регрессионного анализа (имеется в виду ее асимптотическая обоснованность – см. разд. 4.1, ситуация F): • Обычная t-статистика имеет асимптотическое N(0,1) распределение. • Если F – обычная F-статистика для проверки гипотезы о выполнении q линейных ограничений на коэффициенты модели, то статистика qF имеет асимптотическое 2 χ распределение с q степенями свободы. • При умеренном количестве наблюдений параллельно с асимптотическими распределениями для t и qF можно для контроля использовать и точные (стандартные) распределения (распределение Стьюдента для t-статистики, распределение Фишера для F-статистики). Согласованность получаемых при этом результатов подкрепляет уверенность в правильности соответствующих статистических выводов. • При наличии в правой части запаздывающих значений объясняемой переменной проверку гипотезы об отсутствии автокоррелированности у ряда ε t следует производить, используя критерий Бройша – Годфри . Критерий Дарбина – Уотсона не годится для этой цели, поскольку в данном случае значения Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm 8 статистики Дарбина – Уотсона d смещены в направлении значения d = 2, так что использование таблиц Дарбина – Уотсона приводит к неоправданно частому неотвержению указанной гипотезы (“презумпция некоррелированности ε t ”). Пример Рассмотрим модель ADL(3, 2; 1) (1 – 0.5L – 0.1L 2 – 0.05L 3 ) y t = 0.7 + (0.2 + 0.1 L + 0.05L 2 ) x t + ε t Для нахождения долговременной связи между переменными y и x полагаем L = 1 и ε t ≡ 0: (1 – 0.5 – 0.1 – 0.05) y = 0.7 + (0.2 + 0.1 + 0.05) x , т.е. 0.35 y = 0.7 + 0.35 x , или y = 2 + x . На приводимом ниже графике представлены смоделированная реализация ряда x t = 0.7 x t–1 + ε xt , ε xt i.i.d. N(0, 1), и соответствующая ей реализация ряда y t , порождаемого указанной моделью ADL(3, 2; 1), где ε t i.i.d. N(0, 1), причем ряд ε t порождается независимо от ряда ε xt . В качестве начальных значений при моделировании были взяты: x 1 = 0, y 1 = y 2 = y 3 = 0. -4 -2 0 2 4 6 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Y X Имея в распоряжении только эти две реализации, мы не знаем, с какой моделью имеем дело. Начнем с оценивания статической модели y t = µ + βx t + ε t методом наименьших квадратов; в результате получаем оцененную модель y t = 1.789+ 0.577x t + e t , где e t – ряд остатков. График ряда остатков имеет вид: -6 -4 -2 0 2 4 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 DELTA Здесь обнаруживается явная автокоррелированность ряда остатков, которая подтверждается построенной для него коррелограммой ACF PAC F C PAC Q-Stat Prob Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm 9 |***** |***** .696 0 .696 4 9.981 .000 |**** |* .536 0 .099 7 9.868 .000 |*** *| .364 - 0.081 9 3.801 .000 |** . | .227 - 0.056 9 9.279 .000 |* . | .130 - 0.015 1 01.10 .000 . | . | .057 - 0.020 1 01.46 .000 и критерием Бройша – Годфри с запаздыванием на один шаг, который дает P- значение 0.0000. Это означает, что мы имеем дело не со статической, а с динамической моделью. Поэтому следует прежде всего рассмотреть характер поведения обоих рядов и произвести их идентификацию. Для ряда x t коррелограмма имеет вид ACF PACF AC PAC Q-Stat Prob . |***** . |***** 0.686 0.686 48.468 0.000 . |*** *| . 0.429 -0.079 67.594 0.000 . |* *| . 0.193 -0.132 71.527 0.000 . | . *| . 0.024 -0.066 71.591 0.000 *| . | . -0.058 0.003 71.958 0.000 *| . *| . -0.140 -0.107 74.090 0.000 По этой коррелограмме ряд x t идентифицируется как AR(1). Для ряда y t коррелограмма имеет вид ACF PACF AC PAC Q-Stat Prob |****** . |****** 0.767 0.767 60.58 0.000 |***** . |* 0.629 0.100 101.75 0.000 |**** . | . 0.494 -0.042 127.37 0.000 |*** . | . 0.399 0.019 144.32 0.000 |** . | . 0.318 -0.003 155.21 0.000 |** . | . 0.257 0.004 162.38 0.000 так что и этот ряд идентифицируется как AR(1). Такой предварительный анализ ограничивает рассмотрение моделью ADL с глубиной запаздываний, равной единице: y t = µ + a 1 y t – 1 + β 0 x t + β 1 x t – 1 + ε t Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm 10 Оценивая такую модель ADL(1, 1; 1), получаем: Dependent Variable: Y Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.558588 0.157276 3.55163 0.0006 Y(-1) 0.695204 0.066095 10.51828 0.0000 X 0.208971 0.126135 1.65673 0.1009 X(-1) 0.161690 0.132352 1.22166 0.2249 Анализ остатков не выявляет автокоррелированности ( P-значение критерия Бройша–Годфри при AR(1) альтернативе равно 0.164), не выявляет значимых отклонений от нормальности распределения ε t (P-значение критерия Jarque – Bera = 0.267), не обнаруживает гетероскедастичности ( P-значение критерия Уайта = 0.159), так что можно, опираясь на приведенные выше факты, использовать асимптотическую теорию статистических выводов и на ее основе использовать результаты, получаемые при применении t- и F-критериев. При проверке гипотезы H 0 : β 0 = β 1 = 0 получаем при использовании F- распределения P-значение 0.0032; при использовании асимптотического распределения χ 2 (2) получаем P-значение 0.0022. В обоих случаях эта гипотеза отвергается. Исключение из правой части модели запаздывающей переменной x t–1 , коэффициент при которой статистически незначим и имеет большее P-значение, чем коэффициент при x t , дает: Dependent Variable: Y Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.517868 0.154098 3.360648 0.0011 Y(-1) 0.719738 0.063131 11.40064 0.0000 X 0.310343 0.095241 3.258511 0.0015 R-squared 0.637523 Mean dependent var 1.844751 Adjusted R-squared 0.629971 S.D. dependent var 1.709520 S.E. of regression 1.039901 Akaike info criterion 2.945962 Sum squared resid 103.8138 Schwarz criterion 3.024602 Log likelihood -142.8251 F-statistic 84.42207 Durbin-Watson stat 2.256404 Prob(F-statistic) 0.000000 Здесь все коэффициенты имеют высокую значимость, а остатки вполне удовлетворительны. Если из предыдущей модели исключить не x t – 1 , а x t , то это приводит к оцененной модели Dependent Variable: Y Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.567821 0.158600 3.580215 0.0005 Y(-1) 0.692523 0.066673 10.38690 0.0000 X(-1) 0.305939 0.100582 3.041698 0.0030 R-squared 0.632818 Mean dependent var 1.844751 Adjusted R-squared 0.625169 S.D. dependent var 1.709520 S.E. of regression 1.046627 Akaike info criterion 2.958857 Sum squared resid 105.1611 Schwarz criterion 3.037497 Log likelihood -143.4634 F-statistic 82.72550 Durbin-Watson stat 2.221594 Prob(F-statistic) 0.000000 Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm 11 По критерию Шварца чуть более предпочтительной выглядит модель с исключенной x t–1 , так что на ней можно и остановиться. Посмотрим, к какому долговременному соотношению приводит такая модель. Итак, мы останавливаемся на оцененной модели (1 – 0.720 L) y t = 0.518+ 0.310 x t + e t Полагая L = 1 и e t ≡ 0, получаем: 0.28 y t = 0.518+ 0.310 x t , так что долговременное соотношение оценивается как y = 1.839 + 1.107x . Это соотношение, конечно, несколько отличается от теоретического. Посмотрим, однако, что дало бы оценивание динамической модели ADL(3, 2; 1). Оценивая такую модель, получаем: Dependent Variable: Y Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.539617 0.174057 3.100239 0.0026 Y(-1) 0.590293 0.105583 5.590795 0.0000 Y(-2) 0.153936 0.120517 1.277303 0.2048 Y(-3) -0.031297 0.099814 -0.313555 0.7546 X 0.205570 0.129483 1.587626 0.1159 X(-1) 0.191959 0.153608 1.249666 0.2147 X(-2) -0.024779 0.138389 -0.179053 0.8583 R-squared 0.643818 Mean dependent var 1.882787 Adjusted R-squared 0.620072 S.D. dependent var 1.706160 S.E. of regression 1.051648 Akaike info criterion 3.008022 Sum squared resid 99.53667 Schwarz criterion 3.193826 Log likelihood -138.8891 F-statistic 27.11327 Durbin-Watson stat 1.999213 Prob(F-statistic) 0.000000 Если найти долговременное соотношение между y и x на основе такого оцененного уравнения по той же схеме, что и прежде, то получаем: y = 1.882 +1.300 x , и это соотношение отнюдь не ближе к теоретическому, чем то, которое мы получили по редуцированному уравнению. Впрочем, и по критерию Шварца полная оцененная модель хуже редуцированной. |