Эконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядо - Носко В.П.. Эконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядо - Но. В. П. Носко Эконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядов
 Скачать 3.08 Mb.
|
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm 18 Чтобы не загромождать изложение, мы ограничимся здесь рассмотрением моделей, входящих в качестве частных случаев в модель ADL(1,1;1) y t = µ + a 1 y t – 1 + β 0 x t + β 1 x t – 1 + ε t Эти частные случаи, несмотря на свою простоту, дают схематические представления девяти широко используемых типов моделей. Различные типы моделей соответствуют различным ограничениям на вектор коэффициентов θ = (a 1 , β 0 ,β 1 ) . При наличии двух ограничений мы говорим об однопараметрической модели, а при наличии одного ограничения – о двухпараметрической модели Полная модель ADL(1,1;1) является трехпараметрической . Ниже мы рассматриваем 9 различных типов моделей. (1) Статическая регрессия (a 1 = β 1 = 0): y t = µ + β 0 x t + ε t . Здесь на значение y t влияет только значение x t в тот же момент времени; предшествующие значения y t – 1 и x t – 1 не влияют на y t Такая модель обычно не характерна для данных, получаемых последовательно во времени, поскольку в таких ситуациях, как правило, случайные величины ε t автокоррелированы. (2) Процесс авторегрессии (β 0 = β 1 = 0) : y t = µ + a 1 y t – 1 + ε t . Здесь значение y t зависит только от значения y t – 1 ; значения переменной x t в моменты t и (t – 1) не влияют на y t Подобные ситуации затрудняют экономический анализ и проведение соответствующей экономической политики из-за того, что в этом случае нет “управляющей” переменной, значения которой можно было бы устанавливать самостоятельно с целью управления значениями переменной y t (3) Модель опережающего показателя (a 1 = β 0 = 0) : y t = µ + β 1 x t – 1 + ε t . Такие модели могут использоваться для прогнозирования, если изменения показателя y следуют с запаздыванием за изменениями показателя x с достаочной надежностью. Однако, при отсутствии серьезных теоретических оснований, коэффициент β 1 вовсе не обязан быть постоянным. В последнем случае это может приводить к некачественным прогнозам, особенно в периоды структурных изменений, когда хороший прогноз особенно необходим. Кроме того, не видно каких-то особых причин для исключения из правой части запаздывающих значений переменной y . (4) Модель скорости роста (a 1 = 1, β 1 = – β 0 ) ∆y t = µ + β 0 ∆x t + ε t , ( ∆ = 1 – L , так что ∆y t = y t – y t – 1 , ∆x t = x t – x t – 1 ), соответствует модели статической регрессии, но не для рядов в уровнях, а для рядов в разностях (для продифференцированных данных). Однако переход к рядам разностей оправдан только если исходные ряды имеют стохастический тренд и коинтегрированы. Об этом мы будем подробно говорить в последующих главах. А пока укажем только на то, что при неоправданном переходе к рядам разностей теряется информация о характере долговременной экономической связи между рядами в уровнях. (5) Модель распределенных запаздываний (a 1 = 0) y t = µ + β 0 x t + β 1 x t – 1 + ε t не содержит в правой части запаздываний переменной y . Она страдает теми же недостатками, что и статическая регрессия, но к ним еще может добавиться и проблема мультиколлинеарности переменных x t и x t – 1 (6) Модель частичной корректировки (β 1 = 0) Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm 19 y t = µ + a 1 y t – 1 + β 0 x t + ε t не содержит в правой части запаздывающих значений переменной x . К такой модели приводят, например, следующие соображения. Пусть y * t = α + β x t – целевой уровень переменной y , а фактически приращение ∆y t = y t – y t – 1 описывается моделью y t – y t – 1 = (1 – λ )( y * t – y t – 1 ) + ε t , 0 ≤ λ ≤ 1, т.е. y t = (1 – λ ) y * t + λ y t – 1 + ε t , так что, с точностью до случайной ошибки ε t , текущее значение y t равно взвешенному среднему целевого y * t и предыдущего значения переменной y . (Например, y t – уровень запасов, x t – уровень продаж.) Тогда y t = y t – 1 + (1 – λ )( α + β x t – y t – 1 ) + ε t = (1 – λ ) α + λ y t – 1 + (1 – λ ) β x t + ε t , или y t = µ + a 1 y t – 1 + β 0 x t + ε t , где µ = (1 – λ ) α , a 1 = λ , β 0 = (1 – λ ) β . Во многих случаях вывод подобных уравнений приводит к автокоррелированным ошибкам, а игнорирование x t – 1 часто порождает оценку коэффициента a 1 , существенно отличающуюся от оценки a 1 в полной модели. (7) Фальстарт, или приведенная форма (β 0 = 0) : y t = µ + a 1 y t – 1 + β 1 x t – 1 + ε t . К такой модели можно придти, например, если x t = λ x t – 1 + u t . Тогда подстановка выражения для x t в полное уравнение ADL(1,1;1) дает: y t = µ + a 1 y t – 1 + β 0 x t + β 1 x t – 1 + ε t = µ + a 1 y t – 1 + (β 0 λ + β 1 ) x t – 1 + (ε t + β 0 u t ), или y t = µ + a 1 y t – 1 + β * 1 x t – 1 + ε * t По одному последнему уравнению ( приведенная форма исходного уравнения) невозможно восстановить значения β 0 и β 1 , не зная значения λ . Т.е. мы можем оценить коэффициенты приведенной формы, но не коэффициенты структурной формы (исходного представления ADL(1,1;1)). (8) Авторегрессионные ошибки (β 1 = – a 1 β 0 ): y t = µ + a 1 y t – 1 + β 0 x t – a 1 β 0 x t – 1 + ε t . Запишем это уравнение в виде y t – a 1 y t – 1 = (1 – a 1 ) α + β 0 (x t – a 1 x t – 1 ) + ε t В последнем уравнении легко узнается известное преобразование Кохрейна – Оркатта , используемое для преодоления проблемы автокоррелированности ошибок в модели парной регрессии y t = α + β 0 x t + u t , u t = a 1 u t – 1 + ε t , a 1 < 1. (9) Модель коррекции ошибок ( a 1 < 1 , β 0 +β 1 = b(1 – a 1 ), b ≠ 0): ∆y t = µ + β 0 ∆x t – (1 – a 1 )( y t – 1 – b x t – 1 ) + ε t , или ∆y t = β 0 ∆x t – (1 – a 1 )( y t – 1 – a – b x t – 1 ) + ε t , где a = µ ⁄ (1 – a 1 ), b = ( β 0 +β 1 )⁄ (1 – a 1 ). Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm 20 Модели такого вида будут очень часто встречаться у нас при рассмотрении связей между нестационарными временными рядами. В этих случаях такая модель описывает механизм поддержания долговременной связи y = a + b x между переменными y t и x t в форме коррекций отклонений y t – 1 – a – b x t – 1 от долговременной связи в предыдущий момент времени. Замечание Исходную (полную) модельADL(1,1;1) y t = µ + a 1 y t – 1 + β 0 x t + β 1 x t – 1 + ε t всегда можно преобразовать к виду y t – y t – 1 = µ – (1 – a 1 ) y t – 1 + β 0 (x t – x t – 1 ) + (β 0 + β 1 ) x t – 1 + ε t Если выполнено условие a 1 < 1 (условие стабильности модели), то ∆ y t = µ + β 0 ∆ x t – (1 – a 1 )( y t – 1 – ((β 0 + β 1 )/(1 – a 1 )) x t – 1 ) + ε t , и при β 0 + β 1 ≠ 0 мы получаем модель коррекции ошибок. Таким образом, модели с a 1 < 1 и β 0 + β 1 ≠ 0 могут быть представлены в равносильной форме в виде модели коррекции ошибок. Обратим теперь внимание на следующее. На практике мы имеем дело только со статистическими данными и не можем знать точно, какая именно модель лежала в основе процесса порождения данных (data generating process – DGP) . Мы можем только, привлекая какие-то теоретические положения или результаты ранее проведенных исследований с другими множествами данных, выбрать некоторую статистическую модель (statistical model – SM) , которую, по нашему мнению, можно использовать для описания процесса порождения данных. Выбрав такую модель, мы производим ее оценивание и затем можем по оцененной модели проверять различные гипотезы о ее коэффициентах, строить доверительные интервалы для коэффициентов и прогнозировать значения объясняемых переменных для нового набора объясняющих переменных. Между тем, здесь решающее значение имеет соотношение между истинным процессом порождения данных и выбранной статистической моделью. Если статистическая модель SM оказывается более полной по сравнению с DGP, то тогда оценивание SM приводит к менее эффективным оценкам. С другой стороны, если процесс порождения данных оказывается полнее, чем выбранная SM, то это приводит к более неприятным последствиям – смещению оценок. Вследствие этого, обычно рекомендуется следовать принципу “от общего к частному”, т.е. первоначально выбирать в качестве статистической модели достаточно полную модель, а затем, производя последовательное тестирование статистической модели, редуцировать исходную статистическую модель к более экономной форме. Пример Статистические данные (n = 100) порождены стабильной моделью ADL(1,1,1) y t = 0.5 y t – 1 + 0.2 x t + 0.3 x t – 1 + ε t , ε t i.i.d. N(0, 0.1 2 ), x t = 0.5 x t – 1 + ν t , ν t i.i.d. N(0, 0.5 2 ) , причем ряды ε t и ν t порождаются независимо друг от друга. Смоделированные реализации имеют вид Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm 21 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 X Y Оценивание по этим реализациям полной модели ADL(1,1;1) в качестве статистической модели дает следующие результаты: Dependent Variable: Y Sample(adjusted): 2 100 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.014122 0.009556 1.477773 0.1428 Y(-1) 0.555208 0.034143 16.26107 0.0000 X 0.188567 0.018421 10.23666 0.0000 X(-1) 0.258377 0.020673 12.49808 0.0000 R-squared 0.913395 Mean dependent var 0.062869 Adjusted R-squared 0.910660 S.D. dependent var 0.310554 S.E. of regression 0.092824 Akaike info criterion -1.876660 Sum squared resid 0.818547 Schwarz criterion -1.771806 Исключая из правой части статистической модели константу, получаем: Dependent Variable: Y Sample(adjusted): 2 100 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. Y(-1) 0.565569 0.033621 16.82186 0.0000 X 0.190325 0.018495 10.29043 0.0000 X(-1) 0.256578 0.020764 12.35668 0.0000 R-squared 0.911404 Mean dependent var 0.062869 Adjusted R-squared 0.909558 S.D. dependent var 0.310554 S.E. of regression 0.093394 Akaike info criterion -1.874134 Sum squared resid 0.837363 Schwarz criterion -1.795494 Log likelihood 95.76965 Durbin-Watson stat 2.218619 Редуцированная модель признается лучшей по критерию Шварца. Проверка ее на адекватность дает следующие результаты. • Коррелограмма ряда остатков соответствует процессу белого шума. • Критерий Бройша – Годфри указывает на отсутствие автокоррелированности у ряда ε t (P-значение = 0.375 при AR(1) альтернативе и 0.165 при AR(2) альтернативе). • Критерий Jarque – Bera не обнаруживает значимых отклонений от нормальности (P-значение = 0.689). • Критерий Уайта не обнаруживает гетероскедастичности (P-значение = 0.285). Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm 22 Иными словами, применение критериев адекватности к оцененной модели дает удовлетворительные результаты. Посмотрим теперь, что дает оценивание по тем же данным выбираемых в качестве SM перечисленных ранее 8 редуцированных моделей. |