|
|
Эконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядо - Носко В.П.. Эконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядо - Но. В. П. Носко Эконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядов
4.3. Векторная авторегрессия
Полулярной моделью связи между временными рядами является
векторная
авторегрессия (VAR – vector autoregression)
В своей простейшей форме такая модель связывает два ряда
y
1t
и y
2t
следующим образом:
y
1t
= µ
1
+ π
11.1
y
1,
t – 1
+ π
12.1
y
2,
t – 1
+
ε
1t
,
y
2t
= µ
2
+ π
21.1
y
1,
t – 1
+ π
22.1
y
2,
t – 1
+
ε
2t
, т.е. , в отличие от простого процесса авторегрессии, значение
y
1t
связывается не только с запаздыванием
y
1,t–1
, но и с запаздыванием
y
2,t–1 второй переменной
y
2t
Случайные величины
ε
1t
и
ε
2t
являются
инновациями
:
• Cov(ε
jt
,
ε
ls
) = 0 для
t ≠ s при любых j , l = 1, 2;
• Cov(ε
jt
,
y
l, t – r
) = 0 для
r ≥ 1 при любых j , l = 1, 2.
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
12
В то же время, для совпадающих моментов времени случайные величины
ε
1t
и
ε
2t
могут быть коррелированными.
Модель векторной авторегрессии для двух рядов допускает включение в правые части уравнений для
y
1t
и y
2t
и большего количества запаздываний этих переменных.
Наибольший порядок запаздываний, включаемых в правую часть, называется
порядком
векторной авторегрессии. Если этот порядок равен
p , то для такой модели используют обозначение
VAR(p)
В общем случае рассматривается
k временных рядов y
1t
,
y
2t
, …,
y
kt
. Модель векторной авторегрессии порядка
p предполагает, что связь между этими рядами имеет вид
y
1t
= µ
1
+ π
11.1
y
1,
t – 1
+
π
11.2
y
1, t – 2
+ … + π
11.p
y
1,
t – p
+
+ π
12.1
y
2,
t – 1
+
π
12.2
y
2,
t – 2
+ … +
π
12.p
y
2,
t – p
+
+ … +
+ π
1k. 1
y
k, t – 1
+
π
1k. 2
y
k, t – 2
+ … +
π
1k.p
y
k, t – p
+
ε
1t
,
y
2t
= µ
2
+ π
21.1
y
1,
t – 1
+
π
21.2
y
1,
t – 2
+ … +
π
21.p
y
1, t – p
+
+ π
22.1
y
2,
t – 1
+
π
22.2
y
2,
t – 2
+ … +
π
22.p
y
2, t – p
+
+ … +
+ π
2k.1
y
k,
t – 1
+
π
2k.2
y
k,
t – 2
+ … +
π
2k.p
y
k, t – p
+
ε
2t
,
y
k t
= µ
k
+ π
k1.1
y
1,
t – 1
+
π
k1.2
y
1, t – 2
+ … + π
k1.p
y
1,
t – p
+
+ π
k2.1
y
2,
t – 1
+
π
k2.2
y
2,
t – 2
+ … +
π
k2.p
y
2,
t – p
+
+ … +
+ π
kk. 1
y
k, t – 1
+
π
kk. 2
y
k, t – 2
+ … +
π
kk.p
y
k, t – p
+
ε
kt
, где
π
ij.r
- коэффициент при
y
j, t – r
в уравнении для
y
i t
Здесь
ε
1t
,
ε
2t
, …, ε
kt
– случайные величины, для которых
• Cov(ε
jt
,
ε
ls
) = 0 для
t ≠ s при любых j , l = 1, …, k ;
• Cov(ε
jt
,
y
l, t – r
) = 0 для
r ≥ 1 при любых j , l = 1, …, k ;
• Cov(ε
jt
,
ε
lt
) могут отличаться от нуля.
Cлучайные величины
ε
1t
,
ε
2t
, …, ε
kt
образуют случайный вектор
ε
t
= (
ε
1t
,
ε
2t
, …,
ε
kt
)
T
, компоненты которого некоррелированы по времени и не коррелированы с запаздывающими значениями переменных
y
1t
,
y
2t
, …,
y
kt
. Этот вектор называют
вектором
инноваций (обновлений) относительно информационного множества
Y
t – 1
= (
y
1,
t – 1
,
y
1, t – 2
,
… , y
1,
t – p
, … ,
y
k, t – 1
,
y
k, t – 2
, … ,
y
k, t – p
)
Пример
Рассмотрим следующую модель VAR(1) для двух рядов (
k = 2, p = 1):
y
1t
= 0.6+ 0.7 y
1,
t – 1
+ 0.2 y
2,
t – 1
+
ε
1t
,
y
2t
= 0.4 + 0.2 y
1,
t – 1
+ 0.7 y
2,
t – 1
+
ε
2t
Приводимый ниже график иллюстрирует поведение смоделированной пары
y
1t
,
y
2t
порождаемой этой моделью для t = 2, 3, …, 100. В качестве начальных значений
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
13
были взяты
y
11
=
y
21
= 0;
ε
1t
и
ε
2t
моделировались как независимые случайные величины, имеющие одинаковое нормальное распределение
N(0, 0.1 2
).
0 1
2 3
4 5
6 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Y1
Y2
Следующий график представляет поведение разности (
y
1t
–
y
2t
).
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Y1-Y2
Мы видим, что с течением времени поведение рядов стабилизируется: они осциллируют вокруг установившихся уровней. Второй график показывает, что установившийся уровень для ряда
y
1t превышает установившийся уровень для ряда
y
2t
приблизительно на 0.4 (среднее арифметическое разности
y
1t
–
y
2t
равно 0.403). Такой характер поведения пары
y
1t
,
y
2t
указывает на стабильность данной модели VAR .
Предсказать стабильный характер поведения реализаций рядов, связанных VAR моделью, можно, анализируя коэффициенты модели. Для этого удобно записать
VAR(
p) модель для k рядов в более компактной форме
y
t
= µ + Π
1
y
t – 1
+ Π
2
y
t – 2
+ … + Π
p
y
t – p
+
ε
t
Здесь
y
t
= (y
1t
,
y
2t
, … ,
y
kt
)
T
, µ = (µ
1
,
µ
2
, … ,
µ
k
)
T
,
ε
t
= (
ε
1t
,
ε
2t
, …, ε
kt
)
T
,
Π
r
= (
π
ij.r
) – матрица размера
k × k коэффициентов при y
1, t – r
,
y
2, t – r
, … ,
y
k, t – r
в
k уравнениях.
Последнее представление можно записать как
y
t
– Π
1
y
t – 1
– Π
2
y
t – 2
– … – Π
p
y
t – p
=
µ + ε
t
,
(
I
k
– Π
1
L – Π
2
L
2
– … – Π
p
L
p
)
y
t
=
µ + ε
t
, или
A(L) y
t
=
µ + ε
t
, где
A(L) = I
k
– Π
1
L – Π
2
L
2
– … – Π
p
L
p
.
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
14
Условие стабильности
такой VAR модели состоит в следующем:
• Все k корней уравнения det(
I
k
– z Π
1
– z
2
Π
2
– … – z
p
Π
p
) = 0 (т.е. det
A(z) = 0) лежат за пределами единичного круга на комплексной плоскости (т.е. модули всех
k корней больше единицы).
Если это условие выполняется, то при продвижении вперед по оси времени система постепенно “забывает” о том, при каких начальных значениях
y
1
,
y
2
, … ,
y
p
она начала реализовываться. Стабильное состояние системы находится путем приравнивания
L = 1 и
0
=
t
ε
. При этом получаем
A(1) y
t
=
µ , так что стабильное состояние определяется как
y
t
= A
– 1
(1)
µ .
Пример
Продолжим рассмотрение модели VAR(1) для двух рядов
y
1t
= 0.6+ 0.7 y
1,
t – 1
+ 0.2 y
2,
t – 1
+
ε
1t
,
y
2t
= 0.4 + 0.2 y
1,
t – 1
+ 0.7 y
2,
t – 1
+
ε
2t
В компактной форме эта система имеет вид
y
t
= µ + Π
1
y
t – 1
+
ε
t
, где
=
t
t
t
y
y
y
2 1
,
=
4 0
6 0
µ
,
=
Π
7 0
2 0
2 0
7 0
1
,
=
t
t
t
2 1
ε
ε
ε
, или
A(L) y
t
= µ + ε
t
, где
7 0
1 2
0 2
0 7
0 1
7 0
2 0
2 0
7 0
1 0
0 1
)
(
1 2
−
−
−
−
=
−
=
Π
−
=
L
L
L
L
L
L
L
L
L
I
L
A
, так что
6 4
4 6
)
1
(
,
3 0
2 0
2 0
3 0
)
1
(
1
=
−
−
=
−
A
A
Уравнение det
A(z) = 0 принимает здесь вид
,
0 7
0 1
2 0
2 0
7 0
1
)
(
det
=
−
−
−
−
=
z
z
z
z
z
A
т.е. (1 – 0.7
z)
2
– (0.2
z)
2
= 0 , или (1 – 0.9
z)(1 – 0.5 z) = 0 . Оба корня z = 1/0.9 и
z = 1/0.5 больше 1, т.е. условие стабильности выполняется.
Долгосрочное (стабильное) поведение системы находим по формуле
=
=
=
−
8 4
2 5
4 0
6 0
6 4
4 6
)
1
(
1
µ
A
y
t
.
Таким образом, стабильное состояние системы определяется здесь как
y
1t
= 5.2, y
2t
= 4.8,
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm 15 так что стабильное состояние разности y1 t – y2 t есть y1 – y2 = 0.4 . Соответственно, с течением времени, независимо от начальных условий, ряд y1 t начинает осциллировать вокруг уровня 5.2, а ряд y2 t начинает осциллировать вокруг уровня 4.8; разность ( y1 t – y2 t) осциллирует вокруг уровня 0.4 . Именно такое поведение смоделированных реализаций рассматриваемой VAR(1) мы и наблюдали ранее. Векторные авторегрессии, определенные так, как было указано выше, называют также замкнутыми VAR, отличая тем самым эти модели от открытых VAR, в правые части которых наряду с запаздывающими значениями переменных, находящихся в левых частях уравнений (эндогенные переменные), входят и некоторые другие переменные и их запаздывания (экзогенные переменные). Проводя различие между эндогенными и экзогенными переменными, по-существу предполагают, что значения экзогенных переменных формируются вне рассматриваемой системы , а значения эндогенных переменных порождаются в рамках этой системы . Фактически, система в этом случае рассматривается как условная по отношению к экзогенным переменным. Заметим, что в замкнутой VAR экзогенные переменные отсутствуют. Открытую VAR можно представить в виде A( L) yt= µ + B( L) xt+ ε t, где A( L) = I – Π 1 L – Π 2 L2 – … – Π p Lpи B( L) – матричные полиномы. Если все решения уравнения det A( z) = 0 лежат за пределами единичного круга на комплексной плоскости, что необходимо для обеспечения стабильности системы, то тогда справедливо также представление yt= A – 1 ( L) µ + С( L) xt+ A – 1 ( L) ε t, где С( L) = A – 1 ( L) B( L) – передаточная функция (transfer function). Функция С( L) – матричная функция; она устанавливает влияние единичных изменений в экзогенных переменных на эндогенные переменные. Долговременную (долгосрочную, стабильную, long-run ) связь между экзогенными и эндогенными переменными можно найти, полагая в последнем представлении L = 1 и ε t ≡ 0. При этом получаем: yt= A – 1 (1) µ + С(1) xtМатрица С(1) называется матрицей долгосрочных мультипликаторов. Ее ( i , j)-йэлемент cij(1) представляет влияние единичного изменения xjt на yit в долговременном плане (см. интерпретацию долгосрочных мультипликаторов в разд. 4.2). Пример На базе рассмотренной выше замкнутой модели VAR(1) для двух рядов построим открытую VAR y1 t = 0.6+ 0.7 y1, t – 1 + 0.2 y2, t – 1 + 0.1 x1, t – 1 + 0.2 x2, t + ε1 t , y2 t = 0.4 + 0.2 y1, t – 1 + 0.7 y2, t – 1 + 0.2 x1, t + 0.4 x2, t – 1 + ε2 tЗдесь µ и матричный полином A( L) – те же, что и ранее, а Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm 16 = + = + = LLLLBBLB4 0 2 0 2 0 0.1 4 0 0 0 1 0 0 2 0 2 0 0 ) ( 1 0 , так что 4 0 2 0 2 0 1 0 ) 1 ( 1 0 = + = BBBМатрица долгосрочных мультипликаторов равна = = = − 2 3 6 1 8 2 4 1 4 0 2 0 2 0 1 0 6 4 4 6 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 1 BAC, так что стабильное решение есть + = 2 1 2 1 2 3 6 1 8 2 4 1 8 4 2 5 xxyy, т.е. 2 3 6 1 8 4 , 8 2 4 1 2 5 2 1 2 2 1 1 xxyxxy+ + = + + = Ниже приведены графики смоделированных реализаций этой открытой системы в случае, когда x1, t и x2, t – независимые друг от друга AR(1) ряды, x1, t = 0.7 x1, t – 1 + ν1 t, x2, t = 0.5 x2, t – 1 + ν2 t ; ν1 t и ν2 t i.i.d. N(0, 1). В качестве начальных значений при моделировании взяты • x11 = x21 = 0, y11 = y21 = 0 (вариант 1) • x11 = x21 = 0, y11 = 5.2, y21 = 4.8 (вариант 2). В результате получаем: 0 2 4 6 8 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Y1 Y2 Variant 1 1 2 3 4 5 6 7 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Y1 Y2 Variant 2 В первом случае, из-за несоответствия начальных значений переменных стабильным соотношениям, системе требуется некоторое время, чтобы выйти на стабильный режим. Во втором случае начальные значения переменных согласованы с долговременными соотношениями между переменными. Рассмотрим следующую замкнутую VAR(1) для двух переменных: y1 t = 0.8 y1, t – 1 + 0.2 y2, t – 1 + ε1 t , y2 t = 0.2 y1, t – 1 + 0.8 y2, t – 1 + ε2 tДля этой системы , 8 0 2 0 2 0 8 0 2 1 2 1 2 1 + = ttttttyyLLLLyyε ε Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm 17 так что − − − − = LLLLLA8 0 1 2 0 2 0 8 0 1 ) ( При этом = 2 0 2 0 2 0 2 0 ) 1 ( A, определитель этой матрицы равен нулю, и матрица A– 1 (1) не определена. Уравнение det A( z) = 0 имеет здесь вид (1 – 0.8 z) 2 – (0.2 z) 2 = 0, т.е. (1 – z)(1 – 0.6 z) = 0. Корни этого уравнения равны (1/0.6) и 1. Наличие корня, равного 1, нарушает условие стабильности системы. Как ведут себя в этом случае реализации системы? Ниже приводится соответствующий график. -8 -6 -4 -2 0 2 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Y1 Y2 Здесь стабилизации системы не наблюдается. Можно предположить, что это происходит из-за неудачного выбора начальных значений y11 = y21 = 0. Перемоделируем реализации, полагая начальные значения приблизительно равными наблюдаемому “конечному” уровню: y11 = y21 = 5. Новые реализации -2 0 2 4 6 8 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Y1 Y2 по-прежнему не стабилизируются, и это отражает фундаментальное отличие рассматриваемой нестабильной модели VAR от стабильной. |
|
|
Скачать 3.08 Mb.