SM
1
(статическая регрессия): y
t
= µ + β
0
x
t
+ ε
t
Оцененная модель:
Dependent Variable: Y
Sample: 1 100
Variable
Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
X 0.271208 0.053356 5.082965 0.0000
R-squared
0.174472 Mean dependent var 0.062241
Adjusted R-squared 0.174472 S.D. dependent var 0.309046
S.E. of regression 0.280794 Akaike info criterion 0.307561
Sum squared resid 7.805700 Schwarz criterion
0.333613
Log likelihood
-14.37805 Durbin-Watson stat 0.839862
В правой части этой статистической модели нет запаздывающих значений объясняемой переменной. Поэтому здесь можно ориентироваться на значения статистики Дарбина – Уотсона. Низкое значение этой статистики указывает на автокоррелированность ряда ε
t
, т.е. на неправильную спецификацию выбранной статистической модели.
SM
2
Процесс авторегрессии:
y
t
= µ + a
1
y
t – 1
+ ε
t
.
Оцененная модель:
Dependent Variable: Y
Sample(adjusted): 2 100
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 0.013941 0.020679 0.674149 0.5018
Y(-1) 0.764874 0.065621 11.65594 0.0000
Поскольку в этой статистической модели правая часть содержит запаздывающее значение объясняемой переменной, ориентироваться на статистику Дарбина – Уотсона не следует. Проверку на отсутствие автокоррелированности для ряда ε
t
выполняем, используя критерий Бройша – Годфри. При AR(1) альтернативе P-значение этого критерия равно 0.00003, так что гипотеза некоррелированности случайных величин ε
t
отвергается. Следовательно, выбранная статистическая модель специфицирована неправильно.
SM
3
Модель опережающего показателя
:
y
t
= µ + β
1
x
t – 1
+ ε
t
.
Оцененная модель:
Dependent Variable: Y
Sample(adjusted): 2 100
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 0.049508 0.019722 2.510238 0.0137
X(-1) 0.455497 0.037291 12.21457 0.0000
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
23
При AR(1) альтернативе P-значение критерия Бройша – Годфри равно 0.0002, гипотеза некоррелированности случайных величин ε
t
отвергается. Выбранная статистическая модель специфицирована неправильно.
SM
4
Модель скорости роста: ∆y
t
= µ + β
0
∆x
t
+ ε
t
Оцененная модель
Dependent Variable: D(Y)
Sample(adjusted): 2 100
Variable
Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C -0.001126 0.021384 -0.052674 0.9581
D(X) 0.040538 0.033362 1.215078 0.2273
Log likelihood
13.74152 F-statistic
1.476415
Durbin-Watson stat 1.574116 Prob(F-statistic) 0.227286
При AR(1) альтернативе P-значение критерия Бройша – Годфри равно 0.029, гипотеза некоррелированности случайных величин ε
t
отвергается. Выбранная статистическая модель специфицирована неправильно.
SM
5
Модель распределенных запаздываний:
y
t
= µ + β
0
x
t
+ β
1
x
t – 1
+ ε
t
Оцененная модель
Dependent Variable: Y
Sample(adjusted): 2 100
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C
0.046032 0.018096 2.543741 0.0126
X 0.156214 0.035435 4.408526 0.0000
X(-1) 0.414363 0.035435 11.69370 0.0000
При AR(1) альтернативе P-значение критерия Бройша – Годфри равно 0.00000, гипотеза некоррелированности случайных величин ε
t
отвергается. Выбранная статистическая модель специфицирована неправильно.
SM
6
Модель частичной корректировки:
y
t
= µ + a
1
y
t – 1
+ β
0
x
t
+ ε
t
Оцененная модель
Dependent Variable: Y
Sample(adjusted): 2 100
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C
0.007088 0.015431 0.459354 0.6470
Y(-1) 0.753212 0.048925 15.39514 0.0000
X 0.253493 0.028588 8.867013 0.0000
При AR(1) альтернативе P-значение критерия Бройша – Годфри равно 0.012, гипотеза некоррелированности случайных величин ε
t
отвергается. Выбранная статистическая модель специфицирована неправильно.
SM
7
Приведенная форма
:
y
t
= µ + a
1
y
t – 1
+ β
1
x
t – 1
+ ε
t
.
Оцененная модель
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
24
Dependent Variable: Y
Sample(adjusted): 2 100
Variable
Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 0.020438 0.013757 1.485648 0.1406
Y(-1) 0.517457 0.048968 10.56734 0.0000
X(-1) 0.318058 0.028613 11.11579 0.0000
S.E. of regression 0.133909 Akaike info criterion -1.153476
Sum squared resid 1.721440 Schwarz criterion
-1.074836
Здесь P-значение критерия Бройша – Годфри при AR(1) альтернативе равно
0.499, а при AR(2) альтернативе равно 0.538. Гипотеза некоррелированности случайных величин ε
t
не отвергается, и можно перейти к проверке адекватности другими критериями. Критерий Jarque – Bera не обнаруживает значимых отклонений от нормальности (P-значение = 0.937). Критерий
Уайта не обнаруживает гетероскедастичности (P-значение = 0.348).
Иными словами, применение критериев адекватности к оцененной модели дает удовлетворительные результаты. Поэтому возможно осуществить редукцию модели, основываясь на статистической незначимости константы в правой части уравнения.
Исключение константы из правой части дает:
Dependent Variable: Y
Variable
Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
Y(-1) 0.532005 0.048276 11.02001 0.0000
X(-1) 0.316252 0.028765 10.99445 0.0000
S.E. of regression 0.134740 Akaike info criterion -1.150947
Sum squared resid 1.761018 Schwarz criterion
-1.098520
Модель без константы предпочтительнее по критерию Шварца.
С точки зрения анализа остатков, последняя модель вполне может быть использована для описания процесса порождения данных. Однако если мы сравним результаты ее оценивания с полученными ранее результатами оценивания модели y
t
=
a
1
y
t – 1
+ β
0
x
t
+
β
1
x
t – 1
+ ε
t
, то обнаружим, что в модели с включением x
t
в правую часть значения критериев Акаике (– 1.874) и Шварца (– 1.795) гораздо предпочтительнее.
SM
8
Авторегрессионные ошибки:
y
t
= µ + a
1
y
t – 1
+ β
0
x
t
– a
1
β
0
x
t – 1
+ ε
t
.
Использование нелинейного (итерационного) метода наименьших квадратов для оценивания параметров этого уравнения дает следующие результаты
Dependent Variable: Y
Sample(adjusted): 2 100
Convergence achieved after 19 iterations
Y=C(1)+C(2)*Y(-1)+C(3)*X-(C(2)*C(3))*X(-1)
Coefficient Std. Error t-Statistic
Prob.
C(1)
0.014489 0.020617 0.702743 0.4839
C(2)
0.749747 0.070184 10.68267 0.0000
C(3)
0.052577 0.036535 1.439066 0.1534
R-squared
0.592630 Mean dependent var
0.062869
Adjusted R-squared 0.584144 S.D. dependent var
0.310554
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
25
S.E. of regression
0.200267 Akaike info criterion
-0.348499
Sum squared resid
3.850250 Schwarz criterion
-0.269859
Log likelihood
20.25069 Durbin-Watson stat
1.447077
При AR(1) альтернативе P-значение критерия Бройша – Годфри равно 0.0002, гипотеза некоррелированности случайных величин ε
t
отвергается. Выбранная статистическая модель специфицирована неправильно.
Рассмотрим также оценивание SM в форме модели коррекции ошибок (хотя эта модель и не является редуцированной).
SM
9
Модель коррекции ошибок:
∆y
t
= µ + β
0
∆x
t
– (1 – a
1
)(
y
t – 1
– b
x
t – 1
) + ε
t
Оцененная модель (нелинейный метод наименьших квадратов):
Dependent Variable: D(Y)
Sample(adjusted): 2 100
Convergence achieved after 4 iterations
D(Y) =C(1)+C(2)*D(X) + (C(3)-1)*(Y(-1)-C(4)*X(-1))
Coefficient Std. Error t-Statistic
Prob.
C(1)
0.014122 0.009556 1.477773 0.1428
C(2)
0.188567 0.018421 10.23666 0.0000
C(3)
0.555208 0.034143 16.26107 0.0000
C(4)
1.004839 0.078119 12.86299 0.0000
R-squared
0.816395 Mean dependent var
-0.001100
Adjusted R-squared 0.810597 S.D. dependent var
0.213288
S.E. of regression
0.092824 Akaike info criterion
-1.876660
Sum squared resid
0.818547 Schwarz criterion
-1.771806
Log likelihood
96.89465 Durbin-Watson stat
2.248395
P-значение критерия Бройша – Годфри при AR(1) альтернативе равно 0.130, а при AR(2) альтернативе равно 0.318; гипотеза некоррелированности случайных величин ε
t
не отвергается. Критерий Jarque – Bera не обнаруживает значимых отклонений от нормальности (P-значение = 0.711). Критерий Уайта не обнаруживает гетероскедастичности (P-значение = 0.380).
Иными словами, применение критериев адекватности к оцененной модели дает удовлетворительные результаты. Опираясь на них, редуцируем модель, исключая из правой части константу; при этом получаем:
Dependent Variable: D(Y)
Convergence achieved after 3 iterations
D(Y) =C(2)*D(X) + (C(3)-1)*(Y(-1)-C(4)*X(-1))
Coefficient Std. Error t-Statistic
Prob.
C(2)
0.190325 0.018495 10.29043 0.0000
C(3)
0.565569 0.033621 16.82186 0.0000
C(4)
1.028710 0.080225 12.82279 0.0000
R-squared
0.812174 Mean dependent var
-0.001100
Adjusted R-squared 0.808261 S.D. dependent var
0.213288
S.E. of regression
0.093394 Akaike info criterion
-1.874134
Sum squared resid
0.837363 Schwarz criterion
-1.795494
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
26
Log likelihood
95.76965 Durbin-Watson stat
2.218619 т.е.
∆yt= 0.190
∆xt– 0.434(
yt – 1
– 1.029
x t – 1
) +
et Модель без константы предпочтительнее по критерию Шварца.
Уединяя
yt в
левой части уравнения, получаем:
yt= 0.566
yt – 1
+ 0.190
xt + 0.253
x t – 1
+
etСравним это уравнение с реально использованным для моделирования
DGP:
yt= 0.5
yt – 1
+ 0.2
xt+ 0.3
x t – 1
+
εt и с результатом оценивания соответствующей ему статистической модели:
yt= 0.565
yt – 1
+ 0.190
xt+ 0.257
x t – 1
+
εt Найдем долговременное соотношение между переменными
yt и
xt , соответствующее теоретическому процессу порождения данных:
yt= 0.5
yt + 0.2
xt+ 0.3
x t y =
x .
В то же время, долговременное соотношение, получаемое по оцененной SM, соответствующей этому DGP:
yt= 0.565
yt + 0.190
xt+ 0.257
xt y = 1.002
x .
Далее, долговременное соотношение, получаемое по оцененной SM
9
(в варианте без константы в правой части):
yt= 0.566
yt + 0.190
xt + 0.253
x t y = 1.021
x .
Наконец, если взять результаты оценивания модели SM
7
(приведенная форма) без включения константы, то для этого случая получаем:
yt= 0.532
yt + 0.316
x t y = 0.675
x .
Эти результаты указывают на возможность серьезных последствий, проистекающих из неправильной спецификации SM, когда эта спецификация оказывается уже спецификации DGP. Заметим, что в рамках такой SM отнюдь не всегда удается обнаружить статистическими методами “узость” выбранной спецификации. Мы смогли это сделать в рамках оцененных статистических моделей SM
1
– SM
6 и SM
8
, но не в модели SM
7
Рассмотрим теперь обратную ситуацию, когда, напротив, выбранная для оценивания статистическая модель SM оказывается полнее (“шире”) модели DGP, так что модель, соответствующая DGP, является частным случаем статистической модели, выбранной для оценивания.
В качестве DGP будем последовательно брать модели (1) – (8), а в качестве SM – полную модель ADL(1,1;1) без ограничений на коэффициенты:
yt=
µ +
a1
yt – 1
+
β0
xt+
β1
x t – 1
+
εt Значения коэффициентов при переменных в моделях (1) – (8) будем брать такими же, как и в исходной модели ADL(1,1;1)
yt= 0.5
yt – 1
+ 0.2
xt+ 0.3
x t – 1
+
εt При моделировании DGP во всех случаях берется
εt i.i.d. N(0, 0.1 2
).
DGP1 : Статическая регрессия yt = 0.2 xt + εt .
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
27
Оцененная статистическая модель
Dependent Variable: Y
Variable
Coefficient Std. Error t-Statistic
Prob.
C -0.004647 0.010300
-0.451175 0.6529
Y(-1)
0.102848 0.101833 1.009966 0.3151
X
0.186813 0.020222 9.238033 0.0000
X(-1)
0.000201 0.028272 0.007101 0.9943
R-squared
0.507795 Mean dependent var
0.001230
Adjusted R-squared 0.492252 S.D. dependent var
0.143412
S.E. of regression
0.102190 Akaike info criterion
-1.684398
Sum squared resid
0.992068 Schwarz criterion
-1.579545
P-значение критерия Бройша – Годфри при AR(1) альтернативе равно 0.760, а при AR(2) альтернативе равно 0.951, гипотеза некоррелированности случайных величин ε
t
не отвергается. Критерий Jarque – Bera не обнаруживает значимых отклонений от нормальности (P-значение = 0.733). Критерий Уайта не обнаруживает гетероскедастичности (P-значение = 0.770).
Иными словами, применение критериев адекватности к оцененной модели дает удовлетворительные результаты. Опираясь на них, можно перейти к проверке гипотез о значениях коэффициентов. При проверке гипотезы о занулении константы и коэффициентов при y
t – 1
и x
t – 1 получаем значение обычной F-статистики, равное F =
0.738, и qF = 2.214. Исходя из F-распределения для статистики F , получаем P- значение 0.532. Использование асимптотического распределения χ
2
(3) для qF приводит к P-значению 0.529. При обоих вариантах гипотеза о занулении трех указанных коэффициентов не отвергается. Тем самым, можно перейти к оцениванию редуцированной модели y
t
= µ + β
0
x
t
+ ε
t
, и это дает:
Dependent Variable: Y
Sample: 1 100
Variable
Coefficient Std. Error t-Statistic
Prob.
X
0.190067 0.019291 9.852604 0.0000
R-squared
0.494995 Mean dependent var
0.001935
Adjusted R-squared 0.494995 S.D. dependent var
0.142860
S.E. of regression
0.101522 Akaike info criterion
-1.727139
Sum squared resid
1.020359 Schwarz criterion
-1.701087
Редуцированная модель лучше полной и по критерию Акаике и по критерию
Шварца. Остатки от оцененной редуцированной модели проходят тесты на нормальность, отсутствие автокоррелированности и гетероскедастичности.
DGP
2
: Процесс авторегрессии
y
t
= 0.5
y
t – 1
+ ε
t
.
Оцененная статистическая модель
Dependent Variable: Y
Variable
Coefficient Std. Error t-Statistic
Prob.
C -0.004519 0.010315
-0.438075 0.6623
Y(-1)
0.576756 0.084134 6.855173 0.0000
X -0.013220 0.020253
-0.652774 0.5155
X(-1)
0.021476 0.020228 1.061719 0.2911
R-squared
0.338422 Mean dependent var
-0.007891
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
28
Adjusted R-squared 0.317530 S.D. dependent var
0.123820
S.E. of regression
0.102290 Akaike info criterion
-1.682441
Sum squared resid
0.994011 Schwarz criterion
-1.577588
P-значение критерия Бройша – Годфри при AR(1) альтернативе равно 0.600, а при AR(2) альтернативе равно 0.773, гипотеза некоррелированности случайных величин ε
t
не отвергается. Критерий Jarque – Bera не обнаруживает значимых отклонений от нормальности (P-значение = 0.654). Критерий Уайта не обнаруживает гетероскедастичности (P-значение = 0.956).
При проверке гипотезы о занулении константы и коэффициентов при x
t
и x
t – 1 получаем значение обычной F-статистики, равное F = 0.641, и qF = 1.283. Исходя из
F-распределения для статистики F , получаем P-значение 0.529. Использование асимптотического распределения χ
2
(3) для qF приводит к P-значению 0.527. При обоих вариантах гипотеза о занулении трех указанных коэффициентов не отвергается.
Тем самым, можно перейти к оцениванию редуцированной модели y
t
= a
1
y
t – 1
+ ε
t
, и это дает:
Dependent Variable: Y
Variable
Coefficient Std. Error t-Statistic
Prob.
Y(-1)
0.575922 0.082705 6.963585 0.0000
R-squared
0.328274 Mean dependent var
-0.007891
Adjusted R-squared 0.328274 S.D. dependent var
0.123820
S.E. of regression
0.101482 Akaike info criterion
-1.727825
Sum squared resid
1.009258 Schwarz criterion
-1.701612
Редуцированная модель предпочтительнее и по критерию Акаике и по критерию
Шварца. Анализ остатков не выявляет значимых отклонений от сделанных предположении в отношении ряда ε
t
DGP
3
: Модель опережающего показателя
y
t
= 0.3 x
t – 1
+ ε
t
.
Оцененная модель
Dependent Variable: Y
Variable
Coefficient Std. Error t-Statistic
Prob.
C -0.005202 0.010305
-0.504767 0.6149
Y(-1)
0.052373 0.054196 0.966363 0.3363
X -0.012475 0.020310
-0.614213 0.5405
X(-1)
0.315962 0.020645 15.30433 0.0000
R-squared
0.736662 Mean dependent var
0.004035
Adjusted R-squared 0.728346 S.D. dependent var
0.196154
S.E. of regression
0.102236 Akaike info criterion
-1.683501
Sum squared resid
0.992959 Schwarz criterion
-1.578647
P-значение критерия Бройша – Годфри при AR(1) альтернативе равно 0.614, а при AR(2) альтернативе равно 0.868, гипотеза некоррелированности случайных величин ε
t
не отвергается. Критерий Jarque – Bera не обнаруживает значимых отклонений от нормальности (P-значение = 0.740). Критерий Уайта не обнаруживает гетероскедастичности (P-значение = 0.804).
При проверке гипотезы о занулении константы и коэффициентов при x
t
и y
t – 1 получаем значение обычной F-статистики, равное F = 0.577, и qF = 1.730. Исходя из
F-распределения для статистики F , получаем P-значение 0.632. Использование
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
29
асимптотического распределения
χ2
(3) для
qF приводит к P-значению 0.630. При обоих вариантах гипотеза о занулении трех указанных коэффициентов не отвергается.
Тем самым, можно перейти к оцениванию редуцированной модели
yt = β1
x t – 1
+ εt, и это дает:
Dependent Variable: Y
Variable
Coefficient Std. Error t-Statistic
Prob.
X(-1)
0.315777 0.019302 16.35987 0.0000
R-squared
0.731866 Mean dependent var
0.004035
Adjusted R-squared 0.731866 S.D. dependent var
0.196154
S.E. of regression
0.101572 Akaike info criterion
-1.726058
Sum squared resid
1.011044 Schwarz criterion
-1.699844
Редуцированная модель предпочтительнее и по критерию Акаике и по критерию
Шварца. Анализ остатков не выявляет значимых отклонений от сделанных предположении в отношении ряда
εtDGP4 : Модель скорости роста ∆yt= µ + β0 ∆xt+ εt .Оцененная модель
Dependent Variable: Y
Included observations: 99 after adjusting endpoints
Variable
Coefficient Std. Error t-Statistic
Prob.
C -0.029026 0.017741
-1.636049 0.1051
Y(-1)
0.959750 0.024228 39.61303 0.0000
X
0.184064 0.019993 9.206520 0.0000
X(-1) -0.173461 0.020340
-8.528162 0.0000
R-squared
0.944972 Mean dependent var
-0.599911
Adjusted R-squared 0.943234 S.D. dependent var
0.425076
S.E. of regression
0.101277 Akaike info criterion
-1.702356
Sum squared resid
0.974412 Schwarz criterion
-1.597502
Log likelihood
88.26661 F-statistic
543.7988
Durbin-Watson stat
1.745026 Prob(F-statistic)
0.000000
Отметим близкое к единице оцененное значение коэффициента при
yt – 1
, что может говорить о том, что в DGP “истинное” значение коэффициента равно
a1
= 1. Но тогда нарушается условие стабильности системы. И действительно, график ряда
yt ,
полученного в результате моделирования, имеет вид
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5 0.0 0.5 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Y
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
30
явно указывающий на нестационарность ряда.
Вопрос о проверке гипотез типа H
0
: a
1
= 1 требует специального рассмотрения, и мы будем рассматривать его в последующих главах. Сейчас же, исходя из наблюдаемого поведения ряда y
t
и близости оцененного значения коэффициента к 1, займемся оцениванием модели
∆y
t
= µ + β
0
x
t
+
β
1
x
t – 1
+ ε
t
Мы можем использовать для нее стандартную (асимптотическую) технику статистических выводов, поскольку реализация ряда x
t
имеет вид
-1.5
-1.0
-0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
X
указывающий на стационарность этого ряда, и реализация ряда разностей ∆y
t
имеет вид
-0.6
-0.4
-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
DELTA
говорящий в пользу стационарности ряда ∆y
t
В результате оценивания получаем:
Dependent Variable: D(Y)
Variable
Coefficient Std. Error t-Statistic
Prob.
C -0.004915 0.010297
-0.477336 0.6342
X
0.185224 0.020163 9.186333 0.0000
X(-1) -0.179782 0.020163
-8.916410 0.0000
Здесь мы, конечно, обращаем внимание на статистическую незначимость константы, а также на то, что оцененные коэффициенты при переменных x
t
и
x
t – 1 близки по абсолютной величине и противоположны по знаку. В связи с этим, мы в рамках статистической модели
∆y
t
= µ + β
0
x
t
+
β
1
x
t – 1
+ ε
t
проверяем гипотезу H
0
: µ = 0, β
0
= – β
1
. Используя F-распределение для F- статистики и распределение хи-квадрат χ
2
(2) для статистики qF = 2F , получаем в обоих случаях P-значение 0.876. Гипотеза H
0
не отвергается, и можно перейти к
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
31
оцениванию модели с такими ограничениями, т.е. модели ∆y
t
= β
0
∆x
t
+ ε
t
. Оцененная модель с ограничениями:
Dependent Variable: D(Y)
Variable
Coefficient Std. Error t-Statistic
Prob.
D(X)
0.182495 0.015882 11.49045 0.0000
P-значение критерия Бройша – Годфри при AR(1) альтернативе равно 0.328, а при AR(2) альтернативе равно 0.605; гипотеза некоррелированности случайных величин ε
t
не отвергается. Критерий Jarque – Bera не обнаруживает значимых отклонений от нормальности (P-значение = 0.673). Критерий Уайта не обнаруживает гетероскедастичности (P-значение = 0.988). Таким образом, и в этом случае мы вышли в результате тестирования на статистическую модель, имеющую ту же спецификацию, что и DGP.
DGP
5
Модель распределенных запаздываний
y
t
= µ + 0.2 x
t
+ 0.3 x
t – 1
+ ε
t
.
Оцененная модель
Dependent Variable: Y
Variable
Coefficient Std. Error t-Statistic
Prob.
C -0.003282 0.010206
-0.321584 0.7485
Y(-1)
0.000523 0.058294 0.008975 0.9929
X
0.181735 0.019977 9.097166 0.0000
X(-1)
0.289502 0.024922 11.61638 0.0000
R-squared
0.804020 Mean dependent var
0.010665
Adjusted R-squared 0.797831 S.D. dependent var
0.225113
S.E. of regression
0.101218 Akaike info criterion
-1.703515
Sum squared resid
0.973283 Schwarz criterion
-1.598661
P-значение критерия Бройша – Годфри при AR(1) альтернативе равно 0.972, а при AR(2) альтернативе равно 0.826; гипотеза некоррелированности случайных величин ε
t
не отвергается. Критерий Jarque – Bera не обнаруживает значимых отклонений от нормальности (P-значение = 0.689). Критерий Уайта не обнаруживает гетероскедастичности (P-значение = 0.433).
Проверяем гипотезу H
0
: µ = 0, a
1
= 0 . Используя F-распределение для F-статистики и распределение хи-квадрат χ
2
(2) для статистики qF = 2F , получаем в обоих случаях
P-значение 0.950. Гипотеза H
0
не отвергается, и можно перейти к оцениванию модели с
µ = 0, a
1
= 0, т.е. модели y
t
= µ + β
0
x
t
+ β
1
x
t – 1
+ ε
t
. Оцененная модель с ограничениями:
Dependent Variable: Y
Variable
Coefficient Std. Error t-Statistic
Prob.
X
0.181461 0.019754 9.185972 0.0000
X(-1)
0.289367 0.019756 14.64736 0.0000
DGP
6
Модель частичной корректировки
y
t
= µ + 0.5
y
t – 1
+ 0.2
x
t
+ ε
t
.
Оцененная модель:
Dependent Variable: Y
Variable
Coefficient Std. Error t-Statistic
Prob.
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
32
C -0.005099 0.010263
-0.496869 0.6204
Y(-1)
0.592041 0.071296 8.304016 0.0000
X
0.188766 0.020280 9.308077 0.0000
X(-1)
0.000973 0.025019 0.038898 0.9691
P-значение критерия Бройша – Годфри при AR(1) альтернативе равно 0.904, а при AR(2) альтернативе равно 0.723; гипотеза некоррелированности случайных величин ε
t
не отвергается. Критерий Jarque – Bera не обнаруживает значимых отклонений от нормальности (P-значение = 0.691). Критерий Уайта не обнаруживает гетероскедастичности (P-значение = 0.533).
Проверяем гипотезу H
0
: µ = 0, β
1
= 0. Используя F-распределение для F-статистики и распределение хи-квадрат χ
2
(2) для статистики qF = 2F , получаем в обоих случаях
P-значение 0.884. Гипотеза H
0
не отвергается, и можно перейти к оцениванию модели с
µ = 0, β
1
= 0, т.е. модели y
t
= µ + a
1
y
t – 1
+ β
0
x
t
+ ε
t
Оцененная модель с ограничениями:
Dependent Variable: Y
Variable
Coefficient Std. Error t-Statistic
Prob.
Y(-1)
0.592666 0.056702 10.45233 0.0000
X
0.188468 0.019202 9.814814 0.0000
R-squared
0.690477 Mean dependent var
0.004719
Adjusted R-squared 0.687286 S.D. dependent var
0.180476
S.E. of regression
0.100924 Akaike info criterion
-1.728911
Sum squared resid
0.988000 Schwarz criterion
-1.676484
DGP
7
Приведенная форма
y
t
= 0.5
y
t – 1
+ 0.3 x
t – 1
+ ε
t
.
Оцененная модель
Dependent Variable: Y
Variable Coefficien t
Std. Error t-Statistic
Prob.
C -0.005886 0.010271
-0.573100 0.5679
Y(-1)
0.559497 0.042762 13.08387 0.0000
X -0.010318 0.020320
-0.507807 0.6128
X(-1)
0.316645 0.020229 15.65291 0.0000
P-значение критерия Бройша – Годфри при AR(1) альтернативе равно 0.701, а при AR(2) альтернативе равно 0.827; гипотеза некоррелированности случайных величин ε
t
не отвергается. Критерий Jarque – Bera не обнаруживает значимых отклонений от нормальности (P-значение = 0.740). Критерий Уайта не обнаруживает гетероскедастичности (P-значение = 0.586).
Проверяем гипотезу H
0
: µ = 0, β
0
= 0. Используя F-распределение для F-статистики и распределение хи-квадрат χ
2
(2) для статистики qF = 2F , получаем в обоих случаях
P-значение 0.734. Гипотеза H
0
не отвергается, и можно перейти к оцениванию модели с
µ = 0, β
0
= 0, т.е. к оцениванию модели y
t
= a
1
y
t – 1
+ β
1
x
t – 1
+ ε
t
Оцененная модель с ограничениями:
Dependent Variable: Y
Variable
Coefficient Std. Error t-Statistic
Prob.
Y(-1)
0.561389 0.041849 13.41452 0.0000
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
33
X(-1)
0.313207 0.019269 16.25422 0.0000
DGP
8
Авторегрессионные ошибки
y
t
= 0.5
y
t – 1
+ 0.2 x
t
– 0.1 x
t – 1
+ ε
t
.
Оцененная модель:
Dependent Variable: Y
Variable
Coefficient Std. Error t-Statistic
Prob.
C -0.004519 0.010315
-0.438075 0.6623
Y(-1)
0.576756 0.084134 6.855173 0.0000
X
0.186780 0.020253 9.222532 0.0000
X(-1) -0.093875 0.025414
-3.693770 0.0004
P-значение критерия Бройша – Годфри при AR(1) альтернативе равно 0.600, а при AR(2) альтернативе равно 0.773; гипотеза некоррелированности случайных величин ε
t
не отвергается. Критерий Jarque – Bera не обнаруживает значимых отклонений от нормальности (P-значение = 0.654). Критерий Уайта не обнаруживает гетероскедастичности (P-значение = 0.682).
Исключим из статистической модели статистически незначимую константу:
Dependent Variable: Y
Variable Coefficien t
Std. Error t-Statistic
Prob.
Y(-1)
0.578309 0.083705 6.908866 0.0000
X
0.186426 0.020151 9.251413 0.0000
X(-1) -0.094531 0.025263
-3.741827 0.0003
Заметим, что произведение оцененных коэффициентов при y
t – 1 и x
t
равно 0.108, т.е. близко по абсолютной величине и противоположно по знаку коэффициенту при x
t
– 1
. В связи с этим наблюдением, проверим гипотезу H
0
: β
1
= – a
1
β
0
. Здесь мы имеем дело с нелинейной гипотезой, и результаты проверки могут зависеть от формы записи этого ограничения на коэффициенты. Поэтому мы проверяем указанную гипотезу в трех формах:
H
0
: β
1
= – a
1
β
0
; H
0
: β
0
= – (β
1
/a
1
) ; H
0
: a
1
= – (β
1
/ β
0
) .
Соответствующие этим формам P-значения χ
2
(1)-критериев равны 0.515, 0.514 и
0.506, так что выводы в отношении гипотезы H
0
согласуются: эта гипотеза не отвергается. Последнее означает, что можно перейти к оцениванию модели с ограничением на коэффициенты в виде β
1
= – a
1
β
0
, т.е. к модели y
t
= a
1
y
t – 1
+ β
0
x
t
–
a
1
β
0
x
t – 1
+ ε
t
. В итоге получаем оцененную модель
Dependent Variable: Y
Convergence achieved after 3 iterations
Y =C(1)*Y(-1)+C(2)*X-(C(1)*C(2))*X(-1)
Coefficient Std. Error t-Statistic
Prob.
C(1)
0.575812 0.083369 6.906747 0.0000
C(2)
0.182370 0.019110 9.543254 0.0000 которую можно записать в виде
y
t
= 0.576
y
t – 1
+ 0.182 x
t
– 0.105 x
t – 1
+ ε
t
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
34
Таким образом, во всех рассмотренных случаях, когда DGP являлся частным случаем
выбранной для оценивания статистической модели, последовательное применение метода редукции модели от общего к частному ( с предварительной проверкой SM на адекватность) выводило нас на редуцированные модели, спецификация которых соответствовала спецификации DGP. В то же время, как мы видели перед этим, при движении “от частного к общему” возможны ситуации, когда остановка происходит на модели, существенно отличающейся от DGP, хотя и проходящей стандартные тесты на адекватность имеющимся статистическим данным.
Это еще раз подчеркивает предпочтительность использования при подборе моделей по статистическим данным метода “от общего к частному”, т.е. первоначальному выбору достаточно общей модели, проверки ее на адекватность имеющимся статистическим данным, и, в случае признания выбранной модели адекватной данным, последующей редукции этой модели с использованием стандартных критериев спецификации.
В связи с последними замечаниями, еще раз обратимся к модели линейной регрессии с автокоррелированными ошибками, образующими стационарный процесс авторегрессии первого порядка. В учебной литературе по эконометрике довольно часто делается упор на эту модель как средство преодоления проблемы автокоррелированности ошибок в рамках известных процедур Кохрейна – Оркатта или
Прайса – Уинстена. Однако, как ясно из предыдущего изложения, такая модель (в нашей нумерации – модель 8) является всего лишь весьма частным случаем общей динамической модели ADL(1,1;1). В рамках этой общей модели
yt=
µ +
a1
yt – 1
+
β0
xt+
β1
xt – 1
+
εtмодель, о которой идет речь, выделяется выполнением соотношения
β1
= –
a1
β0
В то же время, при
β0
≠ 0 общую модель ADL(1,1;1) можно представить в виде
(1 –
a1
L)
yt=
β0
+
L0 1
1
β
β
xt+
εt , или
a(
L)
yt = b(
L)
xt + εt, где
a(
L) = 1 –
a1
L ,
b(
L) =
β0
+
L0 1
1
β
β
(Для простоты мы полагаем
µ = 0.)
Если
,
0 1
1
β
β
−
=
a то модель принимает вид
(1 –
a1
L)
yt = β0
(1 –
a1
L)
xt + εt, так что многочлены
a(
L) и
b(
L) имеют
общий множитель (1 –
a1
L). Разделив обе части уравнения на этот общий множитель, получаем
yt=
β0
xt+
ut, где
Lautt1 1
−
=
ε
, так что (1 –
a1
L)
ut =
εtи
ut =
a1
ut –1
+
εt Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
35
В связи с наличием общего множителя, модель авторегрессионных
ошибок относят к классу моделей, носящему название COMFAC (common factors). Рассматриваемая модель обязана принадлежностью к этому классу именно наличию ограничения
β1
= –
a1
β0
. Класс COMFAC является весьма частным случаем моделей с авторегрессионно распределенными запаздываниями. Поэтому применение обычной процедуры проверки автокоррелированности ошибок в модели регрессии
yt=
β0
xt+
ut и коррекции обнаруженной автокоррелированности посредством авторегрессионного преобразования переменных, вообще говоря, некорректно. Правильный порядок действий должен состоять
• В установлении пригодности модели
a(
L)
yt = b(
L)
xt + εt с помощью различных критериев адекватности; гипотеза о том, что ряд
εtявляется гауссовским белым шумом, не должна отвергаться – в противном случае следует говорить о непригодности уже этой общей модели.
• В проверке гипотезы о том, что многочлены
a(
L) и
b(
L) имеют общие корни.
• Наконец, в случае подтверждения обеих гипотез следует проверить гипотезу
H
0
:
a1
= 0 (она соответствует модели статической регрессии). Заметим, что отвержение этой гипотезы непосредственно в модели с автокоррелированными ошибками вовсе не доказывает наличия указанных общих множителей.
Однако здесь имеются некоторые сложности.
На первом шаге гипотеза H
0
: “
εt –белый шум” проверяется, в частности, против альтернативы H
A
:
εt AR(
k) c
k ≤
p , т.е.
εt =ρ1
εt – 1
+ …+
ρp εt – p +
νt, где
νt i.i.d. и хотя бы одно
ρj≠ 0. Модель, соответствующая альтернативе, имеет вид
yt=
a1
yt – 1
+
β0
xt+
β1
xt – 1
+
ρ1
εt – 1
+ …+
ρp εt – p +
νt, и, фактически, речь идет о проверке гипотезы H
0
:
ρ1 2
= …=
ρp2
= 0 против H
A
:
ρ1 2
+ …+
ρp2
≠ 0 . Такую проверку можно осуществить, используя стандартный LM критерий Бройша – Годфри. В то же время не рекомендуется использовать для этой цели критерии, основанные на статистиках Бокса – Пирса и Люнга – Бокса из разд. 3.1 и предназначенные для анализа “сырых” рядов. (См., например, статью [Kwan, Sim
(1996)].)
Проблемы возникают и с применением стандартного критерия Вальда для проверки гипотезы H
1
:
β1
= –
a1
β0 против альтернативы H
A
:
β1
≠ –
a1
β0
. Дело в том, что эта гипотеза не является линейной, а в таких случаях результаты применения критерия
Вальда зависят от того, в какой форме записано ограничение:
β1
= –
a1
β0
,
a1
= –
β1
⁄
β0
или
β0
= –
β1
⁄
a1
, что может приводить к противоречивым выводам.
Отметим также проблему, связанную с последовательным использованием нескольких критериев проверки гипотез. В рамках рассмотренной процедуры приходится, по крайней мере, сначала проверять гипотезу H
1
о наличии общих множителей, а затем, если она не отвергается, проверять гипотезу H
2
:
a1
= 0 о некоррелированности ошибок в статической модели регрессии.
Пусть каждая из этих гипотез проверяется на уровне значимости
α
, скажем,
α
=
0.05. Какова в такой ситуации вероятность ошибочного отвержения модели статической регрессии? Имеем:
P{ошибочно отвергается хотя бы одна из гипотез H
1
, H
2
} ≤
≤
P{ошибочно отвергается H
1
} +
P{ошибочно отвергается H
2
} =
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
36
=
α
+
α
= 2
α
Следовательно, если положить
α
= 0.025, то вероятность отвержения модели статической регрессии в рамках двухступенчатой процедуры не будет превышать 0.05.
Заметим, что при этом мы еще не принимали в расчет ошибки, связанные с возможностью неправильной диагностики общей модели.
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
1
Скачать 3.08 Mb.