–
Филлипса: – 3.12. В то же время, 5% критическое значение равно – 3.06. Это дает возможность отвергнуть гипотезу единичного корня на
5% уровне.
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
30
6.8.4. Критерий DF-GLS Этот критерий,
асимптотически более мощный, чем критерий Дики – Фуллера, был предложен в работе [Elliott, Rothenberg, Stock (1996)]. Критерий DF-GLS проверяет (см.
[Maddala, Kim (1998
)]) нулевую гипотезу
a0
= 0 в модели
∆
ydt= a0
ydt–1
+
a1
∆
ydt–1
+
⋅⋅⋅+
ap∆
ydt–
p+error, где
ydt - “локально детрендированный” ряд (подробности см. в цитированной работе).
Пример Продолжая предыдущий пример, вычисляем статистику критерия DF-GLS. Ее значение равно – 3.246, что меньше 5% критического уровня – 2.89. Гипотеза единичного корня отвергается на 5% уровне, причем более уверенно, чем в случаях критериев Лейбурна и Шмидта-Филлипса.
6.8.5. Критерий Квятковского – Филлипса – Шмидта – Шина (KPSS) Этот критерий, предложенный в работе [Kwiatkowski, Phillips, Schmidt, Shin (1992)], в качестве нулевой берет гипотезу TS. Рассмотрение ведется в рамках модели
Ряд = Детерминированный тренд + Стохастический тренд + Стационарная ошибка.
Стохастический тренд представляется случайным блужданием, и нулевая гипотеза предполагает, что дисперсия инноваций, порождающих это случайное блуждание, равна нулю. Альтернативная гипотеза соответствует предположению о том, что эта дисперсия отлична от нуля, так что анализируемый ряд принадлежит классу DS рядов.
В такой формулировке предложенный критерий является LM критерием для проверки указанной нулевой гипотезы.
Как и в критерии Филлипса-Перрона, требования на ошибки здесь менее строгие, чем в критерии Дики - Фуллера. Однако при применении данного критерия возникает проблема выбора ширины окна
l в оценке Newey-West, поскольку значения статистики критерия довольно чувствительны к значению
l. Сами авторы в цитируемой статье рассматривают варианты выбора ширины окна, следующие рекомендациям
Шверта (см. [Schwert (1989)]).
Подробное описание критерия KPSS можно найти вместе с таблицей критических значений в [Maddala, Kim (1998
), стр.120-122].
Пример
При анализе ряда ST_3 по 100 наблюдениям значение статистики критерия KPSS с
l = 3 равно 0.157. В рамках этого критерия нулевая гипотеза о том, что мы имеем дело с
TS рядом, отвергается, если наблюдаемое значение статистики критерия превышает критический уровень. По таблицам, предусматривающим наличие линейного тренда, находим: 5% критический уровень равен 0.146, так что TS гипотеза отвергается в пользу DS гипотезы. Такой вывод противоречит статистическим выводам, полученным при применении критериев Лейбурна, Шмидта-Филлипса и DF-GLS, и иллюстрирует трудности с различением TS и DS рядов, имеющих похожие реализации.
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
31
6.8.6. Процедура Кохрейна (отношение дисперсий)
Эта процедура, предложенная в работе [Cochrane (1998)], основывается на изучении характера поведения отношения дисперсий
1
V
V
VR
k
k
=
(VR – variance ratio), где
(
)
k
t
t
k
x
x
D
k
V
−
−
=
1
Если x
t
− случайное блуждание, то тогда VR
k
= 1
, а если x
t
− процесс, стационарный относительно линейного тренда (или просто стационарный), то тогда VR
k
→ 0 при k →
∞.
При работе с реальными данными дисперсии заменяются их состоятельными оценками и полученное отношение умножается еще на T / (T
−
k + 1) для достижения несмещенности полученной оценки для VR
k
. Затем строится график значений полученных оценок для VR
k
при различных k = 1,…, K и по поведению этого графика делаются выводы о принадлежности ряда классу TS или DS, имея в виду различия в поведении этого графика для этих двух классов временных рядов.
Другой вариант работы с реальными данными состоит в использовании равносильного представления статистики отношения дисперсий VR
k
:
j
k
j
k
r
k
j
VR
1 1
2 1
1
∑
=
+
−
+
=
, где r
j
− значение на лаге j автокорреляционной функции ряда разностей ∆x
t
= x
t
− x
t–1
Пример
Обратимся опять к реализации ST_3 ряда, стационарного относительно линейного тренда, по которой оказалось затруднительным вынести определенное решение относительно принадлежности к классу TS или к классу DS модели, порождающей эту реализацию. Привлечем к решению этого вопроса процедуру Кохрейна.
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 5
10 15 20 25 30 35 40
VARRATIO
Поведение отношения дисперсий говорит в пользу TS гипотезы.
Для сравнения приведем аналогичный график отношения дисперсий для реализации
WALK_2 случайного блуждания со сносом:
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
32 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 5
10 15 20 25 30 35 40
VARRATIO
Поведение отношения дисперсий указывает на то, что WALK_2 порождается DS моделью.
6.9. Некоторые проблемы, возникающие при различении TS и DS гипотез
6.9.1. Коррекция сезонности
В рассмотренных выше процедурах никак не затрагивался вопрос о коррекции сезонного поведения ряда, не снимаемого ни введением в модель линейного тренда ни путем дифференцирования ряда. Разумеется, данные, поступающие в распоряжение исследователя, уже могли быть подвергнуты сезонной коррекции соответствующими статистическими агенствами. Более того, во многих странах сырые (не скорректированные на сезонность) данные просто недоступны. В то же время, при анализе данных, подвергшихся сезонному сглаживанию с использованием фильтров или с использованием специфических методик правительственных агентств, существенно больше шансов классифицировать исследуемый ряд как DS (см., например, [Ghysels, Perron (1993)]), чем при анализе сырых данных. Поэтому некоторые авторы рекомендуют по возможности вообще избегать использования сезонно-сглаженных данных ([Davidson, MacKinnon (1993)]). Более предпочтительным является использование сырых данных и устранение из них сезонности путем оценивания регрессии сырого ряда на сезонные фиктивные (dummy) переменные D1,…,
D12 (если данные месячные) или D1,…, D4 (если данные квартальные). Остатки от оцененной регрессии образуют
очищенный ряд
, к которому можно применять изложенные выше методы. Теоретическое оправдание такого подхода при применении критерия Дики - Фуллера дано в работе [Dickey, Bell, Miller (1986)], где показано, что асимптотическое распределение статистики t
ϕ
не изменяется при исключении из ряда детерминированных сезонных компонент.
6.9.2. Протяженность ряда и мощность критерия
Следует иметь в виду, что мощность критериев единичного корня зависит, в первую очередь, от фактической протяженности ряда во времени, а не от частоты, с которой производятся наблюдения. Соответственно, имея значения ряда за десятилетний период, мы не получаем выигрыша в мощности, анализируя месячные данные, а не квартальные или годовые. Результаты исследований в этом направлении можно найти, например, в статьях [Shiller, Perron (1985)] и [Perron (1989b)].
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
33
6.9.3. Проблема согласованности статистических выводов при
различении TS и DS гипотез
При решении задачи отнесения рассматриваемого ряда к классу TS или к классу DS рядов двумя статистическими критериями, один из которых берет в качестве нулевой гипотезу TS, а другой – гипотезу DS, возможны следующие ситуации:
H
0
: TS – не отвергается
H
0
: TS – отвергается
H
0
: DS – не отвергается
Исход 1
Исход 2
H
0
: DS – отвергается
Исход 3
Исход 4
Эти ситуации интерпретируются следующим образом:
•
Исход 2 – в пользу DS модели.
•
Исход 3 – в пользу TS модели.
•
Исход 1 – невозможность принять решение из-за низкой мощности обоих критериев.
•
Исход 4 – процесс порождения данных (DGP) не сводится к допускаемым используемыми критериями TS и DS моделям.
6.9.4. Наличие нескольких единичных корней
После появления работ [Fuller (1976)] и [Dickey, Fuller (1981)] было проведено довольно много практических исследований экономических временных рядов с целью решения вопроса о наличии или отсутствии единичных корней в моделях процессов, порождающих эти ряды.
При этом обычно сначала рассматривался сам временной ряд, и проводилась проверка его на нестационарность с использованием критериев Дики – Фуллера .
Если гипотеза единичного корня не отвергалась, то после этого переходили к рассмотрению ряда разностей и проверяли гипотезу единичного корня для этого ряда, применяя к ряду разностей процедуру Дики – Фуллера.
Если при анализе ряда разностей гипотеза единичного корня отвергалась, то принималось решение о том, что исходный ряд – интегрированный порядка 1. В противном случае переходили к рассмотрению ряда вторых разностей и проверяли гипотезу единичного корня для этого ряда. Обычно на этом шаге гипотеза единичного корня отвергалась и исходный ряд определялся как интегрированный порядка 2.
Более поздние исследования показали, что такого рода последовательные процедуры не обладают заявленными уровнями значимости, имея тенденцию к занижению
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
34
действительного количества единичных корней. И в таком несоответствии нет ничего удивительного: критерии Дики – Фуллера основаны на предположении, что если единичный корень и имеется, то тогда он единственный. Положение здесь похоже на другие ситуации, когда последовательная проверка гипотез идет не от общего к частному, а от частного к общему.
В связи с этим, для ситуаций, когда предполагаемая модель авторегрессии для анализируемого ряда может иметь порядок
р выше первого,
р > 1, в работе [Dickey,
Pantula (1987)] была предложена процедура последовательной проверки гипотез о количестве единичных корней характеристического уравнения, построенная по принципу “от общего к частному”. Сначала проверяется гипотеза о том, что все
р корней характеристического многочлена единичные; при ее отвержении проверяется гипотеза о наличии
р – 1 единичных корней и.т.д.
Поясним смысл этой процедуры на примере процесса авторегрессии AR(2)
a(
L)
xt = εt, т.е.
(1 –
a1
L –
a2
L2
)
xt = εt, или
(1 –
aL)( 1 –
bL)
xt = εt,
где
a = 1/
z1
,
b = 1/
z2
, а
z1
,
z2
– корни уравнения
a(
z) = 0.
При этом мы предполагаем, что процесс не носит взрывного характера, так что |
z1
|, |
z2
|
≥1, а значит, |
a|, |
b| ≤ 1.
Раскрывая скобки и перенося все составляющие, кроме
xt ,
в
правую часть уравнения, получаем:
xt = (
a + b)
xt – 1
–
abxt – 2
+
εtВычтем из обеих частей
xt – 1
:
∆
xt = (
a + b – 1)
xt – 1
–
abxt – 2
+
εtИз обеих частей полученного равенства вычтем ∆
xt – 1
:
∆
2
xt = ∆
xt–∆
xt – 1
= –∆
xt – 1
+(
a + b – 1)
xt – 1
–
abxt – 2
+
εt = = (
a + b – 2)
xt – 1
+ (1–
ab)
xt – 2
+
εtВыделим в правой части первую разность:
∆
2
xt = (
a + b – 2)
xt – 1
+ [– (
ab – 1)
xt – 2
+ (
ab – 1)
xt – 1
] – (
ab – 1)
xt – 1
+
εt = (
a + b –
ab – 1)
xt – 1
+ (
ab – 1) ∆
xt – 1
+
εt , так что
∆
2
xt = (
a– 1)(1 –
b)
xt – 1
+ (
ab – 1) ∆
xt – 1
+
εtЭто базовое соотношение позволяет идентифицировать ситуации, когда имеется 2 единичных корня, когда имеется 1 единичный корень и когда единичных корней нет.
Именно,
•
Если
a = b = 1 (два единичных корня), то ∆
2
xt = εt•
Если
a = 1, |
b| < 1 (один единичный корень), то
∆
2
xt = (
b – 1) ∆
xt – 1
+
εt, или
∆
2
xt = φ ∆
xt – 1
+
εt с
φ < 0 .
•
Если |
a| < 1 и |
b| < 1 (нет единичных корней), то
∆
2
xt = ψ xt – 1
+
φ ∆
xt – 1
+
εt с
φ < 0 и
ψ < 0.
Соответственно, процедура, предложенная Дики и Пантулой, такова.
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
35
Если мы допускаем наличие двух единичных корней, то сначала оцениваем статистическую модель
∆
2
x
t
= α + φ ∆x
t – 1
+ u
t
и сравниваем значение t-статистики для коэффициента φ с критическим значением соответствующей статистики Дики – Фуллера (случаи 1 или 2, в зависимости от того, будем ли мы исходить из α = 0 или α ≠ 0). Здесь u
t
– либо просто процесс белого шума либо включает в себя еще и запаздывающие значения второй разности ∆
2
x
t – 1
, ...
, ∆
2
x
t – p + 1
Если гипотеза о наличии двух единичных корней (φ = 0) отвергается, то тогда следует оценить статистическую модель
∆
2
x
t
= ψ x
t – 1
+ φ ∆x
t – 1
+ u
t
и проверить гипотезу ψ = 0 против альтернативы ψ < 0. Отклонение этой гипотезы означает признание того, что у ряда x
t
нет единичных корней, а ее неотклонение – что x
t
I(1).
Пример
Рассмотрим смоделированные реализации трех моделей AR(2) с различным количеством единичных корней:
-8
-6
-4
-2 0
2 4
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
ROOT0
-16
-12
-8
-4 0
4 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
ROOT1
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
36
-8
-6
-4
-2 0
2 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
ROOT2
Посмотрим, что дает применение процедуры Дики – Пантулы в этой сиуации.
На первом шаге для каждого из рядов оцениваем статистическую модель
SM: ∆
2
x
t
= α + φ ∆x
t – 1
+ ε
t
и проверяем гипотезу φ = 0 против альтернативы φ < 0. (Анализ рядов остатков для обеих оцененных моделей указывает на отсутствие необходимости включения в правую часть статистической модели запаздывающих значений второй разности.)
Для ряда ROOT2 мы используем критические значения Фуллера, соответствующие случаю 2 (α ≠ 0), ориентируясь на наличие у реализации видимого квадратичного тренда. Для T = 100 критическое 5% значение статистики Дики – Фуллера равно –
2.89. Вычисленное значение t-статистики равно – 1.64; гипотеза о наличии двух единичных корней не отвергается. Для рядов ROOT0 и ROOT1 используем критические значения Фуллера, соответствующие случаю 1 (a = 0), принимая во внимание отсутствие у реализаций видимого квадратичного тренда. В этом случае для T = 100 критическое 5% значение статистики Дики – Фуллера равно – 1.95.
Вычисленные значения t-статистик равны – 7.83 для ряда ROOT0 и – 5.50 для ряда
ROOT1; в обоих случаях гипотеза о наличии двух единичных корней отвергается.
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
37
Следующий шаг процедуры выполняется поэтому только для рядов ROOT0 и
ROOT1. Для этих рядов мы оцениваем статистическую модель
SM: ∆
2
x
t
= ψ x
t – 1
+ φ ∆x
t – 1
+ ε
t
и проверяем гипотезу ψ = 0 против альтернативы ψ < 0. Значения соответствующей t-статистики равны – 3.89 для ряда ROOT0 и – 1.63 для ряда
ROOT1, так что гипотеза ψ = 0 отвергается для ряда ROOT0 и не отвергается для ряда ROOT1.
Заметим теперь, что в модели DGP для ряда ROOT2 действительно было два единичных корня, в модели DGP для ряда ROOT1 – один единичный корень, а в модели DGP для ряда ROOT0 – ни одного единичного корня:
DGP для ROOT0: x
t
= 1.1 x
t – 1
– 0.3 x
t – 2
+ ε
t
, или
(1 – 0.6L)(1 – 0.5L)
x
t
= ε
t
,
DGP для ROOT1: x
t
= 1.5 x
t – 1
– 0.5 x
t – 2
+ ε
t
, или
(1 – L)(1 – 0.5L)
x
t
= ε
t
;
DGP для ROOT2: x
t
= 2 x
t – 1
– x
t – 2
+ ε
t
, или
(1 – L)
2
x
t
= ε
t
Более подробно c проблемами, возникающими при проверке гипотез, свзанных с наличием нескольких единичных корней, можно ознакомиться, например, в книге
[Patterson (2000)].
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
38
6.10. Критерий Перрона и его обобщение
6.10.1. Критерий Перрона
Предложенная в работе [Perron (1989a)] процедура проверки нулевой гипотезы о принадлежности ряда классу DS обобщает процедуру Дики – Фуллера на ситуации, когда на периоде наблюдений имеются структурные изменения модели в некоторый момент времени T
B
либо в форме сдвига уровня, либо в форме изменения наклона тренда, либо в форме сочетания этих двух изменений. Важность такого обобщения связана с тем обстоятельством, что если DS-критерий не допускает возможности изменения структуры модели, тогда как такое изменение в действительности имеет место, то он имеет очень низкую мощность, т.е. практически всегда не отвергает DS- гипотезу (см., например, [Engle, Granger (1991)]).
Последнее можно лучше всего проиллюстрировать на примере работы Нельсона и
Плоссера [Nelson, Plosser (1982)], в которой был проведен статистический анализ 13 основных макроэкономических рядов США по годовым данным за достаточно длинные периоды (от 62 до 111 лет) и квартального ряда GNP, относящегося к периоду после
Второй мировой войны (1948 – 1987 г.г.). Все ряды были взяты в логарифмах, за исключением ряда процентных ставок.
Для этих рядов гипотеза единичного корня проверялась в связке
SM: ∆x
t
= α + β
t + φ x
t–1
+ u
t
, где u
t
– стационарный процесс AR(k),
DGP: ∆x
t
= α + u
t
(c α = 0 или α ≠ 0), и использовались критические значения Фуллера для этой ситуации. При этом Нельсон и Плоссер обнаружили, что для 13 из 14 рядов гипотеза единичного корня не отвергается. Единственным исключением оказался ряд логарифмов уровней занятости.
Полученные Нельсоном и Плоссером результаты сформировали устойчивое мнение о том, что макроэкономические ряды, обнаруживающие тренд, скорее всего могут моделироваться как DS ряды. В то же время, мы уже видели на примерах, что критерии
Дики – Фуллера имеют не очень высокую мощность, и последнее может являться причиной неотвержения гипотезы единичного корня для указанных 14 рядов. Вместе с тем, надо учесть и следующее обстоятельство, на которое обратил внимание Перрон в статье [Perron (1989a)]. Рассмотрим, для примера, график ряда GNP для периода с 1 квартала 1958 г. по 4 квартал 1979 г.
1000 1500 2000 2500 3000 3500 58 60 62 64 66 68 70 72 74 76 78
GNP
В качестве альтернативы процессу случайного блуждания (со сносом или без сноса) критерий Дики – Фуллера предлагает процесс, стационарный относительно линейного тренда. Однако при просмотре приведенного графика возникает впечатление, что линейный тренд ряда имеет различный наклон на подпериодах до 1974 г. и после 1974 г.
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
39
Если непосредственно оценивать линейный тренд на всем периоде 1958:1 – 1979:4, то угловой коэффициент тренда оценивается как 19.086. При оценивании на подпериоде
1958:1 – 1973:4 угловой коэффициент тренда оценивается как 19.852. В то же время, при оценивании на подпериоде 1975:1 – 1979:4 угловой коэффициент тренда оценивается как 31.995. Это заставляет усомниться в пригодности выбора в качестве альтернативы случайному блужданию процесса, стационарного относительно именно линейного тренда. Скорее, надо было бы использовать в качестве альтернативы процесса, стационарного относительно ломаной с узлом в районе 1975 г.
Основываясь на подобных наблюдениях и в отношении других макроэкономических рядов, Перрон и предложил в [Perron (1989a)] три модели, допускающие структурные изменения модели ряда.
В критерии Перрона момент изменения структуры предполагается экзогенным, в том смысле, что он выбирается не на основании визуального исследования графика ряда, а связывается с моментом известного масштабного изменения экономической обстановки, существенного отражающегося на поведении рассматриваемого ряда.
Трем указанным выше формам изменения структуры модели соответствуют три различных варианта регрессионных моделей, которые строятся путем вбирания в себя моделей, соответствующих нулевой и альтернативной гипотезам.
A. Модель “краха”:
t
t
t
t
t
x
DTB
d
t
DMU
c
x
ε
α
β
ϑ
+
+
+
+
+
=
−1
B. Модель “изменения роста”:
t
t
t
t
t
x
DTS
t
DMU
c
x
ε
α
γ
β
ϑ
+
+
+
+
+
=
−1
C. Модель, допускающая наличие обоих эффектов:
t
t
t
t
t
t
x
DTB
d
DT
t
DMU
c
x
ε
α
δ
β
ϑ
+
+
+
+
+
+
=
−1
Здесь
c
− постоянная,
+
=
=
случае противном в
0 1
для
1
B
t
T
t
DTB
;
≤
>
=
для
0
для
1
B
B
t
T
t
T
t
DMU
;
≤
>
−
=
для
0
для
B
B
B
t
T
t
T
t
T
t
DTS
;
≤
>
=
для
0
для
B
B
t
T
t
T
t
t
DT
Нулевые гипотезы единичного корня накладывают следующие ограничения на истинные параметры моделей:
Модель A.
α = 1, β = θ = 0, d ≠ 0.
Модель B.
α = 1, β = γ = 0, θ ≠ 0.
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
40
Модель C.
α = 1,
β = δ= 0,
d ≠ 0,
θ ≠ 0.
Альтернативные гипотезы накладывают следующие ограничения на истинные параметры моделей
Модель A.
α < 1,
β ≠ 0,
θ ≠ 0,
d = 0
Модель B.
α < 1,
β ≠ 0,
γ ≠ 0,
θ = 0
Модель C.
α < 1,
β ≠ 0,
δ ≠ 0,
d = 0,
θ ≠ 0 .
В такой формулировке нулевая и альтернативная гипотезы являются гнездовыми гипотезами.
Асимптотические критические значения
t-статистики критерия Перрона зависят от типа структурных изменений, параметра
λ
=T/TB и от того, какая из моделей постулируется
–
модель с аддитивным выбросом (AO), в которой структурное изменение происходит внезапно,
или
модель с инновационным выбросом (IO), в которой структурное изменение происходит постепенно. Приведенные в работе [Perron (1989a)] таблицы критических значений соответствуют моделям с инновационным выбросом
2
. Как поступать в случае моделей с аддитивными выбросами, сообщается в работе [Perron,
Vogelsang (1993)].
В связи с процедурами, допускающими излом траекторий, надо обратить особое внимание на различие между моделями внезапного и постепенного излома.
В течение нескольких лет в этом вопросе была некоторая путаница, так что даже сам автор первоначальной процедуры, допускающей изломы разных видов ([Perron
(1989a)], ошибочно интерпретировал оцененные им модели и критические значения, полученные путем статистического моделирования.
Пусть
zt– стационарный процесс авторегрессии первого порядка с нулевым математическим ожиданием,
zt=
a1
zt – 1
+
εt , и ряд
yt определяется как
yt=
f(
t) +
zt, где
f(
t) = 0 при
t ≤
TB и
f(
t) =
µ ≠ 0 при
t >
TB . Поскольку
E(
zt)= 0, то
E(
yt)= 0 при
t ≤
TB и
E(
yt)=
µ при
t >
TB . Таким образом, при переходе через дату излома
TB ряд
yt сразу начинает осциллировать вокруг уровня
µ (вместо осцилляции вокруг нулевого уровня до этого перехода).
Рассмотрим теперь другую модель, в которой функция скачка “встроена” в уравнение
AR(1) для
yt. Именно, пусть
yt=
f(
t) +
a1
yt – 1
+
εt ,
a1
< 1, где
f(
t) = 0 при
t ≤
TB и
f(
t) =
µ (1 –
a1
) при
t >
TB ,
µ ≠ 0 .
2
В
самой этой работе ошибочно полагалось, что приведенные в ней критические значения соответствуют моделям с аддитивным выбросом.
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
41
До момента T
B
ряд y
t
осциллирует вокруг нулевого уровня. Как будут вести себя траектории такого ряда y
t
после перехода через дату излома T
B
? Для выяснения этого удобно записать:
y
t
= a
1
y
t – 1
+ (f(t) + ε
t
) = a
1
y
t – 1
+ ν
t
Тогда для t = T
B
+ h имеем
k
t
h
TB
k
k
h
TB
h
TB
a
y
y
−
−
+
=
+
+
∑
+
=
ν
1 0
1 0
=
=
(
)
k
t
h
TB
k
k
h
TB
k
t
f
a
y
−
−
+
=
+
+
−
+
∑
ε
)
(
1 0
1 0
=
=
(
)
∑
∑
−
=
−
+
=
−
+
−
+
+
1 0
1 1
1 0
1 0
1
`
h
k
k
h
TB
k
k
t
k
h
TB
a
a
a
y
µ
ε
Первое слагаемое в правой части (выражение в квадратных скобках) соответствует модели с E(y
t
)= 0. Вторая сумма при h → ∞ имеет предел
(
)
µ
µ
=
−
∑
−
=
∞
→
1 0
1 1
1
lim
h
k
k
h
a
a
В этой модели после момента t = T
B
процесс y
t
лишь постепенно выходит на новый уровень µ , вокруг которого начинает происходить осцилляция траектории ряда.
Поскольку во второй модели значения f(t) обрабатываются аналогично инновациям ε
t
(влияние обоих здесь убывает геометрически), то вторую модель называют моделью
инновационного
выброса. В отличие от нее, первая модель называется моделью
аддитивного
выброса.
Аналогично, можно рассматривать пары моделей (аддитивная – инновационная), допускающие изменение наклона тренда без изменения уровня ряда или допускающие и изменение наклона тренда и изменение уровня ряда.
Ниже мы приводим графики, иллюстрирующие подобные ситуации.
Сдвиг среднего уровня ряда:
-4 0
4 8
12 16 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Y1_ADD
Y1_INNOV
Сдвиг реализации без изменения наклона тренда:
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
42 0
20 40 60 80 100 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Y2_ADD
Y2_INNOV
Сдвиг реализации с изменением наклона тренда:
0 20 40 60 80 100 120 140 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Y3_ADD
Y3_INNOV
Изменение наклона тренда без сдвига реализации – “сегментированный тренд”:
0 20 40 60 80 100 120 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Y4_ADD
Возвратимся теперь к обсуждению статьи
[Perron (1989a)].
Проведя ревизию результатов Нельсона-Плоссера для 14 рядов с допущением структурных изменений модели и экзогенным выбором даты излома, Перрон получил совершенно другие результаты. Теперь уже гипотеза единичного корня была отвергнута для 11 из 14 рядов, т.е. результаты получились практически прямо противоположными результатам Нельсона-Плоссера. Чуть позже мы обсудим это обстоятельство, а сейчас приведем пример применения процедуры Перрона к одному из основных российских макроэкономических рядов.
Пример
В качестве примера использования процедуры Перрона с экзогенной датой излома мы рассмотрим проверку гипотезы о наличии единичного корня в авторегрессионном
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
43
представлении модели, порождающей ряд x
t
= M1, где М1 – денежный агрегат, представляющий все денежные средства в экономике Российской Федерации, которые могут быть использованы как средство платежа. Мы используем месячные данные за период 1995:06 – 2000:07 в номинальных величинах. График ряда X
t
= M1 имеет следующий вид:
100000 200000 300000 400000 500000 600000 700000 1996 1997 1998 1999 2000
M1
При анализе этого ряда на наличие единичного корня с использованием критериев
Дики – Фуллера и Филлипса – Перрона (см. [Эконометрический анализ динамических рядов … (2001)]) гипотеза единичного корня не была отвергнута, что может быть связано с неудачным выбором альтернативных гипотез. График ряда позволяет предположить, что более подходящей может оказаться модель с изломом тренда в конце 1998 – начале 1999 г., связанным с финансово-экономическим кризисом 1998 года.
Если предполагать, что излом тренда выражается в изменении его наклона после августа 1998 г., то мы можем обратиться к статистической процедуре проверки гипотезы единичного корня, предложенной в упомянутой выше работе Перрона и соответствующей одномоментному (внезапному) изменению наклона тренда (AO модель – модель с аддитивным выбросом).
Согласно этой процедуре, если TB – момент скачка, то сначала следует оценить статистическую модель
x
t
=
µ
+
β
t +
γ
DTS
t
+ u
t
, в которой переменная DTS
t
равна t – TB для t > TB и равна 0 для всех других значений
t . В результате оценивания этой модели получаем ряд остатков e
t
. Затем оценивается модель регрессии e
t
на e
t – 1 и запаздывающие разности
∆e
t – 1
,
…,∆e
t – p
:
e
t
=
α
e
t – 1
+
∑
=
p
j
j
c
1
∆
e
t – j
+
ε
t
; полученное при этом значение t-статистики для проверки гипотезы H
0
:
α
= 1
сравнивается с критическим значением из таблицы, приведенной в статье [Perron,
Vogelsgang (1993), стр. 249]). В правую часть оцениваемой статистической модели следует включать достаточное количество запаздывающих разностей, чтобы исключить автокоррелированность ошибок в расширенной модели.
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
44
В нашем случае
TB = 42, что соответствует 1998:08. В правую часть уравнения для остатков приходится дополнительно включать 12 запаздывающих разностей, т.к. иначе
(при 11 разностях) получаем P-значение критерия Бройша-Годфри (с AR(1) альтернативой), равное 0.0002 и указывающее на автокоррелированность остатков. Для повышения мощности критерия, используя стратегию GS (“от общего к частному”) и критерий Шварца SIC, осуществим редукцию модели, последовательно исключая из нее запаздывающие разности со статистически незначимыми (на 10% уровне значимости) коэффициентами. Результаты такой последовательной редукции сведены в следующую таблицу
Порядок запаздывания исключаемой разности SIC P-val LM-автокорр.P-val White P-val J-B t-статистика критерия Перрона – (полная модель с 12 запаздывающими разностями)
22.236 1 – 0.983 2 – 0.967 0.701 0.281 -1.92 8 22.157
-2.27 11 22.089
-2.60 10 22.018
-2.90 9*
21.986 1 – 0.590 2 – 0.844 3 – 0.954 0.372 0.223 -3.27 4
21.974 0.040
-2.78 5
21.935 0.035
-2.59 3
21.898 0.016
-2.22 1** (выбор по GS)
21.837 0.006 0.518 -2.04 7
21.834 0.002 0.184 -1.37 6
21.793 0.008 -1.31 2 (выбор по SIC)
21.782 0.006 -0.92
В первом столбце
таблицы указаны порядки запаздывания разностей, последовательно исключаемых из правой части оцениваемой статистической модели. Запаздывающая разность исключается из уравнения, если коэффициент при этой разности признается статистически незначимым на 10% уровне значимости.
Во втором столбце приведены значения информационного критерия Шварца (SIC), соответствующие редуцированным моделям.
В третьем столбце приведены
P-значения
(
P-values) LM-критерия автокоррелированности ошибок Бройша-Годфри. Цифры, предваряющие эти
P- значения, указывают на допускаемый (при альтернативе) порядок авторегрессионной модели для ошибок в редуцированном уравнении.
В четвертом столбце приведены
P-значения критерия
Уайта (White) гетероскедастичности ошибок.
В пятом столбце приведены
P-значения критерия Jarque-Bera для проверки нормальности распределения ошибок.
В последнем столбце таблицы приведены значения
t-статистики (расширенного) критерия Дики - Фуллера, получаемой при оценивании соответствующей редуцированной (или полной) модели.
При редукции модели методом “от общего к частному” (с 10% уровнем значимости) из расширенной модели с 12 запаздывающими разностями последовательно удаляются разности, запаздывающие на 8, 11, 10, 9 единиц времени (месяцев). Это приводит к модели, содержащей в правой части разности, запаздывающие на 1 – 7 и 12 месяцев; результаты оценивания этой модели приведены в строке таблицы, отмеченной звездочкой. Если продолжать редукцию, отбрасывая запаздывающие разности с коэффициентами, статистически незначимыми на 10% уровне, то остановка происходит на модели, результаты для которой находятся в строке, отмеченной двумя звездочками.
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
45
Критерий Шварца выбирает модель, результаты оценивания которой приведены в последнем столбце таблицы.
Поскольку отклонения от нормальности, некоррелированности и гомоскедастичности могут отражаться на критических значениях статистики критерия, то в этом отношении предпочтительнее модель, результаты для которой приведены в строке, помеченной звездочкой.
Асимптотические критические значения статистики критерия Перрона зависят от положения момента излома на интервале наблюдений через параметр
λ
= TB/T, где TB – момент, непосредственно после которого происходит излом тренда, а T – количество наблюдений. В нашем случае
λ
= 42/62 = 0.667. Соответствующее 5% критическое значение (при сделанном предположении о внезапном изменении наклона тренда) заключено между значениями –3.94 (для
λ
= 0.6) и –3.89 (для
λ
=0.7). Гипотеза единичного корня не отвергается ни в полной модели и ни в одной из редуцированных моделей.
Отметим также, что момент излома тренда 1998:08 был выбран нами на основании уже имеющейся информации об августовском кризисе 1998 г. и визуального обращения к графику ряда М1. Между тем, выбор даты излома тренда на основании анализа графика ряда влияет на критические значения t-статистики критерия единичного корня.
6.10.2. Обобщенная процедура Перрона
Анализируя результаты Перрона в отношении 14 макроэкономических рядов США, ряд авторов задался вопросом о влиянии метода датировки на критические значения соответствующих статистик. В работе [Zivot, Andrews (1992)] было обращено внимание на то, что при рассмотрении послевоенного GNP в качестве даты структурного сдвига Перрон взял второй квартал 1973 г. (что соответствует мировому топливо-энергетическому кризису). И это можно было бы считать экзогенным выбором, поскольку решение принималось международной организацией (ОПЕК). Однако в послевоенный период имели место и такие крупные события, как снижение налогов (1964 г.), война во Вьетнаме, финансовое разрегулирование в 80-е годы. Тем не менее, Перрон взял за точку сдвига именно
1973 г., обращаясь предварительно к поведению ряда GNP. А если это так, то нарушается условие, согласно которому статистические гипотеза формулируются до любого (даже визуального) анализа данных, на основании которых принимается решение об отклонении или неотклонении нулевой гипотезы. С этой точки зрения, критерий Перрона, предложенный в работе [Perron (1989a)], является условным, при условии, что точка смены режима известна.
Вместо условного критерия Перрона, Zivot и Andrews предложили использовать безусловный критерий (относящийся к инновационным выбросам), в котором датировка точки смены режима производится в “автоматическом режиме”, путем перебора всех возможных вариантов датировки и вычисления для каждого варианта датировки t-статистики t
α
для проверки гипотезы H
0
: α = 1; в качестве оцененной даты берется такая (t
min
), для которой значение t
α
оказывается минимальным. К чему это приводит?
Возьмем, для примера, ряд, представляющий занятость (1890 – 1970). Этот ряд исследуется в [Zivot, Andrews (1992)] в рамках модели (A) (см. выше Модели A, B,
C), но только без включения в правую часть переменной DTB
t
. Перрон для всех
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
46
рядов, кроме послевоенного GNP, определил в качестве точки смены режима 1929 г.
(Великая Депрессия). Для ряда занятости значение t
α
для этого года равно t
α
= –
4.95, TB = 40, λ = 40/81= 0.49. При таком значении λ критическое (5%) значение для
t
α
приближенно равно – 3.76, так что гипотеза единичного корня отвергается. С другой стороны, выполняя указанный перебор, Zivot и Andrews получили ту же датировку (1929 г.), так что t
min
= – 4.95. Значение t-статистики не изменилось.
Однако распределение статистики t
min отличается от распределения статистики t
α
для фиксированного года: 5% критическое значение для t
min равно – 5.26.
Поскольку t
min
= – 4.95 > – 5.26, гипотеза единичного корня (H
0
: α = 1) теперь не отвергается.
Аналогичный анализ для остальных рядов из работы Нельсона и Плоссера приводит к следующим результатам. Гипотеза единичного корня не отвергается для 11 из 14 рядов. Исключение составляют реальный и номинальный GNP (годовые данные) и промышленное производство (1986 – 1970). И это объясняется консервативностью критических значений при эндогенной датировке (путем перебора): при заданном значении λ последние существенно ниже критических значений, соответствующих экзогенной датировке.
Следует, впрочем, заметить, что при оценивании уравнений для номинального GNP, номинальной заработной платы и биржевого курса обыкновенных акций ряды остатков имели слишком большие значения коэффициента пикообразности –
куртозиса (kurtosis)
: 5.68, 4.658, 4.324, говорящие не в пользу предположения о нормальности инноваций, при котором были получены критические значения статистики t
min
. (Куртозис распределения определяется как отношение четвертого центрального момента распределения к квадрату дисперсии. Для нормального рапсределения значение куртозиса равно 3.
3
) Перемоделирование критических значений с использованием (вместо нормального) распределения Стьюдента с подходящими числами свободы дало для этих трех рядов следующие 5% критические значения: – 5.86, – 5.81 и – 5.86 (против – 5.38, – 5.33 и – 5.63, соответственно). Значения статистики t
min для этих рядов равны – 5.82, – 5.30 и –
5.61, что, в общем, практически не изменяет статистических выводов.
Наконец, если предположить, что распределение инноваций имеет настолько тяжелые хвосты, что D(ε
t
) = ∞ , то критические значения статистики t
min уменьшаются столь значительно, что отвергнуть гипотезу единичного корня на 5% уровне значимости становится невозможным ни для одного ряда.
Перрон вернулся к проблеме проверки гипотезы единичного корня в работе [Perron
(1997)] и, развивая результаты Zivot, Andrews, исследовал зависимость критических значений статистики t
min от выбора количества запаздывающих разностей, включаемых в правые части оцениваемых уравнений. При этом Перрон работал с моделями (A) и (C), содержащими в правых частях (в отличие от Zivot, Andrews) переменную DTB
t
3
В отечественной литературе в качестве характеристики пикообразности распределения чаще используется коэффициент эксцесса κ = (куртозис – 3), равный 0 для нормального распределения. Мы ориентируемся здесь на куртозис из-за того, что в распечатках результатов, получаемых при применении пакета статистического анализа ECONOMETRIC VIEWS, приводятся именно значения (оцененного) куртозиса.
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
47
Методика, разработанная в [Perron (1997)], реализована в виде процедуры
PERRON97 в пакете статистического анализа RATS.
При этом рассматриваются модели IO1 – с инновационным выбросом с изменением постоянной, IO2 – с инновационным выбросом, изменяющим и постоянную и наклон тренда, AO – с аддитивным выбосом, изменяющим только наклон тренда.
Предусмотрены три метода оптимального выбора даты излома:
UR – по минимуму t-статистики критерия для проверки гипотезы
α
= 1;
STUDABS – по максимуму абсолютной величины t-статистики критерия для проверки гипотезы о равенстве нулю коэффициента при переменной, отвечающей за изменение константы (в модели IO1) или за изменение наклона тренда (в модели IO2);
STUD
− по минимуму t-статистики критерия для проверки гипотезы о равенстве нулю коэффициента при переменной, отвечающей за изменение константы (в модели IO1) или за изменение наклона тренда (в модели IO2);
При практической реализации критерия обычно несколько ограничивают интервал возможных дат излома, чтобы исключить слишком ранние или слишком поздние даты излома.
Пример (продолжение примера с рядом М1)
Для учета влияния датировки при проверке гипотезы единичного корня в моделях, допускающих структурное изменение, воспользуемся процедурой PERRON97 из пакета статистического анализа RATS, реализующей методику, приведенную в статье [Perron (1997)]. Имея в виду предыдущие результаты, ограничим максимальное запаздывание разностей, включаемых в правую часть оцениваемых уравнений, тринадцатью.
Сначала рассмотрим модель, допускающую сдвиг траектории и изменение наклона тренда в форме инновационного выброса (IO). Результаты применения процедуры
PERRON97 для этой модели таковы: break date TB = 1999:07; statistic t(alpha=1) = -3.34124 critical values at 1%
5%
10% for 70 obs. -6.32
-5.59
-5.29 number of lag retained : 12 explained variable : M1
coefficient student
CONSTANT 124786.79561 3.33345
DU
-2506239.31872 -3.77751
D(Tb) 40455.79442 2.72347
TIME 9769.03708 3.44839
DT 23866.02686 3.78217
M1{1} -0.91050
-1.59235
Здесь
DU
t
=1 для t>TB и DU
t
= 0 для всех других значений t ;
D(Tb)
t
=1 для t=TB+1 и D(Tb)
t
= 0 для всех других значений t ;
DT= t для t>TB и DT
t
=0 для всех других значений t ;
(M1{1})
t
=M1
t–1
(Заметим, что при постулировании инновационного выброса оценивание регрессионной модели при каждой испытываемой дате производится в один этап – в правую часть регрессионной модели в качестве объясняющих включаются сразу все 6
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
48
переменных: CONST, DU, D(Tb), TIME, DT и запаздывающая на один шаг переменная
M1{1}.)
Процедура PERRON97 определяет в этом случае дату излома как 1999:07, если выбор даты излома осуществляется по минимуму t-статистики критерия единичного корня
t
α=1
, взятому по всем возможным моментам излома. При этом t
α=1
= – 3.341, что выше
5% критического уровня – 5.59, и гипотеза единичного корня не отвергается.
Наибольшее запаздывание разностей, включаемых в правую часть уравнений, выбирается равным 12 в рамках применения процедуры GS для редукции модели с 10% уровнем значимости.
Если выбор даты излома осуществляется по максимуму абсолютной величины t- статистики для коэффициента d при переменной DT
t
, отвечающей за изменение наклона тренда, то выбирается 1998:04. При этом t
α=1
= – 0.547, что выше 5% критического значения –5.33; гипотеза единичного корня не отвергается. (Наибольшее запаздывание разностей здесь уменьшается до 11). Наконец, если выбор даты излома тренда осуществляется по минимуму t-статистики критерия для проверки гипотезы о равенстве нулю коэффициента при переменной DT, отвечающей за изменение наклона тренда, то выбирается опять 1998:04 с тем же выводом о неотвержении гипотезы единичного корня (UR-гипотезы).
Рассмотрим теперь модель, допускающую только изменение наклона тренда (без сдвига траектории) в форме аддитивного выброса (AO). Результаты применения процедуры PERRON97 для этой модели таковы: break date TB = 1999:02; statistic t(alpha=1) = -3.59417 critical values at 1%
5%
10% for 100 obs.
-5.45
-4.83
-4.48 number of lag retained : 12 explained variable : M1
coefficient
student
CONSTANT
104939.65455 20.48279
TIME
4832.56930 26.73200
DT
14335.07564 21.11189
M1 {1} -0.75752 -1.54915
(Заметим, что при постулировании аддитивного выброса оценивание регрессионной модели при каждой испытываемой дате производится в два этапа. На первом шаге в правую часть регрессионной модели в качестве объясняющих включаются только переменные CONST, TIME, DT; в результате оценивания этой модели получаем ряд остатков e
t
. На втором шаге оценивается модель регресии e
t
на e
t–1 и запаздывающие разности
∆
e
t – 1
,
…,
∆
e
t – p
).
Датировка момента излома осуществляется по минимуму статистики t
α=1
для проверки гипотезы о равенстве 1 коэффициента при e
t – 1 в последней модели. При этом дата излома определяется как 1999:02, t
α=1
=
− 3.594 (используются 12 запаздывающих разностей), 5% критическое значение равно – 4.83, так что UR-гипотеза не отвергается и в этом случае.
Заметим, что распределение ошибок имеет в последней ситуации распределение, отличающееся от нормального: оцененный коэффициент пикообразности распределения – куртозис – превышает на 1.626 значение куртозиса нормального распределения, равного 3. Как следует из работы [Zivot, Andrews (1992)] (мы это уже отмечали ранее), в таких ситуациях критические уровни сдвигаются в сторону больших отрицательных значений, так что если использовать скорректированные на ненормальность критические уровни, то UR-гипотеза не будет отвергнута тем более.
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
49
Приведем здесь для полноты итоги анализа ряда М1 на интервале 1995:06 по 2000:07, проведенного в работе [Эконометрический анализ динамических рядов … (2001)].
Результаты применения различных процедур сведены в одну таблицу.
Исходная (нулевая) гипотеза
Используемая процедура (критерий)
DS TS
Критерий Дики - Фуллера (расширенный)
Не отвергается
Критерий Филлипса-Перрона
Не отвергается
Критерий DF-GLS
Не отвергается
Критерий KPSS
Отвергается
Отношение дисперсий Кохрейна
В пользу DS
Критерий Перрона
(экзогенный выбор даты излома тренда)
Не отвергается
Обобщенный критерий Перрона
(эндогенный выбор даты излома тренда)
Не отвергается
Статистические выводы, полученные при применении всех перечисленных в таблице процедур, согласуются между собой: нулевая DS-гипотеза не отвергается, тогда как нулевая TS-гипотеза отвергается; поведение отношения дисперсий Кохрейна также говорит в пользу DS-гипотезы.
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
1
Скачать 3.08 Mb.