Эконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядо - Носко В.П.. Эконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядо - Но. В. П. Носко Эконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядов
 Скачать 3.08 Mb.
|
|
∆ y t = – z t – 1 + u t , ∆ x t = ν t , где z t = y t – β x t (“константа и тренд не включаются в CE”). Поскольку ряды y t и x t не содержат детерминированного тренда (“тренда в данных нет”), то все это соответствует ситуации H 2 (r) DGP 2 : y t = ρ 0 + β x t + ε t , x t = x t – 1 + ν t . Эту систему можно записать в виде ∆ y t = – z t – 1 + u t , ∆ x t = ν t , где z t = y t – ρ 0 – β x t (“константа включается в CE”). Поскольку ряды y t и x t не содержат детерминированного тренда (“тренда в данных нет”), то все это соответствует ситуации H 1 * (r) DGP 3 : y t = ρ 0 + β x t + ε t , x t = γ 0 + x t – 1 + ν t . В этом случае y t – y t – 1 = – y t – 1 + ρ 0 + β ( γ 0 + x t – 1 + ν t ) + ε t = = – ( y t – 1 – ρ 0 – β x t – 1 ) + β γ 0 + u t , так что получаем Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm 6 ∆ y t = – z t – 1 + β γ 0 + u t , ∆ x t = γ 0 + ν t , где z t = y t – ρ 0 – β x t (“константа включается в CE”). Ряд x t содержит линейный тренд (“тренд в данных”). Все это соответствует ситуации H 1 (r) DGP 4 : y t = ρ 0 + ρ 1 t + β x t + ε t , x t = γ 0 + x t – 1 + ν t . Здесь y t – y t – 1 = – y t – 1 + ρ 0 + ρ 1 t+ β ( γ 0 + x t – 1 + ν t ) + ε t = = – ( y t – 1 – ρ 0 – ρ 1 t – β x t – 1 ) + β γ 0 + u t , или ∆ y t = – z t – 1 + β γ 0 + u t , ∆ x t = γ 0 + ν t , где z t = y t – ρ 0 – ρ 1 t – β x t (“константа и тренд включаются в CE”). Ряд x t содержит линейный тренд (“тренд в данных”). Все это соответствует ситуации H * (r) DGP 5 : y t = ρ 0 + ρ 1 t + β x t + ε t , x t = γ 0 + γ 1 t + x t – 1 + ν t . В этом случае y t – y t – 1 = – y t – 1 + ρ 0 + ρ 1 t+ β ( γ 0 + γ 1 t+ x t – 1 + ν t ) + ε t = = – ( y t – 1 – ρ 0 – ρ 1 t – β x t – 1 ) + β γ 0 + β γ 1 t + u t , или ∆ y t = – z t – 1 + β γ 0 + β γ 1 t + u t , ∆ x t = γ 0 + γ 1 t + ν t , где z t = y t – ρ 0 – ρ 1 t – β x t (“константа и тренд включаются в CE”). Ряд x t содержит квадратичный тренд (“квадратичный тренд в данных”). Все это соответствует ситуации H(r) Пример В качестве примера мы проведем анализ смоделированных данных, реализующих 5 только что рассмотренных вариантов DGP. При этом использовались следующие значения параметров: β = 2, ρ 0 = 5, ρ 1 = 0.2, γ 0 = 0.2, γ 1 = 0.01. В качестве рядов ε t и ν t брались имитации длины T = 400 независимых между собой гауссовских белых шумов, имеющих дисперсии, равные 4 и 1, соответственно. DGP 1 : y t = 2 x t + ε t , x t = x t – 1 + ν t . Смоделированная реализация имеет вид Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm 7 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 50 100 150 200 250 300 350 400 Y1 X1 Сводка статистик для определения ранга коинтеграции по этим смоделированным данным, получаемая в пакете EVIEWS (в предположении, что VAR в уровнях имеет порядок 2): Sample: 1 400 Included observations: 398 Series: Y1 X1 Lags interval: 1 to 1 Data Trend: None None Linear Linear Quadratic Rank or No Intercept Intercept Intercept Intercept Intercept No. of CEs No Trend No Trend No Trend Trend Trend Log Likelihood 0 -1526.582 -1526.582 -1526.015 -1526.015 -1525.928 1 -1434.108 -1433.925 -1433.357 -1433.324 -1433.242 2 -1434.100 -1432.926 -1432.926 -1430.264 -1430.264 AIC 0 7.691369 7.691369 7.698565 7.698565 7.708180 1 7.246775 7.250880 7.253051 7.257911 7.262521 2 7.266836 7.270985 7.270985 7.267658 7.267658 Schwarz Criteria 0 7.731434 7.731434 7.758663 7.758663 7.788309 1 7.326905 7.341026 7.353213 7.368089 7.382716 2 7.387030 7.411212 7.411212 7.427918 7.427918 L.R. Test: Rank = 1 Rank = 1 Rank = 1 Rank = 1 Rank = 2 В таблице для каждой из 5 указанных выше возможных ситуаций при 3 возможных рангах коинтеграции ( r = 0, 1, 2) приведены: • Значение L max ( r ) максимума логарифма функции правдоподобия (Log Likelihood), соответствующее выделенному варианту. • Значение информационного критерия Акаике (AIC – Akaike Information Criteria), соответствующее выделенному варианту. • Значение информационного критерия Шварца (Schwarz Criteria), соответствующее выделенному варианту. В первом столбце указывается “испытываемый” ранг коинтеграции (Rank or No. of CEs). Следующие 5 столбцов соответствуют 5 ситуациям, перечисленным выше. (В Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm 8 порядке слева направо это ситуации H 2 ( r ), H 1 * ( r ), H 1 ( r ), H * ( r ), H( r ).) В конце каждого столбца указан результат оценивания ранга коинтеграции в рамках цепочки, соответствующей данному столбцу. Таким образом, в рамках первых четырех ситуаций ранг коинтеграции оценивается как r = 1, а в рамках пятой ситуации (H( r )) ранг коинтеграции оценивается как r = 2. Ориентируясь на критерий Акаике, наилучшей следует признать модель H 2 (1) (нет тренда в данных, в CE не включаются ни константа ни тренд; ранг коинтеграции равен 1) – для нее значение критерия минимально (равно 7.246775). Та же модель выбирается и критерием Шварца (для нее значение критерия равно 7.326905). Следующая таблица расшифровывает процесс получения оценки ранга коинтеграции в ситуации, соответствующей первому столбцу. Sample: 1 400 Included observations: 398 Test assumption: No deterministic trend in the data Series: Y1 X1 Lags interval: 1 to 1 Likelihood 5 Percent 1 Percent Hypothesized Eigenvalue Ratio Critical Value Critical Value No. of CE(s) 0.371673 184.9642 12.53 16.31 None ** 4.00E-05 0.015911 3.84 6.51 At most 1 *(**) denotes rejection of the hypothesis at 5%(1%) significance level L.R. test indicates 1 cointegrating equation(s) at 5% significance level В первом столбце (Eigenvalue) указаны значения 2 1 ˆ , ˆ λ λ , используемые в критерии отношения правдоподобий В первой строке 184.9642 – наблюдаемое значение статистики λ trace (0), используемой при проверке гипотезы H 0 : r = 0 против альтернативы H A : r > 0. Рядом с ним приводятся 5% и 1% критические значения статистики λ trace (0) в рассматриваемой ситуации. Поскольку наблюдаемое значение значительно превосходит оба критических значения, гипотеза H 0 : r = 0 отвергается в пользу альтернативы H A : r > 0. Во второй строке 0.015911 – наблюдаемое значение статистики λ trace (1), используемой при проверке гипотезы H 0 : r = 1 против альтернативы H A : r > 1. Рядом приводятся 5% и 1% критические значения статистики λ trace (1). Наблюдаемое значение статистики λ trace (1) намного меньше критических, так что гипотеза H 0 : r = 1 не отвергается. Как итог оцененное значение ранга коинтеграции принимается равным 1, что соответствует истинному положению вещей. DGP 2 : y t = 5 + 2 x t + ε t , x t = x t – 1 + ν t . Смоделированная реализация имеет вид Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm 9 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 50 100 150 200 250 300 350 400 Y2 X2 Сводка статистик для определения ранга коинтеграции по этим смоделированным данным: Sample: 1 400 Included observations: 398 Series: Y2 X2 Lags interval: 1 to 1 Data Trend: None None Linear Linear Quadratic Rank or No Intercept Intercept Intercept Intercept Intercept No. of CEs No Trend No Trend No Trend Trend Trend Log Likelihood 0 -1526.582 -1526.582 -1526.015 -1526.015 -1525.928 1 -1513.785 -1433.925 -1433.357 -1433.324 -1433.242 2 -1513.777 -1432.926 -1432.926 -1430.264 -1430.264 AIC 0 7.691369 7.691369 7.698565 7.698565 7.708180 1 7.647159 7.250880 7.253051 7.257911 7.262521 2 7.667223 7.270985 7.270985 7.267658 7.267658 Schwarz Criteria 0 7.731434 7.731434 7.758663 7.758663 7.788309 1 7.727289 7.341026 7.353213 7.368089 7.382716 2 7.787417 7.411212 7.411212 7.427918 7.427918 L.R. Test: Rank = 1 Rank = 1 Rank = 1 Rank = 1 Rank = 2 Ориентируясь на критерий Акаике, наилучшей следует признать модель H * 1 (1) (нет тренда в данных, в CE включается константа; ранг коинтеграции равен 1) – для нее значение критерия минимально (равно 7.250880). Та же модель выбирается и критерием Шварца (для нее значение критерия равно 7.341026). Следующая таблица расшифровывает процесс получения оценки ранга коинтеграции в ситуации, соответствующей второму столбцу. Test assumption: No deterministic trend in the data Series: Y2 X2 Lags interval: 1 to 1 Likelihood 5 Percent 1 Percent Hypothesized Eigenvalue Ratio Critical Value Critical Value No. of CE(s) Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm 10 0.372251 187.3130 19.96 24.60 None ** 0.005008 1.998159 9.24 12.97 At most 1 *(**) denotes rejection of the hypothesis at 5%(1%) significance level L.R. test indicates 1 cointegrating equation(s) at 5% significance level Наблюдаемое значение 187.310 статистики λ trace (0), используемой при проверке гипотезы H 0 : r = 0 против альтернативы H A : r > 0, значительно превосходит оба критических значения. Гипотеза H 0 : r = 0 отвергается в пользу альтернативы H A : r > 0. Наблюдаемое значение 1.998159 статистики λ trace (1), используемой при проверке гипотезы H 0 : r = 1 против альтернативы H A : r > 1, намного меньше критических значений. Гипотеза H 0 : r = 1 не отвергается. Как итог оцененное значение ранга коинтеграции принимается равным 1, что соответствует истинному положению вещей. DGP 3 : y t = 5 + 2 x t + ε t , x t = 0.2 + x t – 1 + ν t . Смоделированная реализация имеет вид 0 20 40 60 80 100 120 140 50 100 150 200 250 300 350 400 Y3 X3 Сводка статистик для определения ранга коинтеграции по этим смоделированным данным: Sample: 1 400 Included observations: 398 Series: Y3 X3 Lags interval: 1 to 1 Data Trend: None None Linear Linear Quadratic Rank or No Intercept Intercept Intercept Intercept Intercept No. of CEs No Trend No Trend No Trend Trend Trend Log Likelihood 0 -1531.268 -1531.268 -1526.015 -1526.015 -1525.928 1 -1506.877 -1438.576 -1433.325 -1433.324 -1433.242 2 -1504.370 -1432.880 -1432.880 -1430.264 -1430.264 AIC 0 7.714915 7.714915 7.698565 7.698565 7.708180 1 7.612447 7.274253 7.252889 7.257911 7.262521 2 7.619950 7.270753 7.270753 7.267658 7.267658 Schwarz Criteria Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm 11 0 7.754980 7.754980 7.758663 7.758663 7.788309 1 7.692577 7.364399 7.353051 7.368089 7.382716 2 7.740144 7.410980 7.410980 7.427918 7.427918 L.R. Test: Rank = 2 Rank = 2 Rank = 1 Rank = 1 Rank = 2 Ориентируясь на критерий Акаике, наилучшей следует признать модель H 1 (1) (тренд в данных, в CE включается константа; ранг коинтеграции равен 1) – для нее значение критерия минимально (равно 7.252889). Та же модель выбирается и критерием Шварца (для нее значение критерия равно 7.353051). Расшифровка процесса получения оценки ранга коинтеграции в ситуации, соответствующей третьему столбцу: Sample: 1 400 Included observations: 398 Test assumption: Linear deterministic trend in the data Series: Y3 X3 Lags interval: 1 to 1 Likelihood 5 Percent 1 Percent Hypothesized Eigenvalue Ratio Critical Value Critical Value No. of CE(s) 0.372353 186.2692 15.41 20.04 None ** 0.002234 0.890114 3.76 6.65 At most 1 *(**) denotes rejection of the hypothesis at 5%(1%) significance level L.R. test indicates 1 cointegrating equation(s) at 5% significance level Гипотеза H 0 : r = 0 отвергается в пользу альтернативы H A : r > 0. Гипотеза H 0 : r = 1 не отвергается в пользу альтернативы H A : r > 1. Как итог оцененное значение ранга коинтеграции принимается равным 1, что соответствует истинному положению вещей. |