Эконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядо - Носко В.П.. Эконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядо - Но. В. П. Носко Эконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядов
 Скачать 3.08 Mb.
|
коинтеграции Для коинтегрированной системы, состоящей из N рядов, ранг коинтеграции может принимать значения r = 1, … , N – 1 . (Формально, если ряды не коинтегрированы, то r = 0. Если же имеется r = N линейно независимых коинтегрирующих векторов, то все N рядов стационарны.) Совокупность всех возможных коинтегрирующих векторов для коинтегрированной системы I(1) рядов образует r-мерное линейное векторное пространство, которое называют коинтеграционным пространством . Любой набор r линейно независимых коинтегрирующих векторов образует базис этого пространства, и если зафиксировать этот набор в качестве базиса, то тогда любой коинтегрирующий вектор является линейной комбинацией векторов, составляющих базис. Пусть коинтегрированная система I(1) рядов y 1t , … , y N t имеет ранг коинтеграции r и может быть представлена в форме VAR(p) – векторной авторегрессии порядка p (VAR – vector autoregression) A(L) y t = µ + ε t , где y t = (y 1t , … , y N t ) T , µ = (µ 1 , … , µ N ) T , A(L) = A 0 – A 1 L – … – A p L p , A 0 , A 1 , … , A p – матрицы размера (N ×N), A 0 = I N (единичная матрица), т.е. y t = µ + A 1 y t – 1 + … + A p y t – p + ε t . Тогда ранг матрицы A(1) равен rank A(1) = r и (по аналогии со случаем N = 2) существует представление этой VAR в форме ECM (модели коррекции ошибок) ( ) , 1 1 1 , , 1 , 1 , 11 1 , 1 1 , 1 11 1 1 t p j j t N j N j t j t r r t t y y z z y ε γ γ α α µ + ∆ + + ∆ + + + + + = ∆ ∑ − = − − − − K K …………………………………….. ( ) , 1 1 , , , 1 , 1 1 , 1 , 1 1 t N p j j t N j NN j t j N t r r N t N N t N y y z z y ε γ γ α α µ + ∆ + + ∆ + + + + + = ∆ ∑ − = − − − − K K где z 1,t , ... , z r,t – стационарные I(0) ряды, соответствующие r линейно независимым коинтегрирующим векторам β (1) , ... β (r) , (α 11 , ... , α N 1 ) T , … , (α 1 r , ... , α N r ) T – линейно независимые векторы корректирующих коэффициентов. Такую модель коррекции ошибок можно записать в компактном виде как Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm 34 ∆ y t = µ + α β T y t – 1 + ζ 1 ∆y t – 1 … + ζ p – 1 ∆y t – p + 1 + ε t , где ζ 1 , … , ζ p – 1 – матрицы размера N × N , а α и β – (N × r)-матрицы полного ранга r . При этом столбцы β (1) , … , β (r) матрицы β являются линейно независимыми коинтегрирующими векторами, а элементы α i j матрицы α являются коэффициентами при стационарных линейных комбинациях z 1, t – 1 = β T (1) y t – 1 , … , z r, t – 1 = β T (r) y t – 1 (представляющих отклонения в момент t – 1 от r долговременных соотношений между рядами y 1t , … , y N t ) в правых частях уравнений для ∆y 1t , … , ∆y N t Представление коинтегрированной VAR в форме модели коррекции ошибок не единственно, поскольку в качестве набора β (1) , … , β (r) можно взять любой базис коинтеграционного пространства. Соответственно, неоднозначность имеется и в отношении матрицы α . Один из возможных вариантов выбора базисных коинтегрирующих векторов дается следующим представлением системы коинтегрированных I(1) рядов. Если ранг коинтеграции равен r , 0 < r < N , то при соответствующей перенумерации переменных система I(1) рядов y 1t , … , y N t допускает представление , 1 , 1, 1 1 + + = + t r t t N t r r t r t v v y y C y y M M M M µ µ , , 1, 1 , 1, + = ∆ ∆ + + + t N t r N r t N t r v v y y M M M δ δ ( треугольная система Филлипса ) , где C = (с i j ) – матрица размера r ×(N – r) , v t = (v 1 t , … , v N t ) T - стационарный (в широком смысле) векторный случайный процесс с E(v t ) = 0, ряды y r + 1, t , … , y N , t не коинтегрированы. Отсюда получаем: y 1 t – c 11 y r + 1, t – … – c 1, N – r y N, t = µ 1 + v 1 t , y r t – c r 1 y r + 1, t – … – c r, N – r y N, t = µ r + v r t , так что векторы β (1) = (1, 0, 0, … , 0, – c 11 , … , – c 1, N – r ) T , β (2) = (0, 1, 0, … , 0, – c 21 , … , – c 2, N – r ) T , β (r) = (0, 0, 0, … , 1, – c r 1 , … , – c r, N – r ) T являютсялинейно независимыми коинтегрирующими векторами. Им соответствуют r стационарных линейных комбинаций рядов y 1 t , … , y N , t z 1, t = β T (1) y t = y 1 t – c 11 y r + 1, t – … – c 1, N – r y N, t , … z r, t = β T (r) y t = y r t – c r 1 y r + 1, t – … – c r, N – r y N, t Если ряды v 1 t , … , v r t не коррелированы с рядами v r + 1, t , … , v N t , то переменные y r + 1, t , … , y N , t являются экзогенными в первой подсистеме, и ее можно оценивать методом наименьших квадратов как многомерную регрессию y 1 t , … , y r t на y r + 1, t , … , y N , t . Полученные оценки j i c ˆ элементов матрицы С суперсостоятельны, хотя Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm 35 распределение ( ) j i j i c c T ˆ − не стремится к нормальному при T → ∞ . В случае r = 1 имеем y 1 t = µ 1 + c 11 y 2, t – … – c 1, N – 1 y N, t + v 1 t , условное распределение оценок наименьших квадратов для коэффициентов (при фиксированных значениях y 2, t ,… , y N, t ) является асимптотически нормальным, и это обеспечивает возможность использования стандартных процедур, основанных на t- и F-статистиках (конечно, в асимптотическом плане), с коррекцией стандартных ошибок коэффициентов в случае, если ряд v 1 t не является белым шумом. Коррекция, как и в разд. 7.1, состоит в замене стандартной оценки дисперсии ряда v 1 t оценкой долговременной дисперсии этого ряда. Значения j i c ˆ можно использовать для построения r линейно независимых (N × 1)- векторов – оценок коинтегрирующих векторов β (1) , … , β (r) : ) 1 ( ˆ β = (1, 0, 0, … , 0, – 1 1 ˆc , … , – r N c , 1 ˆ − ) T , ) ( ˆ r β = (0, 0, 0, … , 1, – 1 ˆ r c , … , – r N r c , ˆ − ) T Используя построенные оценки коинтегрирующих векторов ) 1 ( ˆ β , ... , ) ( ˆ r β , получаем оценки искомых стационарных линейных комбинаций в виде ˆ , , ˆ ˆ 1 ) ( 1 , 1 ) 1 ( 1 , 1 − − − − = = t T r t r t T t y z y z β β Теперь можно вместо указанной выше “истинной” ECM оценить систему ∆ y t = µ + α 1 ˆ − t z + ζ 1 ∆ y t – 1 … + ζ p – 1 ∆ y t – p + 1 + ε t , в которой = − − − 1 , 1 , 1 1 ˆ ˆ ˆ t r t t z z z M При этом оценки наименьших квадратов для коэффициентов последней модели имеют те же самые асимптотические распределения, что и при оценивании истинной ECM. Заметим, что если мы имеем дело со стохастической (а не c детерминистской) коинтеграцией, то для достижения стационарности рядов z 1, t , ... , z r, t приходится в “остационаривающую” линейную комбинацию рядов y 1t , … , y N t включать еще и дополнительную трендовую составляющую, так что в этом случае речь идет о существовании стационарных линейных комбинаций ( N +1) переменных y 1t , … , y N t и t , в которых не все коэффициенты равны нулю. Если ранг матрицы A(1) равен r , то тогда существует r таких стационарных линейных комбинаций Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm 36 β 11 y 1t + ... + β 1N y 1N + β 1, N + 1 t , ………………………………… β r1 y 1t + ... + β r N y 1N + β r, N + 1 t . с линейно независимыми (( N + 1)×1)-векторами β (1) = ( β 11 , ... , β 1N , β 1, N + 1 ) T …………………………….. β (r) = ( β r1 , ... , β r N , β r, N + 1 ) T При этом последние векторы интерпретируются как линейно независимые коинтегрирующие векторы в системе стохастически коинтегрированных рядов. Возможность наличия нескольких линейно независимых коинтегрирующих векторов значительно усложняет задачу построения модели коррекции ошибок (ECM), поскольку, как минимум, приходится по реальным статистическим данным оценивать количество таких векторов. Само по себе решение о коинтегрированности нескольких I(1) рядов в результате использования рассмотренных выше процедур Дики – Фуллера отнюдь не дает нам никакой информации о ранге коинтеграции r ; для этого требуются другие статистические процедуры. Но если мы не знаем ранга коинтеграции, то теряется смысл оценивания уравнения регрессии в уровнях y 1t = с + γ 2 y 2t + ... + γ N y N t + u t (или y 1t = с + γ 2 y 2t + ... + γ N y N t + γ N + 1 t + u t ). Действительно, если r > 1, то вектор (1, – 2 ˆ γ , … , – N γ ˆ ) T (или вектор (1, – 2 ˆ γ , … , – N γ ˆ , – 1 ˆ + N γ ) T ) является оценкой всего Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm 37 лишь одной из возможных линейных комбинаций r линейно независимых коинтегрирующих векторов, которая может и не иметь разумной экономической интерпретации. Но даже если ранг коинтеграции r по каким-то причинам известен, при r > 1 возникает другая проблема. В рассмотренном выше представлении Филлипса линейно независимые коинтегрирующие векторы имели вид β (1) = (1, 0, 0, … , 0, – c 11 , … , – c 1, N – r ) T , β (2) = (0, 1, 0, … , 0, – c 21 , … , – c 2, N – r ) T , β (r) = (0, 0, 0, … , 1, – c r 1 , … , – c r, N – r ) T Любая линейная комбинация этих векторов (не все коэффициенты которой равны нулю) также является коинтегрирующим вектором, а совокупность всех возможных линейных комбинаций этих векторов образует линейное векторное пространство размерности r . Любой вектор из этого пространства (не все коэффициенты которого равны нулю) является коинтегрирующим вектором для y 1t , … , y N t , а векторы β (1) , … , β (r) образуют всего лишь один из возможных базисов этого пространства. В практических задачах на первый план (наряду с определением ранга коинтеграции) выходит идентификация коинтегрирующих векторов , приводящих к долговременным соотношениям, имеющим разумную экономическую интерпретацию. Мы вернемся к этому вопросу в главе 8. В настоящее время наиболее распространенной является методика определения ранга коинтеграции, предложенная Йохансеном в работе [Johansen (1988)]. Однако точное описание этой процедуры требует более детального рассмотрения соответствующего математического аппарата. Мы рассмотрим эту процедуру в разд. 8.1, а сейчас сосредоточимся на случае, когда r = 1 , т.е. (с точностью до пропорциональности) имеется всего один коинтегрирующий вектор. Наиболее простой является ситуация, когда N = 2 . В этом случае, если рассматриваемые ряды y 1t и y 2t коинтегрированы, то ранг коинтеграции может быть равным только единице. Мы уже отмечали ранее, что при построении модели коррекции ошибок на первом шаге процедуры Энгла – Гренджера, вообще говоря, нельзя пользоваться обычными регрессионными критериями (даже в асимптотическом плане). И причина этого в том, что получаемые на первом шаге оценки и статистики в общем случае имеют нестандартные асимптотические распределения. Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm 38 Об одном исключении из общего случая мы уже говорили – это треугольная система Филлипса y t = β x t + ν t , x t = x t – 1 + ε t , где ε t и ν t – не коррелированные между собой процессы белого шума. Вторым исключением является ситуация, исследованная в работе [West (1988)]: y t = α + β x t + u t , где x t I(1), E(∆x t ) = µ ≠ 0 (так что ряд x t содержит и стохастический и детерминированный тренд), u t I(0) – стационарный ряд с нулевым средним , не обязательно являющийся процессом белого шума. В цитированной работе доказывается асимптотическая нормальность соответствующим образом нормированной оценки наименьших квадратов для вектора ( α , β) T . Если ряд u t не является процессом белого шума, то для применения этого результата необходимо скорректировать значения t-статистик, вычисляемых по стандартным формулам, соответствующим предположениям классической линейной модели регрессии. В знаменателях обычных t-статистик для параметров α и β стоят оценки стандартных ошибок оценок T α ˆ и T β ˆ этих параметров, а именно: S ( ) 1 11 − X X T – для T α ˆ , S ( ) 1 22 − X X T – для T β ˆ Здесь X – (T×2)-матрица значений объясняющих переменных (1 и x t ) в T наблюдениях, а S 2 – несмещенная оценка дисперсии u t в случае, когда u t i.i.d., , ˆ 2 1 1 2 2 ∑ = − = T t t u n S t t t x y u ˆ ˆ ˆ β α − − = Поскольку у нас не предполагается, что u t i.i.d., то для сохранения t-распределения (точнее, N(0, 1) – распределения) t-статистик (хотя бы при больших T), требуется замена S 2 на другую подходящую величину. Мы предположили, что ряд u t стационарный. Пусть h γ = Cov(u t , u t+h ) – последовательность его автоковариаций. West показал , что подходящей является замена S 2 долговременной дисперсией ряда u t (см. разд. 6.8.1), которая для стационарного ряда вычисляется по формуле ∑ ∞ ∞ − = = 2 h h γ λ Проблема, однако в том, что значение λ 2 не известно, и его приходится оценивать по имеющимся наблюдениям. Для этого, в свою очередь, следовало бы оценить Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm 39 бесконечное множество автоковариаций h γ , h = 0, ± 1, ± 2, … , , что, конечно, невозможно. Из-за этого, в конечном счете, приходится, так или иначе, делать более определенные предположения о характере автокоррелированности ряда u t , что дало бы возможность ограничиться при оценивании λ 2 оценкой лишь конечного числа автоковариаций h γ = Cov(u t , u t+h ). В процессе такого оценивания приходится учитывать и то, что автоковариации h γ с возрастанием h оцениваются все менее точно, и поэтому желательно регулировать (уменьшать) влияние h γ на оценку долговременной дисперсии λ 2 при возрастании h . Если исходить из того, что случайный процесс u t может быть представлен в виде процесса MA( q) конечного порядка q , то тогда h γ = 0 для |h| > q , и можно не заниматься получением оценок h γ для таких h . Это, вместе с предшествующими соображениями, приводит к оценке h q h q h γ γ λ ˆ 1 1 2 ˆ ˆ 1 0 2 ∑ = + − + = , где 1 1 ˆ ˆ 1 ˆ − + = ∑ = t T h t t h u u T γ – оценки автоковариаций h γ . При этом можно показать (см., например, [Hamilton (1994), p. 513]), что выбор q = O(T 1/5 ) обеспечивает состоятельность такой оценки для λ 2 ( оценка Newey–West ). В рамках пакета EVIEWS реализация такого метода производится без труда. Следует просто при спецификации уравнения заказать опцию: “вычисление стандартных ошибок методом Newey-West”. (Отметим, однако, что в этой опции используется несколько отличающаяся от приведенной оценка, реализующая еще и поправку на возможную гетероскедастичность ряда.) Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm 40 Если предположить, что динамика ряда u t хорошо аппроксимируется моделью авторегрессии AR( p) с конечным p , u t = a 1 u t – 1 + a 2 u t – 2 + … + a p u t – p + ε t , где ε t – инновационный процесс белого шума с D(ε t ) = σ ε 2 , то тогда λ 2 = σ ε 2 ⁄ (1 – a 1 – a 2 – ... – a p ) 2 Поэтому в такой ситуации в качестве оценки для λ 2 естественно взять величину ( ) 2 2 1 2 2 ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ p a a a − − − − = K ε σ λ , где p a a a ˆ , , ˆ , ˆ 2 1 K – оценки наименьших квадратов для a 1 , a 2 , ... , a p , ∑ + = − = T p t p T 1 2 2 ˆ 1 ˆ ε ε ε σ , t ε ˆ – остатки при оценивании модели авторегрессии для ряда t uˆ . В любом случае, замена S 2 на 2 ˆ λ равносильна умножению значения t-статистики, полученного обычным путем, на ( ) λ ˆ S Пример Смоделируем систему DGP: y t = 2 x t + u t , x t = 1 + x t – 1 + v t , где u t = 0.4 u t – 1 + 0.2 u t – 2 + ε t – стационарный AR(2) ряд, ε t , ν t – гауссовские процессы белого шума, коррелированные в совпадающие моменты времени: Cov(ε t , ν t ) = 0.8 : Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm 41 -50 0 50 100 150 200 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 X Y Оценивание статистической модели SM: y t = α + β x t + u t обычным методом наименьших квадратов дает следующие результаты: Dependent Variable: Y Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -0.398071 0.172093 -2.313111 0.0228 X 2.031938 0.007241 280.6336 0.0000 R-squared 0.998757 Mean dependent var 37.39809 Adjusted R-squared 0.998745 S.D. dependent var 30.23477 S.E. of regression 1.071308 Akaike info criterion 2.995436 Sum squared resid 112.4748 Schwarz criterion 3.047539 Log likelihood -147.7718 F-statistic 78755.23 Durbin-Watson stat 1.080957 Prob(F-statistic) 0.000000 Если ориентироваться на приведенные значения статистик, то оба параметра оказываются статистически значимыми, хотя в DGP константа в уравнении для y t отсутствует. Ряд остатков -4 -2 0 2 4 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 RESIDS идентифицируется по коррелограмме как AR(2). Оцененная AR(2) модель: Dependent Variable: RESIDS Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. RESIDS(-1) 0.363522 0.100494 3.617344 0.0005 RESIDS(-2) 0.205074 0.100427 2.042024 0.0439 R-squared 0.240364 Mean dependent var -0.008547 Adjusted R-squared 0.232451 S.D. dependent var 1.075097 S.E. of regression 0.941891 Akaike info criterion 2.738343 Sum squared resid 85.16727 Schwarz criterion 2.791098 Отсюда находим оценку для λ : Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm 42 λ ˆ = 0.941891/ (1 – 0.363522 – 0.205074) = 2.183, так что ( S ⁄ λ ˆ ) = 1.071/ 2.183 = 0.491. Это приводит к следующим скорректированным значениям t-статистик и P- значений: t α : - 2.313111 (P-value = 0.0228) -1.135738 (P-value = 0.2588) t β : 280.6336 (P-value = 0.0000) 137.791098 (P-value = 0.0000). При использовании скорректированных значений постоянная в оцениваемом уравнении становится статистически незначимой. Снимем теперь ограничение N = 2 и будем интересоваться существующей и единственной (по предположению) долговременной связью между N нестационарными I(1) рядами y 1t , … , y N t Оценивание статистической модели y 1t = с + γ 2 y 2t + ... + γ N y N t + u t приводит в этом случае к суперсостоятельным оценкам, независимо от того, будут ли регрессоры иметь линейный тренд, если только в правую часть уравнения не включается тренд. Однако, как мы уже отмечали выше в разд. 7.2, повышенная скорость сходимости по вероятности оценок коэффициентов к истинным значениям этих коэффициентов вовсе не предотвращает смещения оценок при небольшой длине ряда наблюдений. Многие авторы на основании результатов моделирования отмечали весьма значительное смещение оценок коэффициентов при небольших T . Как и в случае N = 2, особое место в этом отношении занимает треугольная система Филлипса Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm 43 y 1t = с + γ 2 y 2t + ... + γ N y N t + ε 1t y 2t = y 2, t – 1 + ε 2t , ... y N t = y N, t – 1 + ε N t , где ε t = (ε 1t , ε 2t , ... , ε N t ) T – N-мерный гауссовский белый шум (т.е. ε 1 , ε 2 , ... – последовательность независимых, одинаково распределенных случайных векторов, имеющих N-мерное нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей Σ=(σ ij ) ), причем случайные величины ε 2t , ... , ε N t могут быть коррелированнными между собой, но ε 1t не коррелирована ни с одной из них (так что σ 1 j = 0 для всех j = 2, … , N ). В этом случае регрессоры y 2t , … , y N t не коинтегрированы, и β = (1, – 2 ˆ γ , … , – N γ ˆ ) T – единственный коинтегрирующий вектор. Условное распределение ( cˆ – с , 2 ˆ γ – γ 2 , … , N γ ˆ – γ N ) T │ {y 2t , … , y N t , t = 1, … , T} является N-мерным нормальным, с нулевым средним, так что F-критерии для проверки линейных гипотез о значениях коэффициентов с, γ 2 , ... , γ N имеют точные F- распределения, а t-критерии – точные t-распределения. В более общей ситуации, пусть y 1t = с + γ 2 y 2t + ... + γ N y N t + u 1t y 2t = y 2, t – 1 + u 2t , ... y N t = y N, t – 1 + u N t , где u t =(u 1t , u 2t , ... , u N t ) T – N-мерный гауссовский стационарный векторный ряд (теперь уже не обязательно N-мерный гауссовский белый шум), причем ряды u 2t , ... , u N t могут быть коррелированнными между собой, но ряд u 1t не коррелирован с остальными рядами, так что Cov(u 1t, u k s ) = 0 при k ≠ 1 для всех t, s. Последнее условие обеспечивает экзогенность переменных в правой части первого уравнения треугольной системы. (Гауссовость ряда u t означает, что совместное распределение значений ряда в любые T различных моментов времени является NT-мерным нормальным распределением.) В такой ситуации для проверки линейных гипотез о коэффициентах можно использовать скорректированные F- и t-статистики с асимптотически оправданными F- и t- распределениями, предварительно заменив обычную оценку S 2 для дисперсии u 1t на состоятельную оценку 2 ˆ λ “долговременной дисперсии” λ 2 ряда u 1t . Последнее соответствует умножению обычной F-статистики на 2 2 ˆ λ S и умножению обычной t-статистики на λ ˆ S Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm 44 Таким образом, проблема нестандартных распределений по-существу связана с возможным нарушением экзогенности регрессоров y 2t , … , y N t в первом уравнении треугольной системы. Сток и Уотсон [Stock, Watson (1993)] и Сайконнен [Saikonnen (1991)] предложили процедуру устранения нежелательной корреляции, состоящую в пополнении правой части первого уравнения треугольной системы запаздывающими (“lags”) и опережающими (“leads”) значениями приращений регрессоров. (Отсюда наименование метода – “leads” and “lags” .) Именно, вместо первого уравнения системы оценивается его расширенный вариант y 1t = с + γ 2 y 2t + ... + γ N y N t + + ∑ − = p p j (θ 2j ∆y 2, t – j + ... + θ Nj ∆y N, t – j ) + u t . Если значение p выбрано правильно (достаточно велико), то тогда статистические выводы в отношении γ 2 , ... , γ N можно проводить обычным образом (конечно, имея в виду асимптотическую оправданность соответствующих статистических процедур), но опять с использованием скорректированных значений обычных t- и F- статистик, если u t не является белым шумом. Предложенная процедура остается асимптотически оправданной и в случае, когда все или некоторые из рядов y 2t , … , y N t имеют детерминированный тренд. Более того, дополнительных проблем не возникает и в случае, когда в правую часть первого уравнения треугольной системы добавляется линейный тренд и проверяется гипотеза о его значимости. Это позволяет проводить раздельную проверку гипотез о том, что Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm 45 (a) y 1t – γ 2 y 2t – ... – γ N y N t не имеет детерминированного тренда; (b) y 1t – γ 2 y 2t – ... – γ N y N t – стационарный ряд. (Заметим, что (a) может выполняться при невыполненном (b), если детерминированный тренд устраняется, а стохастический тренд остается.) Пример DGP: y t = 5 + z t + u t , z t = z t – 1 + v t , где z 1 = 0, u t = ν t + 0.25 ν t – 1 + 0.25 ν t + 1 + 0.1 ν t – 2 + 0.1 ν t + 2 + 0.1 ε t , ε t , ν t – не коррелированные между собой гауссовские процессы белого шума. Здесь случайная величина u t коррелирована с ν t , ν t – 1 , ν t + 1 , ν t – 2 , ν t + 2 , так что непосредственное использование стандартных статистических выводов неоправданно. Обратимся к смоделированной реализации этого DGP (50 наблюдений): -4 0 4 8 12 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Y Z Оба ряда y t и z t идентифицируются по 50 наблюдениям как интегрированные ряды первого порядка. Расмотрим эту пару в рамках треугольной системы Филлипса. Оценивание методом наименьших квадратов уравнения y t = α + βz t + η t дает следующий результат: Dependent Variable: Y Method: Least Squares Sample(adjusted): 3 98 Included observations: 96 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 4.851262 0.133152 36.43410 0.0000 Z 1.088870 0.047570 22.88977 0.0000 Проверять гипотезу H 0 : β = 1, используя обычный t-критерий, нельзя, если Cov(η t , ∆ z s ) ≠ 0 хотя бы для одной пары значений t , s. Для выяснения вопроса о наличии или отсутствии такой коррелированности обратимся к кросс-коррелограмме, построенной для пары рядов e t , ∆ z t , где e t – ряд остатков, полученный при оценивании уравнения Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm 46 y t = α + βz t + η t . Левый график показывает поведение кросс-корреляций Cov(e t , ∆ z t - i ) для i = 0, 1, 2, … ; значения этих кросс-корреляций приведены в столбце “lag”. Правый график показывает поведение кросс-корреляций Cov(e t , ∆ z t + i ) для i = 0, 1, 2, … ; значения этих кросс-корреляций приведены в столбце “lead”. Included observations: 96 Correlations are asymptotically consistent approximations e , ∆Z(-i) e , ∆Z(+i) i lag lead . |********* . |********* 0 0.9017 0.9017 | . . |* 1 -0.0217 0.0830 | . *| . 2 -0.0956 -0.0413 | . . | . 3 0.0064 0.0341 *| . . | . 4 -0.0510 0.0118 *| . . | . 5 -0.0824 -0.0228 . | . . | . 6 -0.0171 0.0150 **| . **| . 7 -0.1858 -0.1579 . | . . | . 8 -0.0292 -0.0272 . |* . |* 9 0.0833 0.0701 . | . . | . 10 0.0125 0.0216 На основании этой кросс-коррелограммы можно предполагать наличие ненулевых кросс-корреляций в DGP до 7-го порядка. В соответствии с этим, добавим в правую часть оцененного ранее уравнения запаздывающие и опережающие разности переменной z t вплоть до 7-го порядка. Dependent Variable: Y Sample(adjusted): 9 93 Included observations: 85 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 4.987362 0.020874 238.9236 0.0000 Z 1.000689 0.007818 127.9955 0.0000 D(Z) 1.006216 0.013125 76.66298 0.0000 D(Z(-1)) 0.237875 0.012764 18.63643 0.0000 D(Z(-2)) 0.089302 0.012810 6.971105 0.0000 D(Z(-3)) -0.008934 0.012368 -0.722323 0.4726 D(Z(-4)) -0.002997 0.012391 -0.241901 0.8096 D(Z(-5)) -0.011646 0.012179 -0.956245 0.3423 D(Z(-6)) -0.010012 0.011925 -0.839615 0.4041 D(Z(-7)) -0.003586 0.011634 -0.308269 0.7588 D(Z(1)) 0.262537 0.013373 19.63226 0.0000 D(Z(2)) 0.116863 0.013365 8.744236 0.0000 D(Z(3)) -0.010921 0.013219 -0.826184 0.4116 D(Z(4)) 0.003903 0.013276 0.294017 0.7696 D(Z(5)) 0.021536 0.013232 1.627644 0.1082 D(Z(6)) -0.008452 0.012699 -0.665583 0.5079 D(Z(7)) 0.002945 0.012199 0.241376 0.8100 Ряд остатков не обнаруживает автокоррелированности: P-значения критерия Бройша – Годфри равны 0.252 (при глубине запаздываний K = 1) и 0.427 (K = 2). Поэтому мы Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm 47 можем использовать для проверки гипотезы H 0 : β = 1 обычную t-статистику без коррекции стандартной ошибки; ее значение равно t = (1.000689–1)/ 0.007818 = 0.0081, так что гипотеза H 0 : β = 1 не отвергается. Пример (продолжение) Изменим теперь DGP так, чтобы слева и справа в первом уравнении стояли I(1) ряды с линейным трендом. DGP: y t = 5 + x t + u t , x t = 1 + x t – 1 + v t , где x 1 = 0, а u t , v t – те же, что и ранее. Смоделированная реализация этого DGP имеет вид -20 0 20 40 60 80 100 120 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 X Y Оцененное уравнение регрессии y t = α + βx t + η t : Dependent Variable: Y Method: Least Squares Sample(adjusted): 3 98 Included observations: 96 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 5.172117 0.201812 25.62837 0.0000 X 0.997147 0.003444 289.5306 0.0000 Кросс-коррелограмма ряда остатков от оцененного уравнения и приращений ряда x t имеет вид, аналогичный предыдущей коррелограмме. Поэтому опять переходим к оцениванию расширенного уравнения, дополненного семью запаздывающими и семью опережающими разностями: Dependent Variable: Y Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 3.224675 0.098061 32.88423 0.0000 X 1.000621 0.000520 1923.269 0.0000 D(X) 1.009585 0.012922 78.12803 0.0000 D(X(-1)) 0.241440 0.012760 18.92225 0.0000 D(X(-2)) 0.093472 0.012938 7.224562 0.0000 D(X(-3)) -0.004479 0.012656 -0.353864 0.7245 Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm 48 D(X(-4)) 0.001328 0.012648 0.104986 0.9167 D(X(-5)) -0.007856 0.012272 -0.640121 0.5242 D(X(-6)) -0.006808 0.011934 -0.570501 0.5702 D(X(-7)) -0.001175 0.011513 -0.102067 0.9190 D(X(1)) 0.266271 0.013016 20.45699 0.0000 D(X(2)) 0.120232 0.012948 9.286042 0.0000 D(X(3)) -0.007953 0.012873 -0.617748 0.5388 D(X(4)) 0.006576 0.012866 0.511164 0.6109 D(X(5)) 0.023956 0.012814 1.869580 0.0658 D(X(6)) -0.007153 0.012294 -0.581813 0.5626 D(X(7)) 0.003367 0.011821 0.284813 0.7767 В ряде остатков и здесь не обнаруживается автокоррелированности, так что можно использовать для проверки гипотезы H 0 : β = 1 обычную t-статистику без коррекции стандартной ошибки; ее значение равно t = (1.000621–1)/ 0.00520 = 1.194, гипотеза H 0 : β = 1 не отвергается. Включим в правую часть оцениваемого уравнения еще и тренд. При этом получаем: Dependent Variable: Y Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 3.223725 0.101508 31.75848 0.0000 @TREND -0.000317 0.007802 -0.040686 0.9677 X 1.000938 0.007798 128.3544 0.0000 D(X) 1.009461 0.013372 75.49241 0.0000 D(X(-1)) 0.241345 0.013061 18.47841 0.0000 D(X(-2)) 0.093380 0.013231 7.057897 0.0000 D(X(-3)) -0.004552 0.012877 -0.353495 0.7248 D(X(-4)) 0.001255 0.012867 0.097531 0.9226 D(X(-5)) -0.007941 0.012541 -0.633231 0.5287 D(X(-6)) -0.006888 0.012181 -0.565473 0.5736 D(X(-7)) -0.001256 0.011767 -0.106726 0.9153 D(X(1)) 0.266438 0.013736 19.39718 0.0000 D(X(2)) 0.120397 0.013657 8.815884 0.0000 D(X(3)) -0.007809 0.013441 -0.580980 0.5632 D(X(4)) 0.006723 0.013451 0.499805 0.6189 D(X(5)) 0.024098 0.013370 1.802394 0.0760 D(X(6)) -0.007035 0.012719 -0.553156 0.5820 D(X(7)) 0.003469 0.012172 0.285016 0.7765 Гипотеза H 0 : β = 1 не отвергается и для переменных, очищенных от тренда. Коэффициент при трендовой переменной статистически незначим. Полученные результаты указывают на то, что мы имеем дело с детерминистской коинтеграцией. Пример Рассмотрим теперь следующий DGP: W t = 5 + t + rw t , V t = 1 + t + 0.5* rw t + 0.1*n2 t , где rw t = rw t – 1 + 0.5*n3 t – случайное блуждание без сноса, Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm 49 n2 t , n3 t – некоррелированные гауссовские процессы белого шума с единичной дисперсией. Смоделированная реализация длины 50 имеет вид: 0 10 20 30 40 50 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 V W Оцениваем статистическую модель V t = α + βW t + η t : Dependent Variable: V Included observations: 50 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -2.657128 0.325116 -8.172855 0.0000 W 1.021898 0.011165 91.52908 0.0000 Durbin-Watson stat 0.290480 Prob(F-statistic) 0.000000 Ряд остатков -2 -1 0 1 2 3 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 RESID_V_W идентифицируется как интегрированный (статистика Дики – Фуллера равна – 2.22 при 5% критическом значении – 3.46), так что ряды V t и W t не являются детерминистски коинтегрированными. Близость к 1 оценки коэффициента β соответствует равенству угловых коэффициентов детерминированных трендов, входящих в состав в рядов V t и W t . Ряд V t –W t не имеет выраженного детерминированного тренда и его график отличается от только что представленного практически только сдвигом. Добавим в правую часть оцениваемого уравнения трендовую составляющую: Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm 50 Dependent Variable: V Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -1.493506 0.035792 -41.72787 0.0000 @TREND 0.503277 0.007131 70.57274 0.0000 W 0.496897 0.007519 66.08810 0.0000 Durbin-Watson stat 2.275079 Prob(F-statistic) 0.000000 Теперь ряд остатков имеет вид -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 RESID_V_W_TREND и идентифицируется как стационарный (статистика Дики – Фуллера равна –7.09). Кросс-коррелограмма ряда остатков и приращений ряда W t e ,W_DIF(-i) e ,W_DIF(+i) i lag lead . | . . | . 0 0.0353 0.0353 . | . . |* 1 -0.0237 0.1217 *| . . | . 2 -0.0846 0.0115 . | . *| . 3 0.0052 -0.1083 *| . . |* 4 -0.0776 0.1174 . |* . |* 5 0.1352 0.1018 . |** . | . 6 0.1986 0.0347 . |* . |** 7 0.1093 0.1669 **| . . |* 8 -0.1751 0.0614 **| . ****| . 9 -0.2456 -0.3565 . |* *| . 10 0.1177 -0.0421 указывает на то, что здесь для пополнения оцениваемого уравнения достаточно ограничиться включением в правую часть 9 запаздывающих и опережающих разностей ряда W t Оценивая пополненное уравнение, получаем следующий результаты для коэффициентов при тренде и W t : @TREND 0.497313 0.023984 20.73533 0.0000 W 0.505495 0.025512 19.81437 0.0000 При этом гипотеза гауссовского белого шума для ряда остатков не отвергается. Это означает, что мы имеем здесь дело со стохастической коинтеграцией. В рамках расширенной модели не отвергается гипотеза о равенстве 0.5 коэффициентов при тренде и W t . График ряда V t – 0.5t – 0.5W t имеет вид Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm 51 -1.8 -1.7 -1.6 -1.5 -1.4 -1.3 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 SER1 и этот ряд идентифицируется как стационарный. Подведем итог. Ряд V t –W t не имеет выраженного детерминированного тренда, но имеет стохастический тренд. Ряд V t – 0.5W t имеет выраженный линейный тренд, но не имеет стохастического тренда: -5 0 5 10 15 20 25 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 SER2 Наконец, ряд V t – 0.5t – 0.5W t идентифицируется как стационарный, со средним значением – 1.493 и стандартным отклонением 0.104. И это находится в полном соответствии с использованным при моделировании реализаций процессом порождения данных. Действительно, в соответствии с этим DGP, V t – 0.5t – 0.5W t = (1 + t + 0.5* rw t + 0.1*n2 t ) – 0.5 t – 0.5(5 + t + rw t ) = = – 1.5 + 0.1*n2 t |