Эконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядо - Носко В.П.. Эконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядо - Но. В. П. Носко Эконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядов

• Название: В. П. Носко Эконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядов
• Анкор: Эконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядо - Носко В.П..pdf
• Дата: 29.05.2018
• Размер: 3.08 Mb.
• Имя файла: Эконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядо - Но.pdf
• Тип: Документы; #19771
• Категория: Экономика. Финансы
• страница: 22 из 30

передифференцированным
рядам, имеющим необратимую MA составляющую.
(b) Если ряды являются интегрированными порядка 1 и при этом коинтегрированы, то при переходе к продифференцированным рядам теряется информация о долговременной связи между уровнями этих рядов.
Дифференцирование рядов оправданно и полезно, если ряды являются интегрированными, но при этом между ними отсутствует коинтеграционная связь.
7.2. Коинтегрированные временные ряды. Модели коррекции ошибок
Пусть
y
t
I(1), x
t
I(0).
Строить регрессию y
t
на x
t
в этом случае бессмысленно, т.к. для любых a и b в такой ситуации
y
t
– a – b x
t

I(1).
Пусть, наоборот,
y
t
I(0), x
t
I(1)
. Для любых a и b ≠ 0 здесь опять
y
t
– a – b x
t

I(1), и только при b = 0 получаем
y
t
– a – b x
t

I(0), так что и в таком сочетании строить регрессию одного ряда на другой не имеет смысла.

Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
16
Пусть теперь
y
t
I(1), x
t
I(1)
– два интегрированных ряда.
Если для любого b
y
t
– b x
t

I(1), то регрессия y
t
на x
t
является фиктивной, и мы уже выяснили, как следует действовать в такой ситуации.
Обратимся теперь к случаю, когда при некотором b ≠ 0
y
t
– b x
t

I(0) – стационарный ряд.
Если это так, то ряды y
t
и x
t
называют
коинтегрированными
рядами, а вектор
(1,
–
b)
T
–
коинтегрирующим вектором
.
Вообще, ряды
y
t
I(1), x
t
I(1)
называют
коинтегрированными (в узком смысле –
детерминистская коинтеграция)
, если существует ненулевой
(коинтегрирующий)
вектор β = (β
1
, β
2
)
T
≠ 0 , для которого
β
1
x
t
+
β
2
y
t

I(0) –
стационарный
ряд.
Заметим, что если вектор β = (β
1
, β
2
)
T
является коинтегрирующим вектором для рядов
x
t
и y
t
, то тогда коинтегрирующим для этих рядов будет и любой вектор вида сβ =
(сβ
1
, сβ
2
)
T
, где с ≠ 0 – постоянная величина. Чтобы выделить какой-то определенный вектор, приходится вводить
условие нормировки
, например, рассматривать только векторы вида
(1,
–
b)
T
(или только векторы
(
–
a
,
1)
T
).
Поскольку мы предполагаем сейчас, что
x
t
, y
t
I(1)
, то ряды разностей ∆x
t
, ∆y
t
стационарны. Будем предполагать в дополнение, что
стационарен векторный ряд
(∆x
t
, ∆y
t
)
T
, так что для него существует
разложение Вольда
в виде скользящего среднего
(∆x
t
, ∆y
t
)
T
= µ + B(L) ε
t
, где
µ =
(µ
1
, µ
2
)
T
, µ
1
= E(∆x
t
) , µ
2
= E(∆y
t
) ;
ε
t
=
(ε
1t
, ε
2t
)
T
–
векторный белый шум
, т.е.
ε
1
, ε
2
, … – последовательность не коррелированных между собой, одинаково распределенных случайных векторов, для которых
E
(ε
t
) = (0, 0)
T
, D(ε
1t
) = σ
1 2
, D(ε
2t
) = σ
2 2
, Cov(ε
1t
, ε
2t
)
=
σ
12
– постоянные величины;
k
k
k
k
k
k
L
b
b
b
b
L
B
1
)
(
22
)
(
21
)
(
12
)
(
11 1
0 0
1
)
(
∑
∞
=






+






=
Знаменитый результат Гренджера ([Granger (1983)], см. также [Engle, Granger (1987)]) состоит в том, что в случае коинтегрированности I(1) рядов x
t
и y
t
(в узком смысле)
(I)
В разложении Вольда
(∆x
t
, ∆y
t
)
T
= µ + B(L) ε
t матрица B(1) имеет ранг 1.
(II)
Система рядов x
t
и y
t
допускает
векторное ARMA представление
A(L)
(x
t
, y
t
)
T
= c + d(L)ε
t
, в котором
ε
t
– тот же векторный белый шум, что и в (I),
c =
(c
1
, c
2
)
T
, c
1
и c
2
– постоянные,
A
(L) – матричный полином от оператора запаздывания,
d
(L)
– скалярный полином от оператора запаздывания, причем

Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
17
A
(0) = I
2
(единичная матрица размера 2×2), rank A(1) = 1 (ранг 2×2-матрицы A(1) равен 1), значение d(1) конечно.
В связи с тем, что в последнем представлении ранг (2×2)-матрицы A(1) меньше двух, об этом представлении часто говорят как о
векторной авторегрессии пониженного
ранга (reduced rank VAR)
В развернутой форме представление (II) имеет вид
(
)
(
)







+
+
+
=
+
+
+
=
−
=
=
−
−
−
=
=
−
−
∑
∑
∑
∑
k
t
q
k
k
p
j
j
t
j
j
t
j
t
k
t
q
k
k
p
j
j
t
j
j
t
j
t
y
b
x
a
c
y
y
b
x
a
c
x
,
2 0
1 2
2 2
,
1 0
1 1
1 1
,
ε
θ
ε
θ
При этом верхние пределы p и q у сумм в правых частях могут быть бесконечными.
Если возможно
векторное AR представление
, то в нем
d(L) ≡ 1 , p < ∞
(III)
Система рядов x
t
и y
t
допускает представление в форме
модели
коррекции ошибок (error correction model – ECM)
(
)
,
,
1 0
1 1
1 1
1 1
k
t
k
k
j
j
t
j
j
t
j
t
t
y
x
z
x
−
∞
=
∞
=
−
−
−
∑
∑
+
∆
+
∆
+
+
=
∆
ε
θ
δ
γ
α
µ
(
)
,
,
2 0
1 2
2 1
2 2
k
t
k
k
j
j
t
j
j
t
j
t
t
y
x
z
y
−
∞
=
∞
=
−
−
−
∑
∑
+
∆
+
∆
+
+
=
∆
ε
θ
δ
γ
α
µ
где
z
t
= y
t
– β x
t
– E(y
t
– β x
t
) – стационарный ряд с нулевым математическим ожиданием,
z
t

I(0), и
α
1 2
+
α
2 2
> 0.
Если в (II) возможно векторное AR(p) представление (p <
∞)
, то тогда ECM принимает вид
(
)
,
,
1 1
1 1
1 1
1 1
t
p
j
j
t
j
j
t
j
t
t
y
x
z
x
ε
δ
γ
α
µ
+
∆
+
∆
+
+
=
∆
∑
−
=
−
−
−
(
)
,
,
2 1
1 2
2 1
2 2
t
p
j
j
t
j
j
t
j
t
t
y
x
z
y
ε
δ
γ
α
µ
+
∆
+
∆
+
+
=
∆
∑
−
=
−
−
−
Здесь важно отметить следующее:
•
Если ряды x
t
, y
t
I(1) коинтегрированы, то все составляющие в ECM стационарны.
•
Если векторный ряд (x
t
, y
t
)
T
I(1) (так что векторный ряд
(∆x
t
, ∆y
t
)
T
стационарен) и порождается ECM моделью, то ряды x
t
и y
t
коинтегрированы.
(Действительно, в этом случае все составляющие ECM, отличные от z
t–1
, стационарны; но тогда стационарна и z
t – 1
.)

Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
18
•
Если ряды x
t
, y
t
I(1) коинтегрированы, то тогда VAR в разностях не может иметь конечный порядок. (В отличие от случая, когда ряды x
t
и y
t
не коинтегрированы.)
Абсолютную величину z
t
= y
t
– α – β x
t
, где α = E(y
t
– β x
t
), можно рассматривать как расстояние, отделяющее систему в момент t от
равновесия
, задаваемого соотношением
y
t
– α – β x
t
= 0
. Величины и направления изменений x
t
и y
t
принимают во внимание величину и знак предыдущего отклонения от равновесия z
t – 1
Ряд z
t
,
конечно, вовсе не обязательно убывает по абсолютной величине при переходе от одного периода времени к другому, но он является стационарным рядом, и поэтому расположен к движению по направлению к своему среднему.
Замечание 1
Переменная x
t
не является причиной по Гренджеру для переменной y
t
, если неучет прошлых значений переменной x
t
не приводит к ухудшению качества прогноза значения y
t
по совокупности прошлых значений этих двух переменных. Переменная y
t
не является причиной по Гренджеру для переменной x
t
, если неучет прошлых значений переменной y
t
не приводит к ухудшению качества прогноза значения x
t
по совокупности прошлых значений этих двух переменных. (Качество прогноза измеряется среднеквадратичной ошибкой прогноза.)
Если x
t
, y
t
I(1) и коинтегрированы, то должна иметь место
причинность по
Гренджеру
, по крайней мере, в одном направлении. Этот факт вытекает из представления такой системы рядов в форме ECM, в которой α
1 2
+
α
2 2
> 0. Значение x
t
– 1 через посредство z
t– 1 помогает в прогнозировании значения y
t
(т.е. переменная x
t
является причиной по Гренджеру для переменной y
t
), если
α
2
≠ 0. Значение y
t – 1 через посредство z
t– 1 помогает в прогнозировании значения x
t
(т.е. переменная y
t
является причиной по Гренджеру для переменной x
t
), если
α
1
≠ 0.
Замечание 2
Пусть x
t
, y
t
I(1) коинтегрированы и w
t
I(0). Тогда для любого k коинтегрированы ряды x
t
и γ y
t – k
+ w
t
, γ ≠ 0. Формально, если x
t
I(1), то коинтегрированы ряды x
t
и x
t – k
. (Действительно, тогда x
t
– x
t – k
= ∆x
t
+ ∆x
t – 1
+ … + ∆x
t – k
– сумма I(0)- переменных, которая также является I(0)-переменной.)
Итак, при коинтегрированности рядов x
t
, y
t
I(1) мы имеем
• модель долговременной (равновесной) связи y
t
= α + β x
t
;
• модель краткосрочной динамики в форме ECM, и эти модели согласуются друг с другом.
Проблема, однако, состоит в том, что для построения ECM по реальным статистическим данным нам надо знать коинтегрирующий вектор (в данном случае, знать значение β). Хорошо, если этот вектор определяется экономической теорией. К сожалению, чаще его приходится оценивать по имеющимся данным.
Энгл и Гренджер [Engle, Granger (1987)] рассмотрели
двухшаговую процедуру
, в которой на первом шаге значения α и β оцениваются в рамках модели регрессии y
t
на x
t
y
t
= α + β x
t
+ u
t
Получив методом наименьших квадратов оценки
α
ˆ
и
β
ˆ
(НK-оценки),
мы тем самым находим оцененные значения отклонений от положения равновесия

Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
19
t
zˆ
=
y
t
–
α
ˆ
–
β
ˆ
x
t
– это просто остатки от оцененной регрессии.
После этого, на втором шаге, методом наименьших квадратов раздельно (не как система!) оцениваются уравнения
(
)
,
ˆ
1 1
1 1
1 1
1
t
p
j
j
t
j
j
t
j
t
t
y
x
z
x
ν
δ
γ
α
µ
+
∆
+
∆
+
+
=
∆
∑
−
=
−
−
−
(
)
,
ˆ
1 1
2 2
1 2
2
t
p
j
j
t
j
j
t
j
t
t
w
y
x
z
y
+
∆
+
∆
+
+
=
∆
∑
−
=
−
−
−
δ
γ
α
µ
(т.е. предполагается модель VAR(p) для x
t
, y
t
).
Определяющим в этой процедуре является то обстоятельство, что получаемая на первом шаге оценка
β
ˆ
быстрее обычного приближается (по вероятности) к истинному значению β – второй компоненте коинтегрирующего вектора (1, β)
T
. (
β
ˆ
является
суперсостоятельной оценкой
для β .) Это, в конечном счете, приводит к тому, что оценки в отдельном уравнении ECM, использующие оцененные значения
1
−
t
z , имеют то же самое асимптотическое распределение, что и оценка максимального правдоподобия, использующая истинные значения
1
−
t
z . (Обычно это асимптотически нормальное распределение.) При этом НК-оценки стандартных ошибок всех коэффициентов являются состоятельными оценками истинных стандартных ошибок.
Заметим, что последние результаты справедливы несмотря на то, что ряд оцененных значений
t
zˆ
формально не является стационарным, поскольку
β
ˆ
≠ β.
Отметим также, что если мы хотим использовать другую нормировку коинтегрирующего вектора в виде (β, 1)
T
, то нам придется оценивать регрессию x
t
на константу и y
t
, и это приведет к вектору, не пропорциональному вектору, оцененному в первом случае.
Замечание
Тот факт, что
β
ˆ
быстрее обычного сходится (по вероятности) к β , вовсе не означает,что мы можем пользоваться на первом шаге процедуры Энгла – Гренджера обычными регрессионными критериями. Дело в том, что получаемые на первом шаге оценки и статистики, вообще говоря, имеют нестандартные асимптотические распределения.
Однако первый шаг является в данном контексте вспомогательным, и на этом шаге нет необходимости обращать внимание на сообщаемые в протоколах соответствующих пакетов программ значения статистик.
Напротив, на втором шаге мы можем использовать обычные статистические процедуры
(разумеется, если количество наблюдений не мало и если коинтеграция имеется).
Пример
Расмотрим реализацию процесса порождения данных