Эконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядо - Носко В.П.. Эконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядо - Но. В. П. Носко Эконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядов
 Скачать 3.08 Mb.
|
|
Шаг 1 Оцениваем статистическую модель SM: ∆x t = α + β t + ϕ x t–1 + θ 1 ∆x t–1 + …+ θ p–1 ∆x t – p+1 + ε t Сравнение по критерию Шварца указывает в пользу исключения из правой части запаздывающих разностей, так что останавливаемся на модели SM: ∆x t = α + β t + ϕ x t–1 + ε t Оцененная модель (T = 26): ∆x t = 461.338+ 25.857 t – 0.448 x t–1 + e t ; t-статистика для проверки гипотезы H 0 : ϕ = 0 равна t φ = – 2.640. Критическое (5%) значение выбирается при DGP: ∆x t = α + ε t , α ≠ 0 , и равно t крит = – 3.59 (для T = 26). Наблюдаемое значение t φ больше t крит Гипотеза единичного корня не отвергается. Шаг 2 Статистическая модель та же, но в качестве DGP рассматривается DGP: ∆x t = α + β t + ε t Проверяемая гипотеза H 0 : β = 0. Статистика критерия τ βτ = 2.680. Критическое (5%) значение одностороннего критерия (H A : β > 0) равно 2.85 гипотеза H 0 : β = 0 не отвергается. Шаг 3 Оцениваем модель SM: ∆x t = α + ϕ x t–1 + ε t ; в качестве DGP рассматривается DGP: ∆x t = ε t Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm 25 Проверяется гипотеза H 0 : ϕ = 0. Оцененная модель: ∆x t = 47.069+ 0.00522 x t–1 + e t ; t- статистика t φ = 0.335. Критическое (5%) значение t крит = – 2.98 гипотеза единичного корня не отвергается. Шаг 4 SM: ∆x t = α + ϕ x t–1 + ε t , DGP: ∆x t = ε t , H 0 : α = 0. Оцененная модель: ∆x t = 47.069+ 0.00522 x t–1 + e t ; t-статистика t α = 1.682 < t крит = 2.61 Гипотеза H 0 : α = 0 не отвергается. Шаг 5 SM: ∆x t = ϕ x t–1 + ε t , DGP: ∆x t = ε t , H 0 : ϕ = 0. Оцененная модель: ∆x t = 0.03070 x t–1 + e t ; t-статистика t φ = 7.987 > t крит = – 1.95 Гипотеза H 0 : ϕ = 0 не отвергается. Окончательная модель: x t = x t–1 + ε t Интерпретация Если мы соглашаемся с несомненной тенденцией возрастания совокупного располагаемого дохода с течением времени (по крайней мере, в США), то принятую нами на последнем шаге модель вряд ли можно считать удовлетворительной: случайное блуждание без сноса должно со временем обнаружить убывание значений ряда. Возможная причина этого – неотклонение гипотезы H 0 : β = 0 на шаге 2. (Заметим, что там разница между наблюдаемым и критическим значениями t-статистики была довольно небольшой: τ βτ = 2.680, t крит = 2.85.) Если возвратиться к шагу 2 и изменить решение в пользу отклонения гипотезы H 0 : β = 0 , так что тогда β ≠ 0, то гипотеза H 0 : ϕ = 0 проверяется в рамках пары SM: ∆x t = α + β t + ϕ x t–1 + ε t , DGP: ∆x t = α + β t + ε t , β ≠ 0. В таком случае статистика t φ имеет асимптотически нормальное N(0, 1) распределение, 5% критическое значение одностороннего критерия приближенно равно t крит = – 1.645. У нас же наблюдаемое значение t φ = – 2.640 (см. шаг 1), так что гипотеза единичного корня отвергается, и мы имеем тогда дело с процессом, стационарным относительно линейного тренда: ∆x t = 461.338+ 25.857 t – 0.448 x t–1 + ε t 6.8. Обзор некоторых других процедур 6.8.1. Критерий Филлипса – Перрона Этот критерий, предложенный в работе [Phillips, Perron (1988)], сводит проверку гипотезы о принадлежности ряда x t классу DS к проверке гипотезы H 0 : ϕ = 0 в рамках статистической модели SM: , , , 2 , 1 T t u x t x t t t … = + + + = ∆ − ϕ β α где, как и в критерии Дики – Фуллера, параметры α и β могут быть взяты равными нулю. Однако, в отличие от критерия Дики – Фуллера, случайные составляющие u t с нулевыми математическими ожиданиями могут быть автокоррелированными (с достаточно быстрым убыванием автокорреляционной функции), иметь различные Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm 26 дисперсии (гетероскедастичность) и не обязательно нормальные распределения (но такие, что ∞ < ≤ C u E t δ для некоторого δ > 2). Тем самым, в отличие от критерия Дики – Фуллера, к рассмотрению допускается более широкий класс временных рядов. Критерий Филлипса – Перрона основывается на t-статистике для проверки гипотезы H 0 : ϕ = 0 в рамках указанной статистической модели, но использует вариант этой статистики Z t , скорректированный на возможную автокоррелированность и гетероскедастичность ряда u t . При вычислении статистики Z t приходится оценивать так называемую “долговременную” (“long-run”) дисперсию ряда u t , которая определяется как ( ) lim 2 1 1 T 2 T u u E T + + = − ∞ → λ Если ∗ t u – остатки от оцененной (методом наименьших квадратов) статистической модели , , , 2 , 1 T t u t x x t t t … = + + + = ∆ − β α ϕ то в качестве оценки ( ) ∗ 2 λ для λ 2 можно взять оценку [Newey, West (1987)] ( ) , 1 1 2 1 0 2 ∗ = ∗ ∗ ∑ + − + = j l j l j γ γ λ где ∗ − + = ∗ − ∗ ∑ = j t l j t t j u u T 1 1 γ j-я выборочная автоковариация ряда u t . Если и l и T стремятся к бесконечности, но так, что ( ) 0 4 / 1 → T l , то тогда ( ) ∗ 2 λ – состоятельная оценка для λ 2 (см. [Phillips (1987)]) и асимптотические распределения статистики Z t совпадают с соответствующими асимптотическими распределениями статистики t ϕ в критерии Дики – Фуллера. Поскольку реально мы имеем лишь конечное количество наблюдений, встает вопрос о выборе количества используемых лагов l в оценке Newey – West (параметр l называют “ шириной окна ” – window size). Этот вопрос достаточно важен, т.к. недостаточая ширина окна ведет к отклонениям от номинального размера критерия (уровня значимости). В то же время, увеличение ширины окна для избежания отклонений от номинального размера критерия ведет к падению мощности критерия. Таким образом, выбор какой-то конкретной ширины окна является компромиссом между двумя этими противоположными тенденциями. Целый ряд исследований в этом направлении (сюда относятся, например, работы [Phillips, Perron (1988)], [Schwert (1989)]) не привел к какому-либо простому правилу выбора значения l. Часто при выборе этого параметра пользуются рекомендациями [Schwert (1989)], полагая l = [K ×(T/100) 1/4 ], где [a] – целая часть числа a, а значение K полагается равным 4 для квартальных и равным 12 для месячных данных. Другое правило выбора значения l реализованное, в частности, в пакете EVIEWS, состоит в выборе значения l = [4 ×(T/100) 2/9 ] ([Newey, West (1994)]). Некоторые авторы рекомендуют не опираться только лишь на длину ряда, а учитывать при выборе l количество значимых автокорреляций ряда. Критические значения для статистики Z t берутся из тех же таблиц [Fuller (1976)] или вычисляются по формулам [МacKinnon(1991)]. Заметим также, что если ряд x t представляется моделью IMA(1, q), то тогда это значение q и следует использовать в качестве параметра l в оценке Newey-West. Если Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm 27 при этом q = 1, так что 1 1 − + = ∆ t t t b x ε ε , то при b 1 > 0 критерий Филлипса-Перрона имеет более высокую мощность, чем критерий Дики – Фуллера, при одновременном уменьшении вероятности ошибки первого рода. В то же время, при b 1 < 0 высокая мощность критерия Филлипса-Перрона достигается за счет значительного возрастания ошибки первого рода, так что этот критерий не рекомендуется применять при b 1 < 0 (он будет слишком часто ошибочно отвергать гипотезу о принадлежности ряда классу DS). Пример В рассмотренном ранее примере с GNP оценивание модели ∆x t = α + β t + φ x t–1 + θ 1 ∆x t–1 + ε t привело к следующему результату (см. разд. 6.3): ADF Test Statistic -4.117782 1% Critical Value* -4.1219 5% Critical Value -3.4875 10% Critical Value -3.1718 Гипотеза единичного корня отвергается: значение t-статистики для проверки гипотезы H 0 : φ = 0 оказывается ниже 5% критического значения, вычисленного по формуле Маккиннона, и близко к 1% критическому значению. В то же время, если взять первоначально AR модель c p max = 5, то получаем: ADF Test Statistic -2.873575 1% Critical Value* -4.1314 5% Critical Value -3.4919 10% Critical Value -3.1744 Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(X) Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. X(-1) -0.266169 0.092626 -2.873575 0.0060 D(X(-1)) 0.546230 0.133521 4.090958 0.0002 D(X(-2)) 0.183918 0.149711 1.228486 0.2253 D(X(-3)) -0.020254 0.152201 -0.133077 0.8947 D(X(-4)) -0.058683 0.148061 -0.396345 0.6936 C 59.45556 19.32396 3.076779 0.0035 @TREND(1947:1) 1.397409 0.482120 2.898469 0.0056 Поскольку здесь t = –2.873575 > –3.1744, то гипотеза единичного корня не отвергается даже при выборе 10% уровне значимости. В то же время, статистически незначимыми оказываются коэффициенты при трех последних запаздывающих разностях. P-значение F-статистики критерия для гипотезы о занулении этих трех коэффициентов равно 0.44. Поэтому можно обойтись без трех последних запаздывающих разностей, а такую модель мы только что рассматривали, и в ней гипотеза единичного корня была отвергнута. Посмотрим, что дает здесь применение критерия Филлипса – Перрона. Использование рекомендации [Newey, West (1994)] по выбору ширины окна дает значение l = [4 ×(T/100) 2/9 ] = 3 ; в результате получаем PP Test Statistic -2.871178 1% Critical Value* -4.1190 5% Critical Value -3.4862 10% Critical Value -3.1711 Lag truncation for Bartlett kernel: 3 ( Newey-West suggests: 3 ) Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm 28 Residual variance with no correction 29.28903 Residual variance with correction 54.87482 Phillips-Perron Test Equation Dependent Variable: D(GNP) Method: Least Squares Sample(adjusted): 1947:2 1961:4 Included observations: 59 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. GNP(-1) -0.153024 0.072723 -2.104212 0.0399 C 38.33211 15.97824 2.399020 0.0198 @TREND(1947:1) 0.806326 0.378145 2.132322 0.0374 Статистические выводы, полученные при применении критерия Перрона с шириной окна, выбранной в соответствии с рекомендациями [Newey, West (1994)], противоположны выводам, полученным при применении расширенного критерия Дики – Фуллера с включением в правую часть одной запаздывающей разности. Пример Сравним результаты применения критериев Дики – Фуллера и Филлипса – Перрона на реализациях ST_1, ST_2, ST_3: для ST_1 и ST_2 – в паре DGP: x t = x t–1 + ε t , SM: x t = α + a 1 x t–1 + ε t ; для ST_3 – в паре DGP: x t = α + x t–1 + ε t (или DGP: x t = x t–1 + ε t ) , SM: x t = α + β t + a 1 x t–1 + ε t . Для статистик этих критериев используем обозначения DF и PP(l), соответственно, где l – ширина окна, используемая при построении статистики Филлипса – Перрона и выбираемая в соответствии с рекомендациями [Newey, West (1994)]. n = 50 n = 100 ST_1 DF = – 2.298 > t крит10% = –2.60, PP(3) = – 2.394 > t крит10% = –2.60, гипотеза единичного корня не отвергается на 10% уровне DF = – 3.238 < t крит5% = –2.89, PP(4) = – 3.399 < t крит5% = –2.89, гипотеза единичного корня отвергается на 5% уровне ST_2 DF = – 2.387 > t крит10% = –2.60, PP(3) = – 2.322 > t крит10% = –2.60, гипотеза единичного корня не отвергается на 10% уровне DF = – 3.217 < t крит5% = –2.89, PP(4) = – 3.364 < t крит5% = –2.89, гипотеза единичного корня отвергается на 5% уровне ST_3 DF = – 2.687 > t крит10% = – 3.18, PP(3) = – 2.755 > t крит10% = – 3.18, гипотеза единичного корня не отвергается на 10% уровне DF = – 3.207 < t крит10% = –3.15, PP(4) = – 3.368 < t крит10% = –3.15, гипотеза единичного корня отвергается на 10% уровне Статистические выводы, полученные с применением статистик DF и PP, здесь совпадают и указывают на возрастание мощности критериев при увеличении количества наблюдений. Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm 29 6.8.2. Критерий Лейбурна В работе [Leybourne (1995)] предлагается вычислять значения статистики критерия Дики – Фуллера DF для исходного ряда x t и для ряда, получаемого из исходного обращением времени, и затем взять максимум DF max из двух полученных значений. Лейбурн изучил асимптотическое распределение статистики DF max и построил таблицы критических значений при T = 25, 50, 100, 200, 400 для моделей с (линейным) трендом и без тренда. Таблицы получены моделированием в предположении независимости и одинаковой распределенности ошибок (инноваций). Однако автор утверждает, что ими можно пользоваться и в рамках расширенного варианта критерия Дики – Фуллера. Критерий Лейбурна обладает несколько большей мощностью по сравнению с критерием Дики – Фуллера. Пример При анализе стационарного ряда ST_3 по 100 наблюдениям мы получили значение статистики Дики – Фуллера DF = – 3.207 . Для обращенного ряда значение статистики Дики – Фуллера равно – 3.352. Максимум из этих двух значений, равный – 3.207, остается выше 5% критического уровня –3.45, рассчитываемого по таблицам Фуллера. Однако 5% критический уровень для максимума приблизительно равен (по Лейбурну) – 3.15, и это дает возможность отвергнуть гипотезу единичного корня для ряда ST_3 уже на 5% уровне. 6.8.3. Критерий Шмидта – Филлипса. В работе [Schmidt, Phillips (1992)] авторы строят критерий для проверки гипотезы DS (в форме гипотезы единичного корня) в рамках модели t t w t x + + = ξ ψ , где t t t w w 1 ε β + = − , T t ,..., 2 = Это удобно тем, что здесь в любом случае ( β = 1 или β ≠ 1) параметр ψ представляет уровень, а параметр ξ представляет тренд. При этом распределения статистик критерия и при нулевой (DS) и при альтернативной (TS) гипотезах не зависят от мешающих параметров ψ , ξ и σ ε . Асимптотические распределения выводятся при тех же условиях, что и в критерии Филлипса – Перрона, и при ширине окна l порядка T 1/2 Вместо линейного тренда в модели можно использовать и полиномиальный тренд. Более полное описание этого критерия и таблицу критических значений можно найти в [Maddala, Kim (1998), стр.85]. Здесь мы ограничимся только рассмотрением примера его применения. Пример Опять обращаясь к анализу ряда ST_3 по 100 наблюдениям, находим значение статистики критерия Шмидта |