Эконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядо - Носко В.П.. Эконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядо - Но. В. П. Носко Эконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядов
 Скачать 3.08 Mb.
|
|
T T( 1 ˆa – 1) крит 1 ˆa крит t крит (Фуллер) 25 – 17.9 0.284 – 3.60 50 – 19.8 0.604 – 3.50 100 – 20.7 0.793 – 3.45 250 – 21.3 0.914 – 3.43 500 – 21.5 0.957 – 3.42 ∞ – 21.8 – 3.41 Проанализируем в рамках статистической модели SM: x t = α + β t + a 1 x t–1 + ε t смоделированные реализации (опять берем T = 50). Для WALK_2 имеем 1 ˆa = 0.858 > 1 ˆa крит = 0.604, t = – 2.027 > t крит = – 3.50, так что гипотеза единичного корня не отвергается. Для ST_3 имеем 1 ˆa = 0.733 > 1 ˆa крит = 0.604, t = – 2.687 > t крит = – 3.50. Здесь значения 1 ˆa и t ближе к критическим, чем у WALK_2, но все же еще значительно их превышают, так что гипотеза единичного не отвергается и в этом случае. Строго говоря, при виде реализаций, подобных ST_3, мы не должны исключать возможность того, что DGP – случайное блуждание без сноса, так что следовало бы знать также и распределения 1 ˆa и t в статистической модели SM: x t = α + β t + a 1 x t–1 + ε t в предположении, что DGP: x t = x t–1 + ε t Исследование этих распределений показало, что они совпадают с распределениями 1 ˆa и t , полученными в предположении DGP: x t = α + x t–1 + ε t , α ≠ 0, так что при использовании статистической модели SM: x t = α + β t + a 1 x t–1 + ε t одни и те же таблицы распределений 1 ˆa и t годятся и при DGP: x t = x t–1 + ε t и при DGP: x t = α + x t–1 + ε t , α ≠ 0. Проанализируем в рамках статистической модели SM: x t = α + β t + a 1 x t–1 + ε t реализацию DGP: x t = x t–1 + ε t , представленную рядом WALK_1. Оценивая эту статистическую модель, получаем (как и при DGP: x t = 0.2+ x t–1 + ε t ): 1 ˆa = 0.858 > 1 ˆa крит = 0.604, t = – 2.027 > t крит = – 3.50, так что гипотеза единичного корня не отвергается. Отметим, наконец, замечательный результат Маккиннона [MacKinnon (1991)], который указал простую приближенную формулу для вычисления критических значений t- статистик в критериях Фуллера. Именно, он показал, что если t крит (p, T) – критическое значение t-статистики по Фуллеру, соответствующее уровню значимости p и количеству наблюдений T , то t крит (p, T) ≈ β ∞ + β 1 T – 1 + β 2 T – 2 , где β ∞ , β 1 , β 2 – некоторые коэффициенты, зависящие от p и от того, какое из трех распределений Фуллера рассматривается. Маккиннон приводит таблицу этих коэффициентов для p = 0.01, 0.05, 0.10. Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm 8 Пример В главе 5 мы анализировали статистические данные об объеме потребительских расходов на товары кратковременного пользования и услуги в Великобритании за период с первого квартала 1974 г. по четвертый квартал 1985 г. Этот ряд был идентифицирован как процесс авторегрессии первого порядка относительно линейного тренда: X t – 47962.75 – 315.1909 t = 0.884803 ( X t–1 – 47962.75 – 315.1909 (t–1)) + ε t , или X t = 5804.037 + 36.30898 t + 0.884803 X t–1 + ε t Там же мы отметили, что несмотря на то, что при полученной точечной оценке 0.884803 коэффициента при X t–1 построенная модель формально оказывается стационарной относительно детерминированного линейного тренда (т.е. детрендированный процесс следует стационарной AR(1) модели), мы не можем с достаточной степенью уверенности гарантировать, что истинная модель порождения наблюдений также стационарна относительно линейного тренда. Рассмотрим эту проблему с точки зрения критериев единичного корня. Поскольку исследуемый ряд обладает выраженным линейным трендом, будем действовать в рамках статистической модели SM: x t = α + β t + a 1 x t – 1 + ε t Проверим гипотезу H 0 : x t = α + x t – 1 + ε t , пользуясь статистическим пакетом EVIEWS, в котором используется приведенная выше формула Маккиннона: Test Statistic -1.425277 1% Critical Value* -4.1630 5% Critical Value -3.5066 10% Critical Value -3.1828 *MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root. В соответствии с этими результатами, гипотеза H 0 не отвергается. Но если считать, что она выполнена, то тогда в конечном счете следует оценивать не модель x t = α + β t + a 1 x t – 1 + ε t , а модель x t = α + x t – 1 + ε t . Оценивание последней в форме ∆ x t = α + ε t дает следующий результат: Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. α 236.8958 80.80998 2.931517 0.0052 Durbin-Watson stat 2.135959 Это соответствует модели случайного блуждания со сносом x t = 236.8958+ x t – 1 + ε t Все рассмотренные варианты проверки гипотезы о наличии единичного корня в рамках статистических моделей SM: x t = a 1 x t – 1 + ε t SM: x t = α + a 1 x t – 1 + ε t SM: x t = α + β t + a 1 x t – 1 + ε t основывались на распределениях оценки наименьших квадратов коэффициента a 1 и t- статистики для проверки гипотезы a 1 = 1 при соответствующих предположениях о процессе порождения данных: DGP: x t = x t – 1 + ε t (случайное блуждание), Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm 9 DGP: x t = α + x t – 1 + ε t (случайное блуждание со сносом). С другой стороны, например, если SM: x t = α + a 1 x t – 1 + ε t , то гипотеза x t = x t – 1 + ε t равносильна гипотезе H 0 : α = 0, a 1 = 1. Если бы мы находились в рамках классической модели линейной регрессии, то проверяли подобную гипотезу с использованием F-статистики ) 2 ) 1 (( 2 ) ( 0 1 − − − = Φ T RSS RSS RSS , которая в классическом варианте имеет при гипотезе H 0 F-распределение Фишера F(2, T – 3) с двумя и T – 3 степенями свободы. Поскольку, однако, мы имеем дело при гипотезе H 0 с нестационарным процессом, то, вообще говоря, не следует ожидать, что распределение статистики Ф 1 при гипотезе H 0 будет иметь (хотя бы асимптотически) распределение F(2, T – 3). Этот вопрос был исследован Дики и Фуллером [Dickey, Fuller (1981)]. Ими были построены таблицы распределения статистики Ф 1 при гипотезе H 0 : α = 0, a 1 = 1. Ниже приведены 5% критические значения статистики Ф 1 , рассчитанные Дики и Фуллером, а также (для сравнения) 5% критические значения F крит , рассчитанные по распределению F(2, n – 3) (см., также [Hamilton (1994), таблица В.7 Case 2] и [Enders (1995), таблица С]): T Ф 1 крит F крит 25 5.18 3.44 50 4.86 3.20 100 4.71 3.10 250 4.63 3.00 500 4.61 3.00 ∞ 4.59 3.00 Пример Опять возьмем для примера ряды WALK_1, ST_2, ST_1 (по 50 наблюдений). Оценивая SM: x t = α + a 1 x t–1 + ε t для ряда WALK_1, получаем α ˆ = – 0.579, 1 ˆa = 0.850, RSS = 48.0335. В модели с ограничениями α = 0, a 1 = 1 имеем t xˆ = x t–1 , так что ( ) , 7939 52 2 2 1 0 = − = ∑ = − T t t t x x RSS 86 4 329 2 ) 2 1 50 /( 0335 48 2 / ) 0335 48 7939 52 ( 1 < = − − − = Φ гипотеза H 0 не отвергается. Для ST_2 : α ˆ = 0.181, 1 ˆa = 0.777, RSS = 52.6618. В модели с ограничениями α = 0, a 1 = 1 имеем RSS 0 = 59.0547, 86 4 853 2 ) 2 1 50 /( 6618 52 2 / ) 6618 52 0547 59 ( 1 < = − − − = Φ гипотеза H 0 не отвергается. Для ST_1 : α ˆ = – 0.042, 1 ˆa = 0.785, RSS = 52.7007. В модели с ограничениями α = 0, a 1 = 1 имеем RSS 0 = 58.0671, Ф 1 = 2.662 < 4.86 гипотеза H 0 не отвергается. Таким образом, для всех трех рядов статистические выводы, сделанные на основании t-статистик для коэффициента a 1 , совпали со статистическими выводами, сделанными на основании F-статистики. В рамках статистической модели Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm 10 SM: x t = α + β t + a 1 x t–1 + ε t гипотеза DGP: x t = x t–1 + ε t соответствует гипотезе H 0 : α = β = 0, a 1 = 1, а гипотеза DGP: x t = α + x t–1 + ε t – гипотезе H 0 : β = 0, a 1 = 1. F-статистика для первого случая имеет обозначение Ф 2 ; 5% критические значения равны (см. также [Enders (1995), таблица С]) T Ф 1 крит 25 5.68 50 5.13 100 4.88 250 4.75 500 4.71 ∞ 4.68 F-статистика для второго случая имеет обозначение Ф 3 ; 5% критические значения равны (см. также [Hamilton (1994), таблица В.7 Case 4] и [Enders (1995), таблица С]): T Ф 1 крит 25 7.24 50 6.73 100 6.49 250 6.34 500 6.30 ∞ 6.25 Пример Рассмотрим ряды WALK_1, WALK_2, ST_3. Оценим статистическую модель SM: x t = α + β t + a 1 x t–1 + ε t для каждого из этих рядов и проверим для них • Гипотезу H 0 : α = β = 0, a 1 = 1, опираясь на статистику Ф 2 ; • Гипотезу H 0 : β = 0, a 1 = 1, опираясь на статистику Ф 3 H 0 : α = β = 0, a 1 = 1 WALK_1: α ˆ = – 0.854, β ˆ = 0.012, 1 ˆa = 0.858, RSS = 46.7158. В модели с ограничениями RSS 0 = 52.7939, Ф 2 = 1.995 < 5.13 гипотеза H 0 не отвергается. WALK_2: α ˆ = – 0.711, β ˆ = 0.040, 1 ˆa = 0.858, RSS = 46.7158. В модели с ограничениями RSS 0 = 52.7939, Ф 2 опять равно 1.995 < 5.13 гипотеза H 0 не отвергается. ST_3: α ˆ = – 0.345, β ˆ = 0.070, 1 ˆa = 0.733, RSS = 50.3928, Ф 2 = 1.207 < 5.13 гипотеза H 0 не отвергается. H 0 : β = 0, a 1 = 1 WALK_1: RSS = 46.7158. В модели с ограничениями RSS 0 = 52.7282, Ф 3 = 1.973 < 5.13 гипотеза H 0 не отвергается. WALK_2: Ф 3 опять равно 1.973 гипотеза H 0 не отвергается. ST_3: RSS = 50.3928, Ф 2 = 0.711 гипотеза H 0 не отвергается. Рассмотренные примеры указывают на то, что и с помощью формальных статистических критериев бывает практически невозможно отличить реализации Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm 11 процессов с единичным корнем и без наличия такового при небольшом количестве наблюдений. Это связано с весьма низкой мощностью соответствующих критериев при умеренном количестве наблюдений и “близких” альтернативах. Скажем, достаточная мощность критерия Ф 1 достигается только при a 1 < 0.8, а также если α близко к 1 или α > 1. Мощности критериев Ф 2 и Ф 3 еще ниже. Те же замечания относятся и к критериям, основанным на “t-статистиках” и на статистике T( 1 ˆa – 1). Все это приводит к “презумпции наличия единичного корня” в случае, когда в качестве нулевой гипотезы H 0 берется именно гипотеза единичного корня. В связи с этим, рядом авторов была рассмотрена задача проверки нулевой гипотезы стационарности (стационарности относительно детерминированного тренда) против альтернативной гипотезы единичного корня. В дальнейшем мы коснемся этого вопроса несколько подробнее, а сейчас отметим только, что при таком подходе наблюдается похожая картина. Критерии стационарности имеют низкую мощность, и вследствие этого возникает уже “презумпция отсутствия единичного корня”. Поэтому мы отложим пока знакомство с такими критериями и вернемся опять к рассмотрению ситуации, когда основной (нулевой) является гипотеза наличия единичного корня. Полученные выше результаты проверки гипотезы единичного корня для смоделированных реализаций стационарных процессов представляются крайне пессимистическими: при использовании первых 50 наблюдений эта гипотеза не отвергается • Для ST_1 и ST_2 в паре DGP: x t = x t–1 + ε t , SM: x t = α + a 1 x t–1 + ε t ; • Для ST_3 в паре DGP: x t = α + x t–1 + ε t (или DGP: x t = x t–1 + ε t ) , SM: x t = α + β t + a 1 x t–1 + ε t . Проследим, что дает проверка гипотезы единичного корня в этих же связках, но при использовании большего количества наблюдений; для этого возьмем теперь T = 100. Сравним полученные результаты (в последней строке таблицы использованы 10% критические значения): n = 50 n = 100 ST_1 t = – 2.298 > t крит = –2.92, гипотеза единичного корня не отвергается t = – 3.238 < t крит = –2.89, гипотеза единичного корня отвергается ST_2 t = – 2.245 > t крит = –2.92, гипотеза единичного корня не отвергается t = – 3.217 < t крит = –2.89, гипотеза единичного корня отвергается ST_3 t = – 2.687 > t крит = – 3.18. гипотеза единичного корня не отвергается на 10% уровне t = – 3.207 < t крит = –3.15, гипотеза единичного корня отвергается на 10% уровне Последняя серия результатов показывает, что при увеличении количества наблюдений мощность критериев Дики – Фуллера возрастает. Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm 12 6.3. Расширенные критерии Дики - Фуллера Обратимся опять к статистическим данным о величине валового национального продукта (GNP) в США за период с первого квартала 1947 г. по четвертый квартал 1961 г. В главе 5 мы идентифицировали этот ряд как процесс авторегрессии второго порядка X t – 217.740 – 5.222 t = 1.380(X t–1 – 217.740 – 5.222(t–1)) – – 0.630 (X t–2 – 217.740 – 5.222(t–2)) + ε t , или X t = 55.017 + 1.304 t + 1.380 X t–1 – 0.630X t–2 + ε t Как проверить гипотезу о наличии единичного корня в модели авторегрессии, порождающей этот ряд? Ведь в рассмотренных выше критериях Дики – Фуллера проверка такой гипотезы велась в рамках моделей авторегрессии первого порядка. Выход из этого положения оказался достаточно простым. Рассмотрим статистическую модель SM: x t = α + β t + a 1 x t–1 + a 2 x t–2 + …+ a p x t–p + ε t Путем чисто алгебраических преобразований ее можно преобразовать к виду |