Главная страница
Навигация по странице:

  • DGP: x t

  • 6.3. Расширенные критерии Дики - Фуллера

  • Эконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядо - Носко В.П.. Эконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядо - Но. В. П. Носко Эконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядов


    Скачать 3.08 Mb.
    НазваниеВ. П. Носко Эконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядов
    АнкорЭконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядо - Носко В.П..pdf
    Дата29.05.2018
    Размер3.08 Mb.
    Формат файлаpdf
    Имя файлаЭконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядо - Но.pdf
    ТипДокументы
    #19771
    КатегорияЭкономика. Финансы
    страница15 из 30
    1   ...   11   12   13   14   15   16   17   18   ...   30
    T
    T(
    1
    ˆa – 1)
    крит
    1
    ˆa
    крит
    t
    крит
    (Фуллер)
    25
    – 17.9 0.284

    3.60
    50
    – 19.8 0.604

    3.50
    100
    – 20.7 0.793 – 3.45
    250
    – 21.3 0.914 –
    3.43
    500
    – 21.5 0.957

    3.42

    – 21.8 –
    3.41
    Проанализируем в рамках статистической модели SM: x
    t
    = α + β
    t + a
    1
    x
    t–1
    + ε
    t
    смоделированные реализации (опять берем T = 50).
    Для WALK_2 имеем
    1
    ˆa
    = 0.858 >
    1
    ˆa
    крит
    = 0.604, t = – 2.027 > t
    крит
    = – 3.50, так что гипотеза единичного корня не отвергается.
    Для ST_3 имеем
    1
    ˆa
    = 0.733 >
    1
    ˆa
    крит
    = 0.604, t = – 2.687 > t
    крит
    = – 3.50. Здесь значения
    1
    ˆa
    и t ближе к критическим, чем у WALK_2, но все же еще значительно их превышают, так что гипотеза единичного не отвергается и в этом случае.
    Строго говоря, при виде реализаций, подобных ST_3, мы не должны исключать возможность того, что DGP – случайное блуждание без сноса, так что следовало бы знать также и распределения
    1
    ˆa
    и t в статистической модели
    SM: x
    t
    = α + β
    t + a
    1
    x
    t–1
    + ε
    t
    в предположении, что
    DGP: x
    t
    = x
    t–1
    + ε
    t
    Исследование этих распределений показало, что они совпадают с распределениями
    1
    ˆa
    и t , полученными в предположении
    DGP: x
    t
    = α + x
    t–1
    + ε
    t
    ,
    α
    0, так что при использовании статистической модели
    SM: x
    t
    = α + β
    t + a
    1
    x
    t–1
    + ε
    t
    одни и те же таблицы распределений
    1
    ˆa
    и t годятся и при DGP: x
    t
    = x
    t–1
    + ε
    t
    и при
    DGP: x
    t
    = α + x
    t–1
    + ε
    t
    ,
    α
    0.
    Проанализируем в рамках статистической модели SM: x
    t
    = α + β
    t + a
    1
    x
    t–1
    + ε
    t
    реализацию DGP: x
    t
    = x
    t–1
    + ε
    t
    , представленную рядом WALK_1. Оценивая эту статистическую модель, получаем (как и при DGP: x
    t
    = 0.2+ x
    t–1
    + ε
    t
    ):
    1
    ˆa = 0.858 >
    1
    ˆa
    крит
    = 0.604, t = – 2.027 > t
    крит
    = – 3.50, так что гипотеза единичного корня не отвергается.
    Отметим, наконец, замечательный результат Маккиннона [MacKinnon (1991)], который указал простую приближенную формулу для вычисления критических значений t-
    статистик в критериях Фуллера. Именно, он показал, что если t
    крит
    (p, T) – критическое значение t-статистики по Фуллеру, соответствующее уровню значимости p и количеству наблюдений T , то
    t
    крит
    (p, T) ≈ β

    + β
    1
    T
    – 1
    + β
    2
    T
    – 2
    , где β

    , β
    1
    , β
    2
    – некоторые коэффициенты, зависящие от p и от того, какое из трех распределений Фуллера рассматривается. Маккиннон приводит таблицу этих коэффициентов для p = 0.01, 0.05, 0.10.

    Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
    8
    Пример
    В главе 5
    мы анализировали статистические данные об объеме потребительских расходов на товары кратковременного пользования и услуги в Великобритании за период с первого квартала 1974 г. по четвертый квартал 1985 г. Этот ряд был идентифицирован как процесс авторегрессии первого порядка относительно линейного тренда:
    X
    t
    – 47962.75 – 315.1909 t = 0.884803
    (
    X
    t–1
    – 47962.75 – 315.1909 (t–1)) + ε
    t
    , или
    X
    t
    = 5804.037 + 36.30898 t + 0.884803
    X
    t–1
    + ε
    t
    Там же мы отметили, что несмотря на то, что при полученной точечной оценке
    0.884803
    коэффициента при X
    t–1
    построенная модель формально оказывается стационарной относительно детерминированного линейного тренда (т.е. детрендированный процесс следует стационарной AR(1) модели), мы не можем с достаточной степенью уверенности гарантировать, что истинная модель порождения наблюдений также стационарна относительно линейного тренда. Рассмотрим эту проблему с точки зрения критериев единичного корня.
    Поскольку исследуемый ряд обладает выраженным линейным трендом, будем действовать в рамках статистической модели
    SM: x
    t
    = α + β
    t + a
    1
    x
    t – 1
    + ε
    t
    Проверим гипотезу H
    0
    : x
    t
    =
    α
    + x
    t – 1
    + ε
    t
    , пользуясь статистическим пакетом
    EVIEWS, в котором используется приведенная выше формула Маккиннона:
    Test Statistic
    -1.425277 1% Critical Value*
    -4.1630 5% Critical Value
    -3.5066 10% Critical Value
    -3.1828
    *MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.
    В соответствии с этими результатами, гипотеза H
    0
    не отвергается. Но если считать, что она выполнена, то тогда в конечном счете следует оценивать не модель x
    t
    = α +
    β
    t + a
    1
    x
    t – 1
    + ε
    t
    , а модель x
    t
    = α + x
    t – 1
    + ε
    t
    . Оценивание последней в форме ∆ x
    t
    = α
    + ε
    t
    дает следующий результат:
    Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
    α
    236.8958 80.80998 2.931517 0.0052
    Durbin-Watson stat 2.135959
    Это соответствует модели случайного блуждания со сносом
    x
    t
    = 236.8958+ x
    t – 1
    + ε
    t
    Все рассмотренные варианты проверки гипотезы о наличии единичного корня в рамках статистических моделей
    SM: x
    t
    = a
    1
    x
    t – 1
    + ε
    t
    SM: x
    t
    = α + a
    1
    x
    t – 1
    + ε
    t
    SM: x
    t
    = α + β
    t + a
    1
    x
    t – 1
    + ε
    t
    основывались на распределениях оценки наименьших квадратов коэффициента a
    1
    и t-
    статистики для проверки гипотезы a
    1
    = 1 при соответствующих предположениях о процессе порождения данных:
    DGP: x
    t
    = x
    t – 1
    + ε
    t
    (случайное блуждание),

    Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
    9
    DGP: x
    t
    = α + x
    t – 1
    + ε
    t
    (случайное блуждание со сносом).
    С другой стороны, например, если SM: x
    t
    = α + a
    1
    x
    t – 1
    + ε
    t
    , то гипотеза x
    t
    = x
    t – 1
    + ε
    t
    равносильна гипотезе
    H
    0
    : α = 0, a
    1
    = 1.
    Если бы мы находились в рамках классической модели линейной регрессии, то проверяли подобную гипотезу с использованием F-статистики
    )
    2
    )
    1
    ((
    2
    )
    (
    0 1



    =
    Φ
    T
    RSS
    RSS
    RSS
    ,
    которая в классическом варианте имеет при гипотезе H
    0
    F-распределение Фишера F(2,
    T – 3) с двумя и T – 3 степенями свободы. Поскольку, однако, мы имеем дело при гипотезе H
    0
    с нестационарным процессом, то, вообще говоря, не следует ожидать, что распределение статистики Ф
    1
    при гипотезе H
    0
    будет иметь (хотя бы асимптотически) распределение F(2, T – 3). Этот вопрос был исследован Дики и Фуллером [Dickey,
    Fuller (1981)]. Ими были построены таблицы распределения статистики Ф
    1
    при гипотезе H
    0
    : α = 0, a
    1
    = 1. Ниже приведены 5% критические значения статистики Ф
    1
    , рассчитанные Дики и Фуллером, а также (для сравнения) 5% критические значения
    F
    крит
    , рассчитанные по распределению F(2, n – 3) (см., также [Hamilton (1994), таблица
    В.7 Case 2] и [Enders (1995), таблица С]):
    T
    Ф
    1 крит
    F
    крит
    25
    5.18 3.44
    50
    4.86 3.20
    100
    4.71 3.10
    250
    4.63 3.00
    500
    4.61 3.00

    4.59 3.00
    Пример
    Опять возьмем для примера ряды WALK_1, ST_2, ST_1 (по 50 наблюдений).
    Оценивая SM: x
    t
    = α + a
    1
    x
    t–1
    + ε
    t
    для ряда WALK_1, получаем
    α
    ˆ
    = – 0.579,
    1
    ˆa = 0.850,
    RSS = 48.0335. В модели с ограничениями α = 0, a
    1
    = 1 имеем
    t
    xˆ
    =
    x
    t–1
    , так что
    (
    )
    ,
    7939 52 2
    2 1
    0
    =

    =

    =

    T
    t
    t
    t
    x
    x
    RSS
    86 4
    329 2
    )
    2 1
    50
    /(
    0335 48 2
    /
    )
    0335 48 7939 52
    (
    1
    <
    =



    =
    Φ
    гипотеза H
    0
    не отвергается.
    Для ST_2 :
    α
    ˆ
    = 0.181,
    1
    ˆa = 0.777, RSS = 52.6618. В модели с ограничениями α = 0, a
    1
    =
    1 имеем RSS
    0
    = 59.0547,
    86 4
    853 2
    )
    2 1
    50
    /(
    6618 52 2
    /
    )
    6618 52 0547 59
    (
    1
    <
    =



    =
    Φ
    гипотеза H
    0
    не отвергается.
    Для ST_1 :
    α
    ˆ
    = – 0.042,
    1
    ˆa = 0.785, RSS = 52.7007. В модели с ограничениями
    α
    = 0, a
    1
    = 1 имеем RSS
    0
    = 58.0671,
    Ф
    1
    =
    2.662 < 4.86 гипотеза H
    0
    не отвергается.
    Таким образом, для всех трех рядов статистические выводы, сделанные на основании
    t-статистик для коэффициента a
    1
    , совпали со статистическими выводами, сделанными на основании F-статистики.
    В рамках статистической модели

    Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
    10
    SM: x
    t
    = α + β
    t + a
    1
    x
    t–1
    + ε
    t
    гипотеза DGP:
    x
    t
    = x
    t–1
    + ε
    t
    соответствует гипотезе
    H
    0
    : α = β = 0, a
    1
    = 1, а гипотеза DGP:
    x
    t
    = α + x
    t–1
    + ε
    t
    – гипотезе
    H
    0
    : β = 0, a
    1
    = 1.
    F-статистика для первого случая имеет обозначение Ф
    2
    ; 5% критические значения равны (см. также [Enders (1995), таблица С])
    T
    Ф
    1 крит
    25
    5.68
    50
    5.13
    100
    4.88
    250
    4.75
    500
    4.71

    4.68
    F-статистика для второго случая имеет обозначение Ф
    3
    ; 5% критические значения равны (см. также [Hamilton (1994), таблица В.7 Case 4] и [Enders (1995), таблица С]):
    T
    Ф
    1 крит
    25
    7.24
    50
    6.73
    100
    6.49
    250
    6.34
    500
    6.30

    6.25
    Пример
    Рассмотрим ряды WALK_1, WALK_2, ST_3. Оценим статистическую модель
    SM: x
    t
    = α + β
    t + a
    1
    x
    t–1
    + ε
    t
    для каждого из этих рядов и проверим для них

    Гипотезу H
    0
    : α = β = 0, a
    1
    = 1, опираясь на статистику Ф
    2
    ;

    Гипотезу H
    0
    : β = 0, a
    1
    = 1, опираясь на статистику Ф
    3
    H
    0
    : α = β = 0, a
    1
    = 1
    WALK_1:
    α
    ˆ
    = – 0.854,
    β
    ˆ
    = 0.012,
    1
    ˆa = 0.858, RSS = 46.7158. В модели с ограничениями RSS
    0
    = 52.7939,
    Ф
    2
    = 1.995 < 5.13 гипотеза H
    0
    не отвергается.
    WALK_2:
    α
    ˆ
    = – 0.711,
    β
    ˆ
    = 0.040,
    1
    ˆa = 0.858, RSS = 46.7158. В модели с ограничениями RSS
    0
    = 52.7939,
    Ф
    2
    опять равно 1.995 < 5.13 гипотеза H
    0
    не отвергается.
    ST_3:
    α
    ˆ
    = – 0.345,
    β
    ˆ
    = 0.070,
    1
    ˆa = 0.733, RSS = 50.3928, Ф
    2
    = 1.207 < 5.13 гипотеза
    H
    0
    не отвергается.
    H
    0
    : β = 0, a
    1
    = 1
    WALK_1: RSS = 46.7158. В модели с ограничениями RSS
    0
    = 52.7282,
    Ф
    3
    = 1.973 < 5.13 гипотеза H
    0
    не отвергается.
    WALK_2: Ф
    3
    опять равно 1.973 гипотеза H
    0
    не отвергается.
    ST_3: RSS = 50.3928, Ф
    2
    = 0.711 гипотеза H
    0
    не отвергается.
    Рассмотренные примеры указывают на то, что и с помощью формальных статистических критериев бывает практически невозможно отличить реализации

    Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
    11
    процессов с единичным корнем и без наличия такового при небольшом количестве наблюдений. Это связано с весьма низкой мощностью соответствующих критериев при умеренном количестве наблюдений и “близких” альтернативах. Скажем, достаточная мощность критерия Ф
    1
    достигается только при a
    1
    < 0.8, а также если α близко к 1 или α > 1. Мощности критериев Ф
    2
    и Ф
    3
    еще ниже. Те же замечания относятся и к критериям, основанным на “t-статистиках” и на статистике T(
    1
    ˆa – 1).
    Все это приводит к “презумпции наличия единичного корня” в случае, когда в качестве нулевой гипотезы H
    0
    берется именно гипотеза единичного корня.
    В связи с этим, рядом авторов была рассмотрена задача проверки нулевой гипотезы стационарности (стационарности относительно детерминированного тренда) против альтернативной гипотезы единичного корня. В дальнейшем мы коснемся этого вопроса несколько подробнее, а сейчас отметим только, что при таком подходе наблюдается похожая картина. Критерии стационарности имеют низкую мощность, и вследствие этого возникает уже “презумпция отсутствия единичного корня”. Поэтому мы отложим пока знакомство с такими критериями и вернемся опять к рассмотрению ситуации, когда основной (нулевой) является гипотеза наличия единичного корня.
    Полученные выше результаты проверки гипотезы единичного корня для смоделированных реализаций стационарных процессов представляются крайне пессимистическими: при использовании первых 50 наблюдений эта гипотеза не отвергается

    Для ST_1 и ST_2 в паре
    DGP: x
    t
    = x
    t–1
    + ε
    t
    ,
    SM: x
    t
    = α + a
    1
    x
    t–1
    + ε
    t
    ;

    Для ST_3 в паре
    DGP: x
    t
    = α + x
    t–1
    + ε
    t
    (или DGP: x
    t
    = x
    t–1
    + ε
    t
    )
    ,
    SM: x
    t
    = α + β
    t + a
    1
    x
    t–1
    + ε
    t
    .
    Проследим, что дает проверка гипотезы единичного корня в этих же связках, но при использовании большего количества наблюдений; для этого возьмем теперь T = 100.
    Сравним полученные результаты (в последней строке таблицы использованы 10% критические значения):
    n = 50
    n = 100
    ST_1
    t = – 2.298 > t
    крит
    = –2.92,
    гипотеза единичного корня не отвергается
    t = – 3.238 < t
    крит
    = –2.89,
    гипотеза единичного корня отвергается
    ST_2
    t = – 2.245 > t
    крит
    = –2.92, гипотеза единичного корня не отвергается
    t = – 3.217 < t
    крит
    = –2.89,
    гипотеза единичного корня отвергается
    ST_3
    t = – 2.687 > t
    крит
    = – 3.18. гипотеза единичного корня не отвергается на 10% уровне
    t = – 3.207 < t
    крит
    = –3.15,
    гипотеза единичного корня отвергается на 10% уровне
    Последняя серия результатов показывает, что при увеличении количества наблюдений мощность критериев Дики – Фуллера возрастает.

    Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
    12
    6.3. Расширенные критерии Дики - Фуллера
    Обратимся опять к статистическим данным о величине валового национального продукта (GNP) в США за период с первого квартала 1947 г. по четвертый квартал 1961 г. В главе 5
    мы идентифицировали этот ряд как процесс авторегрессии второго порядка
    X
    t
    – 217.740 – 5.222 t = 1.380(X
    t–1
    – 217.740 – 5.222(t–1)) –
    – 0.630
    (X
    t–2
    – 217.740 – 5.222(t–2)) + ε
    t
    , или
    X
    t
    = 55.017 + 1.304 t + 1.380 X
    t–1
    – 0.630X
    t–2
    + ε
    t
    Как проверить гипотезу о наличии единичного корня в модели авторегрессии, порождающей этот ряд? Ведь в рассмотренных выше критериях Дики – Фуллера проверка такой гипотезы велась в рамках моделей авторегрессии первого порядка.
    Выход из этого положения оказался достаточно простым.
    Рассмотрим статистическую модель
    SM: x
    t
    = α + β
    t + a
    1
    x
    t–1
    + a
    2
    x
    t–2
    + …+ a
    p
    x
    tp
    + ε
    t
    Путем чисто алгебраических преобразований ее можно преобразовать к виду
    1   ...   11   12   13   14   15   16   17   18   ...   30


    написать администратору сайта