X
t
= X
t –1
+ ε
t
– случайное блуждание (процесс случайного блуждания –
random walk).
Далее мы рассмотрим этот процесс подробнее, а сейчас обратим внимание на поведение реализаций процесса
X
t
= a
1
X
t–1
+ ε
t
при a
1
= 1.05 и a
1
= 1.1. Обе реализации иллюстрируют “взрывной”
(“explosive”) характер поведения AR(1) процесса при a
1
> 0: траектории процесса очень быстро удаляются от начального уровня на все возрастающие расстояния. В связи с этим “взрывные” модели непригодны для описания поведения макроэкономических рядов на сколь-нибудь протяженных интервалах времени.
Пониманию столь различного поведения реализаций AR(1) процесса помогает представление модели в виде
X
t
– X
t–1
= a
1
X
t–1
– X
t–1
+ ε
t
= (a
1
– 1)X
t–1
+ ε
t
, или
∆ X
t
= φ X
t–1
+ ε
t
, где
∆ X
t
= X
t
– X
t–1
, φ = a
1
– 1.
При a
1
= 1 имеем φ = a
1
– 1= 0, иприращения ∆ X
t
ряда X
t
образуют процесс белого шума, так что условное математическое ожидание ∆ X
t
при фиксированном
(наблюдаемом) значении X
t–1
= x
t–1
не зависит от x
t–1 и равно 0. Соответственно, при фиксированном (наблюдаемом) значении X
t–1
= x
t–1
, условное математическое ожидание случайной величины X
t
= ∆X
t
+ X
t–1
равно x
t–1
. Если распределение случайной величины ε
t
симметричноотносительно нуля (а именно таково и гауссовское распределение, которое использовалось нами при моделировании), то
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
10
наблюдаемое значение X
t
= x
t
может с равным успехом оказаться как больше, так и меньше x
t–1
. Именно это и определяет “блуждающий” характер траектории ряда.
При a
1
> 1 имеем φ = a
1
– 1 > 0, иусловное математическое ожидание ∆ X
t
при фиксированном (наблюдаемом) значении X
t–1
= x
t–1
, равное E(∆ X
t
│X
t–1
= x
t–1
) = φ
x
t–1
, имеет знак, совпадающий со знаком x
t–1
. Таким образом, если x
t–1
> 0, то ожидаемое значение следующего наблюдения X
t
= x
t
больше значения x
t–1
, а если
x
t–1
< 0, то ожидаемое значение следующего наблюдения X
t
= x
t
меньше значения
x
t–1
. Наличие такого механизма приводит к быстрому и прогрессирующему удалению траектории процесса от начального уровня, что и наблюдалось нами для реализаций AR(1) модели при a
1
= 1.05 и a
1
= 1.1.
Наконец, при 0 < a
1
< 1 имеем φ = a
1
– 1 < 0, иусловное математическое ожидание ∆ X
t
при фиксированном (наблюдаемом) значении X
t–1
= x
t–1
, равное
E(∆ X
t
│X
t–1
= x
t–1
) = φ x
t–1
, имеет знак, противоположный знаку x
t–1
. Таким образом, если x
t–1
> 0, то ожидаемое значение следующего наблюдения X
t
= x
t
меньше значения x
t–1
, а если x
t–1
< 0, то ожидаемое значение следующего наблюдения X
t
=
x
t
больше значения x
t–1
. Наличие такого механизма обеспечивает удержание траектории процесса в относительной близости от уровня, равного безусловному математическому ожиданию E(X
t
) = µ ряда (в данном случае, µ = 0), и достаточно частое пересечение траекторией ряда этого уровня.
Мы ограничились здесь рассмотрением ситуаций с a
1
> 0, поскольку они наиболее типичны для экономических временных рядов. Для полноты приведем также и смоделированные реализации процесса X
t
= a
1
X
t–1
+ ε
t
при a
1
= – 1 и a
1
= –
1.1.
-4
-2 0
2 4
6 5
10 15 20 25 30 35 40 45 50
a1= -1
-30
-20
-10 0
10 20 30 5
10 15 20 25 30 35 40 45 50
a1= - 1.1
Обратимся теперь к процессу случайного блуждания
X
t
= X
t–1
+ ε
t
, t = 1, …, T , со стартовым значением X
0
= x
0
. Мы можем представить X
t
в виде
X
t
= X
t–1
+ ε
t
= (X
t–2
+ ε
t–1
) + ε
t
= X
t–2
+ ε
t–1
+ ε
t
=(X
t–3
+ ε
t–2
) + ε
t–1
+ ε
t
=
= X
t–3
+ ε
t–2
+ ε
t–1
+ ε
t
= ... = X
0
+ (ε
1
+ ...+ ε
t
),
1 0
∑
=
+
=
t
j
j
t
X
X
ε
Отсюда сразу получаем:
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
11
E(X
t
│X
0
= x
0
) = x
0
,
D(X
t
│X
0
= x
0
) = D(ε
1
+ ... + ε
t
) = D(ε
1
) + ... + D(ε
t
) = tD(ε
1
) = tσ
ε
2
Далее,
Cov(X
t
, X
t–1
│X
0
= x
0
) = E[(X
t
– x
0
)(X
t–1
– x
0
)│X
0
= x
0
] =
= E[(ε
1
+ ... + ε
t
)(ε
1
+ ... + ε
t–1
)] = (t – 1) σ
ε
2
не зависит от значения x
0
, так что
)
1
(
)
1
(
)
(
)
(
)
1
(
)
,
(
2 2
2 1
2 1
−
−
=
−
=
−
−
t
t
t
X
D
X
D
t
X
X
Corr
t
t
t
t
ε
ε
ε
ε
σ
σ
σ
σ
=
1 1
1
t
t
t
−
=
−
=
Отсюда находим:
t
Corr(X
t
, X
t–1
)
1
0
2
0.707
3
0.806
4
0.866
5
0.894
6
0.913
7
0.925
8
0.935
9
0.943
10
0.949 т.е. соседние значения X
t
и X
t–1 очень сильно коррелированы, притом положительно и тем более сильно, чем больше t . И это приводит к уже наблюдавшемуся нами характеру поведения траекторий случайного блуждания. На первых нескольких шагах траектория как бы “определяется”, где она будет находиться затем в течение довольно длительного периода – выше или ниже начального уровня x
0
. Так что если после нескольких первых шагов траектория случайного блуждания оказалась ниже уровня x
0
( как это было у смоделированной нами реализации), то она может оставаться там в течение весьма продолжительного времени. Если смоделировать очень длинную реализацию случайного блуждания, то она будет состоять из чередующихся длинных участков, на которых функция находится, соответственно, выше или ниже уровня x
0
При X
0
= 0 получаем
∑
=
=
t
j
j
t
X
1
ε
, t = 1, …, T .
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
12
Рассматривая последний ряд сам по себе (не связывая его со стартовым значением), имеем:
E(X
t
) = 0 , D(X
t
) = tσ
ε
2
, так что этот ряд – нестационарный.
Этот ряд является моделью
стохастического тренда
, который обнаруживается во многих экономических временных рядах и должен обязательно приниматься во внимание при построении регрессионных моделей связи между двумя или несколькими рядами, имеющими стохастический тренд.
Поясним фундаментальное различие между временными рядами, имеющими только детерминированный тренд, и рядами, которые
(возможно, наряду с детерминированным) имеют стохастический тренд.
Для этого рассмотрим следующие две простые модели нестационарных рядов. В первой пусть
X
t
= α+ β t + ε
t
, t = 1, …, T , т.е. на детерминированный линейный тренд накладываются случайные ошибки в виде белого шума. А вторая пусть представляет
случайное блуждание со сносом
, т.е. процесс
X
t
= α + X
t–1
+ ε
t
, t = 1, …, T , X
0
= x
0
, приращения которого имеют ненулевое математическое ожидание
E(∆ X
t
) = α ≠ 0.
Процесс X
t
во второй модели можно представить в виде
X
t
= α+ X
t–1
+ ε
t
= α+ (α+ X
t–2
+ ε
t–1
) + ε
t
= 2a+ X
t–2
+ ε
t–1
+ ε
t
=
= 3a + X
t–3
+ ε
t–2
+ ε
t–1
+ ε
t
= … = x
0
+ a t + (ε
1
+ ...+ ε
t
),
∑
=
+
+
=
t
j
j
t
at
x
X
1 0
ε
, так что ряд X
t
имеет и детерминированный и стохастический тренды.
Детрендирование первого ряда приводит к ряду
X
t
0
= X
t
–(α+ β t) = ε
t
, который является стационарным. Детрендирование второго ряда приводит к ряду
∑
=
=
+
−
=
t
j
j
t
t
at
x
X
X
1 0
0
)
(
ε
, который не является стационарным.
Пытаться остационарить ряд можно и другим способом. Именно, можно перейти от ряда уровней X
t
к ряду разностей
∆ X
t
= X
t
– X
t–1
,
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
13
(такой переход в теории временных рядов называют
дифференцированием).
При таком переходе получаем для первого ряда
∆
Xt=
Xt –
Xt–1
= (
α+ β t + εt ) – (
α+ β (
t – 1)
+ εt–1
) =
β +
εt –
εt–1
, а для второго ряда
∆
Xt=
Xt –
Xt–1
=
α+ εt Оба продифференцированных ряда ∆
Xt стационарны. Первый продифференцированный ряд относится к классу MA(1) и имеет математическое ожидание
β . Второй продифференцированный ряд относится к классу MA(0) и имеет математическое ожидание
α.
Таким образом, в отличие от детрендирования, операция дифференцирования приводит к стационарному ряду в обоих случаях. Однако в результате дифференцирования первого ряда получается процесс скользящего среднего, который не является обратимым. И это имеет некоторые нежелательные последствия при подборе модели по статистическим данным и использовании подобранной модели для целей прогнозирования будущих значений ряда. (См., например,
[Hamilton (1994), главы 4 и 5].)
В случае необратимости МА-составляющей продифференцированного ряда становится невозможным использование обычных алгоритмов идентификации модели, оценивания
модели и диагностики оцененной модели, рассмотренных ранее в главе 3.
Обобщая рассмотренную ситуацию, рассмотрим ряды
Xt =
θ0
+
θ1
t +
θ2
t2
+
εtи
Yt =
α +
βt +
γ t2
+
Zt, где
Zt - процесс, определяемый соотношениями
Zt=
εt + 2
εt – 1
+ 3
εt – 2
+ … +
t ε1
,
t = 1, …,
T .
Детрендирование первого ряда приводит к стационарному ряду
Xt0
=
Xt–(
θ0
+ θ1
t +
θ2
t2
)
= εtДетрендирование второго ряда приводит к ряду
Yt0
=
Yt– (
α +
βt +
γ t2
) =
Zt, у которого
D(
Zt) =
D(
εt + 2
εt – 1
+ 3
εt – 2
+ … +
t ε1
) =
σε2
(1 + 2 + …+
t) =
σε2
t (
t + 1)/2, так что детрендированный ряд не является стационарным.
Если вместо вычитания линейного тренда произвести дифференцирование рядов, то для ряда
Xt это приводит к ряду
∆
Xt =
θ1
– θ2
+ 2
θ2
t +
εt –
εt – 1
,
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
14
стационарному относительно линейного тренда: ряд
∆ X
t
– (θ
1
–
θ
2
+ 2θ
2
t)= ε
t
– ε
t – 1 является стационарным, но необратимым MA(1) рядом. Если же продифференцировать ряд Y
t
, то в этом случае продифференцированный ряд
∆ Y
t
= (β
– γ
+ 2γ
t)+ Z
t
– Z
t – 1
=
= β
– γ
+ 2γ
t + (ε
t
+ 2ε
t – 1
+ 3ε
t – 2
+ … + t ε
1
)
– (ε
t– 1
+ 2ε
t – 2
+ 3ε
t – 3
+ … + (t – 1)ε
1
) =
= β
– γ
+ 2γ
t + (ε
1
+ ε
2
+ … + ε
t – 1
+ ε
t
) уже не является стационарным относительно линейного тренда: ряд
∆ Y
t
– (β
– γ
+ 2γ
t) = (ε
1
+ ε
2
+ … + ε
t – 1
+ ε
t
)
Нестационарен и представляет собой стохастический тренд.
С другой стороны, осуществляя двукратное дифференцирование ряда Y
t
, т.е. переходя к ряду ∆
2
Y
t
, где ∆
2
= (1 – L)
2
= 1 – 2L + L
2
, получаем стационарный
MA(0) ряд
∆
2
Y
t
= 2 γ + ∆
2
Z
t
= 2 γ + Z
t
– 2Z
t – 1
+ Z
t – 2
=
= 2 γ + (ε
t
+ 2ε
t – 1
+ 3ε
t – 2
+ … + t ε
1
)
– 2(ε
t– 1
+ 2ε
t – 2
+ 3ε
t – 3
+ … + (t – 1)ε
1
) +
+ (ε
t– 2
+ 2ε
t – 3
+ 3ε
t – 4
+ … + (t – 2)ε
1
) = 2 γ + ε
t
При двукратном дифференцировании ряда X
t
, приходим к ряду
∆
2
X
t
= ∆(∆ X
t
) = ∆ (X
t
– X
t–1
) = (X
t
– X
t–1
) – (X
t – 1
– X
t – 2
) =
= X
t
– 2X
t – 1
+ X
t – 2
= 2 θ
2
+ ε
t
– 2ε
t – 1
+ ε
t – 2
, который представляет собой стационарный процесс скользящего среднего
MA(2) с математическим ожиданием 2θ
2
, не удовлетворяющий условию обратимости. Действительно, уравнение b(z) = 0 здесь принимает вид
1 – 2z
+ z
2
= 0 и имеет двойной корень z = 1.
Таким образом, двукратное дифференцирование “остационаривает” и ряд X
t
и ряд Y
t
, но в случае ряда X
t
результирующий ряд не обладает свойством обратимости.
Обобщение подобных примеров приводит к следующим понятиям.
Временной ряд
X
t
называется
стационарным
относительно
детерминированного тренда f(t) ,
если ряд X
t
– f(t) стационарный. Если ряд X
t
стационарен относительно некоторого детерминированного тренда, то говорят, что этот ряд принадлежит
классу
рядов,
стационарных
относительно
детерминированного тренда
, или что он является
TS рядом
(
TS
–
time stationary
).
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
15
В класс TS рядов включаются также стационарные ряды
, не имеющие детерминированного тренда.
Временной ряд X
t
называется
интегрированным порядка k
,
k = 1, 2, …,
если
• ряд X
t
не является стационарным или стационарным относительно детерминированного тренда, т.е. не является TS рядом;
• ряд ∆
k
X
t
, полученный в результате k-кратного дифференцирования ряда X
t
, является стационарным рядом;
• ряд ∆
k – 1
X
t
, полученный в результате (k – 1)-кратного дифференцирования ряда X
t
, не является TS рядом.
Если полагать ∆
0
X
t
= X
t
, то при k = 1 третье условие дублирует первое.
Для интегрированного ряда порядка k используют обозначение
I(k)
. Если ряд
X
t
является интегрированным порядка k , то мы будем обозначать это для краткости как
X
t
I(k)
. В этой системе обозначений соотношение
X
t
I(0)
соответствует ряду, который является стационарным и при этом не является результатом дифференцирования TS ряда.
Пусть
TS ряд имеет вид X
t
= α + βt + Y
t
, где
Y
t
– стационарный ряд, имеющий нулевое математическое ожидание. Тогда X
t
можно представить в виде
∞
<
=
+
+
=
∑
∑
∞
=
∞
=
−
0 2
0 0
,
1
,
j
j
j
j
t
j
t
t
X
ψ
ψ
ε
ψ
β
α
,
где ε
t
– процесс белого шума. (Мы не затрагиваем здесь теоретическую возможность наличия в правой части еще и так называемой линейно детерминированной стохастической компоненты.)
Переходя к ряду разностей, получаем:
=
−
+
∆
=
∆
−
−
∞
=
−
∑
)
(
)
(
1 0
j
t
j
j
t
j
t
t
f
X
ε
ε
ψ
=
t
j
j
t
j
L
b
b
)
(
0
ε
β
ε
β
+
=
+
∑
∞
=
−
, где
,
,
2
,
1
,
,
1
,
)
(
1 0
0
K
=
−
=
=
=
−
∞
=
∑
j
b
b
L
b
L
b
j
j
j
j
j
j
ψ
ψ
Отсюда вытекает, что
,
0
)
1
(
0
=
=
∑
∞
=
j
j
b
b
т.е. уравнение
b(z) = 0 имеет единичный корень.
Таким образом, если для некоторого стационарного ряда Z
t
,
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
16
Z
t
= µ + b(L) ε
t
,
,
1
,
)
(
где
0 0
=
=
∑
∞
=
b
L
b
L
b
j
j
j
выполнено соотношение
b(1) =0, то последнее указывает на “передифференцированность” ряда Z
t
: этот TS ряд получен в результате дифференцирования некоторого TS ряда.
Совокупность интегрированных рядов различных порядков k = 1, 2, … образует класс
разностно стационарных,
или
DS рядов
(DS – difference stationary) . Если некоторый ряд X
t
принадлежит этому классу, то мы говорим о нем как о
DS ряде
Пусть ряд X
t
– интегрированный порядка k . Подвергнем этот ряд k-кратному дифференцированию. Если в результате получается стационарный ряд типа
ARMA(p, q), то говорят,что исходный ряд
X
t
является рядом типа ARIMA(p, k, q),
или
k раз проинтегрированным ARMA(p, q) рядом
(ARIMA – autoregressive
integrated moving average)
. Если при этом p = 0 или q = 0, то тогда употребляются и более короткие обозначения:
ARIMA(p, k, 0) = ARI (p, k), ARIMA(0, k, q) = IMA( k, q),
ARIMA(0, k, 0) = ARI (0, k) = IMA( k, 0).
Возвращаясь к только что рассмотренным примерам, получаем:
X
t
= α + β t + ε
t
I(0);
X
t
= α + X
t–1
+ ε
t
I(1), X
t
– ряд типа ARIMA(0, 1, 0);
X
t
= θ
0
+ θ
1
t + θ
2
t
2
+ ε
t
I(0);
X
t
= α + β
t + γ t
2
+ ε
t
+ 2ε
t – 1
+ 3ε
t – 2
+ … + t ε
1
I(2), X
t
– ряд типа ARIMA(0, 2, 0).
Первый и третий из этих рядов являются TS рядами, а второй и четвертый – DS рядами.
Используя ту же самую имитацию белого шума, что и в предыдущих примерах, получаем смоделированные реализации для двух первых процессов
TREND_1
t
= 1 + 0.5 t + ε
t
, ε
t
N(0, 1),
WALK
t
= 0.5+ WALK
t–1
+ ε
t
, ε
t
N(0, 0.5 2
), WALK
0
= 0:
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
17 0
10 20 30 40 50 60 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
TREND_1 0
10 20 30 40 50 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
WALK
Оценим для каждой из этих реализаций модель прямолинейной зависимости:
Dependent Variable: TREND_1
Variable
Coef.
Std. Error t-Statistic
Prob.
C
0.796390 0.208085 3.827226 0.0002
T
0.501522 0.003577 140.1946 0.0000
Dependent Variable: WALK
Variable
Coef.
Std. Error t-Statistic
Prob.
C -0.930832 0.249804
-3.726248 0.0003
T
0.437818 0.004295 101.9477 0.0000
Полученные при этом детрендированные ряды ведут себя следующим образом:
-3
-2
-1 0
1 2
3 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
X_DETRENDED
-3
-2
-1 0
1 2
3 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
WALK_DETRENDED
Поведение первого графика характерно для стационарного ряда, а поведение второго графика – для стохастического тренда. Отметим наличие видимой цикличности с длинным периодом у второго графика. На эту особенность было указано в работах [Chan, Hayya, Ord (1977)] и [Nelson, Kang (1981)]: в результате очистки ряда от детерминированного тренда могут возникать систематические колебания – длиннопериодные циклы, которых не было у исходного ряда (
ложная
периодичность
)
и которые могут быть ошибочно истолкованы как проявление некоторого экономического цикла.
В то же время, первые разности реализаций исходных рядов ведут себя следующим образом:
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
18
-4
-2 0
2 4
6 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
X_TREND_DIF
-1.0
-0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
WALK_DIF
Коррелограммы рядов первых разностей имеют следующий вид.
Для первого ряда (X_TREND_DIF)
ACF
PACF
AC
PAC Q-Stat Prob
***| . ***| .
1 -0.449
-0.449 20.527 0.000
. | . **| .
2 -0.045
-0.308 20.736 0.000
. | . **| .
3 -0.006
-0.236 20.740 0.000
. | . **| .
4 -0.052
-0.266 21.021 0.000
. |* .*| .
5 0.078
-0.157 21.676 0.001
*| . **| .
6 -0.074
-0.221 22.258 0.001
. |* . |*
7 0.194 0.073 26.358 0.000
**| . *| .
8 -0.216
-0.120 31.473 0.000
. |* . | .
9 0.079
-0.047 32.159 0.000
. | . *| .
10 -0.056 -0.143 32.513 0.000
Для второго ряда (WALK_DIF)
ACF
PACF
AC
PAC Q-Stat Prob
. | . . | .
1 0.035 0.035 0.1271 0.721
. | . . | .
2 -0.044
-0.045 0.3271 0.849
. | . . | .
3 -0.042
-0.039 0.5099 0.917
. | . . | .
4 -0.025
-0.024 0.5766 0.966
. | . . | .
5 0.065 0.063 1.0215 0.961
. | . . | .
6 -0.004
-0.012 1.0231 0.985
. |* . |*
7 0.101 0.107 2.1405 0.952
*| . *| .
8 -0.173
-0.181 5.4243 0.711
. | . . | .
9 -0.041
-0.013 5.6087 0.778
. | . *| .
10 -0.057 -0.073 5.9707 0.818
Вторая коррелограмма соответствует процессу белого шума. Что касается первой коррелограммы, то наличие единственного значимого пика у автокорреляционной функции говорит в пользу идентификации наблюдаемого ряда
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
19
разностей как реализации MA(1) процесса. Подставляя значение r(1) = – 0.449 вместо ρ(1) в формулу ρ(1) = b
1
/(1 + b
1 2
), получаем уравнение – 0.449 = b
1
/(1 + b
1 2
).
Это уравнение имеет два решения: –1.6036 и –0.6236. Первое соответствует необратимому, а второе – обратимому MA(1) процессу. Выбирая обратимую версию, получаем в качестве предварительной оценки коэффициента b
1 значение –0.6236.
Уточнение этой оценки в процессе оценивания модели MA(1), приводит к следующему результату.
Dependent Variable: X_TREND_DIF
Sample(adjusted): 2 100
Included observations: 99 after adjusting endpoints
Convergence achieved after 10 iterations
Backcast: 1
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 0.501429 0.004483 111.8447 0.0000
MA(1) -0.977743 0.015377
-63.58459 0.0000
– при использовании backcasting
(процедуры обратного прогноза – см. разд. 3.2) – и
Dependent Variable: X_TREND_DIF
Method: Least Squares
Sample(adjusted): 2 100
Included observations: 99 after adjusting endpoints
Convergence achieved after 18 iterations
Backcast: OFF
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 0.518807 0.007616 68.12224 0.0000
MA(1) -1.062852 0.042816
-24.82378 0.0000 без использования backcasting
Для обоих вариантов оценивания мы получаем в качестве оценок для коффициента b
1 значения, очень близкие к 1, что отражает необратимость MA(1) модели, порождающей ряд. Обратим внимание на то, что в этом случае продифференцированный ряд оказывается автокоррелированным несмотря на то, что исходный ряд представляет собой сумму детерминированного линейного тренда и белого шума. Это явление известно как
эффект Слуцкого
([Slutsky (1937)].
Смоделируем теперь реализации двух оставшихся рядов:
X
t
= 0.01 t
2
+ ε
t
, ε
t
N(0, 5 2
),
Y
t
= 0.04 t
2
+ ε
t
+ 2ε
t – 1
+ 3ε
t – 2
+ … + t ε
1
, ε
t
N(0, 0.1 2
):
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
20
-20 0
20 40 60 80 100 120 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
X
-20 0
20 40 60 80 100 120 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Y
Оценим для каждой из этих реализаций модель квадратичной зависимости:
Dependent Variable: X
Variable Coef.
Std.
Error t-Statistic
Prob.
T^2 0.009926 0.000114 86.93333 0.0000
(Константа и линейная составляющая статистически незначимы.)
Dependent Variable: Y
Variable Coef.
Std.
Error t-Statistic
Prob.
C -2.273387 0.621988
-3.655036 0.0004
T -0.119781 0.028427
-4.213709 0.0001
T^2 0.013087 0.000273 47.99344 0.0000
Детрендированные реализации:
-15
-10
-5 0
5 10 15 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
X_DETRENDED
-4
-2 0
2 4
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Y_DETRENDED
Коррелограмма ряда X_DETRENDED
ACF
PACF
AC
PAC Q-Stat Prob
. | . . | .
1 0.030 0.030 0.0936 0.760
. | . . | .
2 -0.049 -0.050 0.3429 0.842
. | . . | .
3 -0.042 -0.039 0.5278 0.913
. | . . | .
4 -0.024 -0.024 0.5867 0.965
. |* . |*
5 0.071 0.068 1.1208 0.952
. | . . | .
6 0.000 -0.008 1.1208 0.981
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
21
. |* . |*
7 0.101 0.107 2.2429 0.945
*| . *| .
8 -0.171 -0.177 5.4698 0.706
. | . . | .
9 -0.039 -0.011 5.6366 0.776
. | . *| .
10 -0.050 -0.068 5.9165 0.822
соответствует процессу белого шума, а коррелограмма ряда Y_DETRENDED
ACF
PACF
AC PAC Q-Stat Prob
. |******** . |********
1 0.985 0.985 99.989 0.000
. |******* ****| .
2 0.956 -0.507 195.02 0.000
. |******* **| .
3 0.912 -0.314 282.52 0.000
. |******* **| .
4 0.857 -0.196 360.52 0.000
|****** *| .
5 0.791 -0.136 427.67 0.000
. |****** *| .
6 0.716 -0.073 483.36 0.000
. |***** . | .
7 0.635 -0.044 527.61 0.000
. |****
*| .
8 0.549 -0.067 560.97 0.000
. |***
. | .
9 0.458 -0.043 584.49 0.000
. |***
. | .
10 0.365 -0.051 599.58 0.000 характерна для нестационарного AR(2) процесса.
Вторые разности рядов X
t
и Y
t ведут себя следующим образом:
-30
-20
-10 0
10 20 30 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
X_DIF2
-0.3
-0.2
-0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Y_DIF2
Коррелограмма ряда X_DIF2
ACF
PACF
AC
PAC Q-Stat Prob
*****| .
*****| .
1 -0.635 -0.635 40.777 0.000
. |*
****| .
2 0.128 -0.463 42.440 0.000
. | .
**| .
3 0.038 -0.294 42.586 0.000
*| .
**| .
4 -0.064 -0.273 43.014 0.000
. |*
*| .
5 0.081 -0.141 43.710 0.000
*| .
**| .
6 -0.137 -0.292 45.710 0.000
. |**
. | .
7 0.243 0.037 52.065 0.000
**| .
. | .
8 -0.254 -0.037 59.064 0.000
. |*
. | .
9 0.160 0.057 61.891 0.000
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
22
*| .
. | .
10 -0.099 -0.056 62.976 0.000 отражает свойство необратимости MA модели. В этом случае значение r(1) = – 0.635 даже выходит за пределы интервала возможных значений ρ(1) процесса MA(1), т.е. за пределы интервала – 0.5 ≤ ρ(1) ≤ 0.5 . (Подстановка значения – 0.635 вместо ρ(1) в формулу ρ(1) = b
1
/(1 + b
1 2
) приводит к квадратному уравнению 0.635 b
1 2
+ b
1
+
0.635 = 0, которое не имеет действительных решений.)
Коррелограмма ряда Y_DIF2
ACF
PACF
AC
PAC Q-Stat Prob
. | . . | .
1 0.031 0.031 0.0942 0.759
. | . . | .
2 -0.041 -0.042 0.2636 0.877
. | . . | .
3 -0.038 -0.036 0.4127 0.938
. | . . | .
4 -0.013 -0.013 0.4313 0.980
. |* . |*
5 0.073 0.071 0.9925 0.963
. | . . | .
6 -0.006 -0.012 0.9958 0.986
. |* . |*
7 0.104 0.111 2.1713 0.950
*| . *| .
8 -0.172 -0.178 5.3769 0.717
. | . . | .
9 -0.031 -0.006 5.4804 0.791
*| . *| .
10 -0.066 -0.084 5.9673 0.818
соответствует процессу белого шума.
Рассмотренные примеры отражают общую ситуацию:
• вычитание детерминированной составляющей TS ряда приводит к стационарному ряду;
• вычитание детерминированной составляющей DS ряда приводит к DS ряду;
• дифференцирование TS ряда приводит к TS ряду; если стохастическая составляющая исходного TS ряда описывается стационарной моделью
ARMA, то дифференцирование приводит к TS ряду с необратимой MA составляющей, имеющей единичный корень;
•
k- кратное дифференцирование ряда X
t
I(k) приводит к стационарному ряду; если стохастическая составляющая исходного I(k) ряда описывается моделью ARIMA, то k- кратное дифференцирование приводит к стационарному ряду с обратимой MA составляющей.
Важным обстоятельством является также то, что в TS-рядах влияние предыдущих шоковых воздействий затухает с течением времени, а в DS-рядах такое затухание отсутствует и каждый отдельный шок влияет с одинаковой силой на все последующие значения ряда. Поясним это на примере простой AR(1) модели X
t
= a X
t – 1
+ ε
t
. Для нее (см. разд. 2.3)
X
t
= a
t
X
0
+ a
t – 1
ε
1
+ a
t – 2
ε
2
+ … + ε
t
, так что
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
23
X
t + h
= a
t + h
X
0
+ a
t + h –1
ε
1
+ a
t + h – 2
ε
2
+ … + a
h
ε
t
+ … + ε
h+ t
Отсюда получаем значения импульсных мультипликаторов,
показывающих влияние единовременного (импульсного) изменения (“
шока
”) инновации ε
t
на текущее и последующие значения ряда:
∂X
t
⁄ ∂ε
t
=
1, ∂X
t +1
⁄ ∂ε
t
= a, ∂X
t +2
⁄ ∂ε
t
= a
2
, … , ∂X
t + h
⁄ ∂ε
t
= a
h
, … .
Таким образом, при h → ∞
•
∂X
t + h
⁄ ∂ε
t
→ 0
для a < 1,
•
∂X
t + h
⁄ ∂ε
t
≡ 1 при a = 1.
Попутно заметим, что если a > 1 (“взрывной процесс”),
то в таком случае
∂X
t + h
⁄ ∂ε
t
→ ∞
, так что влияние прошлых шоков геометрически возрастает по мере удаления в прошлое. Это обстоятельство служит определенным аргументом против использования взрывных моделей для описания экономических временных рядов.
5.2. Проблема определения принадлежности временного ряда классу TS
рядов или классу DS рядов
При построении моделей связей между временными рядами в долгосрочной перспективе необходимо учитывать факт наличия или отсутствия у анализируемых макроэкономических рядов стохастического (недетерминированного) тренда. Иначе говоря, приходится решать вопрос об отнесении каждого из рассматриваемых рядов к классу рядов, стационарных относительно детерминированного тренда (или просто стационарных) – TS (trend stationary) ряды, или к классу рядов, имеющих стохастический тренд (возможно, наряду с детерминированным трендом) и приводящихся к стационарному ряду только путем однократного или k-кратного
2
дифференцирования ряда – DS (difference stationary) ряды.
Принципиальное различие между этими двумя классами рядов выражается в том, что в случае TS ряда вычитание из ряда соответствующего детерминированного тренда приводит к стационарному ряду, тогда как в случае DS ряда вычитание детерминированной составляющей ряда оставляет ряд нестационарным из-за наличия у него стохастического тренда.
Проблема отнесения макроэкономических рядов динамики, имеющих выраженный тренд, к одному из двух указанных классов активно обсуждалась в последние два десятилетия в мировой эконометрической и экономической литературе. Помимо того, что траектории TS и DS рядов отличаются друг от друга кардинальным образом, определение принадлежности рядов классам TS или DS весьма важно для правильного
2
Мы не затрагиваем здесь вопрос о возможной дробной интегрированности рядов.
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
24
построения долгосрочных регрессионных моделей, в которых объясняемыми и объясняющими переменными являются макроэкономические временные ряды (модели коинтеграции, модели коррекции ощибок, векторные авторегрессии).
Если выявляется группа макроэкономических рядов, принадлежащих классу DS- рядов, то между этими рядами возможна так называемая
коинтеграционная связь
(см. главу 7), анализ которой позволяет, например,
• проверять гипотезу эффективности финансовых рынков (см., например,
[Dweyer, Wallace (1992), Dutt, Ghosh (1999)]),
• проверять выполнение на практике теории паритета покупательной способности
([Ardeni, Lubian (1991), Dutt(1998)]),
• проверять выполнение в долгосрочной перспективе уравнения спроса на деньги
([Johansen, Juselius (1990)], [Hafer, Jansen (1991)], [Funke, Thornton (1999)]).
Более того, при наличии коинтеграционной связи между DS-рядами имеется возможность построения комбинации краткосрочной и долгосрочной динамических регрессионных моделей в форме так называемой
модели коррекции ошибок
, что открывает возможность построения на основании подобранной модели как краткосрочных, так и долгосрочных прогнозов.
Литература по этому вопросу весьма обширна. В качестве обзорных работ можно сослаться на монографии [Maddala, Kim (1998)], [Enders (1995)], [Hamilton
(1994)], [Hatanaka (1996)]. Отметим лишь (чрезвычайно малую) часть работ, посвященных построению моделей связи между конкретными макроэкономическими рядами:
•
Денежные агрегаты: [Hasan (1998)].
•
Инфляция: [Metin (1995)]
•
Валовый внутренний продукт: [Christiano, Eichenbaum (1990)]; [Murray, Nelson
(2000)].
•
Уровень безработицы: [Clark (1989)]; [Woodward, Pillarisetti (1999)].
•
Обменный курс национальной валюты: [Copeland (1991)], [Kim, Mo (1995)],
[Nadal-De Simone, Razzak
(1999)].
•
Импорт: [Milas (1998)].
•
Налоговые ряды: [Molana (1994)] .
•
Производство: [Cheung, Chinn (1996)], [den Haan (2000)].
•
Биржевые индексы: [Fama, French (1988)].
TS ряды имеют линию тренда в качестве некоторой “центральной линии”, которой следует траектория ряда, находясь то выше, то ниже этой линии, с достаточно частой сменой положений выше-ниже. DS ряды помимо детерминированного тренда (если таковой имеется) имеют еще и стохастический тренд, из-за присутствия которого траектория DS ряда весьма долго пребывает по одну сторону от линии детерминированного тренда (выше или ниже этой линии), удаляясь от нее на
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
25
значительные расстояния, так что по-существу в этом случае линия детерминированного тренда перестает играть роль “центральной” линии, вокруг которой колеблется траектория процесса.
В TS-рядах влияние предыдущих шоковых воздействий затухает с течением времени, а в DS-рядах такое затухание отсутствует и каждый отдельный шок влияет с одинаковой силой на все последующие значения ряда.
Поэтому наличие стохастического тренда требует проведения определенной экономической политики для возвращения макроэкономической переменной к ее долговременной преспективе, тогда как при отсутствии стохастического тренда серьезных усилий для достижения такой цели не требуется – в этом случае макроэкономическая переменная “скользит” вдоль линии тренда как направляющей, пересекая ее достаточно часто и не уклоняясь от этой линии сколь-нибудь далеко.
В течение довольно долгого времени было принято при анализе рядов с выраженным трендом производить оценивание и выделение детерминированного тренда, после чего производить подбор динамической модели (например, ARMA) к ряду, “очищенному от тренда”, т.е. к ряду остатков от соответствующей оцененной регрессионной модели. После введения Боксом и Дженкинсом ([Бокс, Дженкинс
(1974)]) в обиход моделей ARIMA стало модным остационаривание рядов с выраженным трендом и медленным убыванием (оцененной) автокорреляционной функции путем перехода к рядам первых или вторых разностей. Однако, как показали дальнейшие исследования, произвольный выбор одного из этих двух способов остационаривания ряда вовсе не так безобиден, как это казалось поначалу.
В работах [Chan, Hayya, Ord (1977)], [Nelson, Kang (1981)] было показано, что остационаривание DS рядов путем перехода к очищенному ряду (детрендирование) изменяет спектр ряда, приводя к появлению ложной периодичности (ложные длиннопериодные циклы), которая может быть ошибочно истолкована как проявление некоторого экономического цикла.
С другой стороны, дифференцирование TS ряда приводит к “передифференцированному ряду”, который хотя и является стационарным, но обладает некоторыми нежелательными свойствами, связанными с необратимостью его МА-составляющей; при этом возникает паразитная автокоррелированность соседних значений продифференцированного ряда (в спектре доминируют короткие циклы). Более того, в случае необратимости МА-составляющей продифференцированного ряда становится невозможным использование обычных алгоритмов оценивания параметров и прогнозирования ряда. (См., например, [Hamilton (1994), главы 4 и 5].)
Итак, построение адекватной модели макроэкономического ряда, которую можно использовать для описания динамики ряда и прогнозирования его будущих значений, и адекватных моделей связей этого ряда с другими макроэкономическими рядами невозможно без выяснения природы этого ряда и природы рядов, с ним связываемых, т.е. без выяснения принадлежности ряда к одному из двух указанных классов (TS или
DS). В этом разделе мы займемся проблемой такой классификации.
Как показывает огромное количество работ, подробный обзор которых можно найти, например, в книге [Maddala, Kim (1998)], проблема отнесения ряда к одному из указанных двух классов на основании наблюдения реализации ряда на некотором интервале времени оказалась весьма сложной. Было предложено множество процедур такой классификации, но и по настоящее время предлагаются все новые и новые процедуры, которые либо несколько превосходят старые в статистической эффективности (по крайней мере, теоретически) либо могут составить конкуренцию старым процедурам и служить дополнительным средством подтверждения
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
26
классификации, произведенной другими методами. Описание многих таких процедур и ссылки на статьи с подробным описанием и теоретическим
обоснованием этих процедур можно найти, например, в упоминавшихся выше книгах [Maddala, Kim (1998)], [Enders (1995)], [Hamilton (1994)], [Hatanaka (1996)].
Здесь мы заметим только, что использование различных процедур может приводить к противоположным выводам о принадлежности наблюдаемого ряда классу TS-рядов или классу DS-рядов. В этом отношении весьма показательным является сопоставление выводов, полученных при анализе 14 макроэкономических рядов США (имеющих протяженность от 62 до 111 лет) в работе [Nelson, Plosser
(1982)] и в более поздней работе Перрона ([Perron (1989a)]). Если в первой работе лишь один из 14 рассмотренных рядов был отнесен к классу TS, то во второй работе, напротив, к этому классу было отнесено уже 11 из этих рядов. Правда, подобное кардинальное изменение результатов классификации было связано с расширением понятия TS рядов. В класс TS-рядов стали включать и ряды, стационарные относительно трендов, имеющих “излом” в известный момент времени. Отказ от предположения об известной дате излома тренда, в свою очередь, привел к некоторому изменению классификации, полученной Перроном (см. [Zivot, Andrews
(1992)]). Допущение еще более гибких форм функции тренда изменило и последнюю классификацию, см. [Bierens (1997)]. Наконец, работа [Nunes, Newbold, Kuan (1997)]
“замкнула круг”: изменение предположения о характере процесса порождения данных по сравнению с работой [Zivot, Andrews (1992)] привело к той же самой классификации 14 рядов, которая была получена в работе [Nelson, Plosser (1982)].
В связи с такими результатами, при анализе конкретных макроэкономических рядов теперь обычно применяют несколько разных статистических процедур, что позволяет несколько укрепить выводы, сделанные в пользу одной из двух (TS или DS) конкурирующих гипотез.
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
27
5.3. Различение TS и DS рядов в классе моделей ARMA. Гипотеза
единичного корня.
Как уже отмечалось выше, для решения вопроса об отнесении исследуемого ряда X
t к классу TS (стационарных или стационарных относительно тренда) или DS (разностно стационарных) процессов имеется целый ряд различных процедур. Однако все эти процедуры страдают теми или иными недостатками. Процедуры, оформленные в виде формальных статистических критериев, как правило, имеют достаточно низкую мощность, что ведет к весьма частому неотвержению исходной (нулевой гипотезы), когда она в действительности не выполняется. В то же время невыполнение теоретических предпосылок, на которых основывается критерий, при применении его к реальным данным приводит к отличию реально наблюдаемого размера критерия от заявленного уровня значимости. Вследствие последнего обстоятельства теряется контроль над вероятностью ошибки первого рода, и это может приводить к слишком частому отвержению нулевой гипотезы, когда она в действительности верна. В связи с таким положением вещей исследователи обычно используют при анализе рядов на принадлежность их к классу TS или DS не один, а несколько критериев и подкрепляют выводы, полученные с использованием формальных критериев (с установленными уровнями значимости) графическими процедурами. Мы также будем пользоваться в нашем исследовании несколькими процедурами различения TS и DS рядов и в этом разделе кратко опишем эти процедуры. Более подробное их описание можно найти в цитируемой ниже литературе.
В большинстве критериев, предложенных для различения DS и TS гипотез, эта задача решается в классе моделей ARMA (стационарных и нестационарных).
Если ряд X
t
имеет тип ARIMA(p, k, q), то в результате его k-кратного дифференцирования мы получаем ряд стационарный ряд ∆
k
X
t
типа ARMA(p, q), скажем,
a
*
(L)∆
k
X
t
= b(L) ε
t
, где a
*
(L) и b(L) – полиномы от оператора обратного сдвига L , имеющие степени p и q, соответственно. Заметим, что ∆X
t
= (1 – L) X
t
, так что
∆
k
X
t
= (1 – L)
k
X
t
, и
a
*
(L) (1 – L)
k
X
t
= b(L) ε
t
, или
a(L) X
t
= b(L) ε
t
, где a(L) = a
*
(L) (1 – L)
k
– полином степени (p + k). Поскольку ряд ∆
k
X
t
стационарный, все p корней полинома a
*
(z) находятся за пределами единичного круга, так что полином a(z) имеет p корней за пределами единичного круга и k корней на границе этого круга, точнее, корень z = 1 кратности k .
Таким образом, ряд X
t
представляется нестационарной моделью ARMA(p+ k, q), в которой авторегрессионный полином a(L) имеет ровно k корней, равных 1, а все остальные корни по модулю больше 1. Поэтому проверка нулевой гипотезы H
0
о том,
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
28
что некоторый ARMA ряд
Xt является DS-рядом (а не стационарным рядом), может
быть сведена к проверке гипотезы о том, что авторегрессионный полином
a(
L) имеет хотя бы один корень, равный 1. Это оправданно, если исходить из предположения, что
a(
z) не имееткорней внутри единичного круга, т.е. исключить из рассмотрения
“взрывные” модели. При этом о гипотезе H
0 кратко говорят как о
гипотезе единичного корня(UR – unit root hypothesis), хотя точнее было бы говорить о гипотезе авторегрессионного единичного корня. В качестве альтернативной тогда выступает
TS гипотеза о том, что рассматриваемый ARMA ряд – стационарный.
Критерии, в которых за исходную (нулевую) гипотезу берется гипотеза TS, служат скорее для подтверждения результатов проверки DS-гипотезы. В этом случае вместо проверки гипотезы единичного корня у полинома
a(
z) проверяется гипотеза о наличии единичного корня
z = 1 у уравнения
b*
(
z) = 0, где
b*
(
L) – полином от оператора обратного сдвига
L в представлении в виде процесса скользящего среднего
∆
Xt =
b*
(
z)
ε
t ряда разностей
∆
Xt =
Xt –
Xt–1 исходного процесса
Xt Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
1
Скачать 3.08 Mb.