Эконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядо - Носко В.П.. Эконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядо - Но. В. П. Носко Эконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядов
 Скачать 3.08 Mb.
|
|
Глава 5. Нестационарные временные ряды В этой главе нам удобно временно вернуться к прописным и строчным обозначениям для случайных величин и их реализаций, соответственно. Мы начнем изложение с рассмотрения двух временных рядов. Первый из них представляет статистические данные о величине валового национального продукта (GNP – gross national product) в США за период с первого квартала 1947 г. по четвертый квартал 1961 г. (сезонно скорректированные квартальные данные в пересчете на год – 60 наблюдений, млрд долл., в текущих ценах). График этого ряда 200 300 400 500 600 48 50 52 54 56 58 60 GNP имеет выраженный линейный тренд. Второй ряд (NONDURABLE) представляет статистические данные об объеме потребительских расходов на товары кратковременного пользования и услуги в Великобритании за период с первого квартала 1974 г. по четвертый квартал 1985 г. (сезонно скорректированные квартальные данные – 48 наблюдений, млн фунтов стерлингов, в текущих ценах ): 50000 52000 54000 56000 58000 60000 62000 64000 66000 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 NONDURABLE Этот ряд также обнаруживает линейный тренд. Хотя выборочные автокорреляционные и частные автокорреляционные функции определялись у нас для стационарных рядов, посмотрим на коррелограммы, построенные по представленным данным. Для ряда GNP коррелограмма имеет вид Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob . |******* . |******* 1 0.946 0.946 56.419 0.000 . |******* . | . 2 0.893 -0.021 107.52 0.000 . |****** . | . 3 0.840 -0.024 153.55 0.000 . |****** . | . 4 0.791 0.013 195.14 0.000 . |****** . | . 5 0.743 -0.021 232.52 0.000 . |***** . | . 6 0.696 -0.022 265.90 0.000 Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm 2 . |***** . | . 7 0.648 -0.030 295.41 0.000 . |***** . | . 8 0.599 -0.044 321.09 0.000 . |**** . | . 9 0.550 -0.033 343.13 0.000 . |**** . | . 10 0.498 -0.052 361.57 0.000 . |*** *| . 11 0.442 -0.073 376.44 0.000 . |*** . | . 12 0.388 -0.034 388.08 0.000 . |*** . | . 13 0.337 -0.002 397.06 0.000 . |** . | . 14 0.291 0.007 403.91 0.000 . |** . | . 15 0.253 0.041 409.21 0.000 . |** . | . 16 0.218 -0.002 413.22 0.000 . |* . | . 17 0.182 -0.034 416.08 0.000 . |* . | . 18 0.143 -0.044 417.90 0.000 . |* . | . 19 0.106 -0.021 418.92 0.000 . |* . | . 20 0.069 -0.039 419.36 0.000 . | . . | . 21 0.032 -0.028 419.45 0.000 . | . . | . 22 -0.003 -0.030 419.45 0.000 . | . . | . 23 -0.037 -0.021 419.59 0.000 *| . . | . 24 -0.066 -0.005 420.04 0.000 А для ряда NONDURABLE ACF PACF AC PAC Q-Stat Prob . |******* . |******* 1 0.917 0.917 42.921 0.000 . |****** . | . 2 0.843 0.014 79.976 0.000 . |****** . | . 3 0.774 -0.004 111.92 0.000 . |***** . | . 4 0.704 -0.040 138.99 0.000 . |***** . | . 5 0.643 0.013 162.09 0.000 . |**** . | . 6 0.581 -0.041 181.36 0.000 . |**** *| . 7 0.510 -0.090 196.57 0.000 . |*** . | . 8 0.439 -0.050 208.14 0.000 . |*** *| . 9 0.366 -0.066 216.39 0.000 . |** . | . 10 0.300 -0.012 222.07 0.000 . |** . | . 11 0.246 0.026 225.99 0.000 . |* . | . 12 0.196 -0.006 228.56 0.000 . |* . | . 13 0.150 -0.013 230.11 0.000 . |* . | . 14 0.106 -0.025 230.91 0.000 . |* . | . 15 0.072 0.036 231.28 0.000 . | . . | . 16 0.041 -0.016 231.41 0.000 . | . . | . 17 0.019 0.028 231.43 0.000 . | . *| . 18 -0.007 -0.063 231.44 0.000 . | . . | . 19 -0.032 -0.018 231.52 0.000 *| . *| . 20 -0.062 -0.073 231.85 0.000 Если отвлечься от видимой нестационарности этих рядов, то поведение выборочных ACF и PACF предполагает идентификацию обоих рядов как рядов типа AR(1). Имея в виду наличие у рядов выраженного линейного тренда, произведем оценивание моделей X t = α + β t + a 1 X t –1 + u t (Здесь мы используем обозначение u t , а не ε t , поскольку ряд u t на этот раз может и не являться белым шумом.) Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm 3 Это приводит к следующим результатам. 1 Для ряда GNP: Dependent Variable: GNP Method: Least Squares Sample(adjusted): 1947:2 1961:4 Included observations: 59 after adjusting endpoints Convergence achieved after 3 iterations Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 216.0630 11.30237 19.11661 0.0000 T 5.269279 0.281754 18.70170 0.0000 AR(1) 0.846976 0.072723 11.64665 0.0000 Inverted AR Roots .85 Остатки обнаруживают явную автокоррелированность : P-значение критерия Бройша – Годфри при альтернативе AR(1) равно 0.0000. Переоценивание с включением в модель запаздывания на два квартала, дает: Dependent Variable: GNP Method: Least Squares Sample(adjusted): 1947:3 1961:4 Included observations: 58 after adjusting endpoints Convergence achieved after 3 iterations Variable Coefficien t Std. Error t-Statistic Prob. C 217.7399 5.054473 43.07865 0.0000 T 5.221538 0.140436 37.18089 0.0000 AR(1) 1.380274 0.109452 12.61078 0.0000 AR(2) -0.630066 0.109453 -5.756490 0.0000 Inverted AR Roots .69 -.39i .69+.39i Модули комплексных чисел, обратных авторегрессионным корням, равны 0.7926, что говорит в пользу стационарности детрендированного ряда X t 0 = X t – µ – γ t . K построению модели для ряда GNP можно подойти и иначе. Сначала произвести детрендирование ряда, оценивая модель X t = µ + γ t + u t : Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 218.4825 2.640153 82.75373 0.0000 T 5.181995 0.075274 68.84144 0.0000 Durbin-Watson stat 0.316211 Prob(F-statistic) 0.000000 1 Приводимые в таблицах оценки константы (C) и коэффициента при переменной t (T) соответствуют оценкам µ и γ в представлении (X t – µ – γt ) = a 1 (X t – 1 – µ – γ( t – 1)) + a 2 (X t – 2 – µ – γ( t – 2)) + u t (a 2 = 0 для первой из двух таблиц). Эти оценки получаются применением нелинейного метода наименьших квадратов. При этом обозначение AR(1) указывает на оценку для a 1 , а AR(2) – на оценку для a 2 Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm 4 Остатки, полученные при оценивании этой модели, образуют оцененный детрендированный ряд, коррелограмма которого Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob . |****** . |****** 1 0.836 0.836 44.028 0.000 . |**** ****| . 2 0.531 -0.554 62.115 0.000 . |*. **| . 3 0.183 -0.210 64.294 0.000 .*| . . | . 4 -0.100 0.044 64.960 0.000 **| . . | . 5 -0.272 -0.004 69.949 0.000 ***| . .*| . 6 -0.339 -0.082 77.846 0.000 ***| . .*| . 7 -0.350 -0.169 86.446 0.000 ***| . .*| . 8 -0.332 -0.072 94.332 0.000 **| . . | . 9 -0.281 0.058 100.07 0.000 **| . .*| . 10 -0.234 -0.177 104.16 0.000 **| . ***| . 11 -0.234 -0.321 108.32 0.000 **| . . |*. 12 -0.226 0.103 112.26 0.000 позволяет идентифицировать этот ряд как AR(2). После этого можно строить AR(2) модель для (оцененного) детрендированного ряда X t_detrended = X t – 218.4825 – 5.181995 t : Variable Coeff. Std. Error t-Statistic Prob. AR(1) 1.379966 0.107605 12.82435 0.0000 AR(2) -0.630426 0.107605 -5.858722 0.0000 Объединяя результаты последних двух оцениваний, получаем оцененную модель X t – 218.4825 – 5.181995 t = = 1.379966 (X t–1 – 218.4825 – 5.181995(t–1)) – – 0.630426 (X t–2 – 218.4825 – 5.181995(t–2)), или X t = [(1– 1.379966 + 0.630426)·218.4825 + 1.379966·5.181995 – 0.630426·5.181995·2] + (1 – 1.379966 +0.630426) ·5.181995 t + 1.379966 X t–1 – 0.630426 X t–2 + e t = 55.338375 +1.297882 t + 1.379966 X t–1 – 0.630426 X t–2 + e t В то же время, по приведенным результатам оценивания модели X t = α + β t + a 1 X t–1 + a 2 X t–2 + u t получаем X t – 217.7399 – 5.221538 t = = 1.380274(X t–1 – 217.7399 – 5.221538(t–1)) – 0.630066 (X t–2 – 217.7399 – 5.221538(t–2)), или X t = [(1– 1.380274 + 0.630066)·217.7399 + 1.380274·5.221538 – 0.630066·5.221538·2] + (1 – 1.380274 +0.630066) ·5.221538 t + 1.380274 X t –1 – 0.630066 X t –2 + e t = 55.017011 + 1.304298 t + 1.380274 X t–1 – 0.630066 X t–2 + e t , Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm 5 так что результаты, полученные при использовании обоих вариантов построения модели, практически совпадают. Поэтому можно использовать смешанный вариант – использовать детрендированный ряд для идентификации порядка модели, а оценивать идентифицированную модель вместе с включенным в нее трендом, в данном случае – оценивать модель X t = α + β t + a 1 X t–1 + a 2 X t–2 + u t Заметим, что диагностика рядов остатков в обеих оцененных моделях говорит в пользу их адекватности. Перейдем теперь к ряду NONDURABLE. Коррелограмма детрендированного ряда (ряда остатков от оцененной модели регрессии X t на константу и t ) Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob . |****** . |****** 1 0.793 0.793 32.083 0.000 . |***** . | . 2 0.632 0.011 52.942 0.000 . |*** **| . 3 0.432 -0.195 62.887 0.000 . |** **| . 4 0.219 -0.193 65.515 0.000 . |* . | . 5 0.090 0.062 65.965 0.000 *| . *| . 6 -0.067 -0.152 66.218 0.000 **| . **| . 7 -0.242 -0.277 69.647 0.000 ***| . *| . 8 -0.362 -0.084 77.505 0.000 ****| . **| . 9 -0.510 -0.211 93.500 0.000 обнаруживает резко выделяющийся пик на лаге 1, так что можно попробовать оценить модель X t = α + β t + a 1 X t–1 + u t . Это дает следующие результаты: Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 47962.75 2862.678 16.75451 0.0000 T 315.1909 76.44770 4.122961 0.0002 AR(1) 0.884803 0.080824 10.94727 0.0000 Наблюдаемые P-значения статистик Люнга – Бокса для ряда остатков превышают 0.05 при всех выборах M от 1 до 20. Проверка на отсутствие автокоррелированности по критерию Бройша – Годфри дает P-значения, большие 0.05, как при AR(1) альтернативе, так и при альтернативах AR(2), AR(3) и т.д. Наконец, при проверке нормальности P-значение статистики Jarque – Bera равно 0.648 , так что по совокупности этих результатов мы могли бы говорить о пригодности оцененной модели X t – 47962.75 – 315.1909 t = = 0.884803 ( X t–1 – 47962.75 – 315.1909 (t–1)) + e t Обратим, однако, внимание на следующее обстоятельство. Оцененное значение 0.884803 коэффициента при X t–1 достаточно близко к единице, и если ориентироваться на вычисленное значение 0.080824 стандартной ошибки для этого коэффициента, то при допущении отклонений от оцененного значения в пределах двух стандартных ошибок, в интервал допустимых значений 0.884803 ± 2·0.080824 попадают и значения, большие или равные 1. Но последние соответствуют нестационарному процессу авторегрессии. Таким образом, несмотря на то, что при полученной точечной оценке 0.884803 коэффициента при X t–1 построенная модель формально оказывается стационарной относительно детерминированного линейного тренда (т.е. детрендированный процесс следует стационарной AR(1) модели), мы не можем с достаточной степенью Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm 6 уверенности гарантировать, что истинная модель порождения наблюдений также стационарна относительно линейного тренда. Между тем вопрос о стационарности или нестационарности модели, порождающей наблюдаемый ряд, привлекает к себе постоянное внимание уже в течение нескольких десятков лет. Особенно это внимание усилилось после серии работ 80-х годов 20 века, в которых было введено понятие коинтеграции. С помощью этого понятия была обоснована методика построения “моделей коррекции ошибок”, в рамках которых удается моделировать наличие долговременных связей между переменными вместе с указанием краткосрочной динамики, обеспечивающей поддержание этих долговременных связей. В последующем изложении мы рассмотрим вопросы, связанные с методами различения стационарных (стационарных относительно детерминированного тренда) и нестационарных рядов в рамках ARMA моделей, а также вопросы построения моделей связи между временными рядами. 5.1. Нестационарные ARMA модели Начнем рассмотрение с наиболее простой модели – процесса AR(1) X t = a 1 X t–1 + ε t Мы уже знаем, что такой процесс является стационарным при выполнении условия – 1< a 1 < 1. А как проявляется нестационарность ряда X t при нарушении этого условия? Приведем смоделированные реализации такого ряда при a 1 = 0.5, a 1 = 0.7, a 1 = 0.9, a 1 = 1, a 1 = 1.05, a 1 = 1.1. -4 -2 0 2 4 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 a1= 0.5 -4 -2 0 2 4 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 a1= 0.7 -6 -4 -2 0 2 4 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 a1= 0.9 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 a1= 1 Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm 7 -20 -15 -10 -5 0 5 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 a1= 1 -40 -30 -20 -10 0 10 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 a1= 1.05 -300 -250 -200 -150 -100 -50 0 50 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 a1= 1.1 Во всех случаях в качестве начального значения X 1 взято X 1 = 0 и использовалась одна и та же последовательность значений ε 1 , … , T ε , имитирующая гауссовский белый шум с дисперсией, равной единице: -3 -2 -1 0 1 2 3 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 NOISE Однако поведение смоделированных рядов оказалось качественно различным. Полезно проследить, как изменяется характер траектории ряда c возрастанием значений коэффициента a 1 от a 1 = 0.5 до a 1 = 1.1. Заметим при этом, что в порождающих моделях математические ожидания X t равны нулю. Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm 8 Модель Кол-во пересечений нулевого уровня Среднее значение Noise (белый шум) 25 – 0.046 AR(1) a 1 = 0.5 14 – 0.097 AR(1) a 1 = 0.7 8 – 0.191 AR(1) a 1 = 0.9 8 – 0.649 AR(1) a 1 = 1.0 1 – 3.582 AR(1) a 1 = 1.05 1 – 13.511 AR(1) a 1 = 1.1 1 – 59.621 При возрастании значения a 1 от a 1 = 0 (белый шум) до a 1 = 1 количество пересечений нулевого уровня уменьшается, все более длинными становятся периоды, в течение которых значения ряда находятся по одну сторону от нулевого уровня. Расширенный график ряда при a 1 = 1, продленный до 500 наблюдений, иллюстрирует характерное свойство реализаций процесса X t = X t–1 + ε t , состоящее в том, что такой процесс, начавшись в момент t = 1 со значения X t = x 1 (в данном случае x 1 = 0), в дальнейшем очень редко пересекает уровень x 1 (“возвращается к уровню x 1 ”) и, находясь в течение длительного времени по одну сторону от этого уровня (выше или ниже), может удаляться от этого уровня на значительные расстояния. Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm 9 “Повернутая вертикально”, траектория ряда напоминает траекторию движения сильно нетрезвого человека, пытающегося продвигаться вперед по прямой, но не имеющего возможности успешно выдерживать нужное направление. И это служит некоторым оправданием термина, используемого для AR(1) процесса с a 1 = 1: |