Эконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядо - Носко В.П.. Эконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядо - Но. В. П. Носко Эконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядов

• Название: В. П. Носко Эконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядов
• Анкор: Эконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядо - Носко В.П..pdf
• Дата: 29.05.2018
• Размер: 3.08 Mb.
• Имя файла: Эконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядо - Но.pdf
• Тип: Документы; #19771
• Категория: Экономика. Финансы
• страница: 17 из 30

6.5. Некоторые другие сочетания DGP и SM
Рассмотрим теперь следующий естественный вопрос: что будет, если мы оцениваем
SM: x
t
= α + a
1
x
t–1
+ ε
t
, а процесс порождения данных
DGP: x
t
= α + x
t–1
+ ε
t
, α ≠ 0 (случайное блуждание со сносом).
В этом случае при больших t возникающий в DGP детерминированный тренд
“забивает” стохастическую составляющую
∑
=
t
i
i
1
ε , иповедение переменной x
t–1 в SM похоже “в целом” на поведение детерминированной переменной α(t – 1) . Как результат – распределения оценок для α и a
1
оказываются асимптотически нормальными; но тогда, в принципе, можно было бы в качестве приближения использовать стандартную технику статистического анализа, т.е. использовать критические значения t-отношения, взятые из таблиц распределения Стьюдента.
Однако если α ≠ 0близко к нулю, то при конечных T распределение t-отношения ближе к распределению, указанному Фуллером для случая α = 0, чем к нормальному распределению.
Пример
Для смоделированной реализации WALK_2 случайного блуждания со сносом 0.2 оценивание статистической модели SM: x
t
= α + a
1
x
t–1
+ ε
t
дает
Dependent Variable: WALK_2
Variable
Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 0.173019 0.160495 1.078031 0.2865
WALK_2(-1) 0.991851 0.045395 21.84958 0.0000 так что интересующая нас t-статистика принимает значение t = (0.991851 – 1)/0.045395
= – 0.180 . 5% критическое значение t-распределения Стьюдента с (n – p) = (49 – 2) =
47 степенями свободы равно – 1.68, тогда как 5% критическое значение по Фуллеру, предназначенное для случая DGP: x
t
= x
t–1
+ ε
t
(α = 0), равно – 2.92, что приводит к более редкому отвержению гипотезы единичного корня. Впрочем, гипотеза о наличии

Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
18
единичного корня здесь не отвергается при использовании любого из двух критических значений – 1.68 и – 2.92.
Оценивание смоделированной реализации ST_2 процесса x
t
= 0.2+ 0.8 x
t–1
+ ε
t
(стационарный процесс с математическим ожиданием, равным 1) при T = 50 дает
Dependent Variable: ST_2
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 0.166899 0.159693 1.045128 0.3013
ST_2(-1) 0.793680 0.091904 8.635959 0.0000
так что интересующая нас t-статистика принимает значение t = (0.793680 – 1)/0.091904
= – 2.245. Использование критического значения – 1.68 приводит к отвержению гипотезы единичного корня, тогда как использование критического значения – 2.92 не дает возможности отвергнуть эту гипотезу.
Отметим еще одно важное обстоятельство.
Опять рассмотрим смоделированную реализацию ST_1 ряда ряда x
t
=
0.8 x
t–1
+ ε
t
Если мы будем проверять для ряда x
t
гипотезу единичного корня, то, как теперь ясно, можем исходить либо из SM: x
t
= a
1
x
t–1
+ ε
t
(подозревая, что DGP – простое случайное блуждание)
либо из SM: x
t
= α + a
1
x
t–1
+ ε
t
(подозревая, что
DGP – случайное блуждание со сносом).
В первом случае 5% критическое значение t-статистики
(при T = 50) находим по таблицам Фуллера: оно равно – 1.95. Во втором случае критические значения определяются либо в соответствии с нормальной теорией, так что t
крит
= – 1.68 (в предположении, что снос – ненулевой), либо по Фуллеру – тогда t
крит
= – 2.92.
Оценивание SM в первом случае дает t = – 2.314. Гипотеза единичного корня отвергается.
Оценивание SM во втором случае дает t = – 2.298. Если исходить из предположения, что в DGP снос ненулевой, то t < t
крит
= – 1.68, и гипотеза единичного корня отвергается. Если же исходить из предположения, что в DGP сноса нет, то t > t
крит
= –
2.92, и гипотеза единичного корня не отвергается.
Такой неожиданный результат объясняется тем, что пополнение статистической модели (SM) дополнительными регрессорами требует их оценивания, что снижает, в конечном счете, мощность критерия. Поэтому желательно при проверке гипотезы единичного корня оценивать SM, выбираемую “без запаса”. Однако при отсутствии информации о том, равен нулю снос в DGP или нет, при отклонении гипотезы единичного корня следует опираться на консервативное значение, даваемое таблицами
Фуллера. Иначе мы можем ошибочно отвергать эту гипотезу более, чем в 5% случаев, если в действительности снос в DGP отсутствует.
6.6. Ряды с квадратичным трендом.
Надо рассмотреть еще и случай, когда по поведению траектории ряда можно подозревать наличие у него детерминированного квадратичного тренда. .
Здесь наличие единственного
1
единичного корня может осуществляться уже в форме трех различных DGP:
(а) x
t
= x
t–1
+ ε
t ,
1
Квадратичный тренд может возникать и в моделях с двумя единичными корнями. Эта ситуация рассматривается далее в разд. 6.8.4.

Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
19
(б) x
t
= α + x
t–1
+ ε
t
,
α ≠
0,
(в) x
t
= α + β
t
+ x
t–1
+ ε
t
,
β ≠
0 .
Последний случай гарантирует наличие квадратичного тренда; в двух других случаях возможна имитация такого тренда на не очень продолжительном периоде наблюдений.
Если строить проверку гипотезы единичного корня в рамках статистической модели
SM: x
t
= α + β
t
+ a
1
x
t–1
+ ε
t
,
β ≠
0 , то распределение t-статистики при гипотезе H
0
: a
1
= 1 будет различным, в зависимости от того, каким в действительности является DGP.
Как уже отмечалось в разд. 6.2, распределение этой t-статистики одно и то же для случаев (а) и (б), т.е. не зависит от того, α = 0 или α ≠ 0.
Если DGP имеет форму (в) с β ≠ 0 , то указанная t-статистика имеет распределение, близкое к t-распределению (точнее, асимптотически нормальное N(0, 1)). Для конечных T можно обратиться к таблицам [Kwiatkowski, Schmidt (1990)].
Пример
Рассмотрим смоделированную реализацию WALK_3 случайного блуждания вокруг квадратичного тренда:
DGP: x
t
= 0.2+ 0.1
t
+
x
t–1
+ ε
t
В качестве статистической модели берем SM: x
t
= α + β
t
+ a
1
x
t–1
+ ε
t
; ее оценивание дает значение
aˆ
=
0.989 и t = – 0.775 . Использование t-распределения Стьюдента приводит к t
крит
= – 1.68, так что гипотеза единичного корня не отвергается.
Использование критического значения Фуллера, соответствующее DGP с β = 0 , дает
t
крит
= – 3.50, так что гипотеза единичного корня не отвергаетсятем более.
При анализе смоделированной траектории ST_4 процесса
DGP: x
t
= 0.12+ 0.13
t
+0.01
t
2
+
0.8
x
t–1
+ ε
t
, стационарного относительно того же самого квадратичного тренда, получаем
aˆ
=
0.990 и t = – 0.577 . Гипотеза единичного корня не отвергается как при использовании распределения Стьюдента, так и при использовании таблиц Фуллера.
6.7. Многовариантная процедура проверки гипотезы единичного корня
Доладо и др.(
[Dolado, Jenkinson, Sosvilla-Rivero (1990)]) предложили многовариантную процедуру проверки гипотезы единичного корня с использованием критерия Дики –
Фуллера
,
последовательно перебирающую различные комбинации оцениваемой статистической модели (SM) и процесса порождения данных (DGP). Ниже мы объясняем суть этой процедуры, считая для простоты, что рассматриваемый ряд порождается моделью AR(1), быть может, с поправкой на линейный тренд.
На шаге 1
процедуры Доладо оценивается статистическая модель, допускающая наличие тренда, содержащая в правой части уравнения константу и трендовую составляющую:
SM:
,
,
,
2
,
1
T
t
x
t
x
t
t
t
…
=
+
+
+
=
∆
−
ε
ϕ
β
α
и при использовании таблицы критических значений предполагается, что данные порождаются моделью
DGP:
,
,
2
,
T
t
x
t
t
…
=
+
=
∆
ε
α
Это естественная пара: реализация с видимым трендом (сносом). Критерий принадлежности ряда классу DS формулируется как критерий единичного корня (UR –
Unit Root) в авторегрессионном представлении ряда. Проверяемой в рамках данной

Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
20
статистической модели является гипотеза H
0
:
ϕ
= 0; альтернативная гипотеза H
A
:
ϕ
< 0. Получаемое в результате оценивания такой расширенной модели значение t- статистики критерия Дики - Фуллера сравнивается с критическим значением, соответствующим предположению, что данные порождаются моделью случайного блуждания со сносом. Это критическое значение не зависит от того, α = 0 или α ≠ 0.
Если гипотеза H
0
:
ϕ
= 0 отвергается этим критерием, то гипотеза о наличии единичного корня тем самым отвергается окончательно. Дело в том, что если H
0
:
ϕ
= 0 отвергнута при
DGP: ∆x
t
= α + ε
t
( c α = 0 или α ≠ 0), то она тем более будет отвергнута при
DGP: ∆x
t
= α + β
t
+ ε
t
,
β ≠
0, т.к. в последнем случае значение t
крит выше (используется нормальное приближение).
Шаг 2.
Если на шаге 1 гипотеза H
0
:
ϕ
= 0 не была отвергнута, то возможны две причины:
• действительно,
ϕ
= 0 ;
•
ϕ
≠
0 , но гипотеза H
0
:
ϕ
= 0 не была отвергнута из-за того, что исходили из DGP с β = 0, тогда как в действительности имел место DGP: ∆x
t
=
α
+ β
t
+ ε
t
,
β ≠
0.
В связи с последней возможностью, на шаге 2 производится проверка гипотезы
H
0
: β = 0 в рамках
SM: ∆x
t
= α + β
t
+
ϕ
x
t–1
+ ε
t
, но с
DGP: ∆x
t
= α + β
t
+ ε
t
,
β ≠
0.
Критические значения соответствующей t-статистики (τ
βτ
– в обозначениях Дики –
Фуллера) указаны в статье [Dickey, Fuller (1981)]. В следующей таблице приведены 5% критические значения для ‌ t ‌ в случае двухстороннего критерия и для t в случае одностороннего критерия.
n
Двухсторонн ий критерий
Односторонн ий критерий
(против β >
0)
2
5
3.25 2.85
5
0
3.18 2.81
1
0
0
3.14 2.79
2
5
3.12 2.79

Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
21
0
5
0
0
3.11 2.78
∞
3.11 2.78
Если гипотеза H
0
: β = 0 здесь не отвергнута, то это означает для нас, что на первом шаге гипотеза
ϕ
= 0 не была отвергнута не из-за использования критических значений, соответствующих DGP с β = 0.
Если же гипотеза H
0
: β = 0 оказалась отвергнутой, то следует повторить проверку гипотезы
ϕ
= 0 в рамках
SM: ∆x
t
= α + β
t
+
ϕ
x
t–1
+ ε
t
, но уже опираясь на
DGP: ∆x
t
= α + β
t
+ ε
t
,
β ≠
0.
Соответствующая t-статистика имеет (при
β ≠
0) асимптотически нормальное N(0,
1) распределение. Для конечных T можно обратиться к таблицам [Kwiatkowski,
Schmidt (1990)]. И теперь уже, если гипотеза
ϕ
= 0 будет отвергнута, то отвергнута окончательно. Если же она не отвергнута, то принимаем модель
∆x
t
= α + β
t
+ ε
t
,
β ≠
0.
Шаг 3
Мы попадаем на шаг 3, не отвергнув гипотезу единичного корня в рамках статистической модели
SM: ∆x
t
= α + β
t
+
ϕ
x
t–1
+ ε
t
Возможно, что это связано с пониженной мощностью критериев из-за включения в модель лишней объясняющей переменной t .
В связи с этим, на шаге 3 мы переходим к модели
SM: ∆x
t
= α +
ϕ
x
t–1
+ ε
t
без трендовой составляющей и проверяем гипотезу
ϕ
= 0 (против
ϕ
< 0) в рамках этой
SM. Критические значения соответствующей t-статистики берем опять у Фуллера
(ситуация 2). Они получены в предположении
DGP: ∆x
t
= ε
t
И опять, если гипотеза H
0
:
ϕ
= 0 отвергается, то отвергается окончательно (по тем же причинам, что и на шаге 1).
Шаг 4
Если на шаге 3 гипотеза
ϕ
= 0 не отвергается, то выясняется причастность к этому включения в SM сноса α . С этой целью производится проверка гипотезы α = 0 в рамках статистической модели

Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
22
SM: ∆x
t
= α +
ϕ
x
t–1
+ ε
t
, но с
DGP: ∆x
t
= ε
t
Критические значения соответствующей t-статистики (τ
αµ
– в обозначениях Дики –
Фуллера) указаны в статье [Dickey, Fuller (1981)]. В следующей таблице приведены 5% критические значения для ‌ t ‌ в случае двухстороннего критерия и для t в случае одностороннего критерия.
n
Двухсторонн ий критерий
Односторонн ий критерий
(против α >
0)
2
5
2.97 2.61
5
0
2.89 2.56
1
0
0
2.86 2.54
2
5
0
2.84 2.53
5
0
0
2.83 2.52
∞
2.83 2.52
Если при этом гипотеза α = 0 не отвергается, то мы не считаем тогда, что неотвержение
ϕ
= 0 на предыдущем этапе было связано с опорой на DGP с α = 0.
Если же гипотеза α = 0 оказалась отвергнутой, то производится повторная проверка гипотезы H
0
:
ϕ
= 0 в рамках
SM: ∆x
t
= α +
ϕ
x
t–1
+ ε
t
, но с опорой на
DGP: ∆x
t
= α + ε
t
с α ≠ 0 .
В этом случае t-статистика для α = 0 опять асимптотически нормальна, и опираясь на ее значение, мы либо отвергаем гипотезу H
0
:
ϕ
= 0 окончательно либо принимаем модель
∆x
t
= α + ε
t
с α ≠ 0 . Следует только помнить о том, что при конечных T при значениях α , близких к нулю, распределение этой статистики ближе к

Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
23
распределению, указанному Фуллером для случая α = 0 , чем к нормальному распределению.
Шаг 5
Наконец, если и на шаге 4 гипотеза H
0
:
ϕ
= 0 не была отвергнута, остается последняя возможность сделать это в рамках статистической модели
SM: ∆x
t
=
ϕ
x
t–1
+ ε
t
Критические значения t-статистики для
H
0
:
ϕ
= 0 находятся по таблицам
Фуллера
(
случай 1). И теперь уже, каждое из двух возможных решений – окончательное :
H
0
:
ϕ
= 0 отвергается Единичного корня нет;
H
0
:
ϕ
= 0 не отвергается ∆x
t
= ε
t
. (Точнее, ∆x
t
= θ
1
∆x
t–1
+ …+ θ
p–1
∆x
t – p+1
+ ε
t
.)
Замечание
Построенный алгоритм отнюдь не лишен недостатков. Помимо того, что здесь не контролируется уровень значимости критерия проверки гипотезы единичного корня, возникают сложности и с интерпретацией результатов, что будет видно из последующих примеров.
Процедуру Доладо и др. можно представить схематически в виде дерева решений, приведенного ниже.
В представленной схеме модели перенумерованы следующим образом.
• Модель 1:
t
p
j
j
t
j
t
t
x
x
t
x
ε
θ
ϕ
β
α
+






∆
+
+
+
=
∆
∑
−
=
−
−
1 1
1
• Модель 2:
t
p
j
j
t
j
t
t
x
x
x
ε
θ
ϕ
α
+






∆
+
+
=
∆
∑
−
=
−
−
1 1
1
• Модель 3:
t
p
j
j
t
j
t
x
x
ε
θ
α
+






∆
+
=
∆
∑
−
=
−
1 1
Приведем теперь пример использования процедуры Доладо и др.
Пример
Обратимся к данным о совокупном годовом располагаемом доходе в США за период с
1959 по 1985 годы (в млрд долларов, в ценах 1982 г.). График этого ряда имеет вид

Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
24 800 1200 1600 2000 2400 2800 60 62 64 66 68 70 72 74 76 78 80 82 84
DPI
Принимая во внимание все изложенное ранее, здесь очевидна необходимость различения модели случайного блуждания со сносом и процесса, стационарного относительно линейного тренда. Последуем процедуре Доладо и др.