DGP: x
t
= x
t – 1
+ ε
t
, y
t
= 2 x
t
+ ν
t
, где x
1
= 0, а ε
t
и ν
t
– порождаемые независимо друг от друга последовательности независимых, одинаково распределенных случайных величин, имеющих стандартное
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
20
нормальное распределение N(0, 1). Графики полученных реализаций рядов x
t
и y
t
имеют следующий вид
-40
-30
-20
-10 0
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Y
X
Пара (x
t
, y
t
)
образует векторный процесс авторегрессии
x
t
= x
t – 1
+ ε
t
,
y
t
= 2 x
t – 1
+ η
t
, где η
t
= ν
t
+ 2ε
t
i.i.d. N(0, 5).
В форме ECM пара уравнений принимает вид
∆x
t
= ε
t
,
∆y
t
= – (y
t – 1
– 2 x
t – 1
) + η
t
= – z
t
+ η
t
, где z
t
= y
t
– 2 x
t
, или
∆x
t
= α
1
z
t – 1
+
ε
t
,
∆y
t
= α
2
z
t – 1
+
η
t
, где α
1
= 0, α
2
= – 1, так что α
1 2
+
α
2 2
> 0.
На практике, приступая к анализу статистических данных, исследователь не знает точно, какой порядок имеет VAR в DGP. Имея это в виду, выберем для оценивания в качестве статистической модели ECM в виде
∆x
t
= α
1
z
t – 1
+
γ
11
∆x
t – 1
+ δ
11
∆y
t – 1
+ v
t
,
∆y
t
= α
2
z
t – 1
+
γ
21
∆x
t – 1
+ δ
21
∆y
t – 1
+ w
t
, допуская, что данные порождаются моделью векторной авторегрессии второго порядка
(p = 2). Для анализа используем 100 наблюдений.
(I шаг) Исходим из модели y
t
= α + β x
t
+ u
t
Оцененная модель:
Dependent Variable: Y
Variable
Coefficient Std. Error t-Statistic
Prob.
C -0.006764 0.165007
-0.040992 0.9674
X
1.983373 0.020852 95.11654 0.0000
R-squared
0.989284 Durbin-Watson stat
2.217786 т.е.
y
t
= – 0.006764 + 1.983373 x
t
+
t
uˆ , так что
t
zˆ
=
t
uˆ =
y
t
+ 0.006764 – 1.983373 x
t
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
21
Допустив, что VAR имеет порядок 2, при использовании критерия Дики – Фуллера для проверки рядов y
t
и x
t
на коинтегрированность в правую часть уравнения включаем одну запаздывающую разность:
∆
t
zˆ = φ
1
ˆ
−
t
z
+
θ
1
∆
1
ˆ
−
t
z + ζ
t
. ,
Оценивая последнее уравнение получаем:
Augmented Dickey-Fuller Test Equation
Dependent Variable: D(Z)
Sample(adjusted): 3 100
Included observations: 98 after adjusting endpoints
Variable
Coefficient Std. Error t-Statistic
Prob.
Z(-1) -1.153515 0.151497
-7.614088 0.0000
D(Z(-1))
0.038156 0.100190 0.380837 0.7042
Полученное значение тестовой статистики t
φ
= – 7.614 намного ниже 5% критического уровня –3.396 (см. [Patterson (2000), таблица 8.7]). Гипотеза некоинтегрированности рассматриваемых рядов уверенно отвергается. (Ввиду статистической незначимости коэффициента при запаздывающей разности, можно было бы переоценить модель, не включая запаздывающую разность в правую часть уравнения. Это дало бы значение t
φ
= – 11.423, при котором гипотеза некоинтегрированности отвергается еще более уверенно.)
Таким образом, мы принимаем решение о коинтегрированности рядов y
t
и x
t
, и переходим к построению модели коррекции ошибок.
(Шаг II) Сначала отдельно оцениваем уравнение для ∆x
t
:
Dependent Variable: D(X)
Variable
Coefficient Std. Error t-Statistic
Prob.
C -0.028016 0.100847
-0.277810 0.7818
Z(-1)
0.250942 0.176613 1.420858 0.1587
D(X(-1))
0.639967 0.257823 2.482201 0.0148
D(Y(-1)) -0.258740 0.116654
-2.218019 0.0290
Поочередное исключение из правой части уравнения переменных со статистически незначимыми коэффициентами и наибольшим P-значением приводит к оцененной модели
Dependent Variable: D(X)
Variable
Coefficient Std. Error t-Statistic
Prob.
D(X(-1))
0.115141 0.100249 1.148554 0.2536 и, в конечном счете, к модели
∆x
t
= ν
t
, которая и была использована при порождении ряда x
t
Оценивая теперь уравнение для ∆y
t
, получаем
Dependent Variable: D(Y)
Variable
Coefficient Std. Error t-Statistic
Prob.
C -0.060101 0.211899
-0.283630 0.7773
Z(-1) -0.641060 0.371097
-1.727472 0.0874
D(X(-1))
1.313872 0.541733 2.425311 0.0172
D(Y(-1)) -0.482981 0.245111
-1.970459 0.0517
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
22
Исключая из правой части оцениваемого уравнения константу, получаем:
Dependent Variable: D(Y)
Variable
Coefficient Std. Error t-Statistic
Prob.
Z(-1) -0.638888 0.369218
-1.730381 0.0868
D(X(-1))
1.317763 0.538932 2.445138 0.0163
D(Y(-1)) -0.483722 0.243908
-1.983217 0.0502
Хотя формально здесь следовало бы начать исключение статистически незначимых переменных с
1
ˆ
−
t
z
, мы должны принять во внимание уже принятое решение о коинтегрированности рядов y
t
и x
t
. Но если эти ряды действительно коинтегрированы, то в ECM должно выполняться соотношение α
1 2
+
α
2 2
> 0. Поскольку же переменная z
t – 1 не вошла в правую часть уравнения для ∆x
t
, она должна оставаться в правой части уравнения для ∆y
t
. Если начать исключение с переменной
∆y
t – 1
, то в оцененном редуцированном уравнении
Dependent Variable: D(Y)
Variable
Coefficient Std. Error t-Statistic
Prob.
Z(-1) -1.186411 0.248876
-4.767072 0.0000
D(X(-1))
0.331411 0.210732 1.572671 0.1191 статистически незначим коэффициент при ∆x
t – 1
, что приводит нас к уравнению ∆y
t
=
α
2 1
ˆ
−
t
z
+ w
t
, оценивая которое, получаем
Dependent Variable: D(Y)
Variable
Coefficient Std. Error t-Statistic
Prob.
Z(-1) -1.273584 0.247887
-5.137760 0.0000
Проверка гипотезы H
0
: α
2
= – 1 дает:
Null Hypothesis: C(1)= -1
F-statistic 1.218077
Probability 0.272441
Chi-square 1.218077
Probability 0.269738
Поскольку эта гипотеза не отвергается, мы можем остановиться на модели ECM
∆x
t
= ε
t
, ∆y
t
= –
1
ˆ
−
t
z
+ w
t
, где
1
ˆ
−
t
z
= y
t – 1
+ 0.006764 – 1.983373 x
t – 1
Подстановка последнего выражения для
1
ˆ
−
t
z в уравнение для ∆y
t
приводит к соотношению
y
t
= – 0.0068 + 1.983 x
t – 1
+ w
t
, которое близко к соотношению
y
t
= 2 x
t – 1
+ η
t
, соответствующему использованному DGP.
Заметим, наконец, что последовательность w
t
= ∆y
t
+
1
ˆ
−
t
z
идентифицируется по наблюдаемой ее реализации как гауссовский белый шум с оцененной дисперсией 4.62
(использованному DGP соответствует значение 5.00), а последовательность ε
t
= ∆x
t
идентифицируется как гауссовский белый шум с оцененной дисперсией 1.04
(использованному DGP соответствует значение 1.00).
Оценив ECM и остановившись на модели
∆x
t
= ε
t
, ∆y
t
= –
1
ˆ
−
t
z
+ w
t
,
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
23
мы тем самым обнаруживаем, что коррекция производится только в отношении ряда y
t
: при положительных
1
ˆ
−
t
z
, т.е. при
y
t– 1
– (– 0.0068 + 1.983 x
t – 1
) > 0, в правой части уравнения для ∆y
t
корректирующая составляющая –
1
ˆ
−
t
z
отрицательна и действует в сторону уменьшения приращения переменной y
t
. Напротив, при отрицательных
1
ˆ
−
t
z корректирующая составляющая действует в сторону увеличения приращения переменной y
t
Прошлые значения переменной x
t
через посредство
1
ˆ
−
t
z
помогают в прогнозировании значения y
t
, т.е. переменная x
t
является причиной по Гренджеру для переменной y
t
В то же время, прошлые значения переменной y
t
никак не помогают прогнозированию значения x
t
, так что y
t
не является причиной по Гренджеру для x
t
Заметим далее, что даже если в ECM Cov(v
t
, w
t
) ≠ 0, оценивание пары уравнений ЕСМ как системы не повышает эффективности оценок, поскольку в правые части обоих уравнений входят одни и те же переменные.
Расмотренный в нашем примере процесс порождения данных
DGP: x
t
= x
t – 1
+ ε
t
, y
t
= 2 x
t
+ ν
t
, является частным случаем модели, известной как
треугольная система Филлипса
. В общем случае (для двух рядов) эта система имеет вид
y
t
= β x
t
+ ν
t
,
x
t
= x
t – 1
+ ε
t
, где (ε
t
, ν
t
)
T
i.i.d. N
2
(0, Σ)
–
последовательность независимых, одинаково распределенных случайных векторов, имеющих двумерное нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей Σ
. (Такая последовательность называется
двумерным гауссовским белым шумом
.)
Если матрица Σ диагональная, так что Cov(ε
t
, ν
t
) = 0, то тогда x
t
являетсяэкзогенной переменной в первом уравнении, и никаких проблем с оцениванием коэффициента β в этом случае не возникает.
Если же Cov(ε
t
, ν
t
) ≠ 0, то тогда x
t
уже не является экзогенной переменной в первом уравнении, т.к. при этом Cov(x
t
, ν
t
) = Cov(x
t – 1
+ ε
t
, ν
t
) ≠ 0. Поэтому получаемая в первом уравнении оценка наименьших квадратов для β не имеет даже асимптотически нормального распределения.
В дальнейшем мы еще вернемся к проблеме оценивания коинтегрирующего вектора, а сейчас обратимся к вопросу о коинтеграции нескольких временных рядов.
Пусть мы имеем N временных рядов y
1t
, … , y
N t
, каждый из которых является интегрированным порядка 1. Если существует такой вектор β = (β
1
, ... , β
N
)
T
, отличный от нулевого, для которого
β
1
y
1t
+ ... + β
N
y
N t
I(0) – стационарный ряд, то говорят, что эти ряды
коинтегрированы (в узком смысле)
; такой вектор β
называется
коинтегрирующим
вектором. Если при этом
c = E(β
1
y
1t
+ ... + β
N
y
N t
), то тогда можно говорить о
долговременном положении равновесия системы
в виде
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
24
β1
y1
t + ... +
βN yN t = c .
В каждый конкретный момент времени
t существует некоторое
отклонение системы от этого положения равновесия, характеризующееся величиной
zt = β1
y1
t + ... +
βN yN t – c .
Ряд
zt ,
в силу сделанных предположений, является стационарным рядом, имеющим нулевое математическое ожидание, так что он достаточно часто пересекает нулевой уровень, т.е. система колеблется вокруг указанного выше положения равновесия.
Естественной процедурой для проверки коинтегрированности рядов
y1
t , … ,
yN t является построение регрессии одного из этих рядов на остальные
N – 1 рядов и проверка гипотезы наличия единичного корня у ряда
zt на основании исследования ряда остатков от оцененной регрессии. Иначе говоря, мы оцениваем, например, модель
y1
t =
θ1
+
θ2
y2
t + ... +
θN yN t +
ut, и проверяем гипотезу единичного корня на основании исследования ряда остатков
tuˆ
= y1
t – (
1
ˆ
θ +
2
ˆ
θ
y2
t + ... +
Nθ
ˆ
yN t), опираясь на статистику Дики – Фуллера. Критические значения можно найти, следуя
[MacKinnon (1991)] (см. также [Patterson (2000), таблица A8.1]).
Если
гипотеза единичного корня отвергается, то вектор
β
ˆ
= (1, –
2
ˆ
θ , … , –
Nθ
ˆ ) берется в качестве оцененного коинтегрирующего вектора. При этом отклонение системы от положения равновесия оценивается величиной
tzˆ
= tuˆ
.Поясним теперь, что мы имели в виду, оговаривая, что приведенные выше определения коинтеграции соответствуют коинтеграции в узком смысле.
В приведенных определениях ненулевой вектор
β = (
β1
, ... ,
βN)
Tопределялся как коинтегрирующий вектор, если
β1
y1
t + ... +
βN yN t – стационарный ряд. Это означает, что если ряды
y1
t , … ,
yN t (по крайней мере, некоторые из них) содержат, наряду со стохастическим, еще и детерминированные тренды, то тогда коинтегрирующий вектор должен аннулировать оба вида трендов одновременно. И в связи с этим, коинтеграцию в узком смысле называют еще
детерминистской коинтеграцией7.3. Проверка нескольких рядов на коинтегрированность. Критерии Дики – Фуллера Здесь надо различать несколько случаев.
(1) Коинтегрирующий вектор определяется экономической теориейТогда надо просто проверить на наличие единичного корня соответствующую линейную комбинацию
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
25
β1
y1
t + ... +
βN yN t . При этом используются те же критические значения, которые рассчитаны на применение к отдельно взятому ряду; эти значения не зависят от количества задействованных рядов
N . Пусть возможный коинтегрирующий вектор не определен заранее Тогда отдельно рассматриваются следующие ситуации.
(2) Ряды y1t , … , yN t не имеют детерминированного тренда (точнее,
E 
Скачать 3.08 Mb.