Эконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядо - Носко В.П.. Эконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядо - Но. В. П. Носко Эконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядов

• Название: В. П. Носко Эконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядов
• Анкор: Эконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядо - Носко В.П..pdf
• Дата: 29.05.2018
• Размер: 3.08 Mb.
• Имя файла: Эконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядо - Но.pdf
• Тип: Документы; #19771
• Категория: Экономика. Финансы
• страница: 26 из 30

Глава 8. Процедура Йохансена
8.1. Оценивание ранга коинтеграции
Пусть I(1) ряды y
1t
, … , y
N t
в совокупности образуют векторный ряд
y
t
= (y
1t
, … , y
N t
)
T
,
следующий модели векторной авторегрессииVAR(p)
A(L) y
t
= µ + ε
t
, где
A(L) = A
0
– A
1
L – … – A
p
L
p
,
A
0
, A
1
, … , A
p
– матрицы размера (N ×N),
A
0
= I
N
(единичная матрица),
т.е.
y
t
= µ + A
1
y
t – 1
+ … + A
p
y
t – p
+ ε
t
.
Путем алгебраических преобразований эту модель можно представить также в виде
∆ y
t
= µ + ζ
0
y
t – 1
+ ζ
1
∆y
t – 1
… + ζ
p – 1
∆y
t – p + 1
+ ε
t
, где
ζ
0
= A
1
+ … + A
p
– I
N
,
ζ
k
= – (A
k+1
+ … + A
p
) , k = 1, 2, … , p – 1.
Заметим, что
ζ
0
= A
1
+ … + A
p
– I
N
= – A(1), так что rank ζ
0
= rank A(1).
Мы уже отмечали выше (разд.7.4), что если ряды y
1t
, … , y
N t
коинтегрированы, то матрица A(1) имеет пониженный ранг (rank A(1) < N). Этот же пониженный ранг будет иметь в этом случае и матрица ζ
0
. В общем случае, ранг матрицы ζ
0 может принимать значения r = rank ζ
0
= 0, 1, … , N .
•
Значения r = 1,… , N – 1 соответствуют коинтегрированной VAR
(ряды y
1t
, … , y
N t
I(1)
коинтегрированы).
•
Если r = 0 , то ряды y
1t
, … , y
N t
не коинтегрированы.
•
Если r = N , то тогда любой N-мерный вектор является коинтегрирующим, так что коинтегрирующими будут, например, векторы (1, 0,
… , 0)
T
, (0, 1, … , 0)
T
, … , (0, 0, … , 1)
T
. Но это означает, что все ряды y
1t
, … , y
N
t
являются стационарными.
Ранг матрицы ζ
0
, r = rank ζ
0
, обычно называют рангом коинтеграции
рассматриваемой системы рядов y
1t
, … , y
N t
, вне зависимости от того, имеет ли место действительная коинтеграция этих рядов.
Выяснение ранга коинтеграции является ключевым моментом в построении ECM –
модели коррекции ошибок – по наблюдаемым статистическим данным. Один из возможных путей решения этой задачи был предложен Йохансеном ([Johansen (1988)],
[Johansen (1991)], [Johansen (1992)],
[Johansen (1994)],
[Johansen, Juselius (1990)]).
Изложение этого метода требует перехода к гораздо более высокому математическому уровню. Поэтому мы, не выходя слишком далеко за принятую планку строгости и

Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
2
детальности изложения, дадим здесь только самое общее представление об этом методе.
Мы уже говорили о том, что если коинтегрированная система I(1) рядов y
1t
, … , y
N t
может быть представлена в форме VAR c rank A(1) = r , то существует соответствующее представление VAR в форме ECM. Исходя из этого, Йохансен в качестве отправной точки берет представление
1
∆ y
t
= µ + ζ
0
y
t – 1
+ ζ
1
∆y
t – 1
… + ζ
p – 1
∆y
t – p + 1
+ ε
t
с матрицей
ζ
0
= α β
T
, где α и β – (N × r)-матрицы полного ранга r . При этом столбцы β
(1)
, … , β
(r) матрицы β являются линейно независимыми коинтегрирующими векторами, а элементы матрицы α являются коэффициентами при стационарных линейных комбинациях
z
1, t – 1
= β
T
(1)
y
t – 1
, … , z
r, t – 1
= β
T
(r)
y
t – 1
(представляющих отклонения от r долговременных соотношений между рядами y
1t
,
… , y
N t
) в правых частях уравнений для ∆y
1t
, … , ∆y
N t
В процедуре Йохансена предполагается, что ε
t
- N-мерный гауссовский белый шум, так что случайный вектор ε
t
= (ε
1t
, … , ε
N t
)
T
имеет N -мерное нормальное распределение с нулевым средним и ковариационной матрицей Cov(ε
t
) = Ω , и Cov(ε
k t
, ε
j s
) = 0 при t ≠
s для всех k , j = 1, … , N .
Прежде, чем применять процедуру Йохансена, следует определиться с порядком p
векторной авторегрессии, которой следует векторный ряд. Для этой цели можно использовать стандартные t- и F-критерии (сасимптотическим N(0, 1) распределением для t-статистики асимптотическими χ
2 распределениями для qF) и, применяя их к
VAR в уровнях, порядок которой взят “с запасом”, понизить, по возможности, порядок этой “избыточной” VAR . Заметим в этой связи, что процедура Йохансена достаточно чувствительна к выбору порядка VAR , в рамках которой эта процедура реализуется.
Сама процедура начинается с того, что по имеющимся наблюдениям значений y
1t
, … ,
y
N t
, t = 1, … , T , вычисляются максимумы логарифмических функций правдоподобия
L(Ω , µ , ζ
0
, ζ
1
,
… , ζ
p – 1
)для неизвестных параметров Ω , µ , ζ
0
, ζ
1
,
… , ζ
p – 1
при различных предположениях о ранге коинтеграции r . С точностью до слагаемых, одинаковых при различных r , эти максимумы равны
( )
( )
,
,
,
1
,
ˆ
1
ln
2
)
(
1
max
N
r
T
r
L
r
i
i
K
=
−
−
=
∑
=
λ
где
N
λ
λ
ˆ
,
,
ˆ
1
K
– некоторые величины, вычисляемые на основании одних только статистических данных без всяких предположений о ранге коинтеграции, 1 >
1
ˆ
λ > … >
N
λ
ˆ
> 0
. Сравнивая значения
L
max
(
r
) , полученные при различных
r
, можно отдать в итоге предпочтение той или иной гипотезе об истинном ранге коинтеграции. Для формализации соответствующего решения в виде некоторой статистической процедуры можно использовать известный из математической статистики критерий отношения правдоподобий для различения двух гипотез.
1
Мы ограничиваемся в этой книге системами I(1) рядов. Йохансен рассматривал также и системы, включающие ряды типа I(2), см. например, [Johansen (1994a)], [Johansen (1994b)], [Johansen (1995b)].

Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
3
Пусть в качестве исходной (“нулевой”) выступает гипотеза H
0
:
r = r
*
, а в качестве альтернативной – гипотеза H
A
:
r = r
*
+1. Для различения этих гипотез сравниваются значения
( )
( )
ˆ
1
ln
2
)
(
*
1
max
∑
=
∗
−
−
=
r
i
i
T
r
L
λ
и
( )
( )
ˆ
1
ln
2
)
1
(
1
*
1
max
∑
+
=
∗
−
−
=
+
r
i
i
T
r
L
λ
Критерий основывается на статистике
λ
max
(
r
*
) = 2 (
L
max
(
r
*
+1) –
L
max
(
r
*
)) = – (
T/
2) ln (1 –
1
*
ˆ
+
r
λ
).
Асимптотическое (при
T → ∞
) распределение этой статистики при гипотезе H
0
зависит от
r
*
и
N
; для него рассчитаны соответствующие таблицы (см., например, [Patterson
(2000), таблицы 14.3 – 14.7], [Enders (1995), таблица
B
] или [Hamilton (1994), таблица
В.11]).
Если гипотеза H
0
:
r = r
*
верна, то значения
1
*
ˆ
+
r
λ
, … ,
N
λ
ˆ
близки к нулю. Если верна альтернативная гипотеза, то значение
1
*
ˆ
+
r
λ
отделено от нуля, и значения статистики
λ
max
(
r
*
) смещаются в сторону больших положительных значений. Поэтому гипотезу H
0
:
r = r
*
следует отвергать в пользу гипотезы H
A
:
r = r
*
+1 при больших положительных значениях статистики
λ
max
(
r
*
), превышающих соответствующий критический уровень.
Пусть теперь в качестве исходной (“нулевой”) опять выступает гипотеза H
0
:
r = r
*
, но в качестве альтернативной берется гипотеза H
A
:
r
>
r
*
. Для различения этих гипотез сравниваются значения
( )
( )
ˆ
1
ln
2
)
(
*
1
max
∑
=
∗
−
−
=
r
i
i
T
r
L
λ
и
( )
( )
ˆ
1
ln
2
)
(
1
max
∑
=
−
−
=
N
i
i
T
N
L
λ
Критерий основывается на статистике
λ
trace
(
r
*
) = 2 (
L
max
(
N
) –
L
max
(
r
*
)) =
( )
( )
ˆ
1
ln
2 1
*
∑
+
=
−
−
N
r
i
i
T
λ
Асимптотическое (при
T → ∞
) распределение этой статистики при гипотезе H
0
зависит от
r
*
и
N
; для него также рассчитаны соответствующие таблицы (см., например,
[Patterson (2000), таблицы 14.3 – 14.7], [Enders (1995), таблица
B
] или [Hamilton (1994), таблица В.10]).
Если гипотеза H
0
:
r = r
*
верна, то значения
1
*
ˆ
+
r
λ
, … ,
N
λ
ˆ
близки к нулю. Если верна альтернативная гипотеза, то эти значения отделены от нуля, и значения статистики
λ
trace
(
r
*
) смещаются в сторону больших положительных значений. Поэтому гипотезу H
0
:
r = r
*
следует отвергать в пользу гипотезы H
A
:
r >
1 при больших положительных значениях статистики
λ
trace
(
r
*
), превышающих соответствующий критический уровень.
Проблема, однако, в том, что заранее обычно не известно, на какое значение
r
следует рассчитывать. В таком случае возникает целое множество альтернативных пар гипотез, при проверке которых можно получить несогласующиеся результаты. Йохансен предложил последовательную процедуру проверки гипотез, с помощью которой можно получить состоятельную оценку истинного ранга коинтеграции.

Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
4
Именно, зададимся некоторым уровнем значимости α , скажем, 0.05, и начнем с проверки гипотезы H
0
:
r =
0 против альтернативы H
A
:
r
> 0. Если эта гипотеза не отвергается, то полагаем
0
ˆ
=
r
. В противном случае проверяем гипотезу H
0
:
r =
1 против альтернативы H
A
:
r
> 1. Если гипотеза H
0
:
r =
1 не отвергается, то полагаем
rˆ
= 1; в противном случае проверяем гипотезу H
0
:
r =
2 против H
A
:
r
> 2 и т.д.
Полученная оценка
rˆ
состоятельна в следующем смысле. Если в действительности
r
= r
0
, то при
T → ∞
P{
rˆ
=
k
}
→
0 ,
k =
0, 1, … ,
r
0
–1,
P{
rˆ
=
r
0
}
→
1 – α .
Таким образом, оценить ранг коинтеграции можно, по крайней мере, теоретически.
Однако при обсуждении процедуры Йохансена мы не упомянули еще об одной серьезной проблеме, стоящей на пути к оцениванию истинного ранга коинтеграции.
Дело в том, что критические значения статистик критериев отношения правдоподобий зависят не только от
r
*
и
N
. Они зависят также от того, имеют ли ряды детерминированные тренды, включается ли константа и/или тренд в коинтеграционное соотношение (
коинтеграционное уравнение, CE –
cointegrating equation
). В связи с этим, при каждом значении
r
ранга коинтеграции можно рассмотреть следующие 5 ситуаций (именно эти ситуации учитываются, например, в пакете EVIEWS).
•
H
2
(
r
): в данных нет детерминированных трендов; в CE не включаются ни константа ни тренд.
•
H
1
*
(
r
): в данных нет детерминированных трендов; в CE включается константа, но не включается тренд.
•
H
1
(
r
): в данных есть детерминированный линейный тренд; в CE включается константа, но не включается тренд.
•
H
*
(
r
): в данных есть детерминированный линейный тренд; в CE включаются константа и линейный тренд.
•
H(
r
): в данных есть детерминированный квадратичный тренд; в CE включаются константа и линейный тренд.
При фиксированном ранге
r
перечисленные 5 ситуаций образуют цепочку вложенных гипотез:
H
2
(
r
)
⊂
H
1
*
(
r
)
⊂
H
1
(
r
)
⊂
H
*
(
r
)
⊂
H(
r
) .
Это дает возможность, опять используя критерий отношения правдоподобий, проверять выполнение гипотезы, стоящей левее в этой цепочке, в рамках гипотезы, расположенной непосредственно справа. Во всех случаях асимптотическое распределение статистики критерия является распределением хи-квадрат. Что касается степеней свободы у этого асимптотического распределения, то оно равно
r –
для пар
H
2
(
r
)
⊂
H
1
*
(
r
) и H
1
(
r
)
⊂
H
*
(
r
),
(
N – r
)
–
для пар
H
1
*
(
r
)
⊂
H
1
(
r
) и H
*
(
r
)
⊂
H(
r
) .
Заметим, что для каждой из 5 ситуаций, в свою очередь, образуются цепочки вложенных гипотез:
H(0)
⊂
…
⊂
H(
r
)
⊂
…
⊂
H(
N
)
H
*
(0)
⊂
…
⊂
H
*
(
r
)
⊂
…
⊂
H
*
(
N
)
H
1
(0)
⊂
…
⊂
H
1
(
r
)
⊂
…
⊂
H
1
(
N
)
H
1
*
(0)
⊂
…
⊂
H
1
*
(
r
)
⊂
…
⊂
H
1
*
(
N
)
H
2
(0)
⊂
…
⊂
H
2
(
r
)
⊂
…
⊂
H
2
(
N
) .

Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
5
Критические значения статистик
λ
max и
λ
trace
, используемые при решении вопроса о ранге коинтеграции, различны для этих 5 цепочек, и это осложняет задачу оценивания ранга коинтеграции, поскольку приходится предварительно выбирать цепочку, в рамках которой будет производиться оценивание.
Некоторым подспорьем в этом отношении является сводка значений информационных критериев Акаике (AIC) и Шварца для всех упомянутых 5(
N
+1)
вариантов. Как и обычно, наилучшая модель выбирается по минимуму значений критерия Акаике или критерия Шварца. Впрочем, практика показывает, что более доверять в этом отношении стоит критерию Шварца. При анализе смоделированных данных выбор по критерию Акаике часто приводит к результатам, совершенно не соответствующим процессу порождения данных.
Для лучшего уяснения возникающих вариантов, рассмотрим 5 ситуаций, перечисленных выше, на простейшем примере треугольной системы Филлипса для двух I(1) рядов.
DGP
1
: y
t
= β x
t
+ ε
t
,
x
t
= x
t – 1
+ ν
t
.
На основании этих двух уравнений находим:
y
t
–
y
t – 1
= –
y
t – 1
+
β
(
x
t – 1
+
ν
t
) +
ε
t
=
– (
y
t – 1
–
β x
t – 1
) +
u
t
, где
u
t
= β ν
t
+
ε
t
, так что получаем ECM в виде