Эконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядо - Носко В.П.. Эконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядо - Но. В. П. Носко Эконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядов

• Название: В. П. Носко Эконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядов
• Анкор: Эконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядо - Носко В.П..pdf
• Дата: 29.05.2018
• Размер: 3.08 Mb.
• Имя файла: Эконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядо - Но.pdf
• Тип: Документы; #19771
• Категория: Экономика. Финансы
• страница: 24 из 30

(∆y
k t
) =
0
).
(2a)
В коинтеграционное соотношение (SM) константа не включается
В этом случае мы оцениваем
SM: y
1t
= γ
2
y
2t
+ ... + γ
N
y
N t
+ u
t
, получаем ряд остатков
(
)
t
N
N
t
t
t
y
y
y
u
2 2
1
ˆ
ˆ
ˆ
γ
γ
+
+
−
=
K
, оцениваем модель регрессии
t
K
t
K
t
t
t
u
u
u
u
ε
ζ
ζ
ϕ
+
∆
+
+
∆
+
=
∆
−
−
−
1 1
1
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
K
с достаточным количеством запаздывающих разностей и проверяем гипотезу H
0
: φ
= 0
против альтернативы H
0
: φ < 0
На этот раз критические значения для t-статистики t
φ
зависят от количества задействованных рядов N . При большом количестве наблюдений можно использовать

Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
26
критические значения, приведенные в [Hamilton (1994), Table B.9, Case 1]. Однако на практике в правую часть оцениваемого уравнения константа обычно включается.
(2b) В коинтеграционное соотношение (SM) константа включается
В этом случае мы оцениваем
SM: y
1t
= α + γ
2
y
2t
+ ... + γ
N
y
N t
+ u
t
, опять получаем ряд остатков – теперь это будет ряд
(
)
t
N
N
t
t
t
y
y
y
u
2 2
1
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
γ
γ
α
+
+
+
−
=
K
, оцениваем модель регрессии
t
K
t
K
t
t
t
u
u
u
u
ε
ζ
ζ
ϕ
+
∆
+
+
∆
+
=
∆
−
−
−
1 1
1
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
K
с достаточным количеством запаздывающих разностей и проверяем гипотезу H
0
: φ
= 0
против альтернативы H
0
: φ < 0
Критические значения в этом случае отличаются от случая (2a).
При большом количестве наблюдений можно использовать критические значения, приведенные в
[Hamilton (1994), Table B.9, Case 2]. При небольших T критические значения вычисляются по формуле, приведенной в [MacKinnon (1991), таблица 1 (вариант “no trend”)] и воспроизведенной в [Patterson (2000)].
(3) Хотя бы один из рядов y
2t
, … , y
N t
имеет линейный тренд
, так что
E(∆y
k t
)
≠ 0 хотя бы для одного из регрессоров.
(3a) В коинтеграционное соотношение включается константа
В этом случае оценивается
SM: y
1t
= α + γ
2
y
2t
+ ... + γ
N
y
N t
+ u
t

Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
27
Далее действуем опять как в (2b), только критические значения другие.
При большом количестве наблюдений можно использовать критические значения, приведенные в [Hamilton (1994), Table B.9, Case 3]. При небольших T критические значения вычисляются по формуле, приведенной в работе
[MacKinnon (1991), Table
1 (вариант “with trend”)] и воспроизведенной в [Patterson (2000)].
(3b) В коинтеграционное соотношение включается линейный тренд
В этом случае оценивается
SM: y
1t
= α + δt + γ
2
y
2t
+ ... + γ
N
y
N t
+ u
t
Действуя так же, как и ранее, используем те же таблицы, что и в (3a), но только не для
N , а для N + 1 переменных.
Включение тренда в коинтеграционное соотношение приводит к уменьшению мощности критерия из-за необходимости оценивания “мешающего” параметра δ .
Однако такой подход вполне уместен в тех случаях, когда нет полной уверенности в том, имеется ли ненулевой тренд хотя бы у одного из рядов y
1t,
y
2t
, … , y
N t
Пример
Смоделируем реализации четырех рядов y
1t
, y
2t
, y
3t
, y
4t
, следуя процессу порождения данных
DGP: y
1t
= y
2, t
+ y
3, t
+ y
4, t
+ ε
1t
,
y
2t
= y
2, t – 1
+ ε
2t
,
y
3t
= y
3, t – 1
+ ε
3t
,
y
4t
= y
4, t – 1
+ ε
4t
,
где ε
1t
, ε
2t
, ε
3t
, ε
4t
– независимые друг от другапроцессы гауссовского белого шума с дисперсиями, равными 1 для ε
2t
, ε
3t
, ε
4t
и 2 для ε
1t
Графики полученных реализаций для T = 200 приведены ниже.

Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
28
-60
-40
-20 0
20 40 60 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Y1
Y2
Y3
Y4
Не зная точно процесс порождения данных, мы должны были бы начать с исследования отдельных рядов. У всех четырех рядов не обнаруживается детерминированного тренда. Проверка по критерию Дики – Фуллера дает значения t-статистик, равные –
2.18, – 1.78, – 0.57, –1.70, соответственно. Все 4 ряда признаются интегрированными.
Продифференцированные ряды идентифицируются как гауссовские белые шумы, так что ряды y
1t
, y
2t
, y
3t
, y
4t
идентифицируются как AR(1) ряды с единичным корнем, т.е. как интегрированные ряды порядка 1.
Теперь можно приступить к проверке этих четырех рядов на коинтегрированность.
(1) Если “экономическая теория” предполагает теоретическое долговременное соотношение между рассматриваемыми рядами в форме
y
1t
= y
2, t
+ y
3, t
+ y
4, t
, то мы просто проверяем на интегрированность ряд
y
1t
– y
2, t
– y
3, t
– y
4, t
График этого ряда
-6
-4
-2 0
2 4
6 8
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
COINT
вполне похож на график стационарного ряда, что подтверждается проверкой по критерию Дики – Фуллера: вычисленное значение t-статистики критерия равно –
15.07. Гипотеза некоинтегрированности рядов отвергается.
Представим теперь, что теория не предлагает нам готового коинтегрирующего вектора.
(2a) Оценивание статистической модели без включения в нее константы дает:
Dependent Variable: Y1
Method: Least Squares
Variable
Coefficient Std. Error t-Statistic
Prob.

Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
29
Y2 0.996084 0.009973 99.88161 0.0000
Y3 0.992550 0.009578 103.6296 0.0000
Y4 1.002305 0.012393 80.87922 0.0000
При оценивании тестового уравнения Дики – Фуллера для ряда остатков получаем
Augmented Dickey-Fuller Test Equation
Dependent Variable: D(RESID_2A)
Variable
Coefficient Std. Error t-Statistic
Prob.
RESID_2A(-1) -1.075552 0.070892
-15.17178 0.0000
Вычисленное значение t-статистики критерия равно – 15.17, что намного ниже 5% критического значения – 3.74 ([Hamilton (1994), Table B.9, Case 1]). Гипотеза некоинтегрированности отвергается.
(2b) Оценивание статистической модели с включением константы:
Dependent Variable: Y1
Variable
Coefficient Std. Error t-Statistic
Prob.
C
0.332183 0.373542 0.889279 0.3749
Y2 1.002583 0.012369 81.05843 0.0000
Y3 0.987369 0.011215 88.04048 0.0000
Y4 0.999022 0.012937 77.22129 0.0000
При оценивании тестового уравнения Дики – Фуллера для ряда остатков получаем
Augmented Dickey-Fuller Test Equation
Dependent Variable: D(RESID_2B)
Variable
Coefficient Std. Error t-Statistic
Prob.
RESID_2B(-1) -1.079049 0.070861
-15.22764 0.0000
Вычисленное значение t-статистики – 15.23 опять намного ниже 5% критического значения, которое здесь равно – 4.11 ([Hamilton (1994), Table B.9, Case 2]). Гипотеза некоинтегрированности отвергается.
(3) Модифицируем теперь ряд y
1t
, переходя к ряду y*
1t
=
y
1t
+ 0.75t , график которого в сравнении с графиком ряда y
1t
имеет следующий вид:
-50 0
50 100 150 200 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Y1
Y1_STAR
Картина изменения всех 4 рядов принимает вид

Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
30
-50 0
50 100 150 200 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Y1_STAR
Y2
Y3
Y4
(3a) Оцениваем статистическую модель с константой в правой части:
Dependent Variable: Y1_STAR
Variable
Coefficient Std. Error t-Statistic
Prob.
C
11.49053 2.704802 4.248195 0.0000
Y2 -1.333762 0.089561
-14.89224 0.0000
Y3 2.856952 0.081207 35.18115 0.0000
Y4 0.072630 0.093677 0.775323 0.4391
В этом случае график остатков имеет несколько отличный вид:
-15
-10
-5 0
5 10 15 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
RESID_3A
Проверка по Дики – Фуллеру дает следующие результаты:
При оценивании тестового уравнения Дики – Фуллера для ряда остатков получаем
Augmented Dickey-Fuller Test Equation
Variable
Coefficient Std. Error t-Statistic
Prob.
RESID_3A(-1) -0.119805 0.033630
-3.562431 0.0005
Вычисленное значение t-статистики – 3.56 выше 5% критического значения, которое здесь равно – 4.16 ([Hamilton (1994), Table B.9, Case 3]). Гипотеза некоинтегрированности не отвергается.
(3b) Включаем в правую часть тренд:
Dependent Variable: Y1_STAR
Variable
Coefficient Std. Error t-Statistic
Prob.
C
0.304068 0.390739 0.778187 0.4374

Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
31
@TREND
0.751890 0.007507 100.1621 0.0000
Y2 1.008470 0.026468 38.10166 0.0000
Y3 0.982658 0.021830 45.01453 0.0000
Y4 1.001356 0.015942 62.81247 0.0000
График остатков:
-8
-6
-4
-2 0
2 4
6 8
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
RESID_3B
Последний график похож на график стационарного ряда, что подтверждается проверкой по Дики – Фуллеру:
Augmented Dickey-Fuller Test Equation
Dependent Variable: D(RESID_3B)
Variable
Coefficient Std. Error t-Statistic
Prob.
RESID_3B(-1) -1.079492 0.070859
-15.23448 0.0000
Вычисленное значение t-статистики – 15.234 намного ниже 5% критического значения, которое здесь равно –4.49 ([Hamilton (1994), Table B.9, Case 3]). Гипотеза некоинтегрированности отвергается.
Последние два результата весьма важны для уточнения того, что понимается под коинтеграцией в настоящее время.
Фактически, мы обнаружили следующее. Ряды y
1t
, y
2t
, y
3t
, y
4t
коинтегрированы в том смысле, который был определен выше (коинтегрированы в узком смысле). Именно в таком виде ввели в обиход понятие коинтеграции Энгл и Гренджер. Ряды y*
1t
, y
2t
, y
3t
,
y
4t
не являются коинтегрированными в узком смысле. В то же время, включение в правую часть статистической модели трендовой составляющей приводит к стационарным остаткам.
Вспомним в связи с этим, что при включении тренда в правую часть линейного регрессионного уравнения коэффициенты при объясняющих переменных интерпретируются как коэффициенты линейной связи между переменными, очищенными от детерминированного тренда. Последние же действительно были коинтегрированы по построению.
Наблюдаемая ситуация известна теперь под названием
“стохастическая
коинтеграция”
. Оно указывает на наличие коинтеграционной связи между стохастическими трендами, входящими в состав рассматриваемых рядов, и не требует согласованности детерминированных трендовых составляющих ( если таковые имеются). В этом случае коинтегрирующий вектор аннулирует стохастический тренд, но не обязан одновременно аннулировать и детерминированный тренд. Другими словами, существует линейная комбинация рассматриваемых рядов, которая образует ряд, стационарный относительно детерминированного тренда, но не обязательно стационарный.
В противоположность стохастической коинтеграции, при наличии коинтеграции в узком смысле коинтегрирующий вектор аннулирует и стохастический и

Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
32
детерминированный тренды, т.е. существует линейная комбинация рассматриваемых рядов, образующая стационарный ряд. В связи с этим, о коинтеграции в узком смысле говорят также как о
детерминистской коинтеграции
Замечание
Здесь самое время сделать одно замечание. Мы говорили в разд. 7.1
о том, что при отсутствии коинтеграции между двумя интегрированными рядами непосредственное оценивание модели y
t
= α +β x
t
+ u
t
бессмысленно, т.к. получаемая оценка
T
β
ˆ
не является оценкой какого-либо теоретического параметра связи между переменными x
t
и y
t
. Если оба ряда имеют помимо стохастического еще и детерминированный тренд, то оценка
T
β
ˆ
все же не является случайной величиной, а сходится к некоторой постоянной. Соответствующее исследование, проведенное в работе [Entorf (1992)], показало следующее.
Пусть
DGP: x
t
= µ
x
+ x
t – 1
+ ε
1t
,
y
t
= µ
y
+ y
t – 1
+ ε
2t
, где ε
1t
и ε
2t
– некоррелированные между собой процессы белого шума, причем µ
x
,
µ
y
≠ 0. Тогда при оценивании статистической модели
SM: y
t
= α +β x
t
+ u
t
оценка
T
α
ˆ для α , вычисляемая по T наблюдениям, при T → ∞ расходится , а оценка
T
β
ˆ
для β сходится по вероятности при T → ∞ к отношению µ
y
/ µ
x
Если при тех же условиях оценивать статистическую модель
SM: y
t
= α +β x
t
+ γ t + u
t
, то тогда (при T → ∞)
T
γ
ˆ сходится по вероятности к µ
y
, а
T
β
ˆ
сходится по распределению к некоторой случайной величине, как и в случае ложной регрессии для случайных блужданий без сносов.
7.4. Оценивание коинтегрированных систем временных рядов
Пусть мы имеем N временных рядов y
1t
, … , y
N t
, каждый из которых является интегрированным порядка 1. Если существует такой вектор β = (β
1
, ... , β
N
)
T
, отличный от нулевого, для которого
β
1
y
1t
+ ... + β
N
y
N t

I(0) – стационарный ряд, то ряды
коинтегрированы (в узком смысле)
; такой вектор β называется
коинтегрирующим
вектором. Если при этом
c = E(β
1
y
1t
+ ... + β
N
y
N t
), то тогда можно говорить о
долговременном положении равновесия системы
в виде
β
1
y
1t
+ ... + β
N
y
N t
= c .
В каждый конкретный момент времени t существует некоторое
отклонение
системы от этого положения равновесия, характеризующееся величиной
z
t
= β
1
y
1t
+ ... + β
N
y
N t
– c .

Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
33
Ряд z
t
,
в силу сделанных предположений, является стационарным рядом, имеющим нулевое математическое ожидание, так что он достаточно часто пересекает нулевой уровень, т.е. система колеблется вокруг указанного выше положения равновесия.
Положение, однако, осложняется тем, что у коинтегрированной системы I(1) рядов может быть несколько линейно независимых коинтегрирующих векторов. Если максимальное количество линейно независимых коинтегрирующих векторов для заданных рядов y
1t
, … , y
N t
равно r , то это число r называется