Эконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядо - Носко В.П.. Эконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядо - Но. В. П. Носко Эконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядов

• Название: В. П. Носко Эконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядов
• Анкор: Эконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядо - Носко В.П..pdf
• Дата: 29.05.2018
• Размер: 3.08 Mb.
• Имя файла: Эконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядо - Но.pdf
• Тип: Документы; #19771
• Категория: Экономика. Финансы
• страница: 28 из 30

DGP
4
: y
t
= 5 + 0.2 t + 2 x
t
+ ε
t
,
x
t
= 0.2 + x
t – 1
+ ν
t
.
Смоделированная реализация имеет вид
0 50 100 150 200 250 50 100 150 200 250 300 350 400
Y4
X4
Сводка статистик для определения ранга коинтеграции по этим смоделированным данным:
Sample: 1 400
Included observations: 398
Series: Y4 X4
Lags interval: 1 to 1

Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
12
Data
Trend:
None None Linear Linear Quadratic
Rank or
No Intercept Intercept
Intercept
Intercept
Intercept
No. of CEs No Trend
No Trend
No Trend
Trend
Trend
Log
Likelihood
0
-1533.049 -1533.049 -1526.015 -1526.015 -1525.928 1
-1525.311 -1525.279 -1518.361 -1433.324 -1433.242 2
-1521.201 -1518.005 -1518.005 -1430.264 -1430.264
AIC
0 7.723863 7.723863 7.698565 7.698565 7.708180 1
7.705079 7.709944 7.680208 7.257911 7.262521 2
7.704525 7.698520 7.698520 7.267658 7.267658
Schwarz
Criteria
0 7.763928 7.763928 7.758663 7.758663 7.788309 1
7.785208 7.800090 7.780370 7.368089 7.382716 2
7.824720 7.838747 7.838747 7.427918 7.427918
L.R. Test:
Rank = 2
Rank = 2
Rank = 1
Rank = 1
Rank = 2
Ориентируясь на критерий Акаике, наилучшей следует признать модель H
*
(1)
(тренд в данных, в CE включаются константа и линейный тренд; ранг коинтеграции равен 1) – для нее значение критерия минимально (равно 7.257911). Та же модель выбирается и критерием Шварца (для нее значение критерия равно 7.368089).
Расшифровка процесса получения оценки ранга коинтеграции в ситуации, соответствующей четвертому столбцу:
Test assumption: Linear deterministic trend in the data
Series: Y4 X4
Lags interval: 1 to 1
Likelihood
5 Percent
1 Percent
Hypothesized
Eigenvalue
Ratio
Critical Value Critical Value No. of CE(s)
0.372355 191.5010 25.32 30.45
None **
0.015260 6.120353 12.25 16.26
At most 1
*(**) denotes rejection of the hypothesis at 5%(1%) significance level
L.R. test indicates 1 cointegrating equation(s) at 5% significance level
Гипотеза H
0
:
r =
0 отвергается в пользу альтернативы H
A
:
r
> 0. Гипотеза H
0
:
r =
1 не отвергается в пользу альтернативы H
A
:
r
> 1. Оцененное значение ранга коинтеграции принимается равным 1, что соответствует истинному положению вещей.
DGP
5
: y
t
= 5 + 0.2 t + 2 x
t
+ ε
t
,
x
t
= 0.2 + 0.01 t + x
t – 1
+ ν
t
.
Смоделированная реализация имеет вид

Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
13 0
500 1000 1500 2000 50 100 150 200 250 300 350 400
Y5
X5
Сводка статистик для определения ранга коинтеграции по этим смоделированным данным:
Series: Y5 X5
Lags interval: 1 to 1
Data
Trend:
None None Linear Linear Quadratic
Rank or
No Intercept Intercept
Intercept
Intercept
Intercept
No. of CEs No Trend
No Trend
No Trend
Trend
Trend
Log
Likelihood
0
-1672.222 -1672.222 -1630.634 -1630.634 -1525.928 1
-1527.340 -1527.331 -1525.738 -1525.724 -1432.667 2
-1527.280 -1520.795 -1520.795 -1432.659 -1432.659
AIC
0 8.423224 8.423224 8.224289 8.224289 7.708180 1
7.715279 7.720258 7.717274 7.722231 7.259633 2
7.735077 7.712538 7.712538 7.279694 7.279694
Schwarz
Criteria
0 8.463289 8.463289 8.284386 8.284386 7.788309 1
7.795408 7.810404 7.817436 7.832409 7.379827 2
7.855272 7.852765 7.852765 7.439953 7.439953
L.R. Test:
Rank = 1
Rank = 2
Rank = 2
Rank = 2
Rank = 1
Ориентируясь на критерий Акаике, наилучшей следует признать модель H(1)
(квадратичный тренд в данных, в CE включаются константа и линейный тренд; ранг коинтеграции равен 1) – для нее значение критерия минимально (равно 7.259633). Та же модель выбирается и критерием Шварца (для нее значение критерия равно
7.379827).
Расшифровка процесса получения оценки ранга коинтеграции в ситуации, соответствующей пятому столбцу:
Test assumption: Quadratic deterministic trend in the data
Series: Y5 X5
Lags interval: 1 to 1
Likelihood
5 Percent
1 Percent
Hypothesized

Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
14
Eigenvalue
Ratio
Critical Value Critical Value No. of CE(s)
0.374152 186.5374 18.17 23.46
None **
3.97E-05 0.015819 3.74 6.40
At most 1
*(**) denotes rejection of the hypothesis at 5%(1%) significance level
L.R. test indicates 1 cointegrating equation(s) at 5% significance level
Гипотеза H
0
:
r =
0 отвергается в пользу альтернативы H
A
:
r
> 0. Гипотеза H
0
:
r =
1 не отвергается в пользу альтернативы H
A
:
r
> 1. Оцененное значение ранга коинтеграции принимается равным 1, что соответствует истинному положению вещей.
Следующий пример, в котором процесс порождения данных представляет треугольную систему, иллюстрирует процедуру определения ранга коинтеграции при большем количестве рядов.
Пример
Рассмотрим процесс порождения данных, образующий треугольную систему
Филлипса.
DGP:
L
234
t
= 0.5
W
2 t
+
W
3 t
+
2
W
4 t
+
ε
1t
,
L
23
t
=
W
2 t
+ 0.5
W
3 t
+
ε
2 t
,
W
2 t
=
W
2, t – 1
+
ε
3 t
,
W
3 t
=
W
3, t – 1
+
ε
4 t
,
W
4 t
=
W
4, t – 1
+
ε
5 t
, где
ε
1t
,
ε
2 t
,
ε
3 t
,
ε
4 t
,
ε
5 t
– независимые между собой гауссовские процессы белого шума, имеющие нулевые математические ожидания и дисперсии, равные 0.04.
Ряды
W
2 t
,
W
3 t
,
W
4 t
являются случайными блужданиями и интерпретируются в рамках этой системы как
общие тренды (“common trends”)
, в том смысле, что вся
(стохастическая) нестационарность системы управляется этими тремя рядами.
Нестационарное поведение ряда
L
23
t
регулируется рядами
W
2 t
и
W
3 t
, а нестационарное поведение ряда
L
234
t
регулируется рядами
W
2 t
,
W
3 t
и
W
4 t
Смоделированные данные содержат 501 значение для каждого из 5 входящих в DGP рядов
L
234
t
,
L
23
t
,
W
2 t
,
W
3 t
и
W
4 t
. Следующие графики показывают поведение смоделированных реализаций.
-30
-25
-20
-15
-10
-5 0
5 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
L23
L234
-10
-8
-6
-4
-2 0
2 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
WALK2
WALK3
WALK4
Оценивая по смоделированной реализации 5 рядов модель VAR(1) в уровнях (без ограничений на ранг коинтеграции) и анализируя коррелограммы полученных рядов остатков, мы не обнаруживаем автокоррелированности у всех 5 рядов остатков.
Например, коррелограмма ряда остатков от ряда
L
234
t
имеет вид
Included observations: 498
Autocorrelation
Partial Correlation
AC
PAC Q-Stat Prob

Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
15
.|.
.|.
1 -0.044 -0.044 0.9530 0.329
.|.
.|.
2 -0.037 -0.039 1.6395 0.441
.|.
.|.
3 0.031 0.028 2.1276 0.546
.|.
.|.
4 -0.020 -0.019 2.3355 0.674
.|.
.|.
5 0.031 0.031 2.8073 0.730
.|.
.|.
6 0.036 0.037 3.4726 0.748
.|.
.|.
7 0.008 0.015 3.5055 0.835
.|.
.|.
8 0.039 0.041 4.2674 0.832
.|.
.|.
9 0.003 0.007 4.2734 0.893
.|.
.|.
10 0.001 0.005 4.2743 0.934
Поэтому мы можем остановиться на статистической модели в виде VAR(1) для уровней. Соответствующая ей модель коррекции ошибок не содержит в правых частях уравнений запаздывающих разностей, и это следует учитывать при оценивании ранга коинтеграции.
Сводка статистик для определения ранга коинтеграции по смоделированным данным:
Series: L234 L23 WALK2 WALK3 WALK4
Lags interval: No lags
Data
Trend:
None None Linear Linear Quadratic
Rank or
No Intercept Intercept
Intercept
Intercept
Intercept
No. of CEs No Trend
No Trend
No Trend
Trend
Trend
Log
Likelihood
0 99.73833 99.73833 103.2311 103.2311 104.7734 1
279.2178 279.4377 282.9301 283.2575 284.7997 2
457.0419 457.6821 461.1675 462.6611 464.2006 3
461.1754 463.9622 466.3818 469.2587 470.4661 4
464.5438 468.0578 469.2034 472.1756 473.0952 5
464.7799 470.6760 470.6760 473.8191 473.8191
Akaike
0
-0.400556 -0.400556 -0.394502 -0.394502 -0.380616 1
-1.081196 -1.078063 -1.076025 -1.073323 -1.063453 2
-1.755188
-1.749727 -1.751677 -1.749643 -1.743777 3
-1.731628 -1.730772 -1.732457 -1.731963 -1.728780 4
-1.704995 -1.703044 -1.703628 -1.699501 -1.699178 5
-1.665783 -1.669382 -1.669382 -1.661924 -1.661924
Schwarz
0
-0.400556 -0.400556 -0.352227 -0.352227 -0.296066 1
-0.996646 -0.985058 -0.949199 -0.938043 -0.894352 2
-1.586088
-1.563717 -1.540301 -1.521357 -1.490127 3
-1.477977 -1.451756 -1.436531 -1.410672 -1.390579 4
-1.366794 -1.331023 -1.323152 -1.285205 -1.276427 5
-1.243032 -1.204355 -1.204355 -1.154623 -1.154623
L.R. Test:
Rank = 2
Rank = 2
Rank = 2
Rank = 2
Rank = 2
В рамках каждого столбца цепочки критериев выводят на ранг 2. Оба информационных критерия (Акаике и Шварца) указывают на вариант “нет тренда в данных, в

Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
16
коинтеграционное соотношение не включаются ни константа ни тренд; ранг коинтеграции равен 2”.
Приведем теперь сводку статистик для определения ранга коинтеграции тройки рядов
W
2 t
,
W
3 t
и
W
4 t
Series: WALK2 WALK3 WALK4
Lags interval: No lags
Data
Trend:
None None Linear Linear Quadratic
Rank or
No Intercept Intercept
Intercept
Intercept
Intercept
No. of CEs No Trend
No Trend
No Trend
Trend
Trend
Akaike
0 -1.209358
-1.209358
-1.211316
-1.211316
-1.205445 1
-1.201837 -1.206417 -1.208105 -1.209616 -1.206429 2
-1.191311 -1.194747 -1.195348 -1.193234 -1.192934 3
-1.168162 -1.177195 -1.177195 -1.171753 -1.171753
Schwarz
0
-1.209358
-1.209358
-1.185951 -1.185951 -1.154715 1
-1.151107 -1.147232 -1.132009 -1.125065 -1.104968 2
-1.089850 -1.076376 -1.068523 -1.049499 -1.040743 3
-1.015971 -0.999639 -0.999639 -0.968832 -0.968832
L.R. Test:
Rank = 0
Rank = 0
Rank = 0
Rank = 0
Rank = 0
Здесь в рамках каждого столбца цепочки критериев выводят на ранг 0, что соответствует DGP. Критерий Акаике указывает на варианты с трендом в данных, тогда как критерий Шварца останавливается на вариантах без тренда в данных, что и соответствует DGP.
8.2. Оценивание модели коррекции ошибок
После оценивания ранга коинтеграции в рамках процедуры Йохансена имеется возможность получения (при выбранном ранге коинтеграции
r
) оценок максимального правдоподобия для
r
линейно независимых коинтегрирующих векторов. Реализация такого оценивания в пакете EVIEWS для группы из 5 рядов, рассмотренной в предыдущем примере (
r =
2), дает следующие результаты.
Test assumption: No deterministic trend in the data
Series: L234 L23 WALK2 WALK3 WALK4
Lags interval: No lags
Unnormalized Cointegrating Coefficients:
L234 L23 WALK2
WALK3
WALK4
-0.079261
-0.198108 0.236127 0.178603 0.159704
-0.202709 0.079211 0.022787 0.161363 0.406370 0.001194 0.000453
-0.014625
-0.034465 0.037834
-0.002101 0.001543 0.019423
-0.024621 0.007077
-0.000206 0.000771 0.011197
-0.009764
-0.012244
Каждая строка этой таблицы содержит компоненты одного из возможных коинтегрирующих векторов. Всего, таким образом, предлагается к рассмотрению 5 вариантов коинтегрирующих векторов, причем эти пять векторов являются линейно

Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
17
независимыми. Первая из 5 строк содержит коэффициенты линейной комбинации указанных рядов, “наиболее похожей на стационарную”. Вторая строка соответствует линейной комбинации, занимающей в этом отношении второе место, и т.д.
Если бы мы оценили ранг коинтеграции как
r =
1, то тогда в качестве оценки коинтегрирующего вектора можно было взять вектор с компонентами, приведенными в первой строке, т.е. вектор
(-0.079261, -0.198108, 0.236127, 0.178603, 0.159704)
T
, или любой пропорциональный ему вектор. Выбирая из этого множества вектор, нормализованный на первую компоненту, т.е. вектор, полученный из указанного делением всех его компонент на первую компоненту, мы получили бы вектор
(1, 2.499451, – 2.979119, – 2.25363, – 2.014916)
T
Поскольку ранг коинтеграции был оценен как
r =
2, то в качестве оценок двух линейно независимых коинтегрирующих векторов можно взять векторы с компонентами, приведенными в первых двух строках, т.е. векторы
β
*
(1)
= (– 0.079261, – 0.198108, 0.236127, 0.178603, 0.159704)
T
и
β
*
(2)
= (– 0.202709, 0.079211, 0.022787, 0.161363, 0.406370)
T
Дело, однако, в том, что помимо этих двух векторов в качестве коинтегрирующих векторов с тем же успехом могут выступать и любые линейные комбинации этих двух векторов. И в реальных экономических задачах важно, чтобы выбранная в итоге из этого множества пара векторов выражала осмысленные с экономической точки зрения
(экономической теории) долговременные связи между рассматриваемыми переменными (например, паритет покупательной способности, спрос на деньги и т.п.).
Это, в свою очередь, требует наложения на коинтегрирующие векторы соответствующих
идентифицирующих ограничений
, позволяющих различать эти векторы, выделяя их из всего множества линейных комбинаций базисных векторов.
Если ранг коинтеграции равен
r
> 1, то для различения коинтегрирующих векторов достаточно наложить на каждый из коинтегрирующих векторов
q = r
– 1 линейных ограничений (причем эти линейные ограничения сами должны быть линейно независимыми – иначе различения не получится). Это дает возможность определить каждый из коинтегрирующих векторов с точностью до коэффициента пропорциональности, а затем получить единственный набор коинтегрирующих векторов, нормируя компоненты каждого вектора на какую-либо из его (ненулевых) компонент.
В нашем примере
r =
2, так что на каждый из двух коинтегрирующих векторов достаточно наложить по одному линейному ограничению, например, приравнять одну из компонент коинтегрирующего вектора нулю. При этом зануляемые компоненты в двух векторах должны быть различными. Выбор зануляемых компонент на практике определяется, исходя из представлений той или иной экономической теории.
Имитируя такой выбор, мы будем исходить из наличия информации о том, что “в соответствии с некоторой экономической теорией”, между переменными
L
234
t
,
L
23
t
,
W
2 t
,
W
3 t
и
W
4 t
должны существовать две долговременные связи, одна из которых связывает переменные
L
234
t
,
W
2 t
,
W
3 t
,
W
4 t
и не включает переменную
L
23
t
, а другая связывает переменные
L
23
t
,
W
2 t
,
W
3 t
,
W
4 t
и не включает переменную
L
234
t
. Если при этом из той же “экономической теории” следует также, что в первой долговременной связи “объясняемой” переменной является
L
234
t
, а во второй – переменная
L
23
t
, то, нормируя первый коинтегрирующий вектор на первую компоненту, а второй коинтегрирующий вектор – на вторую компоненту, мы представляем эти коинтегрирующие векторы в виде

Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
18
β
(1)
= (1, 0,
β
13
,
β
14
,
β
15
)
T
β
(2)
= (0, 1,
β
23
,
β
24
,
β
25
)
T
Таким образом, после получения двух произвольных линейно независимых оценок двух коинтегрирующих векторов,
(-0.079261, -0.198108, 0.236127, 0.178603, 0.159704)
T
,
(-0.202709, 0.079211, 0.022787, 0.161363, 0.406370)
T
, задача состоит в отыскании линейных комбинаций этих оцененных векторов, имеющих вид
(1, 0,
β
13
,
β
14
,
β
15
)
T
и (0, 1,
β
23
,
β
24
,
β
25
)
T
Решение этой задачи в пакете EVIEWS приводит к следующему результату:
Normalized Cointegrating Coefficients: 2 Cointegrating Equation(s)
L234 L23 WALK2
WALK3
WALK4 1.000000 0.000000
-0.499995
-0.993065
-2.006077
(0.00541)
(0.00868)
(0.00852)
0.000000 1.000000
-0.991867
-0.504230
-0.003537
(0.00549)
(0.00881)
(0.00865)
В соответствии с этой таблицей,
β
(1)
= (1, 0, – 0.499995, – 0.993065, – 2.006077)
T
β
(2)
= (0, 1, – 0.991867, – 0.504230, – 0.003537)
T
Это соответствует двум долговременным соотношениям
L
234
t
= 0.499995
W
2 t
+ 0.993065
W
3 t
+
2.006077
W
4 t
,
L
23
t
= 0.991867
W
2 t
+ 0.504230
W
3 t
+ 0.003537
W
4 t
, которые близки к теоретическим долговременным соотношениям, определяемым использованным DGP, а именно,
L
234
t
= 0.5
W
2 t
+
W
3 t
+
2
W
4 t
,
L
23
t
=
W
2 t
+ 0.5
W
3 t
Нетрудно заметить, что оцененные векторы
β
*
(1) и
β
*
(2) являются линейными комбинациями векторов
β
(1) и
β
(2)
:
β
*
(1)
= – 0.079261
β
(1)
– 0.198108
β
(2)
,
β
*
(2)
= – 0.202709
β
(1)
+ 0.079211
β
(2)
Приведенные в таблице под оценками коэффициентов оцененные значения их стандартных ошибок дают некоторую ориентацию в отношении того, какими в действительности могут быть компоненты “истинных” коинтегрирующих векторов.
Следует только учитывать, что оценки компонент коинтегрирующих векторов не являются нормально распределенными (даже асимптотически).
После получения оценок подходящих коинтегрирующих векторов можно приступать к оцениванию коэффициентов ECM обычными методами. Только и здесь следует учитывать, что асимптотически нормальными являются лишь оценки кратковременной динамики, т.е. коэффициенты при запаздывающих разностях переменных.
В нашем примере получаем:
D(L234)
D(L23)
D(WALK2) D(WALK3)
D(WALK4)
ecm1 -0.971220 -0.051197 -0.040351 0.005400 0.031996
(0.11006) (0.06585) (0.04248) (0.04468) (0.04231)
(-8.82480) (-0.77748) (-0.94983) (0.12086) (0.75621)

Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
19
ecm2 -0.033474 -1.015363 -0.001894 0.010505 -0.024292
(0.10788) (0.06455) (0.04164) (0.04380) (0.04148)
(-0.31028)
(-15.7298)
(-0.04549)
(0.23985) (-0.58571)
Согласно этой таблице оцененная ECM имеет вид
∆(
L
234)
t
= – 0.971220
(
ecm
1)
t – 1
– 0.033474
(
ecm
2)
t – 1
+
e
1t
,
∆(
L
23)
t
= – 0.051197 (
ecm
1)
t – 1
– 1.015363 (
ecm
2)
t – 1
+
e
2t
,
∆(
W
2)
t
= – 0.040351 (
ecm
1)
t – 1
– 0.001894 (
ecm
2)
t – 1
+
e
3t
,
∆(
W
3)
t
= 0.005400 (
ecm
1)
t – 1
+ 0.010505 (
ecm
2)
t – 1
+
e
4t
,
∆(
W
4)
t
= 0.031996 (
ecm
1)
t – 1
– 0.024292 (
ecm
2)
t – 1
+
e
5t
, где
(
ecm
1)
t
= L
234
t
– 0.499995
W
2 t
– 0.993065
W
3 t
–
2.006077
W
4 t
,
(
ecm
2)
t
=
L
23
t
– 0.991867
W
2 t
– 0.504230
W
3 t
– 0.003537
W
4 t
В рамках процедуры Йохансена имеется также возможность проверки гипотез о выполнении дополнительных