Эконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядо - Носко В.П.. Эконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядо - Но. В. П. Носко Эконометрика Введение в регрессионный анализ временных рядов
 Скачать 3.08 Mb.
|
объясняющих переменных Прежде, чем переходить к изложению материала этой главы, заметим, что в этой главе мы не будем различать в обозначениях случайные величины и их наблюдаемые значения – в обоих случаях будут использоваться строчные буквы. 4.1. Асимптотическая обоснованность стандартных процедур В главе 1 мы уже отмечали, что рассмотренные там случаи, в которых можно использовать стандартные процедуры регрессионного анализа несмотря на то, что объясняющие переменные являются стохастическими (ситуации A, A΄, B, C), не охватывают наиболее интересных для нас моделей стационарных и нестационарных временных рядов. Это замечание относится и к широко используемым на практике моделям авторегрессии, в том числе и стационарным. Рассмотрим модель авторегрессии AR(p) y t = α + a 1 y t – 1 + a 2 y t – 2 + … + a p y t – p + ε t , где ε t – инновации, образующие процесс белого шума с D(ε t ) = σ ε 2 . Эту модель можно представить в виде линейной модели регрессии y t = x t T θ + ε t , где x t = (1, y t – 1 , y t – 2 , … , y t – p ) T , θ = (α , a 1 , a 2 , … , a p ) T Но мы не можем использовать для нее результаты, полученные в ситуациях A и B. Хотя ε s и x t статистически независимы при s ≥ t , они оказываются зависимыми уже при s = t – 1, поскольку ε t – 1 участвует в формировании случайной величины y t – 1 , входящей в состав x t . Это нарушает условие, входящее в определения ситуаций A и B. Мы не можем также использовать и результаты, полученные в ситуациях A΄ и C. Там требовалось, чтобы условное распределение вектора ε при фиксированной матрице X имело вид N(0, σ 2 V ) с положительно определенной (невырожденной) матрицей V (в ситуации A΄ это единичная матрица). Однако при фиксированных значениях x t + 1 = (1, y t , y t – 1 , … , y t – p + 1 ) T и x t значение ε t известно с полной определенностью. Тем не менее, если AR(p) модель стационарна, то положение вполне благополучно: Ситуация D • процесс y t порождается моделью y t = α + a 1 y t – 1 + a 2 y t – 2 + … + a p y t – p + ε t (ε t – инновации); Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm 2 • все корни полинома 1 – a 1 z – a 2 z 2 – …– a p z p = 0 лежат за пределами единичного круга; • ε t i.i.d., E( ε t ) = 0, D( ε t ) = σ 2 > 0, E( ε t 4 ) = µ 4 < ∞ . При выполнении перечисленных условий, для оценки наименьших квадратов n θ ˆ вектора коэффициентов θ = ( α , a 1 , a 2 , … , a p ), полученной по n наблюдениям, выполняется соотношение n 1/2 ( n θ ˆ – θ ) → N (0, σ 2 Q – 1 ) , где Q – положительно определенная матрица, элементы которой выражаются в явной форме через математическое ожидание и автокорреляции процесса y t Ковариационная матрица σ 2 Q –1 асимптотического распределения может быть оценена состоятельно посредством S n 2 ( X n T X n ⁄ n ) –1 , и это означает, что асимптотически обоснованны статистические процедуры, трактующие распределение n θ ˆ как N ( θ , S n 2 ( X n T X n ) – 1 ). (Здесь X n – матрица значений объясняющих переменных в n наблюдениях.) Иными словами, и в рассматриваемой ситуации можно пользоваться стандартными методами регрессионного анализа, имея в виду их асимптотическую обоснованность. Если перейти к процессам, стационарным относительно детерминированного тренда, то следует отметить возникающую здесь особенность, связанную со сходимостью распределения оценок наименьших квадратов к асимптотическому распределению. Мы поясним эту особенность на следующем примере. Пусть ряд y t порождается простой моделью временного тренда y t = α + β t + ε t , где ε t i.i.d. , E ( ε t ) = 0, D ( ε t ) = σ 2 > 0, E ( ε t 4 ) = µ 4 < ∞ . Если и здесь записать модель в стандартной форме y t = x t T θ + ε t , x t = (1, t ) T , θ = ( α , β ), то чтобы получить невырожденное асимптотическое распределение оценки наименьших квадратов n θ ˆ = ( n α ˆ , n β ˆ ), приходится использовать различные нормирующие множители: ( n α ˆ – n α ) умножается на T 1/2 , а ( n β ˆ – n β ) умножается на T 3/2 Однако это различие компенсируется тем, что аналогичным образом ведут себя и стандартные ошибки для n α ˆ и n β ˆ . Как результат, обычные t- статистики имеют асимптотическое N (0, 1) распределение. Иными словами, можно использовать стандартную технику регрессионного анализа, имея в виду ее асимптотическую обоснованность. Те же самые принципы можно использовать и для исследования процесса авторегрессии произвольного порядка, стационарного относительно детерминированного временного тренда. Cитуация E • процесс y t порождается моделью y t = α + β t + a 1 y t – 1 + a 2 y t – 2 + … + a p y t – p + ε t ( ε t – инновации); Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm 3 • все корни полинома 1 – a 1 z – a 2 z 2 – … – a p z p = 0 лежат за пределами единичного круга; • ε t i.i.d. , E ( ε t ) = 0, D ( ε t ) = σ 2 > 0, E ( ε t 4 ) = µ 4 < ∞ . При выполнении этих предположений обычные t- статистики и статистики qF (где q – количество линейных ограничений на коэффициенты, а F – обычная F- статистика критерия для проверки выполнения этих ограничений) имеют асимптотические N (0, 1) и χ 2 ( q ) распределения. Можно использовать стандартную технику регрессионного анализа, имея в виду ее асимптотическую обоснованность. Если не ограничиваться процессами авторегрессии, но оставаться в классе стационарных моделей, то и в этом случае все еще можно надеяться на возможность использования стандартной техники регрессионного анализа, опять имея в виду ее асимптотическую обоснованность. Рассмотрим линейную модель y = X θ + ε , X = X n , или, в эквивалентной форме, y t = x t T θ + ε t , t = 1, 2, …, n , где x t = ( x t1 , x t2 , … , x tp ) T – вектор значений p объясняющих переменных в t- м наблюдении, и пусть n θ ˆ – оценка наименьших квадратов вектора коэффициентов θ = ( θ 1 , θ 2 , … , θ p ) T , полученная по n наблюдениям. Известно (см., например, [Green (1997)]), что следующие три условия обеспечивают состоятельность и асимптотическую нормальность n θ ˆ при n → ∞ : • 0 1 plim 1 = ∑ = t n t t x n ε [в эквивалентной форме: plim ( n – 1 X n T ε ) = 0]; • Q x x n T t n t t = ∑ =1 1 plim [в эквивалентной форме: ( ) Q X X n T n = −1 plim ] , где Q – положительно определенная матрица; • ( ) Q N x n t n t t 2 1 , 0 1 σ ε → ∑ = [в эквивалентной форме: ( n – 1/2 X n T ε ) → N (0, σ 2 Q )]. (Здесь plim – предел по вероятности; стрелка в последнем условии обозначает сходимость по распределению.) Если эти условия выполнены, то при n → ∞ , как и в ситуации D, n ( θ θ − n ˆ ) → N (0, σ 2 Q – 1 ). В работе [Mann, Wald (1943)] авторы показали следующее (теорема Манна- Вальда) . Если Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm 4 • Q x x n T t n t t = ∑ =1 1 plim [в эквивалентной форме: plim ( n – 1 X n T X ) = Q ] , где Q – положительно определенная матрица, • ε t i.i.d. , E ( ε t ) = 0, D ( ε t ) = σ 2 > 0, E ε t m < ∞ для всех m = 1, 2, … , • E ( x t ε t ) = 0, t = 1, 2, …, n , то тогда выполнены также первое и третье условия из предыдущей тройки условий, обеспечивающих состоятельность и асимптотическую нормальность n θ ˆ при n → ∞ Заметим, что условие E ( x t ε t ) = 0, t = 1, 2, …, n , в сочетании с E ( ε t ) = 0, означает, что Cov ( x t k , ε t ) = 0 для k = 1, 2, …, p , т.е. означает некоррелированность значений объясняющих переменных с ε t в совпадающие моменты времени. Условие E ε t m < ∞ для всех m = 1, 2, … , выполняется, в частности, для нормального распределения ε t Цитированные результаты можно объединить теперь вместе. Ситуация F Пусть в линейной модели y t = x t T θ + ε t , t = 1, 2, …, n , где x t = ( x t1 , x t2 , … , x tK ) T – вектор значений K объясняющих переменных в t- м наблюдении, n θ ˆ – оценка наименьших квадратов вектора коэффициентов θ = ( θ 1 , θ 2 , … , θ K ), полученная по n наблюдениям. Пусть для этой модели выполнены следующие условия: • , 1 plim т.е. 1 plim 1 = = ∞ → = ∞ → ∑ Q X X n Q x x n n T n n n t T t t n где Q – положительно определенная матрица, • ε t i.i.d. , E ( ε t ) = 0, D ( ε t ) = σ 2 > 0, E ε t m < ∞ для всех m = 1, 2, … , • Cov ( x t k , ε t ) = 0 для k = 1, 2, …, K Тогда при n → ∞ n ( n θ ˆ – θ ) → N (0, σ 2 Q – 1 ). Предположим теперь, что x t – стационарный векторный (K-мерный) ряд , так что E ( x t ) = µ = const , Cov ( x t ) = Q , Cov ( x t k , x t +s, l ) = γ kl ( s ) при всех t , s для каждой пары k , l = 1, 2, …, K . (Здесь γ kl ( s ) – кросс-корреляция значений k -ой и l -ой компонент векторного ряда x t , разнесенных на s единиц времени. Если рассматривать s как аргумент, а γ kl ( s ) как функцию от s , то γ kl ( s ) – кросс- корреляционная функция k -ой и l -ой компонент векторного ряда x t .) Тогда первое из трех условий, перечисленных в ситуации F, обеспечивает возможность оценивания Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm 5 неизвестной ковариационной матрицы Cov ( x t ) = Q простым усреднением доступных наблюдению матриц x t x t T по достаточно длинному интервалу t = 1, 2, …, n В рамки ситуации F помещается достаточно распространенный класс ARX моделей : y t = a 1 y t – 1 + a 2 y t – 2 + … + a p y t – p + z t T β + ε t , где z t = ( z t1 , z t2 , … , z tM ) T , β = ( β 1 , β 2 , … , β M ) T Подобная модель вписывается в ситуацию F , если положить x t = ( y t – 1 , y t – 2 , … , y t – p , z 1 , z 2 , … , z M ) T , θ = ( a 1 , a 2 , … , a p , β 1 , β 2 , … , β M ) T Пусть для этой модели выполнены следующие условия: • z t – стационарный векторный ( M- мерный) ряд; • , 1 plim 1 Z T t n t t n Q z z n = ∑ = ∞ → где Z Q – положительно определенная матрица; • ε t i.i.d., E( ε t ) = 0, D( ε t ) = σ 2 > 0, E ε t m < ∞ для всех m = 1, 2, … ; • Cov(z t m , ε t ) = 0 для m = 1, 2, …, M ; • Cov(y t – j , ε t ) = 0 для j = 1, 2, …, p ; • все корни уравнения a(z) = 1 – a 1 z – a 2 z 2 – … – a p z p = 0 лежат вне единичного круга. Тогда (см. [Green (1993)]) выполнено и первое условие ситуации F, и при n → ∞ n 1/2 ( n θ ˆ – θ) → N(0, σ 2 Q – 1 ). Последнее из перечисленных условий, касающееся корней уравнения a(z) = 0, обеспечивает |