Примечание: в п. 6 табл. 1.1 не рассматривается ведущий к возникновению неопределенности случай, когда
L
C
X
X
Обратите внимание, что:
1) Отсчет угла сдвига фаз всегда ведется от вектора тока.
Если расчет дает результаты, не совпадающие с положениями табл. 1.1, следовательно, в него вкралась ошибка.
2) Векторная диаграмма позволяет зафиксировать положе- ние вращающихся векторов для определенного момента време- ни. В электротехнике принято, что векторная диаграмма стро- ится для нулевого момента времени (t = 0). Построение век- торной диаграммы для любого другого момента времени может привести к изменению положения векторов относительно осей комплексной плоскости, однако взаимное расположение векто-
ров останется неизменным.
1.8. Полная комплексная мощность
Рассмотрим прием определения активной и реактивной мощностей через комплекс напряжения и сопряженный ком- плекс тока.
Выше было показано, что токи и напряжения на различных участках электрической цепи синусоидального тока могут не совпадать по фазе.
Пусть к некоторому участку цепи приложено напряжение
φ
u
j
U
Ue
. Тогда ток, протекающий по этому же участку,
i
j
I
Ie
. Умножив комплекс напряжения на сопряженный ком-
плекс тока
*
φ
i
j
I
Ie
, получим комплекс полной мощности
(полную комплексную мощность)
*
(φ
φ )
φ
cos φ
sin φ
u
i
j
j
S
U I
UIe
UIe
UI
jUI
P
jQ
,(1.27)
- 17 - где значок (тильда) над S означает комплекс полной мощно- сти; Р – активная мощность; Q – реактивная мощность.
При этом активная мощность
Р
является действительной частью полной комплексной мощности
S
, а реактивная мощ- ность
Q
- ее мнимой частью и обозначаются соответственно:
*
Re(
)
P
U I
,
(1.28)
*
Im(
)
Q
U I
(1.29)
В (1.27) знак перед
jQ
определяется характером сопротив- ления на данном участке цепи и зависит от угла
φ
. Очевидно, что знак «плюс» перед
Q
ставится, если
φ 0
, что возможно при выполнении условия
L
C
X
X
; и знак «минус» - если
φ 0
, что возможно при выполнении условия
L
C
X
X
Следует отметить, что единицей измерения активной мощ- ности Р является ватт (Вт); единицей измерения реактивной мощности Q - вольт-ампер реактивный (ВАр); единицей изме- рения полной мощности S - вольт-ампер (ВА).
2. РАСЧЕТ РАЗВЕТВЛЕННОЙ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО
ПЕРЕМЕННОГО ТОКА МЕТОДОМ КОМПЛЕКСНЫX ЧИСЕЛ
2.1. Условие расчетного задания №1. Варианты задания
В соответствии с вариантом задания (табл.2.2) выполнить преобразование разветвленной цепи переменного тока, схема которой представлена на рис. 2.1. Условно указать направления токов и напряжений.
Пользуясь комплексным методом, определить токи в вет- вях; проверить соблюдение баланса активной, реактивной и полной мощностей в цепи; определить коэффициент мощности
- 18 - цепи; построить совмещенную векторную диаграмму токов и напряжений на комплексной плоскости.
Параметры элементов цепи даны в табл. 2.1. Один из пара- метров электрической энергии, необходимый для расчета, задан в табл. 2.2.
Рис. 2.1
На входе цепи (рис. 2.1) действует напряжение U. Прибо-ры, показанные на рис. 2.1, измеряют следующие параметры: вольтметр – напряжение на разветвленном участке цепи, при-ложенное одновременно ко второй, третьей и четвертой вет-вям (в табл. 2.2 это напряжение обозначено как U2
); ампер-метр – силу тока в четвертой ветви (в табл. 2.2 обозначен как ток I4
). Таблица 2.1 Варианты
R, Ом
XL, Ом
XC
, Ом с 1 по 30 10 25 40 с 31 по 60 20 30 40 с 61 по 90 30 20 60 с 91 по 120 40 40 30 с 121 по 150 50 20 15
- 19 -
Таблица 2.2
Варианты
Z
1
Z
2
Z
3
Z
4
U, B
U
2
, B
I
4
, A
U
C
, B
1,31,61,91,121
-
-
-
90 2,32,62,92,122
-
-
2
-
3,33,63,93,123
-
-
-
50 4,34,64,94,124
-
100
-
-
5,35,65,95,125 120
-
-
-
6,36,66,96,126
-
-
-
40 7,37,67,97,127 220
-
-
-
8,38,68,98,128
-
-
-
60 9,39,69,99,129
-
-
1
-
10,40,70,100,130
-
60
-
-
11,41,71,101,131
-
-
-
30 12,42,72,102,132 100
-
-
-
13,43,73,103,133
-
-
3
-
14,44,74,104,134
-
70
-
-
15,45,75,105,135
150
-
-
-
- 20 -
Окончание табл. 2.2
Варианты
Z
1
Z
2
Z
3
Z
4
U, B
U
2
, B
I
4
, A
U
C
, B
16,46,76,106,136
-
40
-
-
17,47,77,107,137
-
-
-
70 18,48,78,108,138
-
80
-
-
19,49,79,109,139 130
-
-
-
20,50,80,110,140
-
-
4
-
21,51,81,111,141
-
-
-
30 22,52,82,112,142 90
-
-
-
23,53,83,113,143
-
120
-
-
24,54,84,114,144
-
-
1,5
-
25,55,85,115,145
180
-
-
-
26,56,86,116,146
-
-
2,5
-
27,57,77,117,147
-
-
-
60 28,58,88,118,148
-
50
-
-
29,59,89,119,149
-
-
2
-
30,60,90,120,150
-
50
-
-
Примечание: знак
означает, что в данном варианте задания указанная ветвь отсутствует.
- 21 -
2.2. Пример решения расчетного задания №1. Методика расчета.
Алгоритмы решения
Выполнить преобразование разветвленной цепи переменно- го тока, схема которой представлена на рис. 2.1, в соответствии с рис. 2.2, условно указать направления токов и напряжений.
Известными являются следующие параметры: активное сопро- тивление (R = 2 Ом); индуктивное сопротивление (X
L
= 6 Ом); емкостное сопротивление (X
C
= 10 Ом); напряжение на разветв- ленном участке цепи (U
2
= 60 B).
Пользуясь комплексным методом, определить токи в вет- вях; проверить соблюдение баланса активной, реактивной и полной мощностей в цепи; определить коэффициент мощности схемы; построить совмещенную векторную диаграмму токов и напряжений на комплексной плоскости.
Дано:
R = 2 Ом;
X
L
= 6 Ом;
X
C
= 10 Ом;
U
2
= 60 B
Найти:
1 2
3
,
, , , , , cos φ.
I I I P Q S
Решение:
1. Выполняем преобразование схемы, представленной на рис. 2.1, в соответствии с рис. 2.2. Четвертая ветвь на рис. 2.3 отсутствует, поскольку ее полное сопротивление равно беско- нечности. Направления токов и напряжений условно указаны на рис. 2.3.
- 22 -
Рис. 2.2 Рис. 2.3 2. На основании законов Кирхгофа записываем уравнения для цепи, схема которой представлена на рис. 2.3. Обозначим число узлов буквой У, число ветвей буквой В.Количество урав- нений, составляемых по первому закону Кирхгофа, равно (У-1).
Количество уравнений, составляемых по второму закону
Кирхгофа, равно числу ветвей В. Общее количество уравнений, составляемых по законам Кирхгофа, определяют по формуле:
В- (У -1) = В- У +1
(2.1)
Схема, представленная на рис. 2.3, состоит из трех ветвей
(В = 3) иимеет два узла (а и b), число узлов (У=2).Следова- тельно, по первому закону Кирхгофа необходимо записать одно уравнение, а по второму – три, тогда общее количество уравне- ний определяем по формуле (2.1):
В - У +1 = 3 - 2 +1 = 2
(2.2)
На основании первого закона Кирхгофа для узла а (см. рис.
2.3) можем записать
- 23 -
1 2
3
I
I
I
,
(2.3) где
1 2
3
,
,
I I I
- комплексные токи первой, второй и третьей ветвей соответственно.
Из рис. 2.3 видно, что вторая и третья ветви соединены па- раллельно, поэтому на основании второго закона Кирхгофа можем записать
1
ab
U
U
U
,
(2.4) где
U
- комплексное напряжение, подводимое к цепи от источ- ника;
1
U
- комплексное падение напряжения на первой ветви;
ab
U
- напряжение между узлами a и b (см. рис. 2.3).
ab
2
3
U
U
U
,
(2.5) где
2
3
U ,U
- комплексные падения напряжения на второй и тре- тьей ветвях соответственно.
3. На основании формулы (1.21) и рис. 2.3 запишем полные комплексные сопротивления ветвей:
1 2 Ом
Z
R
;
(2.6)
2 2
6 Ом
L
Z
R
jX
j
;
(2.7)
3 2
6 10 2
4 Ом
L
C
Z
R
jX
jX
j
j
j
(2.8)
4. Определяем комплексные токи второй и третьей ветвей по закону Ома:
- 24 -
2 2
ab
U
I
Z
;
(2.9)
2 60 60(2 6)
120 360 3
9 А
(2 6)
(2 6)(2 6)
40
j
j
I
j
j
j
j
; (2.10)
3 3
ab
U
I
Z
;
(2.11)
3 60 60(2 4)
120 240 6
12 А
(2 4)
(2 4)(2 4)
20
j
j
I
j
j
j
j
(2.12)
5. На основании выражения (2.3), записанного по первому закону Кирхгофа для узла а (см. рис. 2.3), определяем ком- плексный ток первой ветви
1 3
9 6 12 9
3 A
I
j
j
j
(2.13)
6. Определяем действующие значения токов, которые находим путем извлечения квадратного корня из суммы квадра- тов действительной и мнимой частей:
2 2
1 9
3 90 9, 486 A
I
;
(2.14)
2 2
2 3
9 90 9, 486 A
I
;
(2.15)
2 2
3 6
12 180 13, 416 A
I
(2.16)
7. Определяем комплексное падение напряжения на первой ветви:
1 1
1
U
I Z
;
(2.17)
- 25 -
1
(9 3) 2 18 6 B
U
j
j
(2.18)
8. На основании выражения (2.4), записанного по второму закону Кирхгофа для схемы (см. рис. 2.3), определяем ком- плексное напряжение, подводимое к цепи:
60 18 6
78 6 В
U
j
j
(2.19)
9. Определяем полную комплексную мощность, потребляе- мую схемой от источника:
1
S
U I
;
(2.20)
(78 6)(9 3)
702 18 54 234 720 180 BA
S
j
j
j
j
j
.(2.21)
10. Составляем баланс мощности. Считают, что баланс мощности сходится, если полная комплексная мощность, по- требляемая от источника, равна сумме комплексных мощностей всех ветвей цепи:
Активные мощности ветвей определяем следующим обра-
зом:
2 1
1
P
I R
;
(2.22)
2 1
9, 486 2 180 Вт
P
;
(2.23)
2 2
2
P
I R
;
(2.24)
2 2
9, 486 2 180 Вт
P
;
(2.25)
2 3
3
P
I R
;
(2.26)
2 3
13, 416 2
360 Вт
P
(2.27)
- 26 -
Определяем реактивные мощности ветвей. Реактивные элементы в первой ветви отсутствуют, поэтому можем запи-сать 1 0
QВАр
(2.28)
Для второй и третьей ветви получим 2 2
2
LQI X
;
(2.29)
2 2
9, 486 6 540 ВAp
Q
;
(2.30)
2 3
3
LСQIXX
;
(2.31)
2 3
13, 416 6 10 720 ВAp
Q
. (2.32)
Составляем баланс активной и реактивной мощностей: 1 2
3
PPPP
;
(2.33)
180 180 360 720 Вт
P
;
(2.34)
1 2
3
QQQQ
;
(2.35)
0 540 ( 720)
180 ВАр
Q
. (2.36)
Сравнив результат проведенного выше расчета с данными п.10, видим, что баланс мощностей сходится как по активной, так и по реактивной мощностям. 11. Определяем коэффициент мощности цепи:
2 2
cos φ
PPSPQ
;
(2.37)
- 27 -
2 2
720 720
cos φ
0,970
φ 14 04 742,159 720 180
. (2.38)
12. Строим совмещенную векторную диаграмму токов и напряжений на комплексной плоскости (рис. 2.4). Масштабы: по току
3 А / см
I
М
; по напряжению
10 B / см
U
М
Рис. 2.4
Напомним, что в каждом отдельном варианте известен только один из параметров U, U
2
, I
4
, U
C
. В п. 2.1 рассмотрены методика и алгоритм решения для случая, когда известным яв- ляется напряжение U
2
. Алгоритмы решения для других возмож- ных вариантов необходимо выбрать из табл. 2.3.
- 28 -
Таблица 2.3
U
I
4
U
C
Конденса- тор уста- новлен в первой ветви
Конденса- тор уста- новлен в первой ветви
Конденса- тор уста- новлен в первой ветви
3 4
34 3
4
Z Z
Z
Z
Z
4 4
ab
U
Z I
C
С
C
U
I
jX
2 34 234 2
34
Z Z
Z
Z
Z
3 3
ab
U
I
Z
1
С
I
I
1 1 1
U
Z I
2
С
I
I
2 2
ab
U
Z I
3
С
I
I
3 3
ab
U
Z I
1 234
Э
Z
Z
Z
2 2
ab
U
I
Z
3 4
34 3
4
Z Z
Z
Z
Z
3 3
ab
U
I
Z
2 2
ab
U
I
Z
1
Э
U
I
Z
1 2
3 4
I
I
I
I
34 1
ab
U
Z I
4 4
ab
U
I
Z
1 1 1
U
Z I
3 3
ab
U
I
Z
1 2
3 4
I
I
I
I
1
ab
U
U
U
1
ab
U
U
U
4 4
ab
U
I
Z
1 1 1
U
Z I
2 2
ab
U
I
Z
-
1
ab
U
U
U
3 3
ab
U
I
Z
-
-
-
-
4 4
ab
U
I
Z
-
-
-
-
- 29 -
Примечание:
34
Z
- полное комплексное сопротивление па- раллельно соединенных третьей и четвертой ветвей;
234
Z
- пол- ное комплексное сопротивление параллельно соединенных второй, третьей и четвертой ветвей;
Э
Z
- эквивалентное полное комплексное сопротивление всей цепи.
Следует отметить, что методика расчета баланса мощно- стей, рассмотренная в п. 2.2, является общей для всех вариан- тов.
2.3. Примерный перечень контрольных вопросов при защи- те расчетного задания №1 1. Что такое комплексное число? В каких формах записи могут быть представлены комплексные числа?
2. Какие действия можно производить над комплексными числами? Какая форма записи комплексных чисел является бо- лее удобной для каждого из рассмотренных действий?
3. В чем заключается сущность расчета электрических це- пей синусоидального переменного тока методом комплексных чисел?
4. Задавшись законом изменения тока
φ
m
i
i
I
sin(ω t
)
, изобразите его в виде вектора на комплексной плоскости. Чем определяется длина этого вектора?
5. Задавшись значениями активного сопротивления R, ин- дуктивности L и емкости C, запишите комплексное сопротивле- ние Z в алгебраической и показательной формах.
6. Что такое угол сдвига фаз между током и напряжением, от чего он зависит?
7. Что такое совмещенная векторная диаграмма на ком- плексной плоскости? Какова цель ее построения?
- 30 -
8. Почему при построении векторной диаграммы на ком- плексной плоскости откладывают токи и напряжения и не от- кладывают комплексные сопротивления?
9. Запишите и объясните выражение закона Ома в ком- плексной форме.
10. Запишите и объясните выражение первого закона
Кирхгофа в комплексной форме.
11. Запишите и объясните выражение второго закона
Кирхгофа в комплексной форме.
12. Запишите и объясните выражение для полной мощности в комплексной форме.
13. Объясните алгоритм решения расчетного задания №1 для своего варианта.
14. Объясните, как определяется количество уравнений, за- писываемых на основании законов Кирхгофа, для схемы своего варианта.
15. Объясните методику проверки баланса мощностей.
16. Объясните методику построения векторной диаграммы для своего варианта.
Библиографический список к первому и второму разделам
1. Касаткин А.С., Немцов М.В. Электротехника: Учебник для вузов. М.: Энергоатомиздат, 2000. С. 37-87.
2. Рекус Г.Г., Белоусов А.И. Сборник задач по электротехни- ке и основам электроники. М.: Высш. школа, 1991. С. 78-83, 89-
98, 110-140.
- 31 -
3. ТРЕXФАЗНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
3.1. Трехфазная система питания потребителей электро- энергии.
Расширение понятия «фаза». Расчет трехфазных цепей
Трехфазный симметричный источник питания представляет собой совокупность трех синусоидальных ЭДС одинаковой ча- стоты и амплитуды, сдвинутых по фазе на треть периода (на угол
120
). Законы изменения этих ЭДС во времени могут быть представлены следующими выражениями:
sin ω ;
sin ω
120 ;
sin ω
120
A
m
B
m
C
m
e
E
t
e
E
t
e
E
t
(3.1)
Временные диаграммы ЭДС трехфазного симметричного источника представлены на рис. 3.1 б. На рис. 3.1 а эти ЭДС представлены в виде вращающихся векторов на плоскости. а б
Рис. 3.1
- 32 -
В качестве трехфазных источников чаще всего используют- ся трехфазные генераторы. На электрических схемах трехфаз- ный генератор принято изображать в виде трех обмоток, распо- ложенных друг к другу под углом
120
. Каждая обмотка имеет начало и конец. Так, начало первой обмотки обозначают буквой
Скачать 1.04 Mb.