Расчёт задач пм. примерный расчет контрольных задач. В пособии рассматриваются примеры решения задач по расчету
 Скачать 1.04 Mb.
|
|
- 1 - ВВЕДЕНИЕ Данное пособие предназначено для студентов, изучающих курс «Электротехника», который может быть успешно усвоен, если теоретические знания подкреплены соответствующими расчетными примерами. Практика показывает, что самостоятельное решение задач по данному курсу не всегда доступно студентам. С учетом этого в пособии рассматриваются примеры решения типовых задач, выполняемых в рамках самостоятельной работы студентов. При этом в каждом примере приводятся основные положения и формулы, облегчающие проведение расчета, а следовательно, и изучение соответствующего раздела. В пособии рассматриваются примеры решения задач по расчету: 1) разветвленных цепей синусоидального переменного то- ка; 2) трехфазных цепей. Следует отметить, что примеры решения задач основыва- ются на использовании метода комплексных чисел. Сведения, приведенные в пособии, позволяют решать зада- чи без дополнительного справочного материала. 1. РАСЧЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ СИНУСОИДАЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО ТОКА МЕТОДОМ КОМПЛЕКСНЫX ЧИСЕЛ 1.1. Понятие о комплексных числах. Комплексная плос- кость Из курса высшей математики известно, что число вида c a ib , (1.1) - 2 - где а и b - любые действительные числа, i - мнимая единица, называется комплексным числом в алгебраической форме. При этом a является действительной (реальной) частью комплексного числа c и обозначается Re a c , соответственно b является мнимой частью комплексного числа c и обознача- ется Im b c Мнимая единица удовлетворяет соотношению 1 i или 2 1 i (1.2) Если 0 b , то очевидно, что комплексное число c a явля- ется действительным числом; и если 0 а , то комплексное чис- ло c ib является чисто мнимым числом. Два комплексных числа c a ib и c a ib , имеющих одинаковые действительные и противоположные мнимые ча- сти, называются сопряженными комплексными числами. Модуль комплексного числа 2 2 с a b (1.3) и его аргумент ψ b arctg a (1.4) Комплексное число c a ib можно изобразить точкой ( , ) c a b или радиус-вектором на комплексной плоскости (рис. 1.1). При этом длина радиус-вектора соответствует модулю комплексного числа, определяемого по формуле (1.3), а угол ψ между действительной осью комплексной плоскости и радиус- вектором соответствует аргументу комплексного числа, опреде- ляемому по формуле (1.4). - 3 - Рис.1.1 1.2. Формы записи комплексных чисел Существуют три формы записи комплексных чисел. Алгебраическая: c a ib Тригонометрическая: sin ψ ; cos ψ ; (cos ψ sin ψ) b a c c i c c . (1.5) Показательная: Существует формула Эйлера: ψ (cos ψ sin ψ) i i e (1.6) На основании (1.6) комплексное число в показательной форме записи имеет вид: ψ i с с е , (1.7) - 4 - где ψ i е - поворотный множитель. Поворотный множитель показывает, что вектор повернут относительно действительной оси на угол ψ . Отсчет угла ψ принято вести от действительной оси против хода часовой стрелки. 1.3. Действия над комплексными числами Над комплексными числами можно производить следую- щие действия: сложение, вычитание, умножение, деление, воз- ведение в степень, извлечение корня. При сложении и вычитании наиболее удобной является ал- гебраическая форма записи. Сложение комплексных чисел в ал- гебраической форме производится по формуле 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 с с (a ib ) (a ib ) (a a ) i(b b ) . (1.8) Аналогично производится вычитание комплексных чисел: 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) с с a ib a ib a a i b b . (1.9) Умножение и деление комплексных чисел можно осуществ- лять как в алгебраической, так и в показательной форме. Следу- ет отметить, что при этом наиболее удобной является показа- тельная форма. Умножение комплексных чисел в алгебраической форме осуществляется по формуле: 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) с с a ib a ib a a ib ib ib a ib a a a b b ib a ib a (1.10) - 5 - Умножение комплексных чисел в показательной форме осуществляется по формуле: 1 2 1 2 ψ ψ (ψ ψ ) 1 2 1 2 1 2 i i i с с с e с e с с e . (1.11) При делении комплексных чисел в алгебраической форме следует числитель и знаменатель умножить на комплексное число, сопряженное знаменателю: 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) с a ib a ib a ib с a ib a ib a ib . (1.12) Деление комплексных чисел в показательной форме произ- водится в соответствии с формулой: 1 1 2 2 ψ 1 1 (ψ ψ ) 1 ψ 2 2 2 i i i с e с с e с с e с (1.13) 1.4. Способы изображения синусоидальных функций вре- мени Синусоидальные функции времени могут быть представле- ны тригонометрической формой записи, временными диаграм- мами, вращающимися векторами и комплексными числами. Тригонометрическая форма записи тока, изменяющегося во времени по синусоидальному закону, может быть представлена выражением φ m i i I sin(ω t ) , (1.14) - 6 - где i - мгновенное значение тока; m I - максимальное (ампли- тудное) значение тока; ω - угловая частота, характеризующая скорость изменения фазового угла; t - текущее значение вре- мени; φ i - начальная фаза (начальный фазовый угол). Геометрический смысл параметров, входящих в выражение (1.14), раскрывает временная диаграмма,представленная на рис.1.2 б. а б Рис. 1.2 Переход от временных диаграмм к вращающимся векторам для различных моментов времени показан на рис. 1.2 а, б. Оче- видно, что вектор длиной m I вращается с постоянной угловой частотой ω . При этом за положительное направление вращения в электротехнике принимается направление против хода часо- - 7 - вой стрелки. Проекция вращающегося вектора на ось ординат определяет мгновенное значение синусоидального тока. В электротехнике, кроме мгновенных и максимальных зна- чений синусоидальных величин, используются средние и дей- ствующие значения. Именно эти значения показывают боль- шинство измерительных приборов, поэтому условимся, что да- лее в расчетах будут использоваться только действующие зна- чениясинусоидальных электродвижущих сил (ЭДС), напряже- ний и токов. Действующие значения синусоидальных ЭДС, напряжений и токов могут быть определены на основании максимальных значений с помощью следующих выражений: ; ; 2 2 2 m m m E U I E U I . (1.15) На рис.1.2 а показано, что длина вращающегося вектора равна амплитудному значению синусоидальной величины. Од- нако следует отметить, что вращающиеся векторы могут иметь длину, равную действующему значению. 1.5. Метод комплексных чисел. Законы электрических це- пей в комплексной форме Метод комплексных чисел нашел широкое применение в электротехнике при расчетах электрических цепей синусои- дального переменного тока. При этом в качестве векторов на комплексной плоскости изображаются синусоидальные функции времени (ЭДС, напряжения и токи). Сущность расчета электрических цепей с помощью данного метода заключается в том, что графические операции над век- торами заменяют алгебраическими действиями над комплекс- ными числами. - 8 - В электротехнике, чтобы избежать сходства мнимой едини- цы i с силой тока, мнимую единицу обозначают буквой j. При использовании метода комплексных чисел уравнения электрических цепей записывают на основании законов Ома и Кирхгофа. Математическое выражение закона Ома в комплексной форме имеет вид U I Z , (1.16) где I - комплекс действующего значения силы тока (комплекс тока); U - комплекс действующего значения напряжения, при- ложенного к цепи (комплекс напряжения); Z - полное ком- плексное сопротивление. Отличие обозначения комплексного сопротивления Z от обозначения комплексных напряжения U и тока I связано с тем, что комплексное сопротивление не является синусоидаль- ной функцией времени. Математическое выражение первого закона Кирхгофа в комплексной форме имеет вид 1 0 n k k I , (1.17) где k – число комплексных токов, сходящихся в узле электриче- ской цепи. В соответствии с (1.17) сумма комплексных токов, сходя- щихся в узле электрической цепи, равна нулю. Математическое выражение второго закона Кирхгофа в комплексной форме имеет вид: - 9 - 1 0 n k k U , (1.18) где k – число комплексных напряжений вдоль замкнутого кон- тура. В соответствии с (1.18) сумма комплексных напряжений вдоль любого замкнутого контура равна нулю. 1.6. Понятие о полном комплексном сопротивлении Составными элементами цепей синусоидального тока явля- ются активное сопротивление R, индуктивность L и емкость C. Каждый из этих элементов оказывает сопротивление перемен- ному току. На активном сопротивлении R энергия электрического тока преобразуется в тепловую энергию. Такое преобразование явля- ется необратимым. На индуктивности L происходит периодическое преобразо- вание энергии электрического тока в энергию магнитного поля, накопление и обратное преобразование. На емкости С происходит периодическое преобразование энергии электрического тока в энергию электрического заряда, накопление и обратное преобразование. Поскольку процессы в индуктивности и емкости являются обратимыми, то эти элементы называют реактивными. Индуктивность обладает реактивным сопротивлением, ко- торое называют индуктивным сопротивлением ω 2π , Ом L X L fL (1.19) где f – частота переменного синусоидального напряжения, Гц; L – индуктивность, Гн. - 10 - Конденсатор обладает реактивным сопротивлением, кото- рое называют емкостным сопротивлением 1 1 , Ом ω 2π с X С fС (1.20) где С – емкость, Ф. Если элементы R, L, C соединены последовательно, то пол- ное комплексное сопротивление можем записать в виде ( ), Ом L C L C Z R jX jX R j X X . (1.21) В соответствии с (1.21) очевидно, что полное комплексное сопротивление имеет действительную и мнимую части: , Ом Z R jX (1.22) где R – активное сопротивление; X – реактивное сопротивление. В (1.22) знак «плюс» перед jX ставится, если L C X X , в противном случае ставится знак «минус». 1.7. Угол сдвига фаз. Векторная диаграмма Токи и напряжения на различных участках электрической цепи синусоидального тока могут не совпадать по фазе, напри- мер: sin(ω φ ) m i i I t ; (1.23) sin(ω φ ) m u u U t , (1.24) где φ i - начальная фаза тока; φ u - начальная фаза напряжения. - 11 - Тогда угол сдвига фаз между током и напряжением опреде- ляют как разность их начальных фаз φ φ φ u i (1.25) Угол сдвига фаз между током и напряжением на некото- ром участке электрической цепи зависит от характера сопротив- ления данного участка и определяется по формуле: φ arctg L C X X R (1.26) Наглядное представление о фазовом расположении различ- ных векторов дает векторная диаграмма токов и напряжений. Векторная диаграмма – это совокупность векторов на ком- плексной плоскости, изображающих синусоидальные функции времени одной и той же частоты и построенных с соблюдением их начальных фаз. Поскольку расчет электрических цепей синусоидального переменного тока ведется, как правило, с использованием мето- да комплексных чисел, то и векторные диаграммы также стро- ятся на комплексной плоскости. Векторные диаграммы чаще всего выполняют совмещен- ными, то есть на одной комплексной плоскости откладывают векторы токов и напряжений для отдельных участков цепи. При этом необходимо выбрать масштабы для токов и напряжений. Следует отметить, что для токов может быть выбран один мас- штаб, а для напряжений – другой. Это никоим образом не иска- жает общей картины, поскольку векторная диаграмма дает представление о взаимном расположении векторов и позволяет судить о наличии сдвига фаз между током и напряжением на отдельных участках электрической цепи. - 12 - Из курса высшей математики известно, что над векторами можно производить следующие действия: сложение, вычитание, умножение на число и деление на число. В электротехнике принято с помощью векторной диаграм- мы складывать или вычитать векторы. Очевидно, что эти дей- ствия можно производить над векторами, имеющими одинако- вую размерность. На рис. 1.3 а показано сложение двух комплексных токов 2 I , 3 I по правилу параллелограмма. Результатом сложения яв- ляется комплексный ток 1 I . На рис. 1.3 б показано вычитание комплексного напряжения В U из комплексного напряжения A U , в результате чего получаем комплексное напряжение AВ U а б Рис. 1.3 - 13 - Цель построения векторной диаграммы заключается в том, чтобы иметь возможность качественно контролировать анали- тические расчеты электрических цепей синусоидального тока. Например, на векторной диаграмме напряжение на индук- тивности должно опережать протекающий через нее ток на 90 о , а на емкости напряжение должно отставать от тока на 90 о Эти и другие возможные варианты соединения элементов отдельных участков электрических цепей, их сопротивления и значения (пределы изменения) углов сдвига фаз приводятся в табл. 1.1. - 14 - Таблица 1.1 Элементы Сопротивление; полное комплексное сопротивление Z Угол сдвига фаз между током и Напряжением Векторная диаграмма 1.Резистор R Z R φ arctg 0 arctg 0 X R R 2.Катушка индуктивности ω L L X L Z jX φ arctg arctg 90 0 L L X R X 3.Конденсатор 1 ω C C X C Z jX φ arctg arctg 90 0 C C X R X 4.Резистор и катушка индуктивности 2 2 L L Z R X Z R jX φ arctg ; 0 φ 90 L X R - 15 - Окончание таблицы 1.2 Элементы Сопротивление; полное комплексное сопротивление Z Угол сдвига фаз между током и Напряжением Векторная диаграмма 7. Резистор, катушка индуктивности и конденсатор 2 2 L C L C Z R (X X ) Z R j(X X ) φ arctg L C X X R I.Если , то 0 φ 90 L C X X II.Если , то 0 φ 90 L C X X III.Если , то φ 0 L C X X - 16 - |