Пономаренко-Математика. Кратные интегралы. Учебное пособие предисловие данное учебное пособие предназначено для студентов немате
 Скачать 0.93 Mb.
|
|
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Вальд Даниил МАТЕМАТИКА. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Учебноепособие ПРЕДИСЛОВИЕДанное учебное пособие предназначено для студентов немате- матических факультетов, изучение математики на которых про- исходит в сокращенном объеме. Рассматривается тема «Двой- ные и тройные интегралы» курсов «Математический анализ» или «Высшая математика». Также дано понятие n-кратного интеграла. Необходимые для решения задач теоретические сведения приводят- ся в каждом разделе. Пособие содержит подробные решения типовых (и не только) примеров и задач, в конце некоторых разделов дополнительно ука- заны номера примеров из задачника Г. Н. Бермана [4] для самостоя- тельной работы. В самом конце учебного пособия приведено 26 ва- риантов контрольных заданий. Задания составлены с расчетом на индивидуальную работу в пределах группы 25–30 человек. Материалы пособия в течение нескольких лет использовались при изучении курса «Высшая математика» для направления «Хи- мия» химического факультета СПбГУ. Настоящее пособие может быть полезно студентам, изучающим указанные курсы или соответствующие темы в других курсах, а также преподавателям. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛНекоторые задачи, приводящие к понятию двойного интеграла Прежде всего решим задачуомассеплоскойфигуры. ∈ Пусть на плоскости Oxyимеется фигура (S) (рис. 1). Пусть в каждой точке M (x, y) (S) задана поверхностная плотность рас- пределения массы μ= f(x,y). Разобьем (S) на nчастей (ΔSj) (рис. 2). Обозначим: dj= sup P,Q∈(ΔSj) {|PQ|} — диаметр части (ΔSj), j λ= max{dj} — ранг разбиения, ΔSj— площадь части (ΔSj).   Рис.1 Рис.2 В каждой частичной области (ΔSj) возьмем произвольную точ- ку Mj(xj,yj). Приближенное значение массы Δmjчасти (ΔSj) вы- ражается равенством Δmj∼= f(xj,yj)ΔSj, а вся масса фигуры (S) n n j=1 j=1 m= Σ Δmj∼= Σ f(xj,yj)ΔSj. Последнее равенство тем точнее, чем меньше ранг разбиения λ. Будем разбивать (S) на все более мелкие части так, чтобы λn−→→∞ 0. Для каждого разбиения будем выбирать точки Mjи со- Σ ставлять суммы n j=1 f(xj,yj)ΔSj . Точное значение массы будет вы- ражаться формулой m= lim λ→0 n Σ f(xj,yj)ΔSj. (1) j=1 Аналогично рассматривается задача о величине электрическогоили магнитного заряда плоской пластины (S), если поверхност- ная плотность распределения заряда равна f (x, y). Решение также имеет вид (1). Точно такое же решение будет в задаче об объеме цилиндрическо-го бруса. Имеется пространственная область, ограниченная снизу плоскостью Oxy, с боков — цилиндрической поверхностью, прохо- дящей через границу фигуры (S), лежащей в плоскости Oxy, с об- разующими, параллельными оси Oz, сверху — поверхностью с урав- нением z = f (x, y) (рис. 3, a). Эту пространственную область обыч- но называют цилиндрическимбрусом. Требуется найти его объем.  Рис.3 Разобьем, как и ранее, основание (S) на n частей (ΔSj), через границу каждой части проведем цилиндрическую поверхность с об- разующими, параллельными оси Oz. Тогда цилиндрический брус разобьется на n столбиков (рис. 3, б ). В основании (ΔSj) j-го стол- бика, j = 1, 2,... , n, возьмем произвольную точку Mj(xj, yj) и вы- числим f (xj, yj). Заменим рассматриваемый столбик цилиндром с тем же основанием (ΔSj), образующими, параллельными оси Oz, и высотой hj= f (xj, yj). Его объем Δvjбудет равен hjΔSj. Поэтому объем Δvjизображенной на рис. 3, бчасти цилиндрического бруса дается приближенным равенством Δvj∼= hjΔSj. Объем всего цилиндрического бруса находится по формуле n n j=1 j=1 V= Σ Δvj∼= Σ f(xj,yj)ΔSj. Последнее равенство тем точнее, чем меньше ранг разбиения. По- этому Σ n V= lim f(xj,yj)ΔSj. (2) λ→0 j=1 Существует много других задач, решения которых имеют такой же вид. |