Пономаренко-Математика. Кратные интегралы. Учебное пособие предисловие данное учебное пособие предназначено для студентов немате

• Название: Учебное пособие предисловие данное учебное пособие предназначено для студентов немате
• Дата: 27.03.2023
• Размер: 0.93 Mb.
• Имя файла: Пономаренко-Математика. Кратные интегралы.docx
• Тип: Учебное пособие; #1019168
• страница: 5 из 17

∫∫
Замена переменных в двойном интеграле
Замена переменных интегрирования в интеграле f(x,y) dxdy

(S)

состоит в переходе от переменных xи yк новым переменным uи

v, связанным со старыми соотношениями

x= x(u,v),

y= y(u,v).
(4)

Рис.13



При этом система (4) представляет собой отображение Φ =

^x(u,v) некоторой замкнутой ограниченной области (σ) в плос-

y(u,v)

кости O₁uvна замкнутую ограниченную область (S) в плоскости

Oxy(рис. 13). Если выполняются условия:

1. 
   отображение (4) взаимно однозначно;
   
2. 
   функции x(u, v), y(u, v) в (4) непрерывно дифференцируемы в (σ);
   
3. 
   якобиан отображения (4)
   

._.

∂y^._.




.
∂x

J(u,v) = ^∂u

∂y

∂u
∂x


.
^∂v= 0 в (σ),

∂v

то имеет место формула⁴

∫∫
(S)

f(x,y) dxdy=


∫∫
(σ)

f(x(u,v),y(u,v)) |J(u,v)| dudv.(5)

При этих условиях существует обратное отображение Φ⁻¹ :

(S) −→ (σ),

_{Φ−1 =} u(x,y) _{, т. е.} u= u(x,y),₍₆₎

v(x,y) v= v(x,y).

Φ
Далее, ∀N ∈ (σ), N(u,v) −→ M(x(u,v),y(u,v)), M ∈ (S);

u, vназываются криволинейнымикоординатамиточки M ⁵. Кри- вые u(x, y) = const, v(x, y) = const называются координатнымилиниями. Через каждую точку M области (S) проходят две коор- динатные линии u = const, v = const. (Аналогично для каждой точки N∈ (σ).)





Рис.14
Во многих задачах в качестве криволинейных координат часто используются полярные координаты r, ϕ, которые определяются следующим образом (рис. 14). Вводится полярная ось (l) с началом в полюсе (точка P ). Из Pпроводится луч PM в точку M (M — лю- бая точка плоскости, не совпадающая с точкой P ). Первая коорди- ната r— полярный радиус-вектор точки M— задается равенством

r= PM, вторая координата ϕ— угол между вектором P⁻⁻M^→ и осью


∞
(l), 0 ≤ r< + , 0 ≤ ϕ<2π. При r= 0 угол ϕне определен, для него можно задать любое значение.

⁴ Доказательство этого утверждения желательно изучить самостоятельно, используя учебники, например [1].

⁵ Криволинейные координаты u,vзаписывают так же, как и декартовы (в

круглых скобках рядом с точкой: M(u,v)).

Во многих случаях полярные координаты связывают с декарто- выми. Если полярную ось совместить с неотрицательной полуосью Ox прямоугольной декартовой системы координат Oxyтак, чтобы полюс P совпал с точкой O, то получим формулы
x = r cos ϕ,y= rsin ϕ.

Найдем якобиан преобразования:
∂x∂x

. . _{. .}

.

∂y

^. ∂r

∂y

∂ϕ^.

sin ϕ rcos ϕ^.
J(r,ϕ) = ^∂r

_{∂ϕ. = .}cos ϕ −rsin ϕ_{. = r.}

Формула (5) запишется в виде

∫∫

∫∫
f(x,y) dxdy= f(rcos ϕ,rsin ϕ)rdrdϕ. (7)

(S) (σ)

Приведем примеры замены переменных.


x

(S)

Пример_1.'>Пример 1. Вычислить интеграл I= ^{∫∫ y} 2 (x² + 2) dxdy, (S)

расположена в 1-м координатном квадранте и ограничена линиями

с уравнениями xy= 1, xy= 2, y= x, y= 3x(рис. 15).





Рис.15 Рис.16

Решение. Введем новые переменные интегрирования u и v


y
по формулам ^{u= xy}. Область (S) перейдет в область (σ) =

v=

x

⎧
{(u,v)| 1 ≤

u≤ 2, 1 ≤ v ≤ 3} (рис. 16). Выразим x и y через

uи v: ⎨^x= v. Найдем якобиан преобразования:

^⎩y= ^√uv

^. ∂x

∂x^.

1



1 u_.

J(u,v) = ^∂u


_∂v 2^√uv⁻ 2


₌ .
.

_v³ 1 1 1


.
= + = .

∂y∂y

. .

_. 1 v

^{1 u}_. 4v 4v 2v

.
∂u ∂v

^. 2 u

2 v ^.

Вычиcлим далее интеграл I.
I = ∫∫

_v2 u_{+ 2} 1

dudv=

_{1 ∫}2

(σ)


∫

−

∫∫

1

.

=

2

1

du

v=1

du=
_∫3

v 2v


(u+ 2v)dv=

2

1

(uv+ v²)
_{1 ∫}2

^.v=3

2

1

= ₂ (3u+9 − u− 1)du=

1

2


∫
(u+ 4)du=

1

_u2

+ 4u



2

² 11


_.

=

.
._{1 2}

Пример 2. Вычислить интеграл I= (x² + 3y²) dxdy, где (S)

(S)

ограничена частью лемнискаты Бернулли (x² + y²)² = 4(x² y²),

лежащей в первом квадранте, и осью Ox(рис. 17).

Рис.17

Решение.Введем полярные координаты r,ϕ: ^{x= rcos ϕ}.

y= rsin ϕ


√
Уравнение лемнискаты Бернулли запишется в виде r =

2. 
   cos 2ϕ.Точка (r,ϕ) находится в области интегрирования (S), ес-
   

4
ли 0 ≤ ϕ≤ ^π, 0 ≤ r≤ 2^√cos 2ϕ. Поэтому

∫
π

4

I= dϕ

0

π

2^√cos 2ϕ


∫
r²(1+2 sin² ϕ) · rdr=

0
π


∫
4

(2−cos 2ϕ)dϕ

0


.

₄ r=2

cos 2ϕ

.

2
π

2^√cos 2ϕ


∫
r³dr=

0

(2 − cos 2ϕ) r _r=0 dϕ= 4

0

=

4
_{1 ∫}4



√ ^∫4

∫

∫
π π

4 4

= 4 (1+ cos 4ϕ)dϕ− 4

0 0


∫
π

4

_ππ

cos³ 2ϕdϕ=

= 4 · ₄

+ sin 4ϕ| ⁴ − 2


0
0

(1 − sin² 2ϕ)d(sin 2ϕ) =

2

= π+0 − 2 · 1+ ₃

sin³

π


0

4

3
2ϕ^{. 4} = π− .

Задание. Из задачника [4] решить примеры № 3525–3527, 3530, 3539, 3540, 3602–3605.