Пономаренко-Математика. Кратные интегралы. Учебное пособие предисловие данное учебное пособие предназначено для студентов немате
 Скачать 0.93 Mb.
|
ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛКак и ранее, начнем изложение с задач, приводящих к понятию тройного интеграла. Задача о массе телаРассмотрим задачу о массе тела в пространстве, аналогичную задаче о массе плоской фигуры. ∈ Пусть в пространстве Oxyzимеется тело (V ) (рис. 18). Пусть в каждой точке M (x, y, z) (V ) задана объемная плотность распре- деления массы μ= f(x,y,z).   Рис.18 Рис.19 j Разобьем (V) на nчастей (ΔVj) (рис. 19). Обозначим: dj= sup P,Q∈(ΔVj) {|PQ|} — диаметр части (ΔVj), λ= max{dj} — ранг раз- биения, ΔVj— объем части (ΔVj). В каждой частичной области (ΔVj) возьмем произвольную точку Mj(xj,yj,zj). Приближенное значение массы Δmjчасти (ΔVj) выражается равенством Δmj=∼ f(xj,yj,zj)ΔVj, а вся масса тела (V) n n j=1 j=1 m= Σ Δmj∼= Σ f(xj,yj,zj)ΔVj. Точное значение массы имеет вид Σ n m= lim f(xj,yj,zj)ΔVj.(8) λ→0 j=1 Аналогично рассматривается задача о величине электрическогоили магнитного заряда пространственного тела (V ), если объем- ная плотность распределения заряда равна f (x, y, z). Ее решение также имеет вид (8). Существует много других задач, решения ко- торых имеют такое же выражение. |