Пономаренко-Математика. Кратные интегралы. Учебное пособие предисловие данное учебное пособие предназначено для студентов немате

• Название: Учебное пособие предисловие данное учебное пособие предназначено для студентов немате
• Дата: 27.03.2023
• Размер: 0.93 Mb.
• Имя файла: Пономаренко-Математика. Кратные интегралы.docx
• Тип: Учебное пособие; #1019168
• страница: 3 из 17

Основные свойства двойного интеграла ³

1. 
   Свойство линейности. Пусть f,g— интегрируемые по (S)
   

функции, αи β — числа. Имеет место равенство

∫∫ (αf(x,y)+βg(x,y)) dxdy= α∫∫ f(x,y) dxdy+β∫∫ g(x,y) dxdy.

(S)

(S)
Следствие 1. При α= β= 1

(S)

∫∫ (f(x,y)+ g(x,y)) dxdy= ∫∫

f(x,y) dxdy+ ∫∫
g(x,y) dxdy,

(S)

(S)

(S)

т. е. интеграл суммы интегрируемых функций равен сумме инте- гралов от каждого слагаемого.

Следствие 2. При α= 1,β= −1

∫∫ (f(x,y) − g(x,y)) dxdy= ∫∫ f(x,y) dxdy− ∫∫ g(x,y) dxdy,

(S)

(S)

(S)

т. е. интеграл разности интегрируемых функций равен разности ин- тегралов от уменьшаемого и вычитаемого.

¹ Доказательства теорем можно найти в различных учебниках, например в [1].

² Все рассматриваемые здесь и далее линии — линии с нулевой площадью,

т. е. каждую из них можно заключить в многоугольник сколь угодно малой площади (см., например, [1]).

³ Приведены только формулировки свойств. Доказательства можно найти в

учебниках (см. список литературы в конце пособия).

∫∫

∫∫
Следствие 3. При β= 0

(S)

αf(x,y) dxdy= α

(S)

f(x,y) dxdy,

т. е. постоянный множитель можно выносить из-под знака интегра- ла.

Замечание. Свойство 1 и его следствия 1, 2 легко распростра- нить, используя, например, метод математической индукции, на любое конечное множество слагаемых.

2. 
   Свойство аддитивности. Пусть область интегрирования
   

19. 
    является объединением множеств (S₁) и (S₂), не имеющих об- щих внутренних точек (рис. 4). Тогда
    

∫∫ f(x,y) dxdy= ∫∫

f(x,y) dxdy+ ∫∫
f(x,y) dxdy.

(S)

^(S1<sup>)

(S</sup>2⁾

Рис.4
Замечание. Это свойство распространяется и на большее, чем два, число частей множества (S).

3. 
   Свойство 3 (Интегрирование неравенств). Пусть а) функции f,gинтегрируемы по (S);
   

∀ ∈
б) (x,y) (S) f(x,y) ≥ g(x,y).

Тогда

∫∫ f(x,y) dxdy≥ ∫∫ g(x,y) dxdy.

(S)

Следствие. Пусть

(S)

∀ ∈
а) функция fинтегрируема по (S); б) (x,y) (S) f(x,y) ≥ 0.


∫∫
Тогда

f(x,y) dxdy≥ 0.

(S)

∫∫
4. Свойство 4 (Теорема о среднем). Пусть f — непрерыв- ная на замкнутом множестве (S) функция. Существует такая точка M₀(x₀,y₀),M₀ ∈ (S), что выполняется равенство

f(x,y) dxdy= f(x₀,y₀) · S,

(S)
где S— площадь (S).

5. Свойство 5. Если функция f интегрируема по (S), то функ- ция |f| интегрируема по (S) и имеет место неравенство

^.∫∫ f(x,y) dxdy^. ≤ ∫∫
|f(x,y)| dxdy.

^.(S) ^. (S)