Пономаренко-Математика. Кратные интегралы. Учебное пособие предисловие данное учебное пособие предназначено для студентов немате

• Название: Учебное пособие предисловие данное учебное пособие предназначено для студентов немате
• Дата: 27.03.2023
• Размер: 0.93 Mb.
• Имя файла: Пономаренко-Математика. Кратные интегралы.docx
• Тип: Учебное пособие; #1019168
• страница: 8 из 17

Основные свойства тройного интеграла ⁸

1. 
   Свойство линейности. Пусть f,g— интегрируемые по (V)
   

∫∫∫
функции, αи β — числа. Имеет место равенство

∫∫∫
(V)

(αf(x,y,z)+ βg(x,y,z)) dxdydz=

= α

(V)

f(x,y,z) dxdydz+ β


∫∫∫
(V)

g(x,y,z) dxdydz.

∫∫
Следствие_1.'>Следствие 1. При α= β= 1
(f(x,y,z)+ g(x,y,z)) dxdydz=


∫∫∫

∫∫∫
(V)

=

(V)

f(x,y,z) dxdydz+

(V)

g(x,y,z) dxdydz,

т. е. интеграл суммы интегрируемых функций равен сумме инте- гралов от каждого слагаемого.


∫∫∫
Следствие 2. При α= 1, β= −1

∫∫∫
(V)

(f(x,y,z) − g(x,y,z)) dxdydz=

=

(V)

f(x,y,z) dxdydz−


∫∫∫
(V)

g(x,y,z) dxdydz,

т. е. интеграл разности интегрируемых функций равен разности ин- тегралов от уменьшаемого и вычитаемого.

Следствие 3. При β= 0

(V)

αf(x,y,z) dxdydz= α


∫∫∫

∫∫∫
(V)

f(x,y,z) dxdydz,

т. е. постоянный множитель можно выносить из-под знака инте- грала.

⁸ Приведем только формулировки свойств. Доказательства можно найти в учебниках (см. список литературы в конце пособия).

Замечание. Свойство_аддитивности.'>Свойство 1 и его следствия 1, 2 легко распростра- нить, используя, например, метод математической индукции, на любое конечное множество слагаемых.

2. 
   
   ∫∫∫
   Свойство аддитивности. Пусть область интегрирования (V ) является объединением множеств (V₁) и (V₂), не имеющих об- щих внутренних точек (рис. 20). Тогда
   

∫∫∫
(V)

f(x,y,z) dxdydz=

=

^(V1⁾

f(x,y,z) dxdydz+


∫∫∫
^(V2 ⁾

f(x,y,z) dxdydz.

Рис.20

Замечание. Это свойство распространяется и на большее, чем два, число частей множества (V).

3. 
   Свойство 3 (Интегрирование неравенств). Пусть а) функции f,gинтегрируемы по (V);
   

∀ ∈
б) (x,y,z) (V) f(x,y,z) ≥ g(x,y,z).

Тогда

(V)

f(x,y,z) dxdydz≥


∫∫∫

∫∫∫
(V)

g(x,y,z) dxdydz.

Следствие. Пусть


∀ ∈
а) функция fинтегрируема по (V ); б) (x,y,z) (V) f(x,y,z) ≥ 0.


∫∫∫
Тогда

(V)

f(x,y,z) dxdydz≥ 0.

4. 
   
   ∫∫∫
   Свойство 4 (Теорема о среднем). Пусть f — непрерывная на замкнутом множестве (V ) функция. Существует такая точка M₀(x₀,y₀,z₀),M₀ ∈ (V), что выполняется равенство
   

f(x,y,z) dxdydz= f(x₀,y₀,z₀) · V,

(V)
где V— объем (V).

5. 
   Свойство 5. Если функция fинтегрируема по (V ), то функ- ция |f| интегрируема по (V) и имеет место неравенство
   

_.∫∫∫

f(x,y,z) dxdydz^. ≤ ∫∫∫
|f(x,y,z)| dxdydz.

^. (V) ^. (V)