Пономаренко-Математика. Кратные интегралы. Учебное пособие предисловие данное учебное пособие предназначено для студентов немате
 Скачать 0.93 Mb.
|
Определение двойного интеграла∈ Пусть на плоскости Oxy имеется фигура (S) (см. рис. 1). Пусть в каждой точке M (x, y) (S) задана функция f (x, y). Разобьем, как и выше, (S) на nчастей (ΔSj) (см. рис. 2). Обозначим: dj— диа- метр частичной области (ΔSj), λ — ранг разбиения, ΔSj— площадь части (ΔSj). В каждой части (ΔSj) возьмем произвольную точку Mj(xj,yj) и составим сумму f(xj,yj)ΔSj. Эта сумма называет- Σn j=1 ся интегральнойсуммой, соответствующей взятому разбиению и выбору точек Mj. →∞ Продолжим разбиение фигуры (S) так, чтобы λ−→ 0. При каж- дом разбиении будем выбирать точки M n jв каждой частичной об- ласти и составлять соответствующие интегральные суммы. Предел последовательности интегральных сумм называется двойным ин-тегралом от функции f по области (S), если этот предел не зависит ни от способа разбиения, ни от выбора точек Mj: ∫∫ f(x,y) dxdy Σ n def = lim f(xj,yj)ΔSj. (3) (S) λ→0 j=1 ∫∫ Множество (S) называется областьюинтегрирования, f — подынтегральной функцией, x, y — переменными интегрирования. Если существует f(x,y) dxdy, то функция fназывается инте- (S) грируемойпообласти(S). Основные классы интегрируемых функций. Основные свойства двойного интегралаОсновные классы интегрируемых функцийПриведем без доказательств две теоремы о достаточных усло- виях интегрируемости функции1. Теорема 1. Функция, непрерывная на замкнутом множестве , интегрируема по этому множеству. Теорема 2. Функция, ограниченная и непрерывная на замкну- том множестве (S), исключая конечное множество точек и линий2 разрыва, интегрируема по этому множеству. |