Пономаренко-Математика. Кратные интегралы. Учебное пособие предисловие данное учебное пособие предназначено для студентов немате
 Скачать 0.93 Mb.
|
Определение тройного интеграла∈ Σ Пусть в пространстве Oxyz имеется тело (V ) (см. рис. 18). Пусть в каждой точке M (x, y, z) (V ) задана функция f (x, y, z). Разо- бьем, как и ранее, (V) на nчастей (ΔVj) (см. рис. 19). Обозначим: dj— диаметр частичной области (ΔVj), λ— ранг разбиения, ΔVj— объем части (ΔVj). В каждой части (ΔVj) возьмем произвольную точку Mj(xj,yj,zj) и составим сумму n j=1 f(xj,yj,zj)ΔVj . Эта сум- →∞ ма называется интегральной суммой, соответствующей взятому разбиению и выбору точек Mj. Продолжим разбиение тела (V ) так, чтобы λn−→ 0. При каждом разбиении будем выбирать точки Mjв каждой частичной области и составлять соответствующие инте- гральные суммы. Предел последовательности интегральных сумм называется тройным интегралом от функции f по (V ), если этот предел не зависит ни от способа разбиения, ни от выбора точек Mj: ∫∫∫ f(x,y,z) dxdydz def Σ n = lim f(xj,yj,zj)ΔVj.(9) (V) λ→0 j=1 ∫∫∫ Множество (V ) называется областьюинтегрирования, f — подынтегральной функцией, x, y, z — переменными интегрирова- ния. Если существует f(x,y,z) dxdydz, то функция fназывает- (V) ся интегрируемойпообласти(V). Основные классы интегрируемых функций. Основные свойства тройного интегралаОсновные классы интегрируемых функцийПриведем без доказательства две теоремы о достаточных усло- виях интегрируемости функции6. Теорема 1. Функция, непрерывная на замкнутом множестве (V), интегрируема по этому множеству. Теорема 2. Функция, ограниченная и непрерывная на замкну- том множестве (V ), исключая конечное множество точек, линий и поверхностей7 разрыва, интегрируема по этому множеству. 6 Доказательства можно найти в различных учебниках, например в [1]. 7 Все рассматриваемые здесь и далее линии — линии с нулевой площадью, поверхности — с нулевым объемом (см., например [1]). |