Формула. В. В. Прасолов задачи по планиметрии

• Название: В. В. Прасолов задачи по планиметрии
• Анкор: Формула
• Дата: 17.06.2022
• Размер: 6.7 Mb.
• Имя файла: planim5.pdf
• Тип: Учебное пособие; #599309
• страница: 17 из 70

§ 1. Вписанные и описанные четырёхугольники
6.1.
Докажите, что если центр вписанной в четырёхугольник окружности совпадает сточкой пересечения диагоналей, то этот четы- рёхугольник — ромб.
6.2.
Четырёхугольник ABCD описан около окружности с центром Докажите, что ∠AOB + ∠COD = 180
◦

Глава 6. Многоугольники
6.3.
Докажите, что если существует окружность, касающаяся всех сторон выпуклого четырёхугольника ABCD, и окружность, касающаяся продолжений всех его сторон, то диагонали такого четырёхуголь- ника перпендикулярны.
6.4.
Окружность высекает на всех четырёх сторонах четырёхуголь- ника равные хорды. Докажите, что в этот четырёхугольник можно вписать окружность.
6.5.
Докажите, что если в четырёхугольник можно вписать окружность, то центр этой окружности лежит на одной прямой с серединами диагоналей.
6.6.
Четырёхугольник ABCD описан около окружности с центром В треугольнике AOB проведены высоты и BB
1
, а в треугольнике высоты и DD
1
. Докажите, что точки A
1
, B
1
, и лежат на одной прямой.
6.7.
Углы при основании AD трапеции ABCD, отличной от параллелограмма, равны 2
a и 2
b
. Докажите, что трапеция описанная тогда и только тогда, когда BC/AD = tg a
tg В треугольнике ABC проведены отрезки PQ и RS, параллельные стороне AC, и отрезок BM рис. 6.1). Трапеции RPKL и Рис. описанные. Докажите, что трапеция тоже описанная.
6.9*.
Дан выпуклый четырёхугольник
ABCD. Лучи AB и DC пересекаются в точке, а лучи BC ив точке Q. Докажите,
что четырёхугольник ABCD описанный тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий AB + CD = BC + AD,
AP + CQ = AQ + CP или BP + BQ = DP + Через точки пересечения продол- жений сторон выпуклого четырёхугольни- ка ABCD проведены две прямые, делящие его на четыре четырёхугольника. Докажите, что если четырёхугольники, примыкающие к вершинами, описанные, то четырёхугольник ABCD тоже описанный.
6.11*.
На стороне BC треугольника ABC взяты точки и Докажите, что общие внешние касательные к вписанным окружностям треугольников и и общие внешние касательные к вписанным окружностям треугольников и пересекаются водной точке.
6.12*.
Через каждую из точек пересечения продолжений сторон выпуклого четырёхугольника ABCD проведено по две прямые. Эти прямые делят четырёхугольник на девять четырёхугольников.
а) Докажите, что если три из четырёхугольников, примыкающих к вершинам A, B, C, D, описанные, то четвёртый четырёхугольник тоже описанный

Условия задач
153
б) Докажите, что если r
a
, r
b
, r
c
, r
d
— радиусы окружностей, вписанных в четырёхугольники, примыкающие к вершинам A, B, C, D, то
1
r
a
+
1
r
c
=
1
r
b
+
1
r
d
6.13*.
Окружности и S
2
, и S
3
, и S
4
, и касаются внешним образом. Докажите, что четыре общие касательные (в точках касания окружностей) либо пересекаются водной точке, либо касаются одной окружности.
6.14*.
Докажите, что точка пересечения диагоналей описанного четырёхугольника совпадает сточкой пересечения диагоналей четы- рёхугольника, вершинами которого служат точки касания сторон исходного четырёхугольника с вписанной окружностью.
*
*
*
6.15*.
Четырёхугольник ABCD вписанный и H
d
— ортоцентры треугольников ABD и ABC. Докажите, что CDH
c
H
d
— параллелограмм.
6.16*.
Четырёхугольник ABCD вписанный. Докажите, что центры вписанных окружностей треугольников ABC, BCD, CDA и DAB образуют прямоугольник.
6.17*.
Продолжения сторон четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность с центром O, пересекаются в точках P и Q, а его диагонали пересекаются в точке а) Расстояния от точек P, Q и S до точки O равны p, q и s, а радиус описанной окружности равен R. Найдите длины сторон треугольника б) Докажите, что высоты треугольника PQS пересекаются в точке Диагональ AC разбивает четырёхугольник ABCD на два треугольника, вписанные окружности которых касаются диагонали водной точке. Докажите, что вписанные окружности треугольников и BCD тоже касаются диагонали BD водной точке, а точки их касания со сторонами четырёхугольника лежат на одной окружности.
6.19*.
Докажите, что проекции точки пересечения диагоналей вписанного четырёхугольника на его стороны являются вершинами описанного четырёхугольника, если они не попадают на продолжения сторон.
6.20*.
Докажите, что если диагонали четырёхугольника перпендикулярны, то проекции точки пересечения диагоналей на стороны являются вершинами вписанного четырёхугольника.
См. также задачи 13.35
,
13.36
,
16.4
,
17.5
,
30.35
,
30.44

Глава 6. Многоугольники 2. Четырёхугольники
6.21.
Угол между сторонами AB и CD четырёхугольника равен f
. Докажите, что AB
2
+ BC
2
+ CD
2
− 2(AB · BC cos B + BC · CD cos C + CD · AB cos В четырёхугольнике ABCD стороны AB и CD равны, прич м лучи AB и DC пересекаются в точке O. Докажите, что прямая, соединяющая середины диагоналей, перпендикулярна биссектрисе угла На сторонах BC и AD четырёхугольника ABCD взяты точки итак, что BM : MC = AN : ND = AB : CD. Лучи AB и DC пересекаются в точке O. Докажите, что прямая MN параллельна биссектрисе угла Докажите, что биссектрисы углов выпуклого четырёхугольни- ка образуют вписанный четырёхугольник.
6.25.
Два различных параллелограмма ABCD и с соответственно параллельными сторонами вписаны в четырёхугольник точки A и лежат на стороне PQ, B и B
1
— на QR и т. д. Докажите,
что диагонали четырёхугольника параллельны сторонам параллело- граммов.
6.26.
Середины M и N диагоналей AC и BD выпуклого четы- рёхугольника ABCD не совпадают. Прямая MN пересекает стороны ив точках и N
1
. Докажите, что если MM
1
= NN
1
, то k Докажите, что два четырёхугольника подобны тогда и только тогда, когда у них равны четыре соответственных угла и соответственные углы между диагоналями.
6.28*.
Четырёхугольник ABCD выпуклый точки A
1
, B
1
, и таковы, что AB k C
1
D
1
, AC k и т. д. для всех пар вершин. Докажите, что четырёхугольник тоже выпуклый, причём ∠A + ∠C
1
=
= Из вершин выпуклого четырёхугольника опущены перпендикуляры на диагонали. Докажите, что четырёхугольник, образованный основаниями перпендикуляров, подобен исходному четырёхугольнику.
6.30*.
Выпуклый четырёхугольник разделён диагоналями на четыре треугольника. Докажите, что прямая, соединяющая точки пересечения медиан двух противоположных треугольников, перпендикулярна прямой, соединяющей точки пересечения высот двух других треуголь- ников.
6.31*.
Диагонали описанной трапеции ABCD с основаниями и BC пересекаются в точке O. Радиусы вписанных окружностей треугольников и COD равны r
1
, r
2
, и соответственно. Докажите, что

Условия задач
155
6.32*.
Окружность радиуса касается сторон DA, AB и BC выпуклого четырёхугольника ABCD, окружность радиуса r
2
— сторон AB,
BC и CD; аналогично определяются и r
4
. Докажите, что
AB
r
1
+
CD
r
3
=
=
BC
r
2
+
AD
r
4
6.33*.
О выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что радиусы окружностей, вписанных в треугольники ABC, BCD, CDA и равны между собой. Докажите, что ABCD — прямоугольник.
6.34*.
Дан выпуклый четырёхугольник ABCD; A
1
, B
1
, и центры описанных окружностей треугольников BCD, CDA, DAB и Аналогично для четырёхугольника определяются точки A
2
,
B
2
, и D
2
. Докажите, что четырёхугольники ABCD и подобны, а коэффициент подобия равен A + ctg C)(ctg B + ctg Окружности, диаметрами которых служат стороны AB и выпуклого четырёхугольника ABCD, касаются сторон CD и AB соответственно. Докажите, что BC k Четыре прямые задают четыре треугольника. Докажите, что ортоцентры этих треугольников лежат на одной прямой.
См. также задачи
1.2
,
1.5
,
1.16
,
1.38
,
1.39
,
1.52
,
2.45
,
3.4
,
3.67
,
4.5
,
4.7
,
4.14
—
4.25
,
4.29
,
4.30
,
4.33
,
4.36
,
4.43
—
4.46
,
4.56
,
5.47
б),
5.80
—
5.82
,
7.2
,
7.10
б),
7.32
,
7.36
,
8.6
,
8.46
—
8.54
,
9.33
,
9.34
,
9.40
,
9.65
—
9.76
,
10.64
,
11.29
—
11.34
,
13.6
,
14.5
,
14.8
,
14.50
,
14.51
,
15.12
,
15.15
,
16.5
,
17.4
,
17.19
,
18.38
,
18.41
,
19.1
,
20.19
—
20.21
,
26.14
,
26.15
,
29.38
,
30.24
,
30.28
,
30.30
,
30.45
§ 3. Теорема Птолемея
6.37*.
Четырёхугольник ABCD вписанный. Докажите, что AB · CD +
+ AD · BC = AC · BD (Птолемей).
6.38*.
Четырёхугольник ABCD вписанный. Докажите, что · AD + CB · CD
BA · BC + DA · Пусть a
=
p
/7. Докажите, что a
=
1
sin 2
a
+
1
sin Расстояния от центра описанной окружности остроугольного треугольника до его сторон равны d
a
, и d
c
. Докажите, что d
a
+ d
b
+
+ d
c
= R + Вписанная окружность касается сторон BC, CA ив точках, и C
1
. Пусть Q — середина отрезка A
1
B
1
. Докажите, что Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке D. Докажите, что AB + AC 6 2AD.

Глава 6. Многоугольники
6.43*.
На дуге CD описанной окружности квадрата ABCD взята точка P. Докажите, что PA + PC Дан параллелограмм ABCD. Окружность, проходящая через точку A, пересекает отрезки AB, AC ив точках P, Q и R соответственно. Докажите, что AP · AB + AR · AD = AQ · На дуге
A
1
A
2n+1
описанной окружности
S
правильного
(2n + угольника A
1
. . . взята точка A. Докажите, что:
а) d
1
+ d
3
+ . . . + d
2n+1
= d
2
+ d
4
+ . . . + d
2n
, где d
i
= б) l
1
+ . . . + l
2n+1
= l
2
+ . . . + l
2n
, где l
i
— длина касательной, проведён- ной из точки A к окружности радиуса r, касающейся S в точке все касания одновременно внутренние или внешние).
6.46*.
Окружности радиусов x и y касаются окружности радиуса R,
причём расстояние между точками касания равно a. Вычислите длину следующей общей касательной к первым двум окружностям:
а) внешней, если оба касания внешние или внутренние одновременно б) внутренней, если одно касание внутреннее, а другое внешнее.
6.47*.
Окружности a
,
b
,
g и касаются данной окружности в вершинах и D выпуклого четырёхугольника ABCD. Пусть длина общей касательной к окружностями внешней, если оба касания внутренние или внешние одновременно, и внутренней, если одно касание внутреннее, а другое внешнее t
bg
, t
gd и т. д. определяются аналогично. Докажите, что t
ab
t
gd
+ t
bg
t
da
= t
ag
t
bd
(обобщённая теорема Птолемея).
См. также задачу 4. Пятиугольники
6.48*.
В равностороннем (неправильном) пятиугольнике угол ABC вдвое больше угла DBE. Найдите величину угла Риса) Диагонали AC и BE правильного пятиугольника пересекаются в точке Докажите, что описанная окружность треугольника касается прямой б) Пусть a — длина стороны правильного пятиугольника длина его диагонали. Докажите,
что d
2
= a
2
+ ad.
6.50*.
Докажите,
что в
правильный пятиугольник можно так вписать квадрат, что его вершины будут лежать на четырёх сторонах пя- тиугольника.
6.51*.
Правильный пятиугольник ABCDE со стороной a вписан в окружность S. Прямые, проходящие через его вершины перпендикулярно сторонам, образуют правильный пятиугольник со стороной b рис. 6.2). Сторона правильного пяти

Условия задач
157
угольника, описанного около окружности S, равна c. Докажите, что+ b
2
= См. также задачи 5. Шестиугольники
6.52*.
В выпуклом шестиугольнике ABCDEF противоположные стороны попарно параллельны. Докажите, что:
а) площадь треугольника ACE составляет не менее половины площади шестиугольника.
б) площади треугольников ACE и BDF равны.
6.53*.
Все углы выпуклого шестиугольника ABCDEF равны. Докажите, что − EF| = |DE − AB| = |AF − Суммы углов при вершинах A, C, E и B, D, F выпуклого шестиугольника ABCDEF с равными сторонами равны. Докажите, что противоположные стороны этого шестиугольника параллельны.
6.55*.
Докажите, что если в выпуклом шестиугольнике каждая из трёх диагоналей, соединяющих противоположные вершины, делит площадь пополам, то эти диагонали пересекаются водной точке.
6.56*.
Докажите, что если в выпуклом шестиугольнике каждый из трёх отрезков, соединяющих середины противоположных сторон,
делит площадь пополам, то эти отрезки пересекаются водной точке.
6.57*.
а) Противоположные стороны выпуклого шестиугольника попарно параллельны. Докажите, что этот шестиугольник вписанный тогда и только тогда, когда его диагонали AD, BE и CF
равны.
б) Докажите аналогичное утверждение для невыпуклого (возможно,
самопересекающегося) шестиугольника.
См. также задачи
1.45
,
2.12
,
2.21
,
2.49
,
3.73
,
4.6
,
4.28
,
4.31
,
5.17
,
5.84
,
5.98
,
6.97
,
9.47
а),
9.79
—
9.81
,
13.3
,
14.6
,
18.16
,
18.17
,
18.24
,
18.25
,
29.37
а),
30.41
,
30.42
§ 6. Правильные многоугольники
6.58.
Число сторон многоугольника A
1
. . . A
n
нечётно. Докажите,
что:
а) если этот многоугольник вписанный и все его углы равны, то он правильный;
б) если этот многоугольник описанный и все его стороны равны, то он правильный.
6.59.
Все углы выпуклого многоугольника A
1
. . . равны, и из некоторой его внутренней точки O все стороны видны под равными углами. Докажите, что этот многоугольник правильный

Глава 6. Многоугольники
Рис. Бумажная лента постоянной ширины завязана простым узлом и затем стянута так,
чтобы узел стал плоским
(рис. 6.3). Докажите, что узел имеет форму правильного пятиугольника.
6.61*.
На сторонах AB, BC, CD и DA
квадрата
ABCD
построены внутренним образом правильные треугольники ABK,
BCL, CDM и DAN. Докажите, что середины сторон этих треугольников (не являющихся сторонами квадрата)
и середины отрезков KL, LM, MN и NK образуют правильный двена- дцатиугольник.
6.62*.
Существует ли правильный многоугольник, длина одной диагонали которого равна сумме длин двух других диагоналей?
6.63*.
Правильный (4k + угольник вписан в окружность радиуса с центром O. Докажите, что сумма длин отрезков, высекаемых углом на прямых A
1
A
2k
, A
2
A
2k−1
, . . . , A
k
A
k+1
, равна В правильном восемнадцатиугольнике A
1
. . . проведены диагонали A
a
A
d
, и A
c
A
f
. Пусть k = a − b, p = b − c, m = c − d,
q = d − e, n = e − f и r = f − a. Докажите, что указанные диагонали пересекаются водной точке в любом из следующих случаев:
а) {k, m, n} = {p, q, б) {k, m, n} = {1, 2, 7} ив и {p, q, r} = {2, 2, Замечание. Равенство {k, m, n} = {x, y, z} означает, что указанные наборы чисел совпадают порядок их записи при этом не учитывается.
6.65*.
В
правильном тридцатиугольнике проведены три диаго- нали.
Определим для них наборы, m, итак же,
как ив предыдущей задаче.
Докажите,
что если, m, n} =
= {1, 3, 14} и {p, q, r} = {2, 2, 8}, то диагонали пересекаются водной точке.
З а меча ни е. Тройки диагоналей, пересекающихся водной точке, подробно обсуждаются на с.
613
—
617
6.66*.
В правильном угольнике (n > 3) отмечены середины всех сторон и диагоналей. Какое наибольшее число отмеченных точек лежит на одной окружности?
6.67*.
Вершины правильного угольника окрашены в несколько цветов так, что точки одного цвета служат вершинами правильного многоугольника. Докажите, что среди этих многоугольников найдутся два равных.
6.68*.
Докажите, что при n > 6 правильный (n − угольник нельзя вписать в правильный угольник так, чтобы на всех сторонах

Условия задач
159
n-угольника, кроме одной, лежало ровно по одной вершине уголь- ника.
*
*
*
6.69.
Пусть O — центр правильного угольника A
1
. . . A
n
, X — произвольная точка. Докажите, что –
OA
1
+ . . . +
# –
OA
n
= и –
XA
1
+ . . .
. . . +
# –
XA
n
= n
# Докажите, что в вершинах правильного угольника можно расставить действительные числа x
1
, . . . , x
n
, все отличные от нуля,
так, чтобы для любого правильного угольника, все вершины которого являются вершинами исходного угольника, сумма чисел, стоящих в его вершинах, равнялась нулю.
6.71.
Точка A лежит внутри правильного десятиугольника X
1
. . . а точка B — вне его. Пусть a =
# –
AX
1
+ . . . +
# и b = # –
BX
1
+ . . . + # Может ли оказаться, что > Правильный многоугольник A
1
. . . вписан в окружность радиуса R с центром O; X — произвольная точка. Докажите, что+ . . . + A
n
X
2
= n(R
2
+ d
2
), где d = Найдите сумму квадратов длин всех сторон и диагоналей правильного угольника, вписанного в окружность радиуса Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки X до вершин правильного угольника будет наименьшей, если X — центр
n-угольника.
6.75.
Правильный угольник A
1
. . . вписан в окружность радиуса с центром O; e
i
=
# –
OA
i
, x =
# –
OX — произвольный вектор. Докажите,
что
P(e
i
, x)
2
= nR
2
· Найдите сумму квадратов расстояний от вершин правильного угольника, вписанного в окружность радиуса R, до произвольной прямой, проходящей через центр многоугольника.
6.77.
Расстояние от точки X до центра правильного угольника равно d, r — радиус вписанной окружности угольника. Докажите,
что сумма квадратов расстояний от точки X до прямых, содержащих стороны угольника, равна n(r
2
+ Докажите, что сумма квадратов длин проекций сторон правильного угольника на любую прямую равна na
2
/2, где a — сторона n-угольника.
6.79*.
Правильный угольник A
1
. . . вписан в окружность радиуса точка этой окружности. Докажите, что XA
4 1
+ . . . + XA
4
n
=
= а) Правильный угольник A
1
. . . вписан в окружность радиуса с центром O; e
i
= # –
OA
i
, u — произвольный вектор. Докажите,
что
P(u, e
i
)
e
i
= б) Из произвольной точки X опущены перпендикуляры XA
1
, . . .
. . . , на стороны правильного угольника (или на их продолжения. Докажите, что –
XA
i
= n
# –
XO/2, где O — центр угольника

Глава 6. Многоугольники
6.81*.
Докажите, что если число n не является степенью простого числа, то существует выпуклый угольник со сторонами длиной, все углы которого равны.
См. также задачи 7. Вписанные и описанные многоугольники
6.82*.
На сторонах треугольника внешним образом построены три квадрата. Какими должны быть углы треугольника, чтобы шесть вершин этих квадратов, отличных от вершин треугольника, лежали на одной окружности?
6.83*.
В окружность вписан угольник A
1
. . . A
2n
. Пусть p
1
, . . .
. . . , p
2n
— расстояния от произвольной точки M окружности до сторон. Докажите, что p
1
p
3
. . . p
2n−1
= p
2
p
4
. . . Вписанный многоугольник разбит непересекающимися диагоналями на треугольники. Докажите, что сумма радиусов всех вписанных в эти треугольники окружностей не зависит от разбиения.
6.85*.
Два угольника вписаны в одну окружность, причём наборы длин их сторон одинаковы, ноне обязательно равны соответственные стороны. Докажите, что площади этих многоугольников равны.
6.86*.
Положительные числа a
1
, . . . , таковы, что 2a
i
< a
1
+ . . . + при всех i = 1, . . . , n. Докажите, что существует вписанный угольник, длины сторон которого равны a
1
, . . . , Точка, лежащая внутри описанного угольника, соединена отрезками со всеми вершинами и точками касания. Образовавшиеся при этом треугольники попеременно окрашены в красный и синий цвет. Докажите, что произведение площадей красных треугольников равно произведению площадей синих треугольников.
6.88*.
В угольнике (n нечётно) A
1
. . . A
2n
, описанном около окружности с центром O, диагонали A
1
A
n+1
, A
2
A
n+2
, . . . , проходят через точку O. Докажите, что и диагональ проходит через точку Окружность радиуса r касается сторон многоугольника в точках, причём длина стороны, на которой лежит точка равна a
i
. Точка X удалена от центра окружности на расстояние Докажите, что a
1
XA
2 1
+ . . . + a
n
XA
2
n
= P(r
2
+ d
2
), где P — периметр мно- гоугольника.
6.90*.
Около окружности описан угольник A
1
. . . A
n
; l — произвольная касательная к окружности, не проходящая через вершины угольника. Пусть a
i
— расстояние от вершины до пря-

Условия задач
161
мой l, b
i
— расстояние от точки касания стороны с окружностью до прямой l. Докажите, что:
а) величина b
1
. . . b
n
/(a
1
. . . a
n
) не зависит от выбора прямой б) величина a
1
a
3
. . . a
2m−1
/(a
2
a
4
. . . a
2m
) не зависит от выбора прямой, если n = Некоторые стороны выпуклого многоугольника красные,
остальные синие. Сумма длин красных сторон меньше половины периметра, и нет ни одной пары соседних синих сторон. Докажите, что в этот многоугольник нельзя вписать окружность.
См. также задачи
1.45
,
2.12
,
2.13
,
2.62
,
4.40
,
4.54
,
5.119
а),
9.36
,
11.36
,
11.46
б),
11.48
б),
13.38
,
19.6
,
22.13