Формула. В. В. Прасолов задачи по планиметрии
 Скачать 6.7 Mb.
|
|
§ 8. Произвольные выпуклые многоугольники 6.92. Какое наибольшее число острых углов может иметь выпуклый многоугольник? 6.93*. Сколько в выпуклом многоугольнике может быть сторон, равных по длине наибольшей диагонали? 6.94*. Для каких n существует выпуклый угольнику которого одна сторона имеет длину 1, а длины всех диагоналей — целые числа? 6.95*. Может ли выпуклый неправильный пятиугольник иметь ровно четыре стороны одинаковой длины и ровно четыре диагонали одинаковой длины? Может ли в таком пятиугольнике пятая сторона иметь общую точку с пятой диагональю? 6.96*. Точка O, лежащая внутри выпуклого многоугольника, образует с каждыми двумя его вершинами равнобедренный треугольник. Докажите, что точка O равноудалена от вершин этого многоугольника. См. также задачи 9. Теорема Паскаля 6.97*. Докажите, что точки пересечения противоположных сторон (если эти стороны не параллельны) вписанного шестиугольника лежат на одной прямой (Паскаль). 6.98*. Точка M лежит на описанной окружности треугольника ABC; R — произвольная точка. Прямые AR, BR и CR пересекают описанную окружность в точках A 1 , и C 1 . Докажите, что точки пересечения прямых и BC, и CA, и AB лежат на одной прямой, проходящей через точку Даны треугольники некоторая точка T. Пусть P и Q основания перпендикуляров, опущенных из точки T на прямые и AC соответственно, a R и S — основания перпендикуляров, опущен Глава 6. Многоугольники ных из точки A на прямые TC и TB соответственно. Докажите, что точка пересечения прямых PR и QS лежит на прямой В треугольнике ABC проведены высоты и ибис- сектрисы и BB 2 ; вписанная окружность касается сторон BC ив точках и B 3 . Докажите, что прямые A 1 B 1 , и пересекаются водной точке или параллельны. 6.101*. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность S; X — произвольная точка, M и N — вторые точки пересечения прямых XA и с окружностью S. Прямые DC и AX, AB и DX пересекаются в точках и F. Докажите, что точка пересечения прямых MN и EF лежит на прямой BC. 6.102*. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром O. Точка X такова, что ∠BAX = ∠CDX = 90 ◦ Докажите, что точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD лежит на прямой Точки A и A 1 , лежащие внутри окружности с центром симметричны относительно точки O. Лучи AP и A 1 P 1 сонаправлены, лучи AQ и тоже сонаправлены. Докажите, что точка пересечения прямых P 1 Q и лежит на прямой AA 1 . (Точки P, P 1 , Q и лежат на окружности.) 6.104*. Две окружности касаются описанной окружности треугольника в точке K дуги BC не содержащей точку A); кроме того, одна из этих окружностей касается стороны AB в точке M, а другая касается стороны AC в точке N. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника ABC лежит на прямой Даны пять точек некоторой окружности. С помощью одной линейки постройте шестую точку этой окружности. 6.106*. Точки A 1 , . . . , лежат на одной окружности, а точки K, L, M и N — на прямых A 1 A 2 , A 3 A 4 , и A 4 A 5 соответственно, причём KL k A 2 A 3 , LM k и MN k A 6 A 5 . Докажите, что NK k См. также задачи 5.84 , 30.33 , 30.42 , 30.49 , 31.52 Задачи для самостоятельного решения 6.107. Докажите, что если ABCD — прямоугольника произвольная точка, то AP 2 + CP 2 = DP 2 + Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD перпендикулярны. На его сторонах внешним образом построены квадраты сцен- трами P, Q, R и S. Докажите, что отрезок PR проходит через точку пересечения диагоналей AC и BD, причём PR = (AC + На наибольшей стороне AC треугольника ABC взяты точки A 1 и так, что AC 1 = AB и CA 1 = CB, а на сторонах AB и взяты точки итак, что AA 1 = и CC 1 = CC 2 . Докажите, что четырёхугольник вписанный Решения задач 163 6.110. В окружность вписан выпуклый семиугольник. Докажите, что если какие-то три его угла равны 120 ◦ , то какие-то две его стороны равны. 6.111. На плоскости даны правильный угольники точка. Докажите, что из отрезков A 1 P, . . . , A n P можно составить замкнутую линию. 6.112. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность и описан около окружности S 2 ; K, L, M и N — точки касания его сторон с окружностью S 2 . Докажите, что KM ⊥ Около окружности описан пятиугольник ABCDE, длины сторон которого — целые числа, причём AB = CD = 1. Найдите длину отрезка BK, где K — точка касания стороны BC с окружностью. 6.114. Докажите, что в правильном угольнике A 1 . . . диагонали, и пересекаются водной точке. 6.115. Докажите, что в правильном двадцатичетырёхугольнике A 1 . . . диагонали A 1 A 7 , и пересекаются в точке, лежащей на диаметре A 4 A 16 Решения 6.1. Пусть O — центр вписанной окружности и точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD. Тогда ∠ACB = ∠ACD и ∠BAC = ∠CAD. Поэтому треугольники ABC и ADC равны, так как сторона AC у них общая. Следовательно. Аналогично AB = BC = CD = Ясно, что ∠AOB = 180 ◦ − ∠BAO − ∠ABO = 180 ◦ − (∠A + ∠B)/2 и ∠COD = = 180 ◦ − (∠C + ∠D)/2. Поэтому ∠AOB + ∠COD = 360 ◦ − (∠A + ∠B + ∠C + ∠D)/2 = = Рассмотрим две окружности, касающиеся сторон данного четырёх- угольника и их продолжений. Прямые, содержащие стороны четырёхуголь- ника, являются общими внутренними и внешними касательными к этим окружностям. Прямая, соединяющая центры окружностей, содержит диагональ четырёхугольника, и, кроме того, она является осью симметрии четы- рёхугольника. Значит, вторая диагональ перпендикулярна этой прямой. 6.4. Пусть O — центр данной окружности, R — её радиус, a — длина хорд, высекаемых окружностью на сторонах четырёхугольника. Тогда расстояния от точки O до сторон четырёхугольника равны p R 2 − a 2 /4, те. она равноудалена от сторон четырёхугольника и является центром вписанной окружности. 6.5. Для параллелограмма утверждение задачи очевидно, поэтому можно считать, что прямые AB и CD пересекаются. Пусть O — центр вписанной окружности четырёхугольника ABCD; M и N — середины диагоналей AC и Тогда S ANB + S CND = S AMB + S CMD = S AOB + S COD = S ABCD /2. Остаётся воспользоваться результатом задачи 7.2 6.6. Пусть вписанная окружность касается сторон DA, AB ив точках, H и N соответственно. Тогда OH — высота треугольника AOB и при симметрии относительно прямых AO и BO точка H переходит в точки M и соответственно. Поэтому согласно задаче 1.58 точки и лежат на прямой. Аналогично точки и лежат на прямой MN. Глава 6. Многоугольники 6.7. Пусть r — расстояние от точки пересечения биссектрис углов A и D до основания AD, r 0 — расстояние от точки пересечения биссектрис углов B и до основания BC. Тогда AD = r(ctg a + ctg b ) и BC = r 0 (tg a + tg b ). Поэтому тогда и только тогда, когда BC/AD = (tg a + tg b )/(ctg a + ctg b ) = = tg a · tg Если r = r 0 , то рассматриваемые точки пересечения биссектрис удалены на расстояние r от боковых сторон трапеции. Но для трапеции, отличной от параллелограмма, есть только одна точка, удалённая от боковых сторон на расстояние Пусть ∠A = 2 a , ∠C = 2 b и ∠BMA = 2 f . Согласно задаче = = tg a tg и LS/MC = ctg f tg b . Так как PQ/RS = PK/RL и RS/AC = Рис. то PQ/AC = (PK/RL)(LS/MC) = tg a tg b . Следовательно, трапеция APQC описанная. 6.9. Докажем сначала, что если че- тырёхугольник ABCD описанный, то выполняются все условия. Пусть K, L, M и N — точки касания вписанной окружности со сторонами AB, BC, CD и DA. Тогда AB + CD = AK + BK + CM + DM = = AN + BL + CL + DN = BC + AD, AP + CQ = = AK + PK + QL − CL = AN + PM + QN − CM = = AQ + CP и BP + BQ = AP − AB + BC + CQ = = (AP + CQ) + (BC − AB) = AQ + CP + CD − AD = = DP + Докажем теперь, например, что если + BQ = DP + DQ, то четырёхугольник описанный. Рассмотрим для этого окружность, касающуюся стороны BC илу- чей BA и CD. Предположим, что прямая AD не касается этой окружности сдвинем эту прямую так, чтобы она коснулась окружности (рис. Пусть S — такая точка прямой AQ, что Q 0 S k DD 0 . Так как BP + BQ = DP + и BP + BQ 0 = D 0 P + D 0 Q 0 , то QS + SQ 0 0 . Получено противоречие. В двух других случаях доказательство проводится аналогично. 6.10. Пусть лучи AB и DC пересекаются в точке P, лучи BC ив точке данные прямые, проходящие через точки P и Q, пересекаются в точке Согласно задаче + BQ = OP + OQ и OP + OQ = DP + DQ. Следовательно + BQ = DP + DQ, а значит, четырёхугольник ABCD описанный. 6.11. Пусть O — точка пересечения общих внешних касательных к вписанным окружностям треугольников ирис. Проведём из точки O касательную l к вписанной окружности треугольника, образованного прямыми AK 1 , и касательной к вписанным окружностям треугольников ABK 1 и ACK 2 , отличной от прямой BC. Пусть прямая l пересекает прямые ив точках и K 0 2 . Согласно задаче 6.10 четырёхугольник BK 2 K 0 описанный. Это означает, что прямая l касается вписанной окружности треугольника. Аналогично доказывается, что прямая l касается вписанной окружности треугольника а) Сопоставим окружности (x − a) 2 + (y − b) 2 = с заданной на ней ориентацией (направлением обхода) точку с координатами (a, b, ±r), где знак перед r соответствует ориентации окружности. Рассмотрим пару пересекающихся прямых, на которых заданы ориентации (направления. Легко Решения задач 165 Рис. убедиться, что семейству ориентированных окружностей, касающихся данных прямых так, что в точках касания ориентации согласованы, сопоставляется прямая в пространстве, проходящая через точку плоскости r = 0, соответствующую точке пересечения двух данных прямых. Пусть прямые AB и CD пересекаются в точке P, а прямые BC ив точке Q. Предположим, что четырёхугольники, примыкающие к вершинами, описанные. Зададим на вписанных в них окружностях ориентации согласованным образом и перенесём эти ориентации на касательные. Пусть этим ориентированным окружностям соответствуют точки O a , и O c . Тогда точки O a , и P лежат на одной прямой точки O b , и Q тоже лежат на одной прямой. Следовательно, все эти точки лежат водной плоскости. Поэтому прямые O a Q и O c P пересекаются в некоторой точке O d . (Вообще Рис. говоря, эти прямые могли бы быть параллельны. Чтобы исключить такую возможность, нужно воспользоваться тем, что если, например, точка лежит между A и P, то точка лежит между и P.) Точке соответствует окружность, вписанная в четырёхугольник, примыкающий к вершине б) Радиусы r a , r b , r c , пропорциональны расстояниям от точек O a , O b , O c , до прямой. Поэтому нужно лишь воспользоваться результатом задачи 1.3 б). 6.13. На окружностях и касательных можно выбрать ориентации согласованным образом (рис. 6.6). Пусть A i — точка пересечения касательных к окружности S i . Ориентации касательных задают ориентацию четырёхугольника этот четырёхугольник может быть невыпуклым). Из равенства длин касательных, проведённых из точки к окружности S i , следует, что+ A 3 A 4 = A 2 A 3 + Воспользовавшись результатом задачи, получим, что стороны четырёх- угольника или их продолжения) касаются одной окружности, если только этот четырёхугольник невырожденный Глава 6. Многоугольники Если три касательные пересекаются водной точке, то из равенства (следует, что четырёхугольник вырождается в отрезок или в точку. В отрезок он вырождаться не может, поскольку если две касательные сливаются в одну прямую l, то они должны соответствовать противоположным сторонам четырёхугольника; в этом случае все касательные пересекаются водной точке (середине отрезка, высекаемого на прямой l точками ка- сания). 6.14. Пусть стороны AB, BC, CD, DA четырёхугольника ABCD касаются вписанной окружности в точках E, F, G, H соответственно. Покажем сначала, что прямые FH, EG и AC пересекаются водной точке. Обозначим точки, в которых прямые FH и EG пересекают прямую, через M и соответственно. Поскольку ∠AHM = ∠BFM как углы между касательными и хордой HF, то sin AHM = sin CFM. Поэтому · MH FM · MC = S AMH S FMC = AH · MH FC · FM , те. Аналогично AM 0 M 0 C = AE CG = AH FC = AM MC , поэтому M = т. е. прямые FH, EG и AC пересекаются водной точке. Аналогичные рассуждения показывают, что прямые FH, EG и BD пересекаются водной точке, поэтому прямые AC, BD, FH и EG пересекаются водной точке. 6.15. Отрезки и параллельны, так как они перпендикулярны прямой AB. Кроме того, так как ∠BCA = ∠BDA = f , длины этих отрезков равны AB|ctg f | (см. задачу 5.51 б). 6.16. Пусть O a , O b , и O d — центры вписанных окружностей треугольников и ABC соответственно. Так как ∠ADB = ∠ACB, то см. задачу. Поэтому че- тырёхугольник вписанный, те. Аналогично ∠O a O d B = 180 ◦ − (∠C/2). Так как ∠A + ∠C = 180 ◦ , то ∠O c O d B + + ∠O a O d B = 270 ◦ , а значит, ∠O a O d O c = 90 ◦ . Аналогично доказывается, что и остальные углы четырёхугольника равны а) Пусть лучи AB и DC пересекаются в точке P, а лучи BC ив точке Q. Докажем, что точка M, в которой пересекаются описанные окружности треугольников CBP и CDQ, лежит на отрезке PQ. В самом деле. Поэтому PM + QM = PQ, атак как PM · PQ = PD · PC = p 2 − и QM · PQ = QC · QB = q 2 − R 2 , то PQ 2 = = PM · PQ + QM · PQ = p 2 + q 2 − Пусть N — точка пересечения описанных окружностей треугольников и ABS. Докажем, что точка S лежит на отрезке PN. В самом деле, ∠ANP = = ∠ACP = 180 ◦ − ∠ACD = 180 ◦ − ∠ABD = ∠ANS. Поэтому PN − SN = PS, атак как PN · PS = PA · PB = p 2 − и SN · PS = SA · SC = R 2 − s 2 , то PS 2 = PN · PS − − SN · PS = p 2 + s 2 − 2R 2 . Аналогично QS 2 = q 2 + s 2 − б) Согласно задаче а) PQ 2 − PS 2 = q 2 − s 2 = OQ 2 − OS 2 . Следовательно, OP ⊥ см. задачу. Аналогично доказывается, что OQ ⊥ PS и OS ⊥ Пусть вписанные окружности треугольников ABC и ACD касаются диагонали AC в точках M и N соответственно. Тогда AM = (AC + AB − и AN = (AC + AD − CD)/2 (см. задачу. Точки M и N совпадают тогда и только тогда, когда AM = AN, те. Итак, если точки и N совпадают, то четырёхугольник ABCD описанный, и аналогичные Решения задач 167 рассуждения показывают, что точки касания вписанных окружностей треугольников и BCD с диагональю BD совпадают. Пусть вписанная окружность треугольника ABC касается сторон AB, BC ив точках P, Q и M, а вписанная окружность треугольника касается сторон AC, CD ив точках M, R и S. Так как AP = AM = и CQ = CM = CR, то треугольники APS, BPQ, CQR и DRS равнобедренные; пусть a , b , g и углы при основаниях этих равнобедренных треугольников. Сумма углов этих треугольников равна 2( a + b + g + d ) + ∠A + ∠B + ∠C + поэтому a + b + g + d =180 ◦ . Следовательно, ∠SPQ+∠SRQ=360 ◦ −( a + b + g + d )= = 180 ◦ , те. четырёхугольник PQRS вписанный. |