Главная страница
Навигация по странице:

  • Кубика Дарбу

  • Кубика Мак-Кэя

  • Кубика Нейберга

  • Другое описание кубик

  • Тема занятий избранные задачи планиметрии (18 часов)

    		•

    Формула. В. В. Прасолов задачи по планиметрии


    Скачать 6.7 Mb.
    НазваниеВ. В. Прасолов задачи по планиметрии
    АнкорФормула
    Дата17.06.2022
    Размер6.7 Mb.
    Формат файлаpdf
    Имя файлаplanim5.pdf
    ТипУчебное пособие
    #599309
    страница70 из 70
    1   ...   62   63   64   65   66   67   68   69   70
    Кубические кривые, связанные с треугольником
    Каждому треугольнику можно многими разными способами сопоставить кубическую кривую, те. кривую, заданную уравнением вида Некоторые из таких кубических кривых обладают интересными геометрическими свойствами. Эти кубические кривые, или кубики, обычно называют по именам геометров, впервые их исследовавших кубика
    Дарбу, кубика Томсона, кубика Нейберга, кубика Мак-Кэя.
    Наиболее интересные свойства кубик, связанных с треугольником,
    так или иначе используют изогональное сопряжение относительно этого треугольника. Поэтому наше изложение будет опираться на свойства изогонального сопряжения. Мы будем также пользоваться трилинейными координатами. Несложно понять, что в трилинейных координатах (x : y : z) кубическая кривая задаётся уравнением вида Первоначально кубики, связанные с треугольником, определялись посредством разнообразных геометрических конструкций. Но наиболее известные из этих кубик можно получить единой конструкцией
    1
    Эта конструкция основывается наследующем утверждении.
    Т е орем а 1. Пусть на плоскости задана точка F. Для данного
    треугольника ABC рассмотрим всевозможные пары изогонально со-
    пряжённых точек P и Q, для которых прямая PQ проходит через H. M., Parry C. F. Some cubic curves associated with a triangle // Journal of
    Geometry. 1995. V. 53. P. 41—66.

    618
    Дополнение
    точку F. Тогда точки P и Q заметают кубическую кривую, которая проходит через вершины треугольника, через центры вписанной
    и трёх вневписанных окружностей, а также через саму точку Доказательство. Пусть точка F имеет трилинейные координаты. Если точка P имеет трилинейные координаты (x : y : то точка Q, изогонально сопряжённая с ней, имеет трилинейные координаты, те. Поэтому условие, что точки, Q, F лежат на одной прямой, запишется в виде те Легко проверить, что точка F = (f
    1
    : f
    2
    : f
    3
    ), точки A = (1 : 0 : 0),
    B = (0 : 1 : 0), C = (0 : 0 : 1) и точки I = (1 : 1 : 1), I
    a
    = (−1 : 1 : 1),
    I
    b
    = (1 : −1 : 1), I
    c
    = (1 : 1 : −1) лежат на кривой, заданной уравнением, те. координаты указанных точек удовлетворяют этому уравнению. Непосредственно из геометрического определения кривой (1) видно,
    что она переходит сама в себя при изогональном сопряжении. В самом деле, если точка P лежит на кривой (1), то изогонально сопряжённая с ней точка Q тоже лежит на кривой (Точку F, с помощью которой строится кубическая кривая (1), будем называть центром вращения для этой кривой.
    Кубика Дарбу
    Центром вращения для этой кривой служит точка, симметричная точке пересечения высот H относительно центра описанной окружности. Легко проверить, что точка H имеет трилинейные координаты a
    − cos b
    cos g
    : cos b
    − cos g
    cos a
    : cos g
    − cos a
    cos где a
    ,
    b
    ,
    g
    — углы треугольника.
    В трилинейных координатах кубика Дарбу задаётся уравнением a
    − cos b
    cos g
    )x(y
    2
    − z
    2
    ) + . . . = Мы написали только коэффициент при x(y
    2
    − z
    2
    ); коэффициенты при x
    2
    ) и при z(x
    2
    − y
    2
    ) записываются очевидным образом.)
    Кубика Дарбу проходит через следующие точки ортоцентр и центр описанной окружности.
    Кубика Дарбу допускает следующее геометрическое описание.
    Т е орем а 2. Пусть A
    1
    , B
    1
    , C
    1
    — проекции точки D на прямые, CA, AB. Точка D лежит на кубике Дарбу тогда и только тогда,
    когда прямые AA
    1
    , BB
    1
    , пересекаются водной точке

    Дополнение
    619
    Д ока за тел ь ст во. Согласно теореме Чевы прямые AA
    1
    , пересекаются водной точке тогда и только тогда, когда BA
    1
    · CB
    1
    = C
    1
    B · A
    1
    C · где и т. д. — ориентированные длины отрезков (те. числа и C
    1
    B имеют один и тот же знак, если точка лежит наотрез- ке AB, а если точка лежит вне отрезка AB, то эти числа имеют противоположные знаки).
    Пусть (x, y, z) — абсолютные трилинейные координаты точки те расстояния от точки D до прямых BC, CA, AB с учётом знака. Легко проверить, что AC
    1
    =
    z cos a
    + y
    sin и т. д. Поэтому прямые, BB
    1
    , пересекаются водной точке тогда и только тогда, когда     cos a
    + y)(y cos g
    + x)(x cos b
    + z) = (z cos b
    + x)(x cos g
    + y)(y cos a
    + Полученное уравнение легко преобразуется в
    уравнение кубики
    Дарбу. Замечание. Если равенство BA
    1
    · CB
    1
    = C
    1
    B · A
    1
    C · выполняется для некоторой точки D, то такое же равенство выполняется и для точки D
    0
    , симметричной точке D относительно центра описанной окружности. Поэтому кубика Дарбу симметрична относительно центра описанной окружности.
    З а меча ни е 2. Несложно доказать, что прямые AA
    1
    , BB
    1
    , пересекаются водной точке тогда и только тогда, когда существует кривая второго порядка, касающаяся сторон треугольника (или их продолжений) в точках A
    1
    , B
    1
    , Кубика Томсона
    Центром вращения для этой кривой служит центр масс M. Напомним, что центр масс треугольника имеет трилинейные координаты, ca, В трилинейных координатах кубика Томсона задаётся уравнением z
    2
    ) + cay(z
    2
    − x
    2
    ) + abz(x
    2
    − y
    2
    ) = 0.
    По-другому это уравнение можно записать в виде a
    + cos b
    cos g
    )x(y
    2
    − z
    2
    ) + . . . = 0.
    Кубика
    Томсона проходит через следующие точки:
    ортоцентр и центр описанной окружности, середины сторон, середины высот.
    Из замечания 2 к теореме 2 видно, что кубика Дарбу допускает следующее геометрическое описание. Рассмотрим всевозможные кривые второго порядка, касающиеся сторон данного треугольника или
    Дополнение их продолжений. Выделим среди них те кривые второго порядка,
    для которых перпендикуляры к сторонам треугольника в точках касания пересекаются водной точке. Тогда точки пересечения этих перпендикуляров заметают кубику Дарбу. Можно доказать, что центры выделенных таким образом кривых второго порядка заметают кубику Томсона.
    Кубика Мак-Кэя
    Центром вращения для этой кривой служит центр описанной окружности O. Напомним, что центр описанной окружности имеет трилинейные координаты (cos a
    : cos b
    : cos В трилинейных координатах кубика Мак-Кэя задаётся уравнением cos a
    x(y
    2
    − z
    2
    ) + cos b
    y(z
    2
    − x
    2
    ) + cos g
    z(x
    2
    − y
    2
    ) = 0.
    Кубика
    Мак-Кэя проходит через следующие точки:
    ортоцентр и центр описанной окружности.
    Т е орем а 3. Пусть вершины треугольника расположены в точках a    , b, c единичной окружности на комплексной плоскости. Точка,
    соответствующая комплексному числу z, лежит на кубике Мак-Кэя
    тогда и только тогда, когда выполняется равенство − a)(z − b)(z − c) = abc(az − 1)(bz − 1)(cz − Доказательство. Пусть точки z и w изогонально сопряжены относительно данного треугольника. Тогда согласно теореме Морли
    (задача
    29.45
    ) точки z и w связаны соотношением + w + abczw = a + b + Следовательно + w + abczw = a + b + Умножим обе части соотношения (3) на abcz и вычтем из полученного выражение соотношение (2). В результате получим =
    a + b + c − z − (a + b + c − z)abcz
    1
    − По определению кубики Мак-Кэя прямая zw проходит через центр описанной окружности, те. через начало координат. Это означает, что = z/z. Выразив w/w с помощью соотношения (4), после несложных преобразований получим требуемое уравнение. След ст в и е.
    Кубика
    Мак-Кэя
    пересекает
    описанную
    окруж-
    ность треугольника в трёх точках, являющихся вершинами правильного треугольника. Мы учитываем только точки пересечения,
    отличные от вершин исходного треугольника.)
    Д ока за тел ь ст в о.
    Будем считать, что вершины треугольника расположены в точках единичной окружности на комплексной

    Дополнение
    621
    плоскости. Тогда для точки z, лежащей на описанной окружности треугольника, выполняется равенство z = z
    −1
    . Поэтому точки пересечения кубики Мак-Кэя с описанной окружностью удовлетворяют уравнению     − a)(z − b)(z − c) = −z
    −3
    abc(z − a)(z − b)(z − Если исключить вершины треугольника, то останутся точки, удовлетворяющие соотношению z
    3
    = −abc. Эти точки образуют правильный треугольник. Будем считать, что ∠PQR — величина угла, на который нужно повернуть против часовой стрелки вектор # –
    QP так, чтобы он стал сона- правлен с вектором # Теорема. Точка M лежит на кубике Мак-Кэя тогда и только тогда, когда + ∠MBC + ∠MCA =
    p
    2
    + Доказательств о.
    Снова будем считать, что вершины треугольника расположены на единичной окружности на комплексной плоскости. Положим a
    = ∠MAB,
    b
    = ∠MBC,
    g
    = ∠MCA. Пусть z — комплексное число, соответствующее точке M. Тогда     − a
    z − a
    ·
    z − a
    b − a
    = те Поэтому −abc
    (az − 1)(bz − 1)(cz − 1)
    (z − a)(z − b)(z − Таким образом, точка z лежит на кубике Мак-Кэя тогда и только тогда, когда e
    2i(
    a
    +
    b
    +
    g
    )
    = −1, те. Легко проверить, что     + ∠MBC + ∠MCA + ∠MAC + ∠MCB + ∠MBA = (2n + Поэтому точка M лежит на кубике Мак-Кэя тогда и только тогда,
    когда
    ∠MAB + ∠MBC + ∠MCA = ∠MAC + ∠MCB + ∠MBA + Отметим без доказательства следующее свойство кубики Мак-Кэя,
    которое обобщает теорему Фейербаха: описанная окружность треугольника, вершинами которого служат основания перпендикуляров,
    опущенных из любой точки кубики Мак-Кэя на стороны треугольника или на их продолжения, касается окружности девяти точек треугольника ABC.

    622
    Дополнение
    Кубика Нейберга
    Центром вращения для этой кривой служит бесконечно удалённая точка прямой OH. Иными словами, кубика Нейберга состоит из таких пар изогонально сопряжённых точек P и Q, что прямая PQ параллельна прямой В трилинейных координатах кубика Нейберга задаётся уравнением a
    − 2 cos b
    cos g
    )x(y
    2
    − z
    2
    ) + . . . = Кубика Нейберга является бесспорным лидером по количеству замечательных точек треугольника, через которые она проходит.
    Действительно, эта кривая проходит через следующие точки центр описанной окружности ортоцентр; вершины правильных треугольников, построенных на сторонах треугольника ABC как внешним, таки внутренним образом точки, симметричные вершинам треугольника относительно его сторон две точки, из которых стороны треугольника ABC видны под углом или изогональные центры треугольника две точки, для которых выполняется соотношение (изодинамические центры треуголь- ника).
    Другое описание кубик
    Для рассмотренных выше кубик Дарбу, Томсона, Мак-Кэя и Ней- берга центр вращения лежит на прямой Эйлера OH. Кубики, центры вращения которых лежат на прямой Эйлера, можно построить и посредством другой геометрической конструкции. Эта конструкция основывается наследующем утверждении.
    Т е орем а Пусть A
    1
    , B
    1
    , C
    1
    — основания перпендикуляров,
    опущенных из точки P на прямые BC, CA, AB, а треугольник
    A
    2
    B
    2
    C
    2
    получен из треугольника гомотетией с центром и коэффициентом k. Тогда при фиксированном k 6= 0 точки P    , для
    которых прямые AA
    2
    , BB
    2
    , пересекаются водной точке, заметают кубическую кривую.
    Д ока за тел ь ст во. Пусть (x : y : z) — трилинейные координаты точки P. Тогда точка имеет трилинейные координаты − k)x : y + kx cos g
    : z + kx cos Поэтому прямая AA
    2
    задаётся линейным уравнением с коэффициентами. Следовательно, прямые AA
    2
    ,
    BB
    2
    , пересекаются водной точке тогда и только тогда, когда G. M. Cubic curves in the triangle plane // Journal of Geometry. 1996. V. 55.
    P. 141—161.

    Дополнение
    623
    обращается в нуль определитель − kx cos b
    y + kx cos g
    z + ky cos a
    0
    −x − ky cos g
    −y − kz cos a
    x + kz cos b
    0
    =
    = k(cos a
    − k cos b
    cos g
    )x(y
    2
    − z
    2
    ) + . . При k = 1 получаем кубику Дарбу, при k = −1 — кубику Томсона,
    а при k = 2 — кубику Нейберга. Если подходить формально, то кубика
    Мак-Кэя этой конструкцией не охватывается. Но естественно считать,
    что она относится к случаю k = Посмотрим теперь по-другому на конструкцию, изложенную в формулировке теоремы. А именно, фиксируем точку P и будем считать число k переменным. Для каких точек P прямые AA
    2
    , BB
    2
    , будут пересекаться водной точке при всех k? И какие кривые будут заметать точки пересечения этих прямых?
    Прямые AA
    2
    , BB
    2
    , при всех k пересекаются водной точке тогда и только тогда, когда точка P при всех k лежит на кубике a
    − k cos b
    cos g
    )x(y
    2
    − z
    2
    ) + . . . = Девять таких точек нам известны A, B, C, I, I
    a
    , I
    b
    , I
    c
    , H, O. Две кубические кривые, пересекающиеся в конечном числе точек, не могут иметь более девяти общих точек. Поэтому какие-то другие точки могут обладать требуемым свойством лишь в исключительных случаях. Например, в случае правильного треугольника этим свойством обладают все точки, лежащие на высотах или их продолжениях.
    Если P = A, B, C или H, то прямые AA
    2
    , BB
    2
    , при всех k пересекаются в точке P. Интересные случаи соответствуют только центрам окружностей — описанной, вписанной и вневписанных.
    Т е орем а 6. а) Если P     = O, то точки пересечения прямых AA
    2
    ,
    BB
    2
    , заметают прямую Эйлера OH.
    б)
    Если
    P = I
    (P = I
    a
    ),
    то
    точки
    пересечения
    прямых
    AA
    2
    ,
    BB
    2
    , заметают гиперболу, изогонально сопряжённую прямой прямой Доказательство. а) Пусть прямые AA
    2
    , BB
    2
    , пересекаются в точке с трилинейными координатами (x
    0
    : y
    0
    : z
    0
    ). Уравнение прямой показывает, что     + kx cos g
    z + kx cos b
    =
    cos b
    + k cos a
    cos g
    cos g
    + k cos a
    cos поскольку точка
    O
    имеет трилинейные координаты     : y : z) =
    = (cos a
    : cos b
    : cos g
    ). Поэтому y
    0
    : z
    0
    ) = (cos a
    + k cos b
    cos g
    : cos b
    + k cos a
    cos g
    : cos g
    + k cos a
    cos Все такие точки лежат на прямой OH.
    Дополнение б) Ограничимся разбором случая P = I. В этом случае (x : y : z) =
    = (1 : 1 : 1), поэтому + kx cos g
    z + kx cos b
    =
    1 + k cos g
    1 + k cos Таким образом, точка, изогонально сопряжённая точке (x
    0
    : y
    0
    : имеет трилинейные координаты + cos a
    : 1 + k cos b
    : 1 + k cos Все такие точки лежат на прямой OI.
    ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
    Антипараллель
    5.151
    —
    5.153
    ,
    5.158
    —
    5.161
    асимптота гиперболы с.
    584
    ;
    31.41
    ,
    31.45
    ,
    31.48
    ,
    31.56
    ,
    31.59
    Биссектриса
    1.13
    ,
    1.17
    ,
    1.28
    ,
    1.57
    а),
    2.4
    а),
    2.20
    а),
    2.25
    ,
    2.28
    ,
    2.35
    ,
    2.44
    ,
    2.68
    —
    2.72
    ,
    2.95
    ,
    2.96
    ,
    3.44
    ,
    4.35
    ,
    4.48
    ,
    4.57
    ,
    5.14
    ,
    5.22
    ,
    5.42
    ,
    5.54
    —
    5.56
    ,
    5.70
    ,
    5.74
    —
    5.76
    ,
    5.104
    ,
    5.107
    ,
    6.42
    ,
    6.100
    ,
    7.48
    ,
    10.17
    —
    10.22
    ,
    10.78
    ,
    10.91
    ,
    10.98
    ,
    12.37
    ,
    16.1
    ,
    28.30
    — внешнего угла
    1.17
    ,
    1.57
    б),
    3.72
    б),
    5.38
    ,
    5.54
    ,
    5.156
    ,
    17.16
    Векторы
    6.26
    ,
    6.69
    —
    6.81
    ,
    9.78
    ,
    13.1
    —
    13.66
    — сторон многоугольников
    13.1
    —
    13.10
    восьмиугольник
    4.61
    ,
    9.47
    б)
    высота
    1.20
    ,
    1.53
    —
    1.60
    ,
    1.64
    ,
    2.1
    ,
    2.20
    б),
    2.51
    ,
    2.56
    ,
    2.63
    ,
    2.64
    ,
    2.68
    —
    2.70
    ,
    2.93
    ,
    3.72
    а),
    4.52
    ,
    4.58
    ,
    5.5
    ,
    5.7
    ,
    5.9
    ,
    5.47
    а),
    5.59
    ,
    5.165
    ,
    6.6
    ,
    6.100
    ,
    7.25
    ,
    9.26
    ,
    10.8
    —
    10.16
    ,
    10.77
    ,
    10.81
    ,
    10.83
    ,
    10.91
    ,
    12.35
    ,
    12.36
    ,
    18.3
    вычисления
    12.52
    —
    12.82
    Геометрическое место точек
    (ГМТ)
    с.
    183
    ;
    2.5
    ,
    2.39
    ,
    3.58
    ,
    7.1
    —
    7.51
    ,
    12.82
    ,
    14.21
    а),
    15.16
    ,
    18.12
    ,
    18.15
    ,
    19.10
    ,
    19.22
    ,
    19.39
    ,
    30.37
    ,
    30.39
    а)
    ГМТ — прямая
    2.39
    ,
    3.45
    ,
    3.58
    ,
    6.5
    ,
    6.17
    ,
    7.1
    —
    7.10
    ,
    7.28
    ,
    7.30
    ,
    8.6
    ,
    12.82
    ,
    15.16
    ,
    30.24
    ,
    30.37
    ГМТ — окружность
    2.14
    ,
    2.67
    б),
    5.156
    ,
    7.11
    —
    7.18
    ,
    7.27
    ,
    7.29
    ,
    14.21
    а),
    18.15
    ,
    28.23
    ,
    28.24
    ГМТ с ненулевой площадью
    7.37
    —
    7.40
    ,
    18.12
    ,
    31.66
    —
    31.69
    гипербола с Енжабека с Киперта с равнобочная с.
    587
    гомотетия с.
    388
    ;
    2.28
    ,
    4.12
    ,
    4.56
    ,
    5.7
    ,
    5.99
    ,
    5.107
    ,
    5.126
    ,
    5.129
    ,
    5.159
    б),
    5.165
    ,
    6.29
    ,
    7.27
    —
    7.30
    ,
    8.15
    ,
    8.16
    ,
    8.52
    ,
    8.74
    ,
    12.81
    ,
    17.2
    ,
    17.26
    ,
    19.1
    —
    19.26
    ,
    20.13
    ,
    20.18
    — поворотная с.
    388
    ;
    2.89
    ,
    5.108
    б),
    5.145
    ,
    18.32
    ,
    19.27
    —
    19.59
    Двенадцатиугольник
    4.64
    ,
    6.61
    ,
    6.62
    движение с второго рода с несобственное с первого рода с собственное с.
    364
    делимость
    23.9
    ,
    23.10
    десятиугольник
    8.69
    диаметр Брокара с гиперболы с эллипса с.
    584
    диаметры сопряжённые гиперболы с — эллипса с.
    584
    ;
    31.11
    ,
    31.16
    ,
    31.19
    ,
    31.20
    ,
    31.23
    директриса гиперболы с параболы с эллипса с.
    585
    ;
    31.17
    Задача Аполлония
    28.12
    — Брахмагупты
    5.45
    ,
    8.54
    — о бабочке о луночках Гиппократа
    3.39
    — Штейнера
    30.50
    задачи на максимум и минимум
    Предметный указатель замощение с.
    479
    Изогональное сопряжение
    (см.
    точки изогонально сопряжённые)
    изогонический центр треугольника с.
    332
    ;
    14.53
    изодинамический центр треугольника с.
    185
    ;
    7.16
    ,
    7.17
    ,
    28.8
    инварианты с.
    453
    ;
    23.11
    —
    23.20
    инверсия с.
    517
    ;
    28.1
    —
    28.42
    ,
    29.33
    ,
    29.35
    ,
    29.36
    ,
    29.46
    индукция
    2.13
    ,
    5.119
    б),
    13.26
    ,
    22.8
    —
    22.13
    ,
    22.32
    б),
    22.41
    ,
    22.44
    ,
    22.50
    ,
    23.40
    —
    23.42
    ,
    24.17
    ,
    25.24
    ,
    25.26
    ,
    25.33
    ,
    25.36
    ,
    25.39
    ,
    25.57
    ,
    26.4
    ,
    26.20
    ,
    27.1
    —
    27.5
    ,
    28.37
    ,
    28.38
    Касательная с.
    55
    ;
    1.21
    а),
    1.61
    ,
    1.65
    ,
    1.67
    ,
    2.22
    —
    2.31
    ,
    3.1
    —
    3.9
    ,
    3.28
    —
    3.34
    ,
    7.7
    ,
    7.9
    ,
    7.13
    ,
    7.24
    ,
    7.26
    ,
    14.47
    —
    14.49
    ,
    19.25
    касающиеся окружности
    2.28
    ,
    3.6
    ,
    3.16
    —
    3.24
    ,
    3.46
    ,
    3.52
    ,
    5.66
    ,
    5.67
    ,
    7.13
    ,
    12.17
    квадрат
    1.19
    ,
    1.41
    ,
    1.42
    ,
    1.47
    ,
    2.6
    ,
    2.37
    ,
    2.58
    ,
    2.97
    ,
    4.25
    ,
    4.42
    ,
    5.26
    ,
    5.27
    ,
    5.32
    б),
    5.59
    ,
    5.60
    ,
    6.43
    ,
    6.50
    ,
    6.61
    ,
    7.20
    ,
    8.45
    ,
    9.37
    ,
    9.45
    ,
    9.95
    ,
    12.64
    ,
    12.65
    ,
    12.67
    ,
    12.82
    ,
    18.1
    ,
    18.3
    —
    18.8
    ,
    18.12
    ,
    18.38
    —
    18.40
    ,
    19.32
    комбинаторика
    21.27
    —
    21.29
    ,
    25.6
    ,
    27.6
    —
    27.11
    композиция гомотетий
    19.23
    —
    19.26
    — параллельных переносов с поворотов симметрий
    6.57
    б),
    17.22
    —
    17.30
    коника с.
    584
    координаты барицентрические с — абсолютные с трилинейные с — абсолютные с.
    331
    коэффициент гомотетии с.
    388
    кривые постоянной ширины
    13.48
    Лемма Шпернера
    23.7
    ломаные внутри квадрата
    9.61
    —
    9.64
    луночки Гиппократа с.
    56
    ;
    3.39
    Медиана
    1.4
    ,
    1.27
    ,
    1.37
    ,
    1.51
    ,
    2.7
    ,
    2.68
    —
    2.70
    ,
    4.1
    ,
    4.59
    ,
    5.17
    ,
    5.19
    —
    5.24
    ,
    5.42
    ,
    5.107
    ,
    5.163
    ,
    9.1
    —
    9.5
    ,
    10.1
    —
    10.7
    ,
    10.52
    ,
    10.54
    ,
    10.65
    ,
    10.77
    ,
    10.79
    ,
    10.92
    ,
    13.1
    ,
    13.2
    ,
    16.1
    ,
    17.17
    ,
    18.2
    ,
    18.3
    метод ГМТ
    4.17
    ,
    6.5
    ,
    6.17
    б),
    7.31
    —
    7.36
    ,
    8.1
    —
    8.6
    ,
    8.24
    — координат усреднения
    13.42
    —
    13.49
    многоугольник
    4.50
    ,
    6.1
    —
    6.106
    ,
    9.36
    ,
    9.52
    ,
    9.77
    —
    9.90
    ,
    11.3
    —
    11.37
    ,
    13.16
    ,
    13.19
    ,
    16.21
    ,
    17.28
    —
    17.30
    ,
    17.35
    ,
    17.36
    ,
    18.45
    ,
    19.8
    ,
    20.11
    ,
    20.13
    ,
    20.18
    ,
    23.15
    ,
    24.7
    — аффинно правильный с вписанный с.
    151
    ;
    1.45
    ,
    2.12
    ,
    2.13
    ,
    2.62
    ,
    5.119
    а),
    6.82
    —
    6.86
    ,
    9.36
    ,
    11.36
    ,
    11.48
    б),
    13.38
    ,
    22.13
    — выпуклый с.
    151
    ,
    430
    ;
    3.71
    ,
    4.38
    ,
    4.39
    ,
    4.51
    ,
    6.92
    —
    6.96
    ,
    7.34
    ,
    9.19
    ,
    9.21
    ,
    9.22
    ,
    9.29
    б),
    9.44
    ,
    9.49
    ,
    9.54
    ,
    9.58
    —
    9.60
    ,
    9.77
    —
    9.86
    ,
    9.89
    ,
    9.90
    ,
    10.67
    ,
    11.37
    ,
    13.4
    ,
    13.7
    ,
    13.43
    ,
    13.45
    ,
    13.47
    ,
    13.49
    ,
    13.56
    ,
    14.51
    ,
    16.8
    ,
    18.29
    ,
    19.6
    ,
    19.9
    ,
    20.10
    ,
    20.34
    ,
    21.10
    ,
    21.11
    ,
    22.1
    —
    22.13
    ,
    23.13
    ,
    23.19
    ,
    23.30
    ,
    23.33
    ,
    26.10
    ,
    27.2
    ,
    27.8
    ,
    27.9
    — описанный с.
    151
    ;
    4.40
    б),
    4.54
    ,
    6.87
    —
    6.91
    ,
    11.46
    б),
    19.6
    — невыпуклый
    9.29
    а),
    9.94
    ,
    22.37
    —
    22.50
    ,
    23.1
    ,
    23.35
    — правильный с.
    151
    ;
    2.9
    ,
    2.49
    ,
    4.28
    ,
    4.61
    ,
    4.64
    ,
    6.39
    ,
    6.45
    ,
    6.48
    —
    6.51
    ,
    6.58
    —
    6.81
    ,
    8.69
    ,
    9.51
    ,
    9.79
    ,
    9.87
    ,
    9.88
    ,
    10.66
    ,
    11.46
    ,
    11.48
    ,
    13.15
    ,
    17.32
    ,
    18.34
    ,
    19.48
    ,
    23.8
    ,
    24.2
    ,
    25.3
    ,
    25.4
    ,
    27.11
    ,
    30.34
    многоугольники гомотетичные
    19.1
    —
    19.9
    — подобные с.
    11
    момент инерции с.
    325
    ;
    14.19
    —
    14.26
    ,
    23.20
    монотонность
    4.23
    ,
    12.62
    ,
    22.49
    Непрерывность
    4.39
    ,
    6.50
    ,
    6.86
    неравенства
    4.37
    ,
    4.38
    ,
    4.54
    ,
    4.60
    ,
    5.141
    ,
    6.42
    ,
    6.52
    а),
    6.71
    ,
    7.33
    —
    7.36
    ,
    9.1
    —
    9.98
    ,
    13.21
    —
    13.28
    ,
    13.42
    —
    13.47
    ,
    13.49
    ,
    14.25
    —
    14.27
    ,
    15.3
    а),
    15.8
    ,
    17.16
    —
    17.21
    ,
    19.7
    ,
    20.1
    ,
    20.4
    ,
    20.6
    ,
    20.7
    ,
    29.41
    а)
    — для элементов треугольника
    10.1
    —
    10.100
    неравенство Брунна с Брунна—Минковского с
    Предметный указатель
    627
    неравенство изопериметрическое с.
    432
    ;
    22.20
    ,
    22.22
    ,
    22.23
    ,
    22.30
    а)
    — Йиффа
    5.146
    б)
    — между средним арифметическими средним геометрическим с Пидо
    10.58
    — Птолемея
    9.70
    ,
    29.37
    а)
    — треугольника Эрдёша—Морделла
    4.60
    в)
    Оболочка выпуклая с.
    409
    ;
    9.29
    ,
    9.50
    ,
    13.49
    ,
    20.22
    ,
    20.23
    ,
    20.25
    —
    20.28
    ,
    22.1
    —
    22.4
    ,
    24.10
    окружности вписанные в сегмент гомотетичные
    19.10
    —
    19.14
    — касающиеся
    1.65
    ,
    2.28
    ,
    2.31
    ,
    3.16
    —
    3.24
    ,
    28.33
    ,
    28.35
    ,
    28.38
    окружность
    1.65
    —
    1.67
    ,
    2.2
    ,
    2.9
    —
    2.11
    ,
    2.15
    ,
    2.18
    ,
    2.20
    —
    2.33
    ,
    2.39
    ,
    2.53
    —
    2.55
    ,
    2.65
    —
    2.67
    ,
    2.96
    ,
    2.98
    ,
    2.99
    ,
    3.1
    —
    3.75
    ,
    4.32
    ,
    4.41
    ,
    5.1
    —
    5.17
    ,
    5.62
    ,
    5.66
    —
    5.68
    ,
    5.73
    ,
    5.100
    ,
    6.1
    —
    6.20
    ,
    6.31
    —
    6.35
    ,
    6.37
    —
    6.47
    ,
    6.51
    ,
    7.1
    ,
    7.7
    —
    7.9
    ,
    7.11
    —
    7.21
    ,
    7.29
    ,
    7.38
    ,
    7.40
    ,
    8.55
    —
    8.67
    ,
    14.56
    ,
    15.10
    ,
    15.11
    ,
    15.14
    ,
    16.3
    ,
    16.6
    ,
    16.13
    ,
    16.14
    ,
    16.18
    —
    16.20
    ,
    17.2
    — Аполлония
    2.67
    б),
    7.14
    ,
    7.15
    ,
    8.63
    —
    8.67
    ,
    19.31
    ,
    19.41
    ,
    19.44
    — — для треугольника Брокара с вписанная
    1.60
    ,
    1.61
    ,
    2.44
    ,
    2.61
    б),
    3.2
    ,
    3.3
    ,
    3.7
    ,
    4.52
    ,
    5.1
    ,
    5.3
    ,
    5.4
    ,
    5.8
    ,
    5.9
    ,
    5.33
    ,
    5.92
    ,
    5.101
    ,
    5.136
    ,
    6.11
    ,
    6.84
    ,
    6.100
    ,
    10.53
    ,
    10.100
    ,
    12.72
    ,
    14.47
    ,
    14.54
    б),
    14.57
    ,
    14.58
    ,
    17.18
    ,
    17.26
    ,
    19.7
    ,
    19.11
    ,
    19.15
    ,
    20.21
    ,
    28.31
    ,
    30.36
    — вневписанная
    3.2
    ,
    3.7
    ,
    5.2
    ,
    5.3
    ,
    5.6
    ,
    14.48
    ,
    14.54
    в),
    28.31
    — девяти точек с.
    116
    ;
    3.72
    ,
    5.129
    —
    5.132
    ,
    5.134
    ,
    5.137
    ,
    13.36
    б),
    14.55
    ,
    14.58
    ,
    28.31
    ,
    31.42
    ,
    31.59
    ,
    31.80
    — инверсии с Лемуана
    5.161
    — Нейберга
    5.147
    — описанная
    1.18
    ,
    1.55
    ,
    1.60
    ,
    2.4
    а),
    2.25
    ,
    2.46
    ,
    2.52
    ,
    2.59
    ,
    2.67
    ,
    2.71
    ,
    2.72
    ,
    2.82
    —
    2.88
    ,
    2.94
    ,
    2.95
    ,
    3.47
    —
    3.49
    ,
    3.52
    ,
    3.69
    ,
    5.10
    —
    5.16
    ,
    5.71
    ,
    5.72
    ,
    5.97
    ,
    5.102
    ,
    5.105
    —
    5.117
    ,
    5.132
    ,
    5.140
    в),
    5.153
    —
    5.155
    ,
    5.164
    ,
    6.49
    а),
    6.98
    ,
    7.30
    ,
    9.97
    ,
    14.40
    ,
    14.54
    а),
    18.28
    ,
    18.30
    ,
    19.7
    ,
    19.15
    ,
    19.49
    ,
    19.53
    а),
    28.27
    ,
    28.29
    ,
    28.35
    ,
    28.36
    ,
    31.38
    — подерная (педальная) с подобия с Тукера
    5.159
    —
    5.161
    — Схоуте
    5.148
    — Ферма—Аполлония
    7.49
    —
    7.51
    ориентированное отношение отрезков с.
    109
    ортоцентр (см. точка пересечения высот)
    ось гиперболы с параболы с подобия с — треугольника с радикальная двух окружностей с.
    63
    ;
    3.54
    —
    3.82
    ,
    8.90
    ,
    14.56
    б),
    28.6
    — симметрии с эллипса с.
    584
    отношение двойное с отрезков ориентированное с.
    109
    отображение дробно-линейное
    30.7
    Парабола с.
    584
    ;
    31.29
    —
    31.40
    параллелограмм
    1.2
    ,
    1.6
    —
    1.8
    ,
    1.22
    —
    1.24
    ,
    1.46
    ,
    1.47
    ,
    1.49
    ,
    2.23
    ,
    2.24
    ,
    2.30
    ,
    2.45
    ,
    2.60
    ,
    3.7
    ,
    3.13
    ,
    3.27
    ,
    4.19
    ,
    4.23
    ,
    4.26
    ,
    4.27
    ,
    4.51
    ,
    4.55
    —
    4.57
    ,
    4.63
    ,
    5.24
    ,
    6.25
    ,
    6.44
    ,
    6.48
    ,
    7.10
    а),
    8.6
    ,
    9.55
    ,
    9.56
    ,
    9.76
    ,
    12.14
    ,
    13.20
    ,
    15.4
    ,
    15.7
    ,
    15.8
    ,
    16.17
    ,
    18.8
    ,
    18.39
    ,
    19.47
    ,
    25.1
    ,
    25.4
    ,
    29.21
    ,
    29.24
    перегруппировка площадей
    2.77
    ,
    3.41
    ,
    4.35
    ,
    4.61
    —
    4.64
    ,
    9.44
    перенос параллельный с.
    345
    ;
    7.5
    ,
    15.1
    —
    15.17
    ,
    16.9
    ,
    17.22
    а),
    17.24
    ,
    20.18
    периметр фигуры с.
    431
    площадь
    1.34
    —
    1.39
    ,
    2.44
    ,
    2.58
    ,
    2.72
    ,
    2.73
    ,
    2.77
    ,
    3.39
    —
    3.42
    ,
    4.1
    —
    4.75
    ,
    5.11
    ,
    6.52
    ,
    6.55
    ,
    6.56
    ,
    6.85
    ,
    6.87
    ,
    7.2
    ,
    7.32
    ,
    8.2
    ,
    9.32
    —
    9.60
    ,
    9.73
    ,
    10.9
    ,
    10.55
    —
    10.61
    ,
    11.2
    ,
    11.3
    ,
    11.7
    —
    11.9
    ,
    11.12
    ,
    11.14
    ,
    11.28
    ,
    11.30
    —
    11.33
    ,
    11.46
    ,
    11.48
    ,
    12.1
    ,
    12.3
    ,
    12.12
    ,
    12.19
    —
    12.21
    ,
    12.72
    ,
    12.74
    ,
    13.40
    ,
    13.55
    —
    13.59
    ,
    15.8
    ,
    16.5
    ,
    17.19
    ,
    20.1
    ,
    20.7
    ,
    20.17
    ,
    20.18
    ,
    24.7
    ,
    24.11
    ,
    25.4
    ,
    26.13
    ,
    26.16
    ,
    26.18
    ,
    29.13
    ,
    29.25
    ,
    29.41
    а)
    Предметный указатель площадь вспомогательная ориентированная с треугольника
    5.46
    б),
    5.57
    ,
    5.60
    ,
    5.123
    — четырёхугольника
    4.43
    —
    4.46
    ,
    11.34
    поворот с.
    373
    ;
    1.43
    ,
    1.47
    ,
    1.52
    ,
    4.25
    ,
    6.69
    ,
    6.74
    ,
    6.81
    ,
    8.45
    ,
    17.22
    б),
    18.1
    —
    18.48
    ,
    19.37
    ,
    19.38
    покрытие с.
    479
    ;
    20.13
    ,
    20.17
    ,
    20.28
    ,
    20.34
    ,
    22.5
    ,
    22.10
    ,
    22.24
    ,
    22.33
    ,
    22.35
    ,
    25.48
    —
    25.55
    поляра точки относительно окружности с.
    60
    ,
    563
    ;
    3.33
    ,
    3.34
    ,
    30.37
    ,
    30.39
    поризм Штейнера
    28.40
    последовательность Фарея
    24.8
    построения
    3.37
    ,
    3.62
    ,
    8.1
    —
    8.96
    ,
    16.13
    —
    16.21
    ,
    17.4
    —
    17.15
    ,
    18.11
    ,
    18.27
    ,
    18.33
    ,
    18.45
    ,
    19.16
    —
    19.21
    ,
    19.40
    ,
    19.41
    ,
    28.9
    —
    28.15
    ,
    30.50
    —
    30.58
    — одним циркулем с помощью двусторонней линейки — одной линейки — прямого угла
    8.91
    —
    8.96
    предельные точки с.
    65
    преобразования аффинные проективные с — плоскости — прямой
    30.45
    —
    30.58
    примеры и контрпримеры
    6.81
    ,
    6.92
    —
    6.95
    ,
    22.37
    —
    22.39
    ,
    22.47
    ,
    22.48
    ,
    22.50
    ,
    23.38
    ,
    24.12
    ,
    24.13
    ,
    26.13
    —
    26.20
    принцип Дирихле (правило)
    крайнего с.
    407
    ;
    9.49
    ,
    9.57
    —
    9.59
    ,
    13.26
    ,
    16.11
    ,
    17.35
    ,
    19.9
    ,
    20.1
    —
    20.34
    проектирование центральное с параллельное с.
    559
    ;
    6.70
    ,
    6.78
    ,
    7.3
    ,
    13.16
    ,
    13.37
    —
    13.49
    проекция стереографическая с.
    562
    произведение псевдоскалярное с скалярное с.
    308
    ;
    6.72
    ,
    6.73
    ,
    6.75
    —
    6.80
    ,
    6.89
    ,
    7.3
    ,
    9.78
    ,
    10.5
    ,
    11.5
    ,
    11.11
    ,
    13.11
    —
    13.25
    прямая бесконечно удалённая с Гаусса исключительная с.
    561
    ,
    562
    ;
    30.11
    ,
    30.13
    прямая опорная с Паскаля с Симсона с.
    113
    ;
    2.88
    б),
    2.92
    ,
    5.11
    ,
    5.72
    ,
    5.105
    —
    5.119
    ,
    19.61
    ,
    29.40
    — Уоллеса (см. прямая Симсона)
    — Эйлера с.
    116
    ;
    5.12
    ,
    5.128
    ,
    5.130
    ,
    5.131
    ,
    5.135
    ,
    5.136
    ,
    8.34
    ,
    29.40
    прямоугольник
    1.65
    б),
    1.66
    ,
    2.47
    ,
    4.10
    ,
    4.24
    ,
    6.16
    ,
    6.33
    ,
    7.4
    ,
    7.22
    ,
    7.28
    ,
    7.37
    ,
    8.9
    ,
    28.34
    прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части
    2.73
    ,
    4.36
    —
    4.42
    ,
    6.55
    ,
    6.56
    ,
    16.8
    ,
    18.33
    пучок коник с окружностей с — гиперболический с — ортогональный с — параболический с — эллиптический с.
    65
    пятиугольник
    2.62
    ,
    4.9
    ,
    6.48
    —
    6.51
    ,
    6.60
    ,
    6.95
    ,
    9.24
    ,
    9.46
    ,
    9.77
    ,
    9.78
    ,
    10.66
    ,
    10.70
    ,
    12.8
    ,
    13.10
    ,
    13.59
    ,
    20.12
    ,
    29.7
    Равновеликие фигуры с.
    81
    равносоставленные фигуры с.
    479
    разрезания
    3.71
    ,
    4.54
    ,
    22.45
    ,
    22.46
    ,
    23.15
    ,
    23.18
    ,
    23.19
    ,
    23.30
    ,
    23.40
    ,
    23.41
    ,
    25.9
    —
    25.43
    — на параллелограммы
    25.22
    —
    25.25
    раскраски
    23.36
    —
    23.42
    ,
    24.11
    — вспомогательные
    23.21
    —
    23.35
    расстояние наибольшее или наименьшее
    9.18
    ,
    9.20
    ,
    9.58
    ,
    17.35
    ,
    19.9
    ,
    20.8
    —
    20.16
    ,
    25.9
    растяжение с.
    535
    рациональная параметризация с.
    591
    решётки целочисленные с.
    469
    ;
    21.1
    ,
    21.13
    ,
    21.23
    ,
    23.4
    ,
    23.33
    ,
    24.1
    —
    24.13
    ромб
    1.52
    ,
    2.43
    ,
    2.76
    ,
    7.5
    ,
    20.19
    —
    20.21
    Семиугольник
    6.39
    ,
    9.82
    ,
    17.33
    ,
    22.6
    сжатие с.
    535
    ;
    29.17
    симедиана с.
    119
    ;
    5.149
    ,
    5.150
    ,
    5.153
    ,
    5.154
    ,
    5.156
    симметрия осевая с относительно прямой (см. симметрия осевая — точки
    (см.
    симметрия центральная скользящая с
    Предметный указатель
    629
    симметрия центральная с.
    353
    ;
    1.39
    ,
    4.41
    ,
    4.42
    ,
    5.49
    ,
    8.13
    ,
    8.49
    ,
    8.52
    ,
    8.53
    ,
    11.7
    ,
    11.24
    ,
    11.35
    ,
    16.1
    —
    16.21
    ,
    22.49
    системы окружностей отрезков прямых
    20.15
    ,
    21.14
    ,
    25.5
    —
    25.12
    ,
    26.10
    ,
    28.37
    ,
    28.38
    системы точек
    9.20
    ,
    9.50
    ,
    9.63
    ,
    20.3
    ,
    20.4
    ,
    20.8
    ,
    20.9
    ,
    20.14
    ,
    20.16
    ,
    20.17
    ,
    20.22
    ,
    20.23
    ,
    20.25
    ,
    20.27
    ,
    20.28
    ,
    21.2
    ,
    21.3
    ,
    21.5
    ,
    21.6
    ,
    21.8
    ,
    21.10
    ,
    21.25
    ,
    21.26
    ,
    22.1
    ,
    22.8
    ,
    22.33
    ,
    23.20
    ,
    26.1
    —
    26.7
    ,
    26.16
    ,
    26.20
    ,
    27.11
    ,
    28.35
    ,
    31.75
    соотношения метрические
    12.1
    —
    12.51
    средняя линия трапеции с — треугольника с.
    11
    степень инверсии сточки относительно окружности с.
    63
    ,
    517
    ;
    3.55
    —
    3.58
    ,
    3.75
    сумма длин диагоналей четырёхугольни- ка Минковского с.
    433
    суммы векторов
    13.29
    —
    13.36
    ,
    13.38
    ,
    13.39
    Теорема Брианшона
    3.73
    ,
    5.84
    ,
    30.33
    ,
    30.41
    — Бретшнейдера
    29.38
    — Гаусса Дезарга
    5.78
    ,
    5.80
    —
    5.84
    ,
    30.26
    — Карно Киркмана
    31.53
    б)
    — косинусов с.
    289
    ;
    3.24
    б),
    4.45
    ,
    4.46
    ,
    5.9
    ,
    5.60
    ,
    6.21
    ,
    7.9
    ,
    7.10
    ,
    11.1
    ,
    11.4
    ,
    12.11
    —
    12.17
    — Менелая
    5.69
    —
    5.85
    ,
    6.106
    ,
    14.43
    — Минковского
    24.14
    — Морли
    5.64
    ,
    29.45
    — Наполеона о группировке масс со дважды перспективных треугольниках о полном четырёхстороннике
    30.32
    ,
    30.46
    — о седьмой окружности Паппа
    5.79
    ,
    5.81
    —
    5.83
    ,
    30.27
    ,
    30.47
    — Паскаля Пифагора
    3.24
    а),
    3.39
    ,
    3.51
    ,
    4.8
    ,
    5.28
    ,
    5.43
    ,
    5.47
    ,
    6.51
    — Помпею
    18.23
    — Птолемея
    6.37
    —
    6.47
    ,
    9.70
    теорема Птолемея обобщённая
    6.47
    — Рамсея с Сильвестра
    20.14
    — синусов с.
    289
    ;
    2.87
    в),
    3.32
    б),
    4.44
    ,
    5.27
    ,
    5.59
    ,
    5.74
    а),
    5.94
    ,
    5.98
    ,
    5.120
    ,
    12.1
    —
    12.10
    — Тебо
    3.49
    ,
    3.50
    — Фейербаха
    14.58
    ,
    28.31
    — Хелли
    22.32
    —
    22.36
    — Шаля Штейнера
    5.126
    ,
    31.53
    а)
    — Чевы
    4.49
    б),
    5.85
    —
    5.104
    ,
    10.59
    ,
    14.7
    ,
    14.43
    точка бесконечно удалённая с Жергонна
    5.86
    ,
    6.41
    ,
    30.36
    — Лемуана с Микеля
    2.88
    —
    2.92
    ,
    19.46
    ,
    28.34
    ,
    28.36
    ,
    28.37
    — Нагеля пересечения биссектрис
    1.57
    б),
    2.34
    ,
    2.35
    ,
    2.48
    ,
    2.52
    ,
    5.14
    ,
    5.50
    ,
    7.19
    б),
    8.29
    б)
    — — высот
    1.56
    ,
    2.85
    ,
    2.89
    ,
    2.94
    ,
    3.25
    ,
    3.35
    —
    3.38
    ,
    3.66
    ,
    3.67
    ,
    5.10
    ,
    5.31
    ,
    5.38
    ,
    5.40
    ,
    5.51
    ,
    5.61
    а),
    5.88
    ,
    5.117
    ,
    5.118
    ,
    5.128
    —
    5.130
    ,
    6.17
    ,
    6.30
    ,
    6.36
    ,
    7.19
    а),
    7.42
    ,
    8.29
    а),
    8.30
    ,
    8.31
    ,
    10.82
    ,
    12.76
    ,
    13.12
    б),
    13.13
    ,
    13.14
    ,
    13.35
    ,
    13.58
    ,
    14.22
    ,
    14.35
    ,
    15.6
    ,
    18.35
    ,
    31.38
    ,
    31.39
    ,
    31.43
    ,
    31.59
    — — диагоналей — медиан
    1.50
    б),
    4.59
    ,
    5.128
    ,
    5.162
    ,
    6.30
    ,
    7.27
    ,
    10.89
    ,
    11.18
    ,
    11.19
    ,
    12.16
    ,
    13.33
    ,
    13.40
    ,
    14.4
    ,
    14.6
    ,
    14.12
    ,
    14.16
    ,
    14.23
    ,
    14.37
    ,
    14.39
    ,
    19.1
    ,
    19.4
    ,
    19.10
    ,
    19.33
    ,
    24.9
    ,
    29.22
    — Торричелли с Ферма (см. точка Торричелли)
    — Штейнера с.
    395
    ,
    542
    ;
    14.59
    ,
    19.61
    ,
    29.49
    точки
    Брокара с изогонально сопряжённые с.
    112
    ;
    2.1
    ,
    2.95
    ,
    5.95
    —
    5.97
    ,
    5.125
    ,
    5.127
    ,
    5.140
    б),
    5.164
    ,
    14.41
    б),
    29.45
    —
    29.47
    ,
    31.14
    ,
    31.78
    —
    31.84
    — изотомически сопряжённые с.
    112
    ;
    5.93
    ,
    14.41
    а),
    31.79
    — постоянные подобных фигур с — треугольника с соответственные с
    Предметный указатель трапеция
    1.1
    ,
    1.10
    ,
    1.15
    ,
    1.21
    ,
    1.35
    ,
    2.17
    ,
    2.32
    ,
    2.42
    ,
    5.20
    ,
    5.23
    ,
    6.31
    ,
    9.31
    ,
    11.31
    —
    11.33
    ,
    12.71
    ,
    15.5
    ,
    19.2
    ,
    19.3
    ,
    19.26
    ,
    27.3
    ,
    29.23
    треугольник
    5.1
    —
    5.165
    — Брокара с наибольший пифагоров с подерный (педальный) с.
    115
    ;
    5.120
    —
    5.126
    ,
    5.162
    ,
    5.163
    ,
    14.21
    б)
    — подобия с постоянный с правильный
    1.29
    ,
    1.45
    ,
    1.46
    ,
    1.50
    б),
    1.59
    ,
    2.14
    ,
    2.16
    ,
    2.19
    ,
    2.38
    ,
    2.47
    ,
    2.57
    ,
    4.47
    ,
    5.28
    —
    5.34
    ,
    5.64
    ,
    5.65
    ,
    6.48
    ,
    6.61
    ,
    6.82
    ,
    7.16
    б),
    7.18
    ,
    7.23
    ,
    7.39
    ,
    7.47
    ,
    10.3
    ,
    10.80
    ,
    11.3
    ,
    14.21
    а),
    16.7
    ,
    18.10
    —
    18.16
    ,
    18.18
    —
    18.21
    ,
    18.23
    —
    18.25
    ,
    18.42
    ,
    18.43
    ,
    24.1
    ,
    29.34
    ,
    29.42
    ,
    29.46
    ,
    29.47
    ,
    31.44
    ,
    31.70
    — прямоугольный
    1.40
    ,
    1.43
    ,
    1.50
    а),
    2.5
    ,
    2.41
    ,
    2.68
    ,
    2.69
    ,
    3.39
    ,
    5.18
    —
    5.27
    ,
    5.35
    ,
    5.43
    ,
    5.46
    ,
    5.75
    ,
    5.157
    ,
    6.82
    ,
    11.14
    — с углом или 120
    ◦
    2.34
    ,
    2.35
    ,
    5.35
    —
    5.41
    ,
    12.55
    — целочисленный
    5.42
    —
    5.47
    ,
    26.7
    треугольники ортологические с подобные с.
    11
    ;
    1.1
    —
    1.67
    ,
    2.53
    —
    2.67
    ,
    6.35
    ,
    7.16
    а),
    7.26
    ,
    8.12
    —
    8.14
    — собственно подобные равные вспомогательные
    1.23
    ,
    1.40
    —
    1.52
    ,
    3.1
    ,
    3.22
    ,
    5.15
    ,
    5.16
    ,
    7.24
    ,
    7.25
    ,
    8.45
    триангуляция с.
    457
    ;
    22.9
    ,
    23.7
    ,
    23.9
    ,
    23.15
    ,
    23.16
    ,
    23.35
    ,
    23.40
    ,
    23.41
    трисектриса
    5.64
    Угол
    Брокара с вписанный с между окружностями с — прямыми с наименьший или наибольший ориентированный с.
    30
    ,
    308
    узел решётки с.
    469
    Фигура выпуклая с.
    430
    ;
    24.18
    ,
    26.23
    фокус гиперболы с параболы с.
    587
    ;
    31.33
    ,
    31.34
    ,
    31.36
    —
    31.40
    фокус эллипса с.
    584
    ;
    31.12
    —
    31.15
    ,
    31.24
    формула Герона с.
    291
    ;
    5.44
    ,
    5.46
    б),
    9.13
    ,
    9.39
    ,
    10.6
    ,
    12.19
    б),
    12.32
    — Пика Эйлера
    5.12
    а),
    23.15
    ,
    23.16
    Центр вневписанной окружности
    1.57
    б),
    2.4
    а),
    2.96
    ,
    5.6
    ,
    5.12
    ,
    5.38
    б),
    5.132
    ,
    7.43
    — вписанной окружности
    1.30
    ,
    2.4
    а),
    2.52
    ,
    2.67
    б),
    2.96
    ,
    3.47
    —
    3.49
    ,
    3.72
    б),
    4.40
    а),
    5.4
    ,
    5.7
    ,
    5.12
    —
    5.16
    ,
    5.38
    б),
    5.50
    ,
    5.57
    ,
    5.132
    ,
    6.16
    ,
    6.104
    ,
    7.47
    ,
    9.73
    ,
    10.32
    ,
    10.82
    ,
    11.20
    ,
    12.29
    ,
    13.41
    ,
    14.13
    ,
    14.35
    б),
    19.12
    ,
    19.13
    — гомотетии с — поворотной инверсии с коники с масс с описанной окружности
    1.32
    ,
    1.55
    б),
    2.1
    ,
    2.38
    ,
    2.51
    ,
    2.86
    ,
    2.87
    в),
    2.89
    ,
    2.93
    ,
    3.72
    б),
    4.58
    ,
    5.12
    ,
    5.13
    ,
    5.16
    ,
    5.17
    ,
    5.38
    б),
    5.40
    б),
    5.61
    а),
    5.123
    ,
    5.128
    ,
    5.132
    ,
    6.40
    ,
    7.16
    а),
    7.17
    ,
    7.51
    ,
    10.82
    ,
    12.16
    ,
    12.79
    ,
    13.13
    ,
    13.40
    ,
    13.41
    ,
    14.24
    ,
    14.35
    а),
    15.7
    ,
    18.32
    ,
    18.48
    ,
    19.13
    ,
    19.58
    ,
    19.59
    — подобия с правильного многоугольника с радикальный с симметрии с.
    353
    ,
    14.29
    ,
    17.36
    ,
    18.25
    ,
    22.31
    ,
    24.14
    ,
    25.1
    ,
    25.2
    Чёт и нечёт
    23.1
    —
    23.8
    четыре прямые
    2.88
    ,
    2.89
    ,
    2.92
    четырёхугольник
    1.2
    ,
    1.5
    ,
    1.16
    ,
    1.38
    ,
    1.39
    ,
    1.52
    ,
    2.45
    ,
    3.4
    ,
    3.67
    ,
    4.5
    ,
    4.7
    ,
    4.14
    —
    4.25
    ,
    4.29
    ,
    4.30
    ,
    4.33
    ,
    4.36
    ,
    4.43
    —
    4.46
    ,
    4.56
    ,
    5.47
    б),
    5.80
    —
    5.82
    ,
    6.21
    —
    6.36
    ,
    7.2
    ,
    7.10
    б),
    7.32
    ,
    7.36
    ,
    8.6
    ,
    8.46
    —
    8.54
    ,
    9.33
    ,
    9.34
    ,
    9.40
    ,
    9.65
    —
    9.76
    ,
    10.64
    ,
    11.29
    —
    11.34
    ,
    13.6
    ,
    14.5
    ,
    14.8
    ,
    14.50
    ,
    14.51
    ,
    15.12
    ,
    15.15
    ,
    16.5
    ,
    17.4
    ,
    17.19
    ,
    18.38
    ,
    18.41
    ,
    19.1
    ,
    20.19
    —
    20.21
    ,
    26.14
    ,
    26.15
    ,
    29.38
    ,
    30.24
    ,
    30.28
    ,
    30.30
    ,
    30.45
    — вписанно-описанный
    2.81
    ,
    4.46
    в),
    8.50
    — вписанный
    Предметный указатель б описанный
    2.81
    б),
    3.6
    ,
    3.8
    ,
    4.46
    в),
    4.59
    ,
    6.1
    —
    6.14
    ,
    6.31
    ,
    7.50
    ,
    17.5
    ,
    30.35
    числа комплексные
    29.26
    —
    29.47
    ,
    31.43
    ,
    31.61
    ,
    31.70
    Шестиугольник
    1.45
    ,
    2.12
    ,
    2.21
    ,
    2.49
    ,
    3.73
    ,
    4.6
    ,
    4.28
    ,
    4.31
    ,
    5.17
    ,
    5.84
    ,
    5.98
    ,
    6.52
    —
    6.56
    ,
    6.97
    ,
    9.47
    а),
    9.79
    —
    9.81
    ,
    13.3
    ,
    14.6
    ,
    18.16
    ,
    18.17
    ,
    18.24
    ,
    18.25
    ,
    29.37
    а),
    30.41
    ,
    30.42
    Эксцентриситет гиперболы с эллипса с.
    585
    ;
    31.17
    эллипс с.
    583
    ;
    31.6
    —
    31.28
    ,
    31.61
    —
    31.63
    эллипсы Штейнера с
    ПРОГРАММЫ ЭЛЕКТИВНЫХ КУРСОВ ПО ГЕОМЕТРИИ
    Для элективных занятий по геометрии предлагаются следующие почасовые программы. Отметим, что списки задач приведены с некоторым запасом на каждом занятии необязательно разбирать все задачи.
    Тема занятий избранные задачи планиметрии (18 часов)
    Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие Тема занятий геометрия окружностей (12 часов)
    Занятие Вводные задачи 1–4 к главе Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие 7.
    3.43
    —
    3.45
    ,
    3.51
    —
    3.53
    Программы элективных курсов по геометрии
    633
    Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие Тема занятий геометрические места точек и построения (18 часов)
    Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие Тема занятий треугольники и многоугольники (18 часов)
    Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие 16.
    6.1
    —
    6.3
    ,
    6.37
    ,
    6.38
    Программы элективных курсов по геометрии
    Занятие Занятие Тема занятий геометрические преобразования (18 часов)
    Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие Тема занятий векторы и центр масс (12 часов)
    Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие Тема занятий задачи на разрезания (12 часов)
    Занятие Занятие Занятие Занятие 4.
    25.16
    —
    25.19
    Программы элективных курсов по геометрии
    635
    Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие Занятие 12.
    25.56
    —
    25.59
    Учебное издание iВиктор Васильевич Прасолов
    ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ
    Подписано к печати 20.02.2006 г.
    Формат 70
    × Печать офсетная.
    Объем 40 печ. л. Тираж 62 000 экз. Заказ Издательство Московского центра непрерывного математического образования, Москва, Бол. Власьевский пер, 11. Тел (495) Отпечатано с готовых диапозитивов в ОАО Московские учебники и Картоли- тография». 125252, Москва, ул. Зорге, 15.
    1   ...   62   63   64   65   66   67   68   69   70

    написать администратору сайта