Формула. В. В. Прасолов задачи по планиметрии
 Скачать 6.7 Mb.
|
|
§ 1. Отрезки, заключённые между параллельными прямыми 1.1. Основания AD и BC трапеции ABCD равны a и b (a > а) Найдите длину отрезка, высекаемого диагоналями на средней линии. б) Найдите длину отрезка MN, концы которого делят стороны ив отношении AM : MB = DN : NC = p : Докажите, что середины сторон произвольного четырёхуголь- ника — вершины параллелограмма. Для каких четырёхугольников этот параллелограмм является прямоугольником, для каких — ромбом, для каких — квадратом? 1.3. а) Точки и делят стороны BC и AC треугольника в отношениях BA 1 : A 1 C = 1 : p и AB 1 : B 1 C = 1 : q. В каком отношении отрезок делится отрезком б) На сторонах BC и AC треугольника ABC взяты точки и Отрезки и пересекаются в точке D. Пусть a 1 , b 1 , c и d — расстояния от точек A 1 , B 1 , C и D до прямой AB. Докажите, что 1 a 1 + 1 b 1 = 1 c + 1 d 1.4. Через точку P медианы треугольника ABC проведены прямые и точки и лежат на сторонах BC и Докажите, что A 1 B 1 k Прямая, соединяющая точку P пересечения диагоналей четы- рёхугольника ABCD сточкой пересечения прямых AB и CD, делит сторону AD пополам. Докажите, что она делит пополам и сторону На стороне AD параллелограмма ABCD взята точка P так, что : AD = 1 : n; Q — точка пересечения прямых AC и BP. Докажите, что AQ : AC = 1 : (n + Вершины параллелограмма лежат на сторонах параллелограмма точка лежит на стороне AB, точка B 1 — на стороне BC и т. д. Докажите, что центры обоих параллелограммов совпадают. 1.8. На диагонали BD параллелограмма ABCD взята точка K. Прямая пересекает прямые BC ив точках L и M. Докажите, что LK · Одна из диагоналей вписанного в окружность четырёхугольни- ка является диаметром. Докажите, что проекции противоположных сторон на другую диагональ равны Условия задач 13 1.10. На основании AD трапеции ABCD взята точка E так, что = BC. Отрезки CA и CE пересекают диагональ BD в точках O и соответственно. Докажите, что если BO = PD, то AD 2 = BC 2 + AD · Точки A и B высекают на окружности с центром O дугу величиной 60 ◦ . На этой дуге взята точка M. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков MA и OB, перпендикулярна прямой, проходящей через середины отрезков MB и а) Точки A, B и C лежат на одной прямой, а точки и C 1 — на другой. Докажите, что если AB 1 k и AC 1 k CA 1 , то б) Точки A, B и C лежат на одной прямой, а точки A 1 , и таковы, что AB 1 k BA 1 , AC 1 k и BC 1 k CB 1 . Докажите, что точки, и лежат на одной прямой. 1.13. В треугольнике ABC проведены биссектрисы и BB 1 . Докажите, что расстояние от любой точки M отрезка до прямой равно сумме расстояний от M до прямых AC и Пусть M и N — середины сторон AD и BC прямоугольника. На продолжении отрезка DC заточку взята точка точка пересечения прямых PM и AC. Докажите, что = На продолжениях оснований AD и BC трапеции ABCD заточки и C взяты точки K и L. Отрезок KL пересекает стороны ив точках M и N, а диагонали AC ив точках O и Докажите, что если KM = NL, то KO = На сторонах AB, BC, CD и DA выпуклого четырёхугольни- ка ABCD взяты точки P, Q, R итак, что BP : AB = CR : CD = a и AS : AD = BQ : BC = b . Докажите, что отрезки PR и QS делятся точкой их пересечения в отношениях b : (1 − b ) и a : (1 − a ). § 2. Отношение сторон подобных треугольников 1.17. а) В треугольнике ABC проведена биссектриса BD внутреннего или внешнего угла. Докажите, чтоб) Докажите, что центр O вписанной окружности треугольника делит биссектрису в отношении AO : OA 1 = (b + c) : a, где a, b, c — длины сторон треугольника. 1.18. Длины двух сторон треугольника равны a, а длина третьей стороны равна b. Вычислите радиус его описанной окружности. 1.19. Прямая, проходящая через вершину A квадрата ABCD, пересекает сторону CD в точке E и прямую BC в точке F. Докажите, что 1 AE 2 + 1 AF 2 = 1 AB 2 1.20. На высотах и треугольника ABC взяты точки итак, что ∠AB 2 C = ∠AC 2 B = 90 ◦ . Докажите, что AB 2 = AC 2 Глава 1. Подобные треугольники 1.21. В трапецию ABCD (BC k AD) вписана окружность, касающаяся боковых сторон AB ив точках K и L соответственно, а оснований ив точках M и а) Пусть Q — точка пересечения отрезков BM и AN. Докажите, чтоб) Докажите, что AK · KB = CL · На стороны BC и CD параллелограмма ABCD или на их продолжения) опущены перпендикуляры AM и AN. Докажите, что ∼ Прямая l пересекает стороны AB и AD параллелограмма в точках E и F соответственно. Пусть G — точка пересечения прямой l с диагональю AC. Докажите, что AB AE + AD AF = AC AG 1.24. Пусть AC — большая из диагоналей параллелограмма Из точки C на продолжения сторон AB и AD опущены перпендикуляры и CF соответственно. Докажите, что AB · AE + AD · AF = Углы треугольника ABC связаны соотношением 3 a + 2 b = Докажите, что a 2 + bc = Концы отрезков AB и CD перемещаются по сторонам данного угла, причём каждая из прямых AB и CD перемещается параллельно самой себе M — точка пересечения отрезков AB и CD. Докажите, что величина · BM CM · DM остаётся постоянной. 1.27. Через произвольную точку P стороны AC треугольника параллельно его медианами проведены прямые, пересекающие стороны BC ив точках E и F соответственно. Докажите, что медианы AK и CL делят отрезок EF натри равные части. 1.28. На биссектрисе угла взята точка P. Прямая, проходящая через точку P, высекает на сторонах угла отрезки длиной a и Докажите, что величина 1 a + 1 b не зависит от выбора этой прямой. 1.29. На стороне BC равностороннего треугольника ABC как на диаметре внешним образом построена полуокружность, на которой взяты точки K и L, делящие полуокружность натри равные дуги. Докажите, что прямые AK и AL делят отрезок BC на равные части. 1.30. Точка O — центр вписанной окружности треугольника На сторонах AC и BC выбраны точки M и K соответственно так, что · AB = и AM · AB = AO 2 . Докажите, что точки M, O и K лежат на одной прямой. 1.31*. Докажите, что если a 1 = ирис, то x = На отрезке MN построены подобные одинаково ориентированные треугольники AMN, NBM ирис. Докажите, что треугольник ABC подобен всем этим треугольникам, а центр его описанной окружности равноудалён от точек M и N. Условия задач 15 Рис. Рис. Отрезок BE разбивает треугольник ABC на два подобных треугольника, причём коэффициент подобия равен. Найдите углы треугольника См. также задачу 3. Отношение площадей подобных треугольников 1.34. На стороне AC треугольника ABC взята точка E. Через точку проведены прямая DE параллельно стороне BC и прямая параллельно стороне AB (D и E — точки на этих сторонах. Докажите, что S BDEF = 2 √ S ADE · На боковых сторонах AB и CD трапеции ABCD взяты точки итак, что отрезок MN параллелен основаниями делит площадь трапеции пополам. Найдите длину MN, если BC = a и AD = Через некоторую точку Q, взятую внутри треугольника проведены три прямые, параллельные его сторонам. Эти прямые разбивают треугольник на шесть частей, три из которых — треугольники с площадями S 1 , и S 3 . Докажите, что площадь треугольника равна Докажите, что площадь треугольника, стороны которого равны медианам треугольника площади S, равна а) Докажите, что площадь четырёхугольника, образованного серединами сторон выпуклого четырёхугольника ABCD, равна половине площади б) Докажите, что если диагонали выпуклого четырёхугольника равны, то его площадь равна произведению длин отрезков, соединяющих середины противоположных сторон. 1.39. Точка O, лежащая внутри выпуклого четырёхугольника площади, отражается симметрично относительно середин его сторон Глава 1. Подобные треугольники Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в полученных точках 4. Вспомогательные равные треугольники 1.40. Катет BC прямоугольного треугольника ABC с прямым углом разделён точками D и E натри равные части. Докажите, что если BC = 3AC, то сумма углов AEC, ADC и ABC равна Точка K — середина стороны AB квадрата ABCD, а точка делит диагональ AC в отношении AL : LC = 3 : 1. Докажите, что угол KLD прямой. 1.42. Через вершину A квадрата ABCD проведены прямые и пересекающие его стороны. Из точек B и D опущены перпендикуляры, и на эти прямые. Докажите, что отрезки B 1 B 2 и равны и перпендикулярны. 1.43. На катетах CA и CB равнобедренного прямоугольного треугольника выбраны точки D итак, что CD = CE. Продолжения перпендикуляров, опущенных из точек D и C напрямую, пересекают гипотенузу AB в точках K и L. Докажите, что KL = На сторонах AB, BC, CD и DA вписанного четырёхуголь- ника ABCD, длины которых равны a, b, c и d, внешним образом построены прямоугольники размером a × c, b × d, c × a и d × b. Докажите, что их центры являются вершинами прямоугольника. 1.45*. Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность радиуса с центром O, причём AB = CD = EF = R. Докажите, что точки попарного пересечения описанных окружностей треугольников BOC, DOE и FOA, отличные от точки O, являются вершинами правильного треугольника со стороной На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD построены внешним образом правильные треугольники BCK и DCL. Докажите, что треугольник AKL правильный. 1.47. На сторонах параллелограмма внешним образом построены квадраты. Докажите, что их центры образуют квадрат. 1.48*. На сторонах произвольного треугольника ABC внешним образом построены равнобедренные треугольники с углами 2 a , 2 b и 2 g при вершинах A 0 , и C 0 , причём a + b + g = 180 ◦ . Докажите, что углы треугольника равны a , b и g 1.49*. На сторонах треугольника ABC как на основаниях построены подобные равнобедренные треугольники AB 1 C и AC 1 B внешним образом и BA 1 C внутренним образом. Докажите, что AB 1 A 1 C 1 — параллелограмма) На сторонах AB и AC треугольника ABC внешним образом построены прямоугольные треугольники и AB 1 C, причём Условия задач ∠B 1 = 90 ◦ , ∠ABC 1 = ∠ACB 1 = f ; M — середина BC. Докажите, что MB 1 = и ∠B 1 MC 1 = 2 f б) На сторонах треугольника ABC внешним образом построены правильные треугольники. Докажите, что их центры образуют правильный треугольник, причём его центр совпадает сточкой пересечения медиан треугольника На неравных сторонах AB и AC треугольника ABC внешним образом построены равнобедренные треугольники AC 1 B и AB 1 C с углом при вершине. а) M — точка медианы или её продолжения, равноудалённая от точек и C 1 . Докажите, чтоб точка серединного перпендикуляра к отрезку BC, равноуда- лённая от точек и C 1 . Докажите, что ∠B 1 OC 1 = На сторонах выпуклого четырёхугольника ABCD внешним образом построены подобные ромбы, причём их острые углы прилегают к вершинами. Докажите, что отрезки, соединяющие центры противоположных ромбов, равны, а угол между ними равен См. также задачи 5. Треугольник, образованный основаниями высот 1.53. Пусть и BB 1 — высоты треугольника ABC. Докажите, что ∼ 4ABC. Чему равен коэффициент подобия? 1.54. Из вершины C остроугольного треугольника ABC опущена высота CH, а из точки H опущены перпендикуляры HM и HN на стороны BC и AC соответственно. Докажите, что 4MNC ∼ В треугольнике ABC проведены высоты и а) Докажите, что касательная в точке A к описанной окружности параллельна прямой б) Докажите, что B 1 C 1 ⊥ OA, где O — центр описанной окружности. 1.56. На сторонах остроугольного треугольника ABC взяты точки, итак, что отрезки AA 1 , и пересекаются в точке Докажите, что AH · A 1 H = BH · B 1 H = CH · C 1 H тогда и только тогда, когда H — точка пересечения высот треугольника а) Докажите, что высоты AA 1 , и остроугольного треугольника ABC делят углы треугольника A 1 B 1 C 1 пополам. б) На сторонах AB, BC и CA остроугольного треугольника взяты точки C 1 , и соответственно. Докажите, что если ∠B 1 A 1 C = = ∠BA 1 C 1 , ∠A 1 B 1 C и ∠A 1 C 1 B = ∠AC 1 B 1 , то точки A 1 , и являются основаниями высот треугольника В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты и CC 1 . Докажите, что точка, симметричная относительно прямой, лежит на прямой В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты и CC 1 . Докажите, что если A 1 B 1 k AB и B 1 C 1 k BC, то A 1 C 1 k AC. Глава 1. Подобные треугольники 1.60*. Пусть p — полупериметр остроугольного треугольника ABC, q — полупериметр треугольника, образованного основаниями его высот. Докажите, что p : q = R : r, где R и r — радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника ABC. § 6. Подобные фигуры 1.61. В треугольник вписана окружность радиуса r. Касательные к этой окружности, параллельные сторонам треугольника, отсекают от него три треугольника. Пусть r 1 , r 2 , r 3 — радиусы вписанных в эти треугольники окружностей. Докажите, что r 1 + r 2 + r 3 = Дан треугольник ABC. Постройте две прямые x итак, чтобы для любой точки M на стороне AC сумма длин отрезков и MY M , проведённых из точки M параллельно прямыми до пересечения со сторонами AB и BC треугольника, равнялась В равнобедренном треугольнике ABC из середины H основания опущен перпендикулярна боковую сторону AC; O — середина отрезка HE. Докажите, что прямые AO и BE перпендикулярны. 1.64. Докажите, что проекции основания высоты треугольника на стороны, её заключающие, и на две другие высоты лежат на одной прямой. 1.65. На отрезке AC взята точка B и на отрезках AB, BC, CA построены полуокружности S 1 , S 2 , по одну сторону от AC. D — такая точка на S 3 , что BD ⊥ AC. Общая касательная к и S 2 , касается этих полуокружностей в точках F и E соответственно. а) Докажите, что прямая EF параллельна касательной к S 3 , прове- дённой через точку б) Докажите, что BFDE — прямоугольник. 1.66*. Из произвольной точки M окружности, описанной около прямоугольника ABCD, опустили перпендикуляры MQ и MP на две его противоположные стороны и перпендикуляры MR и MT на продолжения двух других сторон. Докажите, что прямые PR и перпендикулярны, а точка их пересечения принадлежит диагонали прямоугольника К двум окружностям, расположенным одна вне другой, проведены одна внешняя и одна внутренняя касательные. Рассмотрим две прямые, каждая из которых проходит через точки касания, принадлежащие одной из окружностей. Докажите, что точка пересечения этих прямых расположена на прямой, соединяющей центры окружностей. См. также задачу 6.27 Задачи для самостоятельного решения 1.68. Основание равнобедренного треугольника составляет четверть его периметра. Из произвольной точки основания проведены прямые Условия задач 19 параллельные боковым сторонам. Во сколько раз периметр треугольника больше периметра отсечённого параллелограмма? |