Формула. В. В. Прасолов задачи по планиметрии

• Название: В. В. Прасолов задачи по планиметрии
• Анкор: Формула
• Дата: 17.06.2022
• Размер: 6.7 Mb.
• Имя файла: planim5.pdf
• Тип: Учебное пособие; #599309
• страница: 9 из 70

§ 1. Медиана делит площадь пополам
4.1.
Докажите, что медианы разбивают треугольник на шесть равновеликих треугольников.
4.2.
Дан треугольник ABC. Найдите все такие точки P, что площади треугольников ABP, BCP и ACP равны

Глава 4. Площадь
Рис. Внутри данного треугольника
ABC
найдите такую точку O, что площади треугольников и AON равны (точки, M и N лежат на сторонах AB, BC и CA,
причём OL k BC, OM k AC ирис. На продолжениях сторон треугольника взяты точки
A
1
,
B
1
и
C
1
так,
что # –
AB
1
= 2
# –
AB,
# –
BC
1
= 2
# –
BC и –
CA
1
= 2
# –
AC. Найдите площадь треугольника A
1
B
1
C
1
, если известно, что площадь треугольника ABC равна На продолжениях сторон DA, AB, BC,
CD выпуклого четырёхугольника ABCD взяты точки A
1
, B
1
, C
1
, так, что # –
DA
1
= 2
# –
DA,
# –
AB
1
= 2
# –
AB,
# –
BC
1
= 2
# и –
CD
1
= 2
# Найдите площадь получившегося четырёхугольни- ка A
1
B
1
C
1
D
1
, если известно, что площадь четырёхугольника равна Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность. Диагонали, BE и CF являются диаметрами этой окружности. Докажите, что площадь шестиугольника ABCDEF равна удвоенной площади треугольника Внутри выпуклого четырёхугольника ABCD существует такая точка O, что площади треугольников OAB, OBC, OCD и ODA равны.
Докажите, что одна из диагоналей четырёхугольника делит другую пополам 2. Вычисление площадей
4.8.
Высота трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны, равна 4. Найдите площадь трапеции, если известно, что длина одной из её диагоналей равна Каждая диагональ выпуклого пятиугольника ABCDE отсекает от него треугольник единичной площади. Вычислите площадь пяти-
Рис. угольника В прямоугольник ABCD вписаны два различных прямоугольника, имеющих общую вершину K на стороне AB. Докажите, что сумма их площадей равна площади прямоугольника В треугольнике ABC точка E середина стороны BC, точка D лежит на стороне AC, AC = 1, ∠BAC = 60
◦
, ∠ABC =
= 100
◦
, ∠ACB = ирис. Чему равна сумма площади треугольника ABC и удвоенной площади треугольника CDE?

Условия задач
83
Рис. В треугольник T
a
= вписан треугольника в треугольник вписан треугольник T
c
= 4C
1
C
2
C
3
, причём стороны треугольников и параллельны. Выразите площадь треугольника через площади треугольников и На сторонах треугольника ABC взяты точки A
1
, и C
1
, делящие его стороны в отношениях BA
1
: A
1
C = p, CB
1
: B
1
A = и AC
1
: C
1
B = r. Точки пересечения отрезков, и расположены так, как показано на рис. 4.3. Найдите отношение площадей треугольников PQR и ABC.
§ 3. Площади треугольников, на которые разбит
четырёхугольник
4.14.
Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке Докажите, что S
AOB
= тогда и только тогда, когда BC k а) Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P. Известны площади треугольников ABP, BCP, Найдите площадь треугольника б) Выпуклый четырёхугольник разбит диагоналями на четыре треугольника, площади которых выражаются целыми числами. Докажите, что произведение этих чисел представляет собой точный квадрат.
4.16*.
Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P,
причём S
2
ABP
+ S
2
CDP
= S
2
BCP
+ S
2
ADP
. Докажите, что P — середина одной из диагоналей.
4.17*.
В выпуклом четырёхугольнике ABCD существуют три внутренние точки P
1
, P
2
, P
3
, не лежащие на одной прямой и обладающие тем свойством, что сумма площадей треугольников и равна сумме площадей треугольников и для i = 1, 2, 3. Докажите,
что ABCD — параллелограмм 4. Площади частей, на которые разбит четырёхугольник
4.18.
Пусть K, L, M и N — середины сторон AB, BC, CD и выпуклого четырёхугольника ABCD; отрезки KM и LN пересекаются в точке O. Докажите, что S
AKON
+ S
CLOM
= S
BKOL
+ Точки K, L, M и N лежат на сторонах AB, BC, CD и параллелограмма ABCD, причём отрезки KM и LN параллельны сторонам параллелограмма. Эти отрезки пересекаются в точке O. Докажите,
что площади параллелограммов KBLO и MDNO равны тогда и только тогда, когда точка O лежит на диагонали AC.

Глава 4. Площадь
4.20.
На сторонах AB и CD четырёхугольника ABCD взяты точки итак, что AM : MB = CN : ND. Отрезки AN и DM пересекаются в точке K, а отрезки BN ив точке L. Докажите,
что S
KMLN
= S
ADK
+ На стороне AB четырёхугольника ABCD взяты точки и а на стороне CD — точки и D
1
, причём AA
1
= BB
1
= pAB и CC
1
=
= DD
1
= pCD, где p < 0, 5. Докажите, что S
A
1
B
1
C
1
D
1
/S
ABCD
= 1 − Каждая из сторон выпуклого четырёхугольника разделена на пять равных частей и соответствующие точки противоположных
Рис. сторон соединены (рис. 4.4). Докажите, что площадь среднего (заштрихованного) четырёхуголь- ника враз меньше площади исходного.
4.23*.
На каждой стороне параллелограмма взято по точке. Площадь четырёхугольника с вершинами в этих точках равна половине площади параллелограмма. Докажите, что хотя бы одна из диагоналей четырёхугольника параллельна стороне параллелограмма.
4.24*.
Точки
K
и
M — середины сторон и CD выпуклого четырёхугольника точки L и N расположены на сторонах BC итак, что KLMN — прямоугольник. Докажите, что площадь четырёхугольника ABCD вдвое больше площади прямоугольника Квадрат разделён на четыре части двумя перпендикулярными прямыми, точка пересечения которых лежит внутри его. Докажите, что если площади трёх из этих частей равны, то равны и площади всех четырёх частей 5. Разные задачи
4.26.
Даны параллелограмм ABCD и некоторая точка M. Докажите,
что S
ACM
= |S
ABM
± На сторонах AB и BC треугольника ABC внешним образом построены параллелограммы P — точка пересечения продолжений их сторон, параллельных AB и BC. На стороне AC построен параллелограмм, вторая сторона которого равна и параллельна BP. Докажите,
что его площадь равна сумме площадей первых двух параллело- граммов.
4.28*.
Точка O, лежащая внутри правильного шестиугольника,
соединена с вершинами. Возникшие при этом шесть треугольников раскрашены попеременно в красный и синий цвет. Докажите,
что сумма площадей красных треугольников равна сумме площадей синих

Условия задач
85
4.29*.
Продолжения сторон AD и BC выпуклого четырёхугольни- ка ABCD пересекаются в точке O; M и N — середины сторон AB и CD,
P и Q — середины диагоналей AC и BD. Докажите, что:
а) S
PMQN
= |S
ABD
− б) S
OPQ
= На сторонах AB и CD выпуклого четырёхугольника взяты точки E и F. Пусть K, L, M и N — середины отрезков DE, BF,
CE и AF. Докажите, что четырёхугольник KLMN выпуклый и его площадь не зависит от выбора точек E и Середины диагоналей AC, BD, CE, . . . выпуклого шестиугольника образуют выпуклый шестиугольник. Докажите, что его площадь в четыре раза меньше площади исходного шестиугольника.
4.32*.
Диаметр PQ и перпендикулярная ему хорда RS пересекаются в точке A. Точка C лежит на окружности, а точка B — внутри окружности, причём BC k PQ и BC = RA. Из точек A и B опущены перпендикуляры AK и BL напрямую. Докажите, что S
ACK
= Рис. Диагонали выпуклого четырёхуголь- ника ABCD пересекаются в точке O; P и Q произвольные точки. Докажите, что
S
AOP
S
BOQ
=
S
ACP
S
BDQ
·
S
ABD
S
ABC
*
*
*
4.34*.
Через точку
O,
лежащую внутри треугольника
ABC,
проведены отрезки, параллельные сторонам. Отрезки и разбивают треугольник ABC на четыре треугольника и три четырёхугольника
(рис. 4.5). Докажите, что сумма площадей треугольников, прилегающих к вершинами, равна площади четвёртого треугольника.
4.35*.
На биссектрисе угла A треугольника ABC взята точка так, что AA
1
= p − a = (b + c − a)/2, и через точку проведена прямая l
a
, перпендикулярная биссектрисе. Если аналогично провести прямые и l
c
, то треугольник ABC разобьётся на части, среди которых четыре треугольника. Докажите, что площадь одного из этих треугольников равна сумме площадей трёх других.
См. также задачи 6. Прямые и кривые, делящие фигуры
на равновеликие части
4.36.
Отрезок
MN,
параллельный стороне
CD
четырёхугольни- ка ABCD, делит его площадь пополам (точки M и N лежат на сторонах BC и AD). Длины отрезков, проведённых из точек A и B

Глава 4. Площадь параллельно CD до пересечения с прямыми BC и AD, равны a и Докажите, что MN
2
= (ab + c
2
)/2, где c = Каждая из трёх прямых делит площадь фигуры пополам.
Докажите, что часть фигуры, заключённая внутри треугольника, образованного этими прямыми, имеет площадь, не превосходящую площади всей фигуры.
4.38*.
Прямая l делит площадь выпуклого многоугольника пополам. Докажите, что эта прямая делит проекцию данного многоугольника напрямую, перпендикулярную l, в отношении, не превосходящем +Докажите, что любой выпуклый многоугольник можно разрезать двумя взаимно перпендикулярными прямыми на четыре фигуры равной площади.
4.40*.
а) Докажите, что любая прямая, делящая пополам площадь и периметр треугольника, проходит через центр вписанной окружно- сти.
б) Докажите аналогичное утверждение для любого описанного мно- гоугольника.
4.41*.
Точки A и B окружности соединены дугой окружности делящей площадь круга, ограниченного S
1
, на равные части. Докажите, что дуга S
2
, соединяющая A и B, по длине больше диаметра Кривая Г делит квадрат на две части равной площади. Докажите, что на ней можно выбрать две точки A итак, что прямая проходит через центр O квадрата.
См. также задачи 7. Формулы для площади четырёхугольника
4.43.
Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке Расстояния от точек A, B и P до прямой CD равны a, b и p. Докажите,
что площадь четырёхугольника ABCD равна ab · CD/2p.
4.44.
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса угол между его диагоналями. Докажите, что площадь S четырёхуголь- ника ABCD равна 2R
2
sin A sin B sin Докажите, что площадь четырёхугольника, диагонали которого не перпендикулярны, равна tg f
· |a
2
+ c
2
− b
2
− d
2
|/4, где a, b,
c и d — длины последовательных сторон угол между диагоналями.
4.46*.
а)
Докажите,
что площадь выпуклого четырёхугольни- ка ABCD вычисляется по формуле (p − a)(p − b)(p − c)(p − d) − abcd cos
2
B + где p — полупериметр, a, b, c, d — длины сторон.
б) Докажите, что если четырёхугольник ABCD вписанный, то S
2
=
= (p − a)(p − b)(p − c)(p − d).

Условия задач
87
в) Докажите, что если четырёхугольник ABCD описанный, то S
2
=
= abcd sin
2
((B + См. также задачу 8. Вспомогательная площадь
4.47.
Докажите, что сумма расстояний от точки, взятой произвольно внутри правильного треугольника, до его сторон постоянна (и равна высоте треугольника).
4.48.
Докажите, что длина биссектрисы AD треугольника ABC равна Внутри треугольника
ABC
взята точка
O;
прямые
AO,
BO и CO пересекают его стороны в точках A
1
, и C
1
. Докажите,
что: а 1; б Даны − угольники точка
O.
Прямые
A
k
O и пересекаются в точке B
k
. Докажите, что произведение отношений A
n+k−1
B
k
/A
n+k
B
k
(k = 1, . . . , n) равно Дан выпуклый многоугольник A
1
A
2
. . . A
n
. На стороне взяты точки и D
2
, на стороне A
2
A
3
— точки и и т. д. таким образом, что если построить параллелограммы A
1
B
1
C
1
D
1
, . . . , то прямые A
1
C
1
, . . . , пересекутся водной точке O. Докажите, что A
2
B
2
· . . . · A
n
B
n
= A
1
D
1
· A
2
D
2
· . . . · Длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию. Докажите, что радиус вписанной окружности равен трети одной из высот треугольника.
4.53.
Расстояния от точки X стороны BC треугольника ABC до прямых и AC равны и d
c
. Докажите, что d
b
/d
c
= BX · AC/(CX · Многоугольник, описанный около окружности радиуса разрезан на треугольники (произвольным образом. Докажите, что сумма радиусов вписанных окружностей этих треугольников больше Через точку M, лежащую внутри параллелограмма проведены прямые PR и QS, параллельные сторонами точки, Q, R и S лежат на сторонах AB, BC, CD и DA соответственно).
Докажите, что прямые BS, PD и MC пересекаются водной точке.
4.56*.
Докажите, что если никакие стороны четырёхугольника не параллельны, то середина отрезка, соединяющего точки пересечения противоположных сторон, лежит на прямой, соединяющей середины диагоналей (прямая Гаусса).
4.57*.
На сторонах BC и DC параллелограмма ABCD выбраны точки итак, что BD
1
= DB
1
. Отрезки и пересекаются в точке Q. Докажите, что AQ — биссектриса угла BAD.
4.58*.
В
остроугольном треугольнике
ABC
проведены высоты
BB
1
и и на сторонах AB и AC взяты точки K итак, что

Глава 4. Площадь = и AL = CB
1
. Докажите, что прямая AO, где O — центр описанной окружности треугольника ABC, делит отрезок KL пополам.
4.59*.
Медианы и треугольника ABC пересекаются в точке. Докажите, что если четырёхугольник A
1
BC
1
M описанный,
то AB = Внутри треугольника ABC взята точка O. Обозначим расстояния от точки O до сторон BC, CA, AB треугольника через d
a
, d
b
, а расстояния от точки O до вершин A, B, C через R
a
, R
b
, R
c
. Докажите, что:
а) aR
a
> cd
c
+ б) d
a
R
a
+ d
b
R
b
+ d
c
R
c
> 2(d
a
d
b
+ d
b
d
c
+ в) R
a
+ R
b
+ R
c
> 2(d
a
+ d
b
+ d
c
) (Эрдёш—Морделл);
г) R
a
R
b
R
c
> (R/2r)(d
a
+ d
b
)(d
b
+ d
c
)(d
c
+ См. также задачи 9. Перегруппировка площадей
4.61.
Докажите, что площадь правильного восьмиугольника равна произведению длин наибольшей и наименьшей его диагоналей.
4.62.
Из середины каждой стороны остроугольного треугольника опущены перпендикуляры на две другие стороны. Докажите, что площадь ограниченного ими шестиугольника равна половине площади исходного треугольника.
Рис. Стороны AB и CD параллелограмма ABCD площади 1 разбиты на n равных частей, AD и BC — на m равных частей.
а) Точки деления соединены так, как показано на рис. 4.6, а.
б) Точки деления соединены так, как показано на рис. 4.6, б.
Чему равны площади образовавшихся при этом маленьких параллелограммов) Четыре вершины правильного двенадцатиугольника расположены в серединах сторон квадрата (рис. 4.7). Докажите, что площадь заштрихованной части враз меньше площади двенадца- тиугольника.

Условия задач
89
Рис. б) Докажите, что площадь двенадцатиуголь- ника, вписанного в окружность радиуса 1, равна См. также задачи
2.77
,
3.41
,
4.35
,
9.44