Формула. В. В. Прасолов задачи по планиметрии

• Название: В. В. Прасолов задачи по планиметрии
• Анкор: Формула
• Дата: 17.06.2022
• Размер: 6.7 Mb.
• Имя файла: planim5.pdf
• Тип: Учебное пособие; #599309
• страница: 11 из 70

§ 3. Правильный треугольник
5.28.
Из точки M, лежащей внутри правильного треугольника опущены перпендикуляры MP, MQ и MR на стороны AB, BC и соответственно. Докажите, что AP
2
+ BQ
2
+ CR
2
= PB
2
+ QC
2
+ и AP + BQ + CR = PB + QC + Точки D и E делят стороны AC и AB правильного треугольника в отношениях AD : DC = BE : EA = 1 : 2. Прямые BD и пересекаются в точке O. Докажите, что ∠AOC = Окружность делит каждую из сторон треугольника натри равные части. Докажите, что этот треугольник правильный.
5.31.
Докажите, что если точка пересечения высот остроугольного треугольника делит высоты водном и том же отношении, то треугольник правильный

Условия задача) Докажите, что если a + h
a
= b + h
b
= c + h
c
, то треугольник правильный.
б) В треугольник ABC вписаны три квадрата у одного две вершины лежат на стороне AC, у другого — на BC, у третьего — на AB. Докажите, что если все три квадрата равны, то треугольник ABC правильный.
5.33.
В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся его сторон в точках A
1
, B
1
, C
1
. Докажите, что если треугольники и подобны, то треугольник ABC правильный.
5.34.
Радиус вписанной окружности треугольника равен 1, длины высот — целые числа. Докажите, что треугольник правильный.
См. также задачи
1.29
,
1.45
,
1.46
,
1.50
б),
1.59
,
2.14
,
2.16
,
2.19
,
2.38
,
2.47
,
2.57
,
4.47
,
5.64
,
5.65
,
6.48
,
6.61
,
6.82
,
7.16
б),
7.18
,
7.23
,
7.39
,
7.47
,
10.3
,
10.80
,
11.3
,
11.5
,
14.21
а),
16.7
,
18.10
—
18.16
,
18.18
—
18.21
,
18.23
—
18.25
,
18.42
,
18.43
,
24.1
,
29.34
,
29.42
,
29.46
,
29.47
,
31.44
,
31.70
§ 4. Треугольник с углом или В треугольнике ABC с углом A, равным 120
◦
, проведены биссектрисы AA
1
, и CC
1
. Докажите, что треугольник A
1
B
1
C
1
прямоугольный.
5.36.
В треугольнике ABC с углом A, равным 120
◦
, биссектрисы, и пересекаются в точке O. Докажите, что ∠A
1
C
1
O = В треугольнике ABC проведены биссектрисы и CC
1
. Докажите, что если описанные окружности треугольников и пересекаются в точке, лежащей на стороне BC, то ∠A = а) Докажите, что если угол A треугольника ABC равен то центр описанной окружности и ортоцентр симметричны относительно биссектрисы внешнего угла б) В треугольнике ABC угол A равен 60
◦
; O — центр описанной окружности, H — ортоцентр, I — центр вписанной окружности,
а I
a
— центр вневписанной окружности, касающейся стороны BC. Докажите, что IO = IH и I
a
O = В треугольнике ABC угол A равен 120
◦
. Докажите, что из отрезков длиной a, b, b + c можно составить треугольник.
5.40*.
В остроугольном треугольнике ABC с углом A, равным высоты пересекаются в точке а) Пусть M и N — точки пересечения серединных перпендикуляров к отрезками со сторонами AB и AC соответственно. Докажите,
что точки M, N и H лежат на одной прямой.
б) Докажите, что на той же прямой лежит центр O описанной окружности.
5.41*.
В треугольнике ABC проведены биссектрисы и CC
1
. Докажите, что если ∠CC
1
B
1
= 30
◦
, то либо ∠A = 60
◦
, либо ∠B = См. также задачи

Глава 5. Треугольники 5. Целочисленные треугольники
5.42.
Длины сторон треугольника — последовательные целые числа.
Найдите эти числа, если известно, что одна из медиан перпендикулярна одной из биссектрис.
5.43.
Длины всех сторон прямоугольного треугольника являются целыми числами, причём наибольший общий делитель этих чисел равен 1. Докажите, что его катеты равны 2mn и m
2
− n
2
, а гипотенуза равна m
2
+ n
2
, где m и n — натуральные числа.
Прямоугольный треугольник, длины сторон которого — целые числа, называют пифагоровым.
5.44*.
Радиус вписанной окружности треугольника равен 1, а длины его сторон — целые числа. Докажите, что эти числа равны 3, 4, Приведите пример вписанного четырёхугольника с попарно различными целочисленными длинами сторону которого длины диагоналей, площадь и радиус описанной окружности — целые числа
(Брахмагупта).
5.46*.
а) Укажите два прямоугольных треугольника, из которых можно сложить треугольник, длины сторон и площадь которого — целые числа.
б) Докажите, что если площадь треугольника — целое число, а длины сторон — последовательные натуральные числа, то этот треугольник можно сложить из двух прямоугольных треугольников с целочисленными сторонами.
5.47*.
а) В треугольнике ABC, длины сторон которого рациональные числа, проведена высота BB
1
. Докажите, что длины отрезков
AB
1
и CB
1
— рациональные числа.
б) Длины сторон и диагоналей выпуклого четырёхугольника — рациональные числа. Докажите, что диагонали разрезают его на четыре треугольника, длины сторон которых — рациональные числа.
См. также задачу 6. Разные задачи
5.48.
Треугольники ABC и таковы, что их соответственные углы равны или составляют в сумме 180
◦
. Докажите, что в действительности все соответственные углы равны.
5.49.
Внутри треугольника ABC взята произвольная точка O и построены точки A
1
, и C
1
, симметричные O относительно середин сторон BC, CA и AB. Докажите, что 4ABC = и прямые и пересекаются водной точке.
5.50.
Через точку O пересечения биссектрис треугольника проведены прямые, параллельные его сторонам. Прямая, параллельная, пересекает AC ив точках M и N, а прямые, параллельные и BC, пересекают AB в точках P и Q. Докажите

Условия задач
107
что MN = AM + BN и периметр треугольника OPQ равен длине отрезка а) Докажите, что высоты треугольника пересекаются водной точке.
б) Пусть H — точка пересечения высот треугольника ABC, R — радиус описанной окружности. Докажите, что AH
2
+ BC
2
= и AH =
= BC|ctg Пусть x = sin 18
◦
. Докажите, что 4x
2
+ 2x = В треугольнике ABC сторона AB больше стороны BC. Пусть
A
1
и B
1
— середины сторон BC и AC, аи точки касания вписанной окружности со сторонами AC и AB. Докажите, что отрезки
A
1
B
1
и пересекаются в точке X, лежащей на биссектрисе угла Докажите, что проекции вершины A треугольника ABC на биссектрисы внешних и внутренних углов при вершинах B и C лежат на одной прямой.
5.55*.
Докажите, что если в треугольнике две биссектрисы равны,
то он равнобедренный.
5.56*.
а) В треугольниках ABC и равны стороны AC и углы при вершинах B и и биссектрисы углов B и B
0
. Докажите, что эти треугольники равны (точнее говоря = или = б) Через точку D биссектрисы угла ABC проведены прямые
AA
1
и точки и лежат на сторонах треугольника. Докажите, что если AA
1
= CC
1
, то AB = Докажите, что прямая делит периметр и площадь треугольника в равных отношениях тогда и только тогда, когда она проходит через центр вписанной окружности.
5.58*.
Точка E — середина той дуги AB описанной окружности треугольника, на которой лежит точка C; C
1
— середина стороны Из точки E опущен перпендикулярна. Докажите, что:
а) прямая C
1
F делит пополам периметр треугольника б) три такие прямые, построенные для каждой стороны треугольника, пересекаются водной точке.
5.59*.
На сторонах AB и BC остроугольного треугольника внешним образом построены квадраты и A
2
BCD
2
. Докажите,
что точка пересечения прямых и лежит на высоте На сторонах треугольника ABC внешним образом построены квадраты с центрами A
1
, и C
1
. Пусть a
1
, и c
1
— длины сторон треугольника A
1
B
1
C
1
, S и S
1
— площади треугольников ABC и Докажите, что:
а) a
2 1
+ b
2 1
+ c
2 1
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ б) S
1
− S = (a
2
+ b
2
+ На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC или на их продолжениях) взяты точки C
1
, итак, что ∠(CC
1
, AB) =
= ∠(AA
1
, BC) = ∠(BB
1
, CA) =
a
. Прямые и BB
1
, и CC
1
,

Глава 5. Треугольники
CC
1
и пересекаются в точках C
0
, A
0
, соответственно. Докажите,
что:
а) точка пересечения высот треугольника ABC совпадает с центром описанной окружности треугольника б 4ABC, причём коэффициент подобия равен 2 cos В каждый из углов треугольника ABC вписано по окружности. Из одной вершины окружности, вписанные в два других угла,
видны под равными углами. Из другой — тоже. Докажите, что тогда и из третьей вершины две окружности видны под равными углами.
5.63*.
На сторонах треугольника ABC взяты точки A
1
, итак, что AB
1
: B
1
C = c
n
: a
n
, BC
1
: C
1
A = a
n
: и CA
1
: A
1
B = b
n
: c
n
(a, b и c — длины сторон треугольника. Описанная окружность треугольника высекает на сторонах треугольника ABC отрезки длиной, ±y и ±z знаки выбираются в соответствии с ориентацией треугольника. Докажите, что В треугольнике ABC проведены триссектрисы (лучи, делящие углы натри равные части. Ближайшие к стороне BC триссектри- сы углов B и C пересекаются в точке A
1
; аналогично определим точки
B
1
и рис. 5.1). Докажите, что треугольник A
1
B
1
C
1
равносторонний
(теорема Морли).
Рис. На сторонах правильного треугольника ABC как на основаниях внутренним образом построены равнобедренные треугольники, AB
1
C и с углами a
,
b и при основаниях, прич м a
+
b
+
g
= 60
◦
. Прямые и B
1
C пересекаются в точке ив точке B
2
, ив точке C
2
. Докажите, что углы треугольника равны 3
a
, 3
b и Окружность радиуса вписана в угол A треугольника окружность радиуса вписана в угол B; эти окружности касаются

Условия задач
109
друг друга внешним образом. Докажите, что радиус описанной окружности треугольника со сторонами a
1
=
√
u
a
ctg(
a
/2), и c
1
=
√
c равен, где p — полупериметр треугольника Окружность вписана в угол A треугольника ABC; окружность вписана в угол B и касается внешним образом окружность вписана в угол C и касается S
2
; окружность вписана в угол A и касается и т. д. Докажите, что окружность совпадает с Окружность вписана в угол A треугольника ABC. Из вершины C к ней проведена касательная (отличная от CA), ив образовавшийся треугольник с вершиной B вписана окружность S
2
. Из вершины A к проведена касательная, ив образовавшийся треугольник с вершиной C вписана окружность и т. д. Докажите, что окружность совпадает с S
1
§ 7. Теорема Менелая
Пусть # –
AB и –
CD — коллинеарные векторы. Обозначим через
AB
CD
величи- ну, где знак плюс берётся в том случае, когда векторы # –
AB и –
CD
сонаправлены, а знак минус — в случае, когда векторы # –
AB и –
CD направлены в разные стороны. Эту величину будем называть ориентированным
отношением отрезков AB и На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC или на их продолжениях) взяты точки A
1
, и соответственно. Докажите,
что точки A
1
, и лежат на одной прямой тогда и только тогда,
когда
BA
1
CA
1
·
CB
1
AB
1
·
AC
1
BC
1
= теорема Менелая).
5.70*.
а) В треугольнике ABC проведены биссектрисы внешних углов, и точки A
1
, и лежат на прямых BC,
CA и AB). Докажите, что точки A
1
, и лежат на одной прямой.
б) В треугольнике ABC проведены биссектрисы и ибис- сектриса внешнего угла CC
1
. Докажите, что точки A
1
, и лежат на одной прямой.
5.71*.
Касательные к описанной окружности неравнобедренного треугольника в точках A, B и C пересекают продолжения сторон в точках A
1
, и C
1
. Докажите, что точки A
1
, и лежат на одной прямой.
5.72*.
Решите задачу
5.105
а) с помощью теоремы Менелая.
5.73*.
Окружность S касается окружностей ив точках и A
2
. Докажите, что прямая проходит через точку пересечения

Глава 5. Треугольники общих внешних или общих внутренних касательных к окружностями а) Серединный перпендикуляр к биссектрисе AD треугольника пересекает прямую BC в точке E. Докажите, чтоб) Докажите, что точки пересечения серединных перпендикуляров к биссектрисам треугольников и продолжений соответствующих сторон лежат на одной прямой.
5.75*.
Из вершины C прямого угла треугольника ABC опущена высота CK, ив треугольнике ACK проведена биссектриса CE. Прямая,
проходящая через точку B параллельно CE, пересекает CK в точке Докажите, что прямая EF делит отрезок AC пополам.
5.76*.
На прямых BC, CA и AB взяты точки A
1
, и C
1
, причём точки A
1
, и лежат на одной прямой. Прямые, симметричные прямыми относительно соответствующих биссектрис треугольника ABC, пересекают прямые BC, CA ив точках и C
2
. Докажите, что точки A
2
, и лежат на одной прямой.
5.77*.
На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC или на их продолжениях) взяты точки A
1
, и C
1
, лежащие на одной прямой.
Докажите, что Прямые AA
1
, BB
1
, пересекаются водной точке O. Докажите, что точки пересечения прямых AB и A
1
B
1
, BC и B
1
C
1
,
AC и лежат на одной прямой (Дезарг).
5.79*.
На одной прямой взяты точки A
1
, и C
1
, а на другой — точки, и C
2
. Прямые и A
2
B
1
, и B
2
C
1
, и пересекаются в точках C, A и B соответственно. Докажите, что точки, B и C лежат на одной прямой (Папп).
5.80*.
На сторонах AB, BC и CD четырёхугольника ABCD или на их продолжениях) взяты точки K, L и M. Прямые KL и пересекаются в точке P, LM ив точке Q. Докажите, что точка пересечения прямых KQ и MP лежит на прямой Продолжения сторон AB и CD четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P, а продолжения сторон BC ив точке Через точку P проведена прямая, пересекающая стороны BC ив точках E и F. Докажите, что точки пересечения диагоналей четы- рёхугольников ABCD, ABEF и CDFE лежат на прямой, проходящей через точку а) Через точки P и Q проведены тройки прямых. Обозначим их точки пересечения так, как показано на рис. 5.2. Докажите, что прямые KL, AC и MN пересекаются водной точке (или параллельны

Условия задач
111
Рис. б) Докажите, далее, что если точка лежит на прямой BD, то точка пересечения прямых KL, AC и MN лежит на прямой На прямых BC, CA и AB взяты точки A
1
, и C
1
. Пусть P
1
— произвольная точка прямой BC, P
2
— точка пересечения прямых и AB, P
3
— точка пересечения прямых и CA, P
4
— точка пересечения и BC и т. д. Докажите,
что точки и P
1
совпадают.
5.84*.
Диагонали AD, BE и CF шестиугольника пересекаются водной точке. Пусть A
0
— точка пересечения прямых и FB, B
0
— точка пересечения BD и AC, C
0
— точка пересечения и BD, и т. д. Докажите, что точки пересечения прямых и D
0
E
0
, и E
0
F
0
, и лежат на одной прямой.
См. также задачи 8. Теорема Чевы
5.85*.
Дан треугольник ABC. На прямых AB, BC и CA взяты точки, и B
1
, причём k из них лежат на сторонах треугольника и 3
− k — на продолжениях сторон. Пусть Докажите, что:
а) точки A
1
, и лежат на одной прямой тогда и только тогда,
когда R = 1 и k чётно (Менелай);
б) прямые AA
1
, и пересекаются водной точке или параллельны тогда и только тогда, когда R = 1 и k нечётно (Чева).
5.86*.
Вписанная (или вневписанная) окружность треугольника касается прямых BC, CA ив точках A
1
, и C
1
. Докажите, что прямые AA
1
, и пересекаются водной точке.
Точку пересечения прямых, соединяющих вершины треугольника с точками касания вписанной окружности, называют точкой Жергонна.
5.87*.
Докажите, что прямые, соединяющие вершины треугольника с точками касания вневписанных окружностей со сторонами, пересекаются водной точке (точка Нагеля).
5.88*.
Докажите, что высоты остроугольного треугольника пересекаются водной точке.
5.89*.
Прямые AP, BP и CP пересекают стороны треугольника или их продолжения) в точках A
1
, и C
1
. Докажите, что:
а) прямые, проходящие через середины сторон BC, CA и AB параллельно прямыми, пересекаются водной точке

Глава 5. Треугольники б) прямые, соединяющие середины сторон BC, CA и AB с серединами отрезков AA
1
, и CC
1
, пересекаются водной точке.
5.90*.
На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки, итак, что отрезки AA
1
, и пересекаются водной точке. Прямые и пересекают прямую, проходящую через вершину A параллельно стороне BC, в точках и B
2
соответственно.
Докажите, что AB
2
= а) Пусть a
,
b и произвольные углы, причём сумма любых двух из них меньше 180
◦
. На сторонах треугольника внешним образом построены треугольники A
1
BC, AB
1
C и ABC
1
, имеющие при вершинах A, B и C углы a
,
b и. Докажите, что прямые, и пересекаются водной точке.
б) Докажите аналогичное утверждение для треугольников, построенных на сторонах треугольника ABC внутренним образом.
5.92*.
Стороны BC, CA и AB треугольника ABC касаются окружности с центром O в точках A
1
, и C
1
. На лучах OA
1
, и отложены равные отрезки OA
2
, и OC
2
. Докажите, что прямые, и пересекаются водной точке.
5.93*.
Прямые AP, BP и CP пересекают прямые BC, CA ив точках, и соответственно. Точки A
2
, и выбраны на прямых, CA итак, что BA
2
: A
2
C = A
1
C : BA
1
, CB
2
: B
2
A = B
1
A : и AC
2
: C
2
B = C
1
B : AC
1
. Докажите, что прямые AA
2
, и тоже пересекаются водной точке Q или параллельны).
Такие точки P и Q называют изотомически сопряжёнными относительно треугольника На сторонах BC, CA, AB треугольника ABC взяты точки A
1
,
B
1
, C
1
. Докажите, что ACC
1
sin C
1
CB
·
sin BAA
1
sin A
1
AC
·
sin CBB
1
sin На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки, и C
1
, причём прямые AA
1
, и пересекаются водной точке P. Докажите, что прямые AA
2
, и CC
2
, симметричные этим прямым относительно соответствующих биссектрис, тоже пересекаются водной точке Такие точки P и Q называют изогонально сопряжёнными относительно треугольника Докажите, что при изогональном сопряжении окружность,
проходящая через вершины B и C и отличная от описанной окружности, переходит в окружность, проходящую через вершины B и Касательные к описанной окружности треугольника в точках B и C пересекаются в точке P. Точка Q симметрична точке относительно середины отрезка BC. Докажите, что точки P и Q
изогонально сопряжены

Условия задач
113
5.98*.
Противоположные стороны выпуклого шестиугольника попарно параллельны. Докажите, что прямые, соединяющие середины противоположных сторон, пересекаются водной точке.
5.99*.
Из некоторой точки P опущены перпендикуляры и на сторону BC треугольника ABC и на высоту AA
3
. Аналогично определяются точки B
1
, и C
1
, C
2
. Докажите, что прямые и пересекаются водной точке или параллельны.
5.100*.
Через точки A и D, лежащие на окружности, проведены касательные, пересекающиеся в точке S. На дуге AD взяты точки и C. Прямые AC и BD пересекаются в точке P, AB ив точке. Докажите, что прямая PQ проходит через точку Вписанная окружность треугольника ABC касается его сторон в точках A
1
, и C
1
. Внутри треугольника ABC взята точка Прямая AX пересекает дугу вписанной окружности в точке точки и определяются аналогично. Докажите, что прямые и пересекаются водной точке.
5.102*.
Внутри треугольника ABC взята точка X. Прямая AX пересекает описанную окружность в точке A
1
. В сегмент, отсекаемый стороной BC, вписана окружность, касающаяся дуги BC в точке а стороны BC — в точке A
2
. Точки и определяются аналогично.
Докажите, что прямые AA
2
, и пересекаются водной точке.
5.103*.
а) На сторонах BC, CA и AB равнобедренного треугольника с основанием AB взяты точки A
1
, итак, что прямые, и пересекаются водной точке. Докажите, чтоб) Внутри равнобедренного треугольника ABC с основанием AB взяты точки M итак, что ∠CAM = ∠ABN и ∠CBM = ∠BAN. Докажите,
что точки C, M и N лежат на одной прямой.
5.104*.
В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA
1
, и CC
1
. Биссектрисы и пересекают отрезки ив точках M и N. Докажите, что ∠MBB
1
= См. также задачи
4.49
б),
10.59
,
14.7
,
14.43