Формула. В. В. Прасолов задачи по планиметрии

• Название: В. В. Прасолов задачи по планиметрии
• Анкор: Формула
• Дата: 17.06.2022
• Размер: 6.7 Mb.
• Имя файла: planim5.pdf
• Тип: Учебное пособие; #599309
• страница: 12 из 70

§ 9. Прямая Симсона
5.105*.
а) Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из точки P описанной окружности треугольника на его стороны или их продолжения, лежат на одной прямой (прямая Симсона
1
).
1
Открытие этой прямой долго приписывалось Роберту Симсону (1687—1768), нов действительности она была открыта лишь в 1797 г. Вильямом Уоллесом. Поэтому наряду с традиционным названием этой прямой часто используется исторически более справедливое название прямая Уоллеса.

Глава 5. Треугольники б) Основания перпендикуляров, опущенных из некоторой точки на стороны треугольника или их продолжения, лежат на одной прямой. Докажите, что точка P лежит на описанной окружности тре- угольника.
5.106*.
Точки A, B и C лежат на одной прямой, точка P — вне этой прямой. Докажите, что центры описанных окружностей треугольников и точка P лежат на одной окружности.
5.107*.
В треугольнике ABC проведена биссектриса AD и из точки опущены перпендикуляры и на прямые AC и точка M лежит на прямой B
0
C
0
, причём DM ⊥ BC. Докажите, что точка M лежит на медиане а) Из точки P описанной окружности треугольника проведены прямые PA
1
, и подданным (ориентированным)
углом к прямыми соответственно (точки A
1
, и лежат на прямых BC, CA и AB). Докажите, что точки A
1
, и лежат на одной прямой.
б) Докажите, что при замене в определении прямой Симсона угла на угол она повернётся на угол а) Из точки P описанной окружности треугольника опущены перпендикуляры и на прямые BC и AC. Докажите,
что PA · PA
1
= 2Rd, где R — радиус описанной окружности, d — расстояние от точки P до прямой б) Пусть a
— угол между прямыми и BC. Докажите, что cos a
= Пусть и B
1
— проекции точки P описанной окружности треугольника ABC на прямые BC и AC. Докажите, что длина отрезка равна длине проекции отрезка AB напрямую На окружности фиксированы точки P и C; точки A и перемещаются по окружности так, что угол ACB остаётся постоянным.
Докажите, что прямые Симсона точки P относительно треугольников касаются фиксированной окружности.
5.112*.
Точка P движется по описанной окружности треугольника. Докажите, что при этом прямая Симсона точки P относительно треугольника ABC поворачивается на угол, равный половине угловой величины дуги, пройденной точкой Докажите, что прямые Симсона двух диаметрально противоположных точек описанной окружности треугольника ABC перпендикулярны, а их точка пересечения лежит на окружности девяти точек (см. задачу
5.129
).
5.114*.
Точки A, B, C, P и Q лежат на окружности с центром O,
причём углы между вектором # –
OP и векторами –
OA,
# –
OB,
# –
OC и –
OQ равны a
,
b
,
g и (
a
+
b
+
g
)/2. Докажите, что прямая Симсона точки относительно треугольника ABC параллельна Точки A, B, C и P лежат на окружности с центром Стороны треугольника параллельны прямым PA, PB, PC

Условия задачи т. д. Через вершины треугольника проведены прямые, параллельные сторонам треугольника а) Докажите, что эти прямые пересекаются водной точке P
1
, которая лежит на описанной окружности треугольника б) Докажите, что прямая Симсона точки параллельна прямой Хорда PQ описанной окружности треугольника ABC перпендикулярна стороне BC. Докажите, что прямая Симсона точки относительно треугольника ABC параллельна прямой Высоты треугольника ABC пересекаются в точке H; P точка его описанной окружности. Докажите, что прямая Симсона точки относительно треугольника ABC делит отрезок PH пополам.
5.118*.
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность l
a
— прямая
Симсона точки A относительно треугольника BCD, прямые l
b
, и определяются аналогично. Докажите, что эти прямые пересекаются водной точке.
5.119*.
а) Докажите, что проекции точки P описанной окружности четырёхугольника ABCD на прямые Симсона треугольников BCD,
CDA, DAB и BAC лежат на одной прямой (прямая Симсона вписанного четырёхугольника).
б) Докажите, что аналогично по индукции можно определить прямую Симсона вписанного угольника как прямую, содержащую проекции точки P на прямые Симсона всех (n − угольников, полученных выбрасыванием одной из вершин n-угольника.
См. также задачи
2.88
б),
2.92
,
5.11
,
5.72
,
19.61
,
29.40
§ 10. Подерный треугольник
Пусть A
1
, и C
1
— основания перпендикуляров, опущенных из точки P на прямые BC, CA и AB. Треугольник называют под ´
ерным или педальным) треугольником точки P относительно треугольника ABC. Описанную окружность подерного треугольника называют подерной или педальной)
окружностью.
5.120.
Пусть A
1
B
1
C
1
— подерный треугольник точки P относительно треугольника ABC. Докажите, что B
1
C
1
= BC · AP/2R, где R — радиус описанной окружности треугольника Прямые AP, BP и CP пересекают описанную окружность треугольника ABC в точках A
2
, и C
2
; A
1
B
1
C
1
— подерный треугольник точки P относительно треугольника ABC. Докажите, что Внутри остроугольного треугольника ABC дана точка Опустив из неё перпендикуляры PA
1
, и на стороны, получим. Проделав для него туже операцию, получим
4A
2
B
2
C
2
,
а затем. Докажите, что 4ABC.

Глава 5. Треугольники
5.123*.
Треугольник ABC вписан в окружность радиуса R сцен- тром O. Докажите, что площадь подерного треугольника точки относительно треугольника ABC равна 4
1
−
d
2
R
2
S
ABC
, где d = Из точки P опущены перпендикуляры PA
1
, и на стороны треугольника ABC. Прямая соединяет середины отрезков и B
1
C
1
. Аналогично определяются прямые и l
c
. Докажите, что эти прямые пересекаются водной точке.
5.125*.
Точки и P
2
изогонально сопряжены относительно треугольника а) Докажите, что их подерные окружности совпадают, причём центром этой окружности является середина отрезка б) Докажите, что это утверждение останется верным, если из точек
P
1
и проводить не перпендикуляры к сторонам, а прямые подданным (ориентированным) углом.
в) Докажите, что стороны подерного треугольника точки перпендикулярны прямым, соединяющим точку с вершинами треугольника Даны два треугольника ABC и A
1
B
1
C
1
. Перпендикуляры,
опущенные из точек A, B, C на прямые B
1
C
1
, C
1
A
1
, пересекаются водной точке. Докажите, что тогда перпендикуляры, опущенные из точек A
1
, B
1
, на прямые BC, CA, AB тоже пересекаются водной точке (Штейнер).
Треугольники ABC и A
1
B
1
C
1
, для которых выполняется условие из задачи, называют ортологическими.
5.127*.
Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что подерная окружность точки D относительно треугольника ABC проходит через точку пересечения его диагоналей.
См. также задачи
5.162
,
5.163
,
14.21
б).
§ 11. Прямая Эйлера и окружность девяти точек
5.128*.
Пусть H — точка пересечения высот треугольника ABC, O центр описанной окружности, M — точка пересечения медиан. Докажите, что точка M лежит на отрезке OH, причём OM : MH = 1 : Прямую, содержащую точки O, M и H, называют прямой Эйлера.)
5.129*.
Докажите, что середины сторон треугольника, основания высот и середины отрезков, соединяющих точку пересечения высот с вершинами, лежат на одной окружности (окружности девяти точек, причём центром этой окружности является середина отрезка Высоты треугольника ABC пересекаются в точке а) Докажите, что треугольники ABC, HBC, AHC и ABH имеют общую окружность девяти точек

Условия задач
117
б) Докажите, что прямые Эйлера треугольников ABC, HBC, и ABH пересекаются водной точке.
в) Докажите, что центры описанных окружностей треугольников, HBC, AHC и ABH образуют четырёхугольник, симметричный четырёхугольнику Какие стороны пересекает прямая Эйлера в остроугольном и тупоугольном треугольниках?
5.132*.
а) Докажите, что описанная окружность треугольника является окружностью девяти точек для треугольника, образованного центрами вневписанных окружностей треугольника б) Докажите, что описанная окружность делит пополам отрезок,
соединяющий центры вписанной и вневписанной окружностей.
5.133*.
Докажите, что прямая Эйлера треугольника ABC параллельна стороне BC тогда и только тогда, когда tg B tg C = Докажите, что отрезок, высекаемый на стороне AB остроугольного треугольника ABC окружностью девяти точек, виден из её
центра под углом 2
|∠A − Докажите, что если прямая Эйлера проходит через центр вписанной окружности треугольника, то треугольник равнобедренный.
5.136*.
Вписанная окружность касается сторон треугольника в точках A
1
, и C
1
. Докажите, что прямая Эйлера треугольника
A
1
B
1
C
1
проходит через центр описанной окружности треугольника В треугольнике ABC проведены высоты AA
1
, и Пусть A
1
A
2
, и C
1
C
2
— диаметры окружности девяти точек треугольника. Докажите, что прямые AA
2
, и пересекаются водной точке (или параллельны).
См. также задачи
3.72
а),
5.12
,
8.34
,
13.36
б),
14.55
,
14.58
,
28.31
,
29.40
,
31.42
,
31.59
,
31.80
§ 12. Точки Брокара
5.138*.
а) Докажите, что внутри треугольника ABC существует такая точка P, чтоб) На сторонах треугольника ABC внешним образом построены подобные ему треугольники CA
1
B, и C
1
AB углы при первых вершинах всех четырёх треугольников равны и т. д. Докажите, что прямые AA
1
, и пересекаются водной точке, причём эта точка совпадает сточкой из задачи а).
Точку P называют точкой Брокара треугольника ABC. Аналогично доказывается, что существует ещё и вторая точка Брокара Q, для которой а) Через точку Брокара P треугольника ABC проведены прямые AP, BP и CP, пересекающие описанную окружность в точках, и C
1
. Докажите, что = 4B
1
C
1
A
1

Глава 5. Треугольники б) Треугольник ABC вписан в окружность S. Докажите, что треугольник, образованный точками пересечения прямых PA, PB и с окружностью S, может быть равен треугольнику ABC не более чем для восьми различных точек P. (Предполагается, что точки пересечения прямых PA, PB и PC с окружностью отличны от точек A,
B и а) Пусть P — точка Брокара треугольника ABC. Угол f
=
= ∠ABP = ∠BCP = ∠CAP называют углом Брокара этого треугольника.
Докажите, что ctg f
= ctg a
+ ctg b
+ ctg и sin
3
f
= sin(
a
−
f
) sin(
b
−
f
) б) Докажите, что точки Брокара треугольника ABC изогонально сопряжены.
в) Касательная к описанной окружности треугольника ABC в точке и прямая, проходящая через точку B параллельно AC, пересекаются в точке A
1
. Докажите, что угол Брокара треугольника равен углу а) Докажите, что угол Брокара любого треугольника не превосходит б) Внутри треугольника ABC взята точка M. Докажите, что один из углов ABM, BCM и CAM не превосходит Пусть Q — вторая точка Брокара треугольника ABC, O центр его описанной окружности, A
1
, и C
1
— центры описанных окружностей треугольников CAQ, ABQ и BCQ. Докажите, что 4ABC и O — первая точка Брокара треугольника Пусть P — точка Брокара треугольника ABC; R
1
, и радиусы описанных окружностей треугольников ABP, BCP и Докажите, что R
1
R
2
R
3
= R
3
, где R — радиус описанной окружности треугольника Пусть P и Q — первая и вторая точки Брокара треугольника. Прямые CP и BQ, AP и CQ, BP и AQ пересекаются в точках A
1
, и C
1
. Докажите, что описанная окружность треугольника проходит через точки P и На сторонах CA, AB и BC остроугольного треугольника взяты точки A
1
, итак, что ∠AB
1
A
1
= ∠BC
1
B
1
= ∠CA
1
C
1
. Докажите, что 4ABC, причём центр поворотной гомотетии,
переводящей один треугольник в другой, совпадает с первой точкой
Брокара обоих треугольников.
5.146*.
Докажите, что для угла Брокара выполняются следующие неравенства:
а)
f
3 6 б) 8
f
3 неравенство Йиффа).
5.147*.
Пусть вершины B и C треугольника фиксированы, а вершина движется так, что угол Брокара треугольника ABC остаётся

Условия задач
119
постоянным. Докажите, что точка A движется по окружности радиуса ctg
2
f
− 3, где a = BC окружность Нейберга).
5.148*.
Опустим из точки M перпендикуляры MA
1
, и на прямые BC, CA и AB. Докажите, что для фиксированного треугольника множество точек M, для которых угол Брокара треугольника имеет заданное значение, состоит из двух окружностей,
причём одна из них расположена внутри описанной окружности треугольника, а другая вне её (окружности Схоуте).
См. также задачи 13. Точка Лемуана
Пусть AM — медиана треугольника ABC, а прямая AS симметрична прямой относительно биссектрисы угла A точка S лежит на отрезке Тогда отрезок AS называют симедианой треугольника ABC; иногда симеди- аной называют луч AS.
Симедианы треугольника пересекаются в точке, изогонально сопряжён- ной точке пересечения медиан. Точку пересечения симедиан треугольника называют точкой Лемуана.
5.149.
Прямые AM и AN симметричны относительно биссектрисы угла A треугольника ABC точки M и N лежат на прямой Докажите, что BM · BN/(CM · CN) = c
2
/b
2
. В частности, если AS — си- медиана, то BS/CS = Выразите длину симедианы AS через длины сторон треугольника Отрезок B
1
C
1
, где точки и лежат на лучах AC и AB,
называют
антипараллельным
стороне
BC,
если
∠AB
1
C
1
= и ∠AC
1
B
1
= а) Докажите, что симедиана AS делит пополам любой отрезок антипараллельный стороне б) Докажите, что если симедиана AS делит пополам отрезок то этот отрезок антипараллелен стороне Докажите, что если отрезок антипараллелен стороне то B
1
C
1
⊥ OA, где O — центр описанной окружности.
5.153.
Касательная в точке B к описанной окружности S треугольника пересекает прямую AC в точке K. Из точки K проведена вторая касательная KD к окружности S. Докажите, что BD — симеди- ана треугольника Касательные к описанной окружности треугольника в точках B и C пересекаются в точке P. Докажите, что прямая содержит симедиану Окружность проходит через точки A и B и касается прямой AC, окружность проходит через точки A и C и касается

Глава 5. Треугольники прямой AB. Докажите, что прямая, проходящая через общие точки этих окружностей, содержит симедиану треугольника Биссектрисы внешнего и внутреннего углов при вершине треугольника ABC пересекают прямую BC в точках D и E. Окружность с диаметром DE пересекает описанную окружность треугольника в точках A и X. Докажите, что прямая AX содержит симедиану треугольника Докажите, что точка Лемуана треугольника ABC с прямым углом C является серединой высоты Через точку X, лежащую внутри треугольника ABC, проведены три отрезка, антипараллельных его сторонам. Докажите, что эти отрезки равны тогда и только тогда, когда X — точка Лемуана.
5.159*.
Точки и A
2
, и B
2
, и лежат на сторонах BC,
CA, AB треугольника ABC ближе к C, чем A
2
, ближе к A, ближе ка) Докажите, что если эти точки являются точками пересечения сторон треугольника ABC с продолжениями сторон треугольника, полученного из треугольника ABC при гомотетии с центром в точке Лемуана K, то точки A
1
, B
2
, B
1
, C
2
, C
1
, лежат на одной окружности (окружность Тукера).
б) Докажите, что если длины отрезков A
1
B
2
, и равны и эти отрезки антипараллельны сторонами, то точки A
1
,
B
2
, B
1
, C
2
, C
1
, лежат на одной окружности.
5.160*.
Докажите, что центр окружности Тукера лежит на прямой, где K — точка Лемуана, O — центр описанной окружности.
5.161*.
а) Через точку Лемуана K проведены прямые, параллельные сторонам треугольника. Докажите, что точки их пересечения со сторонами треугольника лежат на одной окружности (первая окружность Лемуана).
б) Через точку Лемуана K проведены прямые, антипараллельные сторонам треугольника. Докажите, что точки их пересечения со сторонами треугольника лежат на одной окружности (вторая окружность
Лемуана).