Формула. В. В. Прасолов задачи по планиметрии
 Скачать 6.7 Mb.
|
|
В. В. ПРАСОЛОВ ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕе издание, исправленное и дополненное Допущено Министерством образования и науки Российской Федерации Издательство МЦНМО ОАО Московские учебники» Москва 2006 УДК 514.112 ББК 22.151.0 П70 Прасолов В. В. П70 Задачи по планиметрии Учебное пособие. — е изд, испр. и доп. — М МЦНМО: ОАО Московские учебники, 2006. — 640 сил Книга может использоваться в качестве задачника по геометрии для классов в сочетании со всеми действующими учебниками по геометрии. Вне включены нестандартные геометрические задачи несколько повышенного по сравнению со школьными задачами уровня. Сборник содержит около 1900 задач с полными решениями и около 150 задач для самостоятельного решения. С помощью этого пособия можно организовать предпрофильную и профильную подготовку по математике, элективные курсы по дополнительным главам планиметрии. Материалы данного пособия полностью покрывают тематику и сложность заданий олимпиад всех уровней и всех видов экзаменов, включая ЕГЭ и вступительные экзамены в вузы. Для школьников, преподавателей математики, руководителей математических кружков, студентов педагогических институтов и университетов. ББК 22.151.0 ISBN 5-94057-214-6 Һ Прасолов В. В, 2006 Һ МЦНМО, 2006 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 10 Глава 1. Подобные треугольники 1. Отрезки, заключённые между параллельными прямыми 2. Отношение сторон подобных треугольников 3. Отношение площадей подобных треугольников 4. Вспомогательные равные треугольники. Треугольник, образованный основаниями высот 6. Подобные фигуры (18). Задачи для самостоятельного решения (18). Решения 20 Глава 2. Вписанный угол 1. Углы, опирающиеся на равные дуги 2. Величина угла между двумя хордами 3. Угол между касательной и хордой 4. Связь величины угла с длиной дуги и хорды 5. Четыре точки, лежащие на одной окружности 6. Вписанный угол и подобные треугольники 7. Биссектриса делит дугу пополам. Вписанный четырёхугольник с перпендикулярными диагоналями. Три описанные окружности пересекаются водной точке 10. Точка Микеля (40). § 11. Разные задачи (40). Задачи для самостоятельного решения (41). Решения 42 Глава 3. Окружности 1. Касательные к окружностям 2. Произведение длин отрезков хорд 3. Касающиеся окружности 4. Три окружности одного радиуса 5. Две касательные, проведённые из одной точки 6. Применение теоремы о высотах треугольника 7. Площади криволинейных фигур 8. Окружности, вписанные в сегмент 9. Разные задачи 10. Радикальная ось 11. Пучки окружностей (Задачи для самостоятельного решения (66). Решения 66 Глава 4. Площадь 1. Медиана делит площадь пополам 2. Вычисление площадей. Площади треугольников, на которые разбит четырёхуголь- Оглавление ник (83). § 4. Площади частей, на которые разбит четырёхугольник (83). § 5. Разные задачи 6. Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части 7. Формулы для площади четырёхугольни- ка 8. Вспомогательная площадь 9. Перегруппировка площадей (Задачи для самостоятельного решения (89). Решения 90 Глава 5. Треугольники 1. Вписанная и описанная окружности 2. Прямоугольные треугольники. Правильный треугольник 4. Треугольник с углом или 120 ◦ (105). § 5. Целочисленные треугольники 6. Разные задачи 7. Теорема Менелая (109). § 8. Теорема Че- вы 9. Прямая Симсона (113). § 10. Подерный треугольник 11. Прямая Эйлера и окружность девяти точек 12. Точки Бро- кара 13. Точка Лемуана (119). Задачи для самостоятельного решения (121). Решения 121 Глава 6. Многоугольники 1. Вписанные и описанные четырёхугольники (151). § 2. Четырёх- угольники 3. Теорема Птолемея (155). § 4. Пятиугольники 5. Шестиугольники 6. Правильные многоугольники 7. Вписанные и описанные многоугольники 8. Произвольные выпуклые многоугольники 9. Теорема Паскаля (161). Задачи для самостоятельного решения (162). Решения 163 Глава 7. Геометрические места точек 1. ГМТ — прямая или отрезок 2. ГМТ — окружность или дуга окружности 3. Вписанный угол 4. Вспомогательные равные или подобные треугольники 5. Гомотетия 6. Метод ГМТ (186). § 7. ГМТ с ненулевой площадью 8. Теорема Карно 9. Окружность Ферма—Аполлония (188). Задачи для самостоятельного решения (188). Решения 189 Глава 8. Построения 1. Метод геометрических мест точек 2. Вписанный угол 3. Подобные треугольники и гомотетия 4. Построение треугольников по различным элементам 5. Построение треугольников по различным точкам 6. Треугольник 7. Четы- рёхугольники (200). § 8. Окружности 9. Окружность Аполло- ния (201). § 10. Разные задачи 11. Необычные построения 12. Построения одной линейкой 13. Построения с помощью двусторонней линейки 14. Построения с помощью прямого угла (Задачи для самостоятельного решения (205). Решения 205 Оглавление 5 Глава 9. Геометрические неравенства 1. Медиана треугольника 2. Алгебраические задачи на неравенство треугольника 3. Сумма длин диагоналей четырёхуголь- ника (223). § 4. Разные задачи на неравенство треугольника 5. Площадь треугольника не превосходит половины произведения двух сторон 6. Неравенства для площадей 7. Площадь. Одна фигура лежит внутри другой 8. Ломаные внутри квадрата 9. Четырёхугольник (227). § 10. Многоугольники 11. Разные задачи (229). Задачи для самостоятельного решения (230). Приложение. Некоторые неравенства 230 Решения 232 Глава 10. Неравенства для элементов треугольника 1. Медианы 2. Высоты 3. Биссектрисы 4. Длины сторон 5. Радиусы описанной, вписанной и вневписанных окружностей 6. Симметричные неравенства для углов треугольника. Неравенства для углов треугольника 8. Неравенства для площади треугольника 9. Против большей стороны лежит больший угол 10. Отрезок внутри треугольника меньше наибольшей стороны 11. Неравенства для прямоугольных треугольников 12. Неравенства для остроугольных треугольников. Неравенства в треугольниках (258). Задачи для самостоятельного решения (259). Решения 260 Глава 11. Задачи на максимум и минимум 1. Треугольник 2. Экстремальные точки треугольника 3. Угол 4. Четырёхугольники (276). § 5. Многоугольники 6. Разные задачи 7. Экстремальные свойства правильных многоугольников для самостоятельного решения (278). Решения 278 Глава 12. Вычисления и метрические соотношения 1. Теорема синусов 2. Теорема косинусов 3. Вписанная, описанная и вневписанная окружности их радиусы 4. Длины сторон, высоты, биссектрисы 5. Синусы и косинусы углов треугольника 6. Тангенсы и котангенсы углов треугольника. Вычисление углов 8. Окружности 9. Разные задачи 10. Метод координат (295). Задачи для самостоятельного решения (296). Решения 297 Глава 13. Векторы 1. Векторы сторон многоугольников 2. Скалярное произведение. Соотношения 3. Неравенства 4. Суммы векторов. Вспомогательные проекции 6. Метод усредне- Оглавление ния (312). § 7. Псевдоскалярное произведение (313). Задачи для самостоятельного решения (314). Решения 315 Глава 14. Центр масс 1. Основные свойства центра масс 2. Теорема о группировке масс 3. Момент инерции 4. Разные задачи 5. Ба- рицентрические координаты 6. Трилинейные координаты (331). Решения 332 Глава 15. Параллельный перенос 1. Перенос помогает решить задачу 2. Построения и геометрические места точек (346). Задачи для самостоятельного решения (347). Решения 347 Глава 16. Центральная симметрия 1. Симметрия помогает решить задачу 2. Свойства симметрии. Симметрия в задачах на построение (355). Задачи для самостоятельного решения (356). Решения 356 Глава 17. Осевая симметрия 1. Симметрия помогает решить задачу 2. Построения 3. Неравенства и экстремумы 4. Композиции симметрий 5. Свойства симметрий и осей симметрии 6. Теорема Шаля (Задачи для самостоятельного решения (365). Решения 365 Глава 18. Поворот 1. Поворот на 90 ◦ (374). § 2. Поворот на 60 ◦ (374). § 3. Повороты на произвольные углы 4. Композиции поворотов (377). Задачи для самостоятельного решения (378). Решения 379 Глава 19. Гомотетия и поворотная гомотетия 1. Гомотетичные многоугольники 2. Гомотетичные окружности. Построения и геометрические места точек 4. Композиции гомотетий (391). § 5. Поворотная гомотетия 6. Центр поворотной гомотетии 7. Композиции поворотных го- мотетий (394). § 8. Окружность подобия трёх фигур (394). Задачи для самостоятельного решения (396). Решения 396 Глава 20. Принцип крайнего 1. Наименьший или наибольший угол 2. Наименьшее или наибольшее расстояние 3. Наименьшая или наибольшая пло- Оглавление 7 щадь (408). § 4. Наибольший треугольник 5. Выпуклая оболочка и опорные прямые 6. Разные задачи (410). Решения 411 Глава 21. Принцип Дирихле 1. Конечное число точек, прямых и т. д 2. Углы и длины. Площадь (421). Решения 422 Глава 22. Выпуклые и невыпуклые многоугольники 1. Выпуклые многоугольники 2. Изопериметрическое неравенство. Симметризация по Штейнеру (432). § 4. Сумма Минков- ского (433). § 5. Теорема Хелли (433). § 6. Невыпуклые многоугольники 23. Делимость, инварианты, раскраски 1. Чти нечёт (453). § 2. Делимость 3. Инварианты 4. Вспомогательные раскраски в шахматном порядке 5. Другие вспомогательные раскраски 6. Задачи о раскрасках (457). Решения 458 Глава 24. Целочисленные решётки 469 § 1. Многоугольники с вершинами в узлах решётки (469). § 2. Формула Пика (469). § 3. Разные задачи 4. Вокруг теоремы Минковско- го (470). Решения 471 Глава 25. Разрезания, разбиения, покрытия 1. Равносоставленные фигуры 2. Разрезания на части, обладающие специальными свойствами 3. Свойства частей, полученных при разрезаниях (480). § 4. Разрезания на параллелограммы 5. Плоскость, разрезанная прямыми 6. Разные задачи на разрезания 7. Разбиение фигур на отрезки 8. Покрытия. Замощения костями домино и плитками 10. Расположение фигур на плоскости (485). Решения 485 Глава 26. Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры 1. Системы точек 2. Системы отрезков, прямых и окружностей. Примеры и контрпримеры (507). Решения 508 Глава 27. Индукция и комбинаторика 1. Индукция 2. Комбинаторика (514). Решения 514 8 Оглавление Глава 28. Инверсия 1. Свойства инверсии 2. Построение окружностей 3. Построения одним циркулем 4. Сделаем инверсию 5. Точки, лежащие на одной окружности, и окружности, проходящие через одну точку 6. Цепочки окружностей (523). Решения 524 Глава 29. Аффинные преобразования 1. Аффинные преобразования 2. Решение задач при помощи аффинных преобразований 3. Комплексные числа 4. Эллипсы Штейнера (542). Решения 542 Глава 30. Проективные преобразования 1. Проективные преобразования прямой 2. Проективные преобразования плоскости 3. Переведём данную прямую на бесконечность. Применение проективных преобразований, сохраняющих окружность 5. Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство 6. Применение проективных преобразований прямой в задачах на построение 7. Невозможность построений при помощи одной линейки (568). Решения 568 Глава 31. Эллипс, парабола, гипербола 1. Классификация кривых второго порядка 2. Эллипс 3. Парабола 4. Гипербола 5. Пучки коник 6. Коники как геометрические места точек 7. Рациональная параметризация 8. Коники, связанные с треугольником (591). Решения 593 Дополнение 611 Предметный указатель 625 Программы элективных курсов по геометрии ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ В предыдущем издании при перенаборе текста третьего издания возникло огромное количество опечаток. В новом издании эти опечатки исправлены, в чём мне оказали большую помощь И. Тейман и группа школьников й школы г. Москвы Д. Загоскин, А. Ники- тин, К. Попков, А. Фурсов под руководством Л. Шагама. С. Маркелов не только указал мне опечатки, но и сообщил решения нескольких задач. Некоторые ошибки в решениях мне помогли исправить письма читателей, присланные на адрес planimetry_bug@mccme.ru. Например, Дарий Гринберг указал мне ошибки в вычислении координат точки Штейнера ив решении задачи, а А. Карпов обратил моё внимание на то, что условие задачи 30.34 было сформулировано неверно. В новое издание добавлено около 200 задач. Добавлена также новая глава 31, посвящённая эллипсу, параболе и гиперболе. (Такой параграф был в самом первом издании этой книги, но он был исключён из всех последующих изданий.) Для удобства читателей я привожу список новых задач: 2.11 , 2.40 , 2.84 , 3.9 , 3.49 , 3.50 , 3.57 , 3.62 , 3.65 , 3.76 — 3.82 , 4.33 , 4.57 , 5.13 , 5.17 , 5.24 , 5.37 , 5.53 , 5.70 , 5.71 , 5.77 , 5.96 , 5.97 , 5.126 , 5.127 , 5.159 — 5.161 , 6.41 , 6.57 , 7.17 , 7.43 , 8.45 , 8.58 — 8.60 , 9.10 , 9.27 , 9.48 , 9.85 , 9.95 , 10.20 , 10.58 , 10.21 , 12.17 , 12.31 , 12.77 , 12.78 , 12.83 , 13.14 , 13.15 , 13.39 , 14.38 , 14.42 , 14.44 — 14.49 , 14.53 , 15.4 , 17.23 , 17.33 , 17.40 , 17.41 , 17.42 , 18.26 , 18.31 , 19.50 — 19.52 , 20.11 , 20.28 , 20.33 , 22.3 , 22.7 , 22.14 , 22.15 — 22.23 , 22.24 — 22.31 , 22.34 , 23.16 , 24.5 , 24.6 , 24.8 , 24.10 , 24.16 , 24.17 , 25.26 , 25.37 , 25.42 , 28.8 , 29.14 — 29.19 , 29.31 , 29.32 , 29.34 , 29.40 , 29.42 , 30.34 , 31.1 — 31.84 А вот список задач из предыдущего издания, формулировки или решения которых существенно обновлены: 2.5 , 5.125 , 10.46 , 12.41 , 14.60 , 20.7 , 23.15 , 23.22 , 24.7 , 24.15 , 24.18 , 25.16 , 25.63 Электронную версию этой книги можно найти в Internet по адресу http://www.mccme.ru/prasolov/. В электронной версии будут исправляться замеченные ошибки и опечатки ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЁРТОМУ ИЗДАНИЮ В этом сборнике задач представлены почти все темы планиметрии, которые изучаются в школе, в том числе ив специализированных классах. Его основу составляют задачи, предлагавшиеся в разное время на математических олимпиадах, и задачи из архивов математических олимпиад и математических кружков. Для удобства читателя в книге принята подробная рубрикация. Задачи распределены по 30 главам, каждая из которых разбита на несколько параграфов (от 2 до 14). За основу классификации приняты методы решения задач. Главная цель этого разбиения состоит в том, чтобы помочь читателю ориентироваться в столь большом наборе задач. В новое издание включён подробный предметный указатель, который служит той же цели. Первое издание этой книги вышло в свет 15 лет назад. Дошедшие до меня отзывы о ней свидетельствуют о том, что она нашла гораздо более широкое применение в школе, чем я надеялся, когда начинал её писать. В новое издание включено дополнительно 70 задач, которые стали мне известны за последние годы. Изменены также решения нескольких задач. Задачи повышенной трудности в новом издании отмечены «звёздочкой». Добавлено также Дополнение, в котором обсуждается несколько тем, более широких, чем отдельная задача. Глава 28 написана А. Ю. Вайнтробом, а главы 29 и 30 написаны С. Ю. Оревковым. Содержание этих глав во многом определила книга И. М. Яглома Геометрические преобразования. Т. 2, ч. 3. Линейные и круговые преобразования (М Гостехиздат, При подготовке первого издания большую помощь оказали мне советы и замечания, высказанные академиком А. В. Погореловым, А. М. Абрамовым, А. Ю. Вайнтробом, Н. Б. Васильевым, Н. П. Долбили- ным и С. Ю. Оревковым. Всем имя выражаю искреннюю благодарность ГЛАВА ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ Основные сведения. Треугольник ABC подобен треугольнику обозначение ∼ ∼ 4A 1 B 1 C 1 ) тогда и только тогда, когда выполнено одно из следующих эквивалентных условий: а) AB : BC : CA = A 1 B 1 : B 1 C 1 : б) AB : BC = A 1 B 1 : ив и ∠BAC = ∠B 1 A 1 C 1 2. Если параллельные прямые отсекают от угла с вершиной A треугольники и AB 2 C 2 , то эти треугольники подобны и AB 1 : AB 2 = AC 1 : точки и лежат на одной стороне угла, и C 2 — на другой. Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Этот отрезок параллелен третьей стороне и равен половине её длины. Средней линией трапеции называют отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции. Этот отрезок параллелен основаниями равен полусумме их длин. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, те. квадрату отношения длин соответствующих сторон. Это следует, например, из формулы S ABC = 1 2 AB · AC sin A. 5. Многоугольники A 1 A 2 . . . и B 1 B 2 . . . называют подобными, если A 2 A 3 : . . . : A n A 1 = B 1 B 2 : B 2 B 3 : . . . : и углы при вершинах A 1 , . . . , равны соответственно углам при вершинах B 1 , . . . , Отношение соответственных диагоналей подобных многоугольников равно коэффициенту подобия для описанных подобных многоугольников отношение радиусов вписанных окружностей также равно коэффициенту подобия. Вводные задачи 1. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты и BB 1 . Докажите, что A 1 C · BC = B 1 C · В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена высота CH. Докажите, что AC 2 = AB · AH и CH 2 = AH · Докажите, что медианы треугольника пересекаются водной точке и делятся этой точкой в отношении 2 : 1, считая от вершины. 4. На стороне BC треугольника ABC взята точка так, что A 1 C = 2 : 1. В каком отношении медиана делит отрезок AA 1 ? Глава 1. Подобные треугольники 5. В треугольник ABC вписан квадрат PQRS так, что вершины и Q лежат на сторонах AB и AC, а вершины R и S — на стороне Выразите длину стороны квадрата через сторону a и высоту h a |