Формула. В. В. Прасолов задачи по планиметрии

• Название: В. В. Прасолов задачи по планиметрии
• Анкор: Формула
• Дата: 17.06.2022
• Размер: 6.7 Mb.
• Имя файла: planim5.pdf
• Тип: Учебное пособие; #599309
• страница: 5 из 70

§ 8. Вписанный четырёхугольник
с перпендикулярными диагоналями
В этом параграфе ABCD — вписанный четырёхугольник, диагонали которого перпендикулярны. Мы будем использовать также следующие обозначения — центр описанной окружности четырёхугольника ABCD, P — точка пересечения диагоналей.
2.73.
Докажите, что ломаная AOC делит ABCD на две фигуры равной площади.
2.74.
Известен радиус описанной окружности а) Найдите AP
2
+ BP
2
+ CP
2
+ б) Найдите сумму квадратов сторон четырёхугольника Найдите сумму квадратов диагоналей, если известны длина отрезка OP и радиус окружности Из вершин A и B опущены перпендикуляры на CD, пересекающие прямые BD ив точках K и L соответственно. Докажите,
что AKLB — ромб.
2.77.
Докажите,
что площадь четырёхугольника
ABCD
равна
(AB · CD + BC · Докажите, что расстояние от точки O до стороны AB равно половине длины стороны Докажите, что прямая, проведённая из точки P перпендикулярно, делит сторону AD пополам.
2.80.
Докажите,
что середины сторон четырёхугольника
ABCD
и проекции точки P на стороны лежат на одной окружности.
2.81.
а) Через вершины A, B, C и D проведены касательные копи- санной окружности. Докажите, что образованный ими четырёхуголь- ник вписанный

Условия задач
39
б) Четырёхугольник KLMN вписанный и описанный одновременно и B — точки касания вписанной окружности со сторонами KL и Докажите, что AK · BM = r
2
, где r — радиус вписанной окружности.
См. также задачу 9. Три описанные окружности
пересекаются водной точке
2.82.
На сторонах треугольника ABC внешним образом построены треугольники ABC
0
, AB
0
C и A
0
BC, причём сумма углов при вершинах, и кратна 180
◦
. Докажите, что описанные окружности построенных треугольников пересекаются водной точке.
2.83.
а) На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC или на их продолжениях) взяты точки A
1
, и C
1
, отличные от вершин треугольника. Докажите, что описанные окружности треугольников, и A
1
B
1
C пересекаются водной точке.
б) Точки A
1
, и перемещаются по прямыми так, что все треугольники подобны одному и тому же треугольнику. Докажите, что точка пересечения описанных окружностей треугольников AB
1
C
1
, и A
1
B
1
C остаётся при этом неподвижной.
(Треугольники предполагаются не только подобными, но и одинаково ориентированными.)
2.84.
Точки A
1
, B
1
, движутся по прямым BC, CA, AB так, что все треугольники подобны одному и тому же треугольнику
(треугольники предполагаются не только подобными, но и одинаково ориентированными. Докажите, что треугольник имеет минимальный размер тогда и только тогда, когда перпендикуляры,
восставленные из точек A
1
, B
1
, к прямым BC, CA, AB пересекаются водной точке.
2.85.
Внутри треугольника ABC взята точка X. Прямые AX, и CX пересекают стороны треугольника в точках A
1
, и Докажите, что если описанные окружности треугольников и A
1
B
1
C пересекаются в точке X, то X — точка пересечения высот треугольника На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки, и C
1
. Докажите, что если треугольники и ABC подобны и противоположно ориентированы, то описанные окружности треугольников AB
1
C
1
, и A
1
B
1
C проходят через центр описанной окружности треугольника Точки A
0
, и симметричны некоторой точке P относительно сторон BC, CA и AB треугольника а) Докажите, что описанные окружности треугольников AB
0
C
0
,
A
0
BC
0
, A
0
B
0
C и ABC имеют общую точку.
б) Докажите, что описанные окружности треугольников A
0
BC,
AB
0
C, и имеют общую точку Q.

Глава 2. Вписанный угол в) Пусть I, J, K и O — центры описанных окружностей треугольников, и A
0
B
0
C
0
. Докажите, что QI : OI = QJ : OJ =
= QK : См. также задачи 10. Точка Микеля
2.88.
Четыре прямые образуют четыре треугольника.
а) Докажите, что описанные окружности этих треугольников имеют общую точку (точка Микеля).
б) Докажите, что центры описанных окружностей этих треугольников лежат на одной окружности, проходящей через точку Микеля.
2.89*.
Прямая пересекает стороны AB, BC и CA треугольника (или их продолжения) в точках C
1
, и A
1
; O, O
a
, и O
c
— центры описанных окружностей треугольников ABC, AB
1
C
1
, и A
1
B
1
C;
H, H
a
, и H
c
— ортоцентры этих треугольников. Докажите, что:
а)
4O
a
O
b
O
c
∼ б) серединные перпендикуляры к отрезками пересекаются водной точке.
2.90*.
Четырёхугольник ABCD вписанный. Докажите, что точка
Микеля для прямых, содержащих его стороны, лежит на отрезке,
соединяющем точки пересечения продолжений сторон.
2.91*.
Точки A, B, C и D лежат на окружности с центром Прямые AB и CD пересекаются в точке E, а описанные окружности треугольников AEC и BED пересекаются в точках E и P. Докажите, что:
а) точки A, D, P и O лежат на одной окружности;
б) ∠EPO = Даны четыре прямые. Докажите, что проекции точки Мике- ля на эти прямые лежат на одной прямой.
См. также задачи 11. Разные задачи
2.93.
В треугольнике ABC проведена высота AH; O — центр описанной окружности. Докажите, что ∠OAH = |∠B − Пусть — точка пересечения высот треугольника
ABC,
а AA
0
— диаметр его описанной окружности. Докажите, что отрезок делит сторону BC пополам.
2.95.
Через вершины A и B треугольника ABC проведены две параллельные прямые, а прямые m и n симметричны им относительно биссектрис соответствующих углов. Докажите, что точка пересечения прямых m и n лежит на описанной окружности треугольника а) Из точки A проведены прямые, касающиеся окружности в точках B и C. Докажите, что центр вписанной окружности тре-

Условия задач
41
угольника ABC и центр его вневписанной окружности, касающейся стороны BC, лежат на окружности б) Докажите, что окружность, проходящая через вершины B и любого треугольника ABC и центр O его вписанной окружности, высекает на прямых AB и AC равные хорды.
2.97*.
На сторонах AC и BC треугольника ABC внешним образом построены квадраты и BCB
1
B
2
. Докажите, что прямые и пересекаются водной точке.
2.98*.
Окружности и пересекаются в точках A и B, причём касательные кв этих точках являются радиусами S
2
. На внутренней дуге взята точка C и соединена с точками A и B прямыми.
Докажите, что вторые точки пересечения этих прямых с являются концами одного диаметра.
2.99*.
Из центра O окружности опущен перпендикулярна прямую. На прямой l взяты точки B итак, что AB = AC. Через точки и C проведены две секущие, первая из которых пересекает окружность в точках P и Q, а вторая — в точках M и N. Прямые PM и пересекают прямую l в точках R и S. Докажите, что AR = AS (задача
о бабочке).
Задачи для самостоятельного решения
2.100.
В треугольнике ABC проведены высоты и BB
1
; M середина стороны AB. Докажите, что MA
1
= В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы A и C прямые.
Докажите, что AC = BD · sin ABC.
2.102.
Диагонали
AD,
BE
и
CF
вписанного шестиугольника пересекаются водной точке. Докажите, что AB · CD · EF =
= BC · DE · В выпуклом четырёхугольнике AB = BC = CD, M — точка пересечения диагоналей, K — точка пересечения биссектрис углов A и Докажите, что точки A, M, K и D лежат на одной окружности.
2.104.
Окружности с центрами и пересекаются в точках и B. Прямая O
1
A пересекает окружность с центром в точке Докажите, что точки O
1
, O
2
, B и N лежат на одной окружности.
2.105.
Окружности и пересекаются в точках A и B. Прямая касается окружности в точке M и окружности в точке. Пусть A — та из точек пересечения окружностей, которая более удалена от прямой MN. Докажите, что ∠O
1
AO
2
= Дан четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность, прич м AB = BC. Докажите, что S
ABCD
=
1 2
(DA + CD) · h
b
, где h
b
— высота треугольника ABD, опущенная из вершины B.
2.107.
Четырёхугольник ABCD вписанный, причём AC — биссектриса угла DAB. Докажите, что AC · BD = AD · DC + AB · BC.

Глава 2. Вписанный угол
2.108.
В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла проведены биссектриса CM и высота CH. HD и HE — биссектрисы треугольников AHC и CHB. Докажите, что точки C, D, H, E и лежат на одной окружности.
2.109.
Две окружности проходят через вершину угла и точку его биссектрисы. Докажите, что отрезки, высекаемые ими на сторонах угла, равны.
2.110.
Треугольник BHC, где H — ортоцентр треугольника достроен до параллелограмма BHCD. Докажите, что ∠BAD = Вне правильного треугольника ABC, но внутри угла взята точка M так, что ∠CMA = и ∠BMA =
a
. Чему равен угол Докажите, что если вписанный четырёхугольник с перпендикулярными диагоналями является также и описанным, то он симметричен относительно одной из диагоналей.
Решения
2.1.
Проведём диаметр AD. Тогда ∠CDA = ∠CBA, а значит, ∠BAH = так как ∠BHA = ∠ACD = Из свойств ориентированных углов имеем ∠(AC, CK) = ∠(AM, MK) =
= ∠(BM, MK) = ∠(BD, DK) = ∠(BD, CK), те Точки P и Q лежат на окружности с диаметром AM. Поэтому ∠QMA =
= ∠QPA как углы, опирающиеся на одну дугу. Треугольники PAK и прямоугольные, следовательно, ∠PAK = а) Так как ∠AOM = ∠BAO + ∠ABO = (∠A + ∠B)/2 и ∠OAM = ∠OAC +
+ ∠CAM = ∠A/2 + ∠CBM = (∠A + ∠B)/2, то MA = MO. Аналогично MC = Так как треугольник прямоугольный и ∠AOM = ∠MAO =
f
, то ∠MO
b
A = 90
◦
−
f
, а значит, MA = MO
b
. Аналогично MC = б) Пусть P — центр описанной окружности треугольника ACO. Тогда = (180
◦
− ∠CPO)/2 = 90
◦
− ∠OAC. Поэтому ∠BOC = 90
◦
+ ∠OAC. Аналогично, а значит, ∠OAB = ∠OAC. Аналогично доказывается, что точка O лежит на биссектрисах углов B и Пусть O — вершина данного прямого угла. Точки O и A лежат на окружности с диаметром BC, поэтому ∠AOB = ∠ACB = ∠C. Из этого следует, что точка A движется по прямой, образующей со стороной данного прямого угла угол, равный ∠C. В крайних положениях расстояния от точки A до точки O равны гипотенузе BC и наименьшему катету Действительно, OA = BC sin f
, где f
= ∠OCA. Угол изменяется от ∠C до+ ∠C = 180
◦
− ∠B, поэтому наибольшее значение sin равно 1, а наименьшее значение равно наименьшему из чисел sin C и sin B. Таким образом, длина отрезка, по которому движется точка A, равна разности между длиной гипотенузы и длиной наименьшего катета прямоугольного треугольника Замечание. Аналогичное утверждение верно для любого треугольника, вершины которого скользят по сторонам угла MON, равного ∠A.

Решения задач
43
З а меча ни е 2. В случае, когда угол A непрямой, вершина A движется по эллипсу (задача
31.63
).
2.6.
Точки B, D и K лежат на окружности с диаметром AC. Пусть для определённости ∠KCA=
f
645
◦
. Тогда BK=AC sin(45
◦
−
f
)=AC(cos f
−sin и = AC sin(45
◦
+
f
) = AC(cos f
+ sin f
)/
√
2.
Ясно,
что
AC cos f
= и AC sin f
= Так как ∠B
1
AA
1
= ∠A
1
BB
1
, точки A, B, и лежат на одной окружности. Параллельные прямые AB и высекают на ней равные хорды
AB
1
и BA
1
. Поэтому AC = Построим на стороне BC треугольника ABC внешним образом правильный треугольник A
1
BC. Пусть P — точка пересечения прямой сопи- санной окружностью треугольника A
1
BC. Тогда точка P лежит внутри треугольника и ∠APC = 180
◦
− ∠A
1
PC = 180
◦
− ∠A
1
BC = 120
◦
. Аналогично = Основания перпендикуляров, опущенных из точки M на диаметры,
лежат на окружности S с диаметром OM (O — центр исходной окружности).
Точки пересечения данных диаметров с окружностью S, отличные от точки делят её на n дуг. Так как на все дуги, не содержащие точку O, опираются углы 180
◦
/n, то угловые величины этих дуг равны 360
◦
/n. Поэтому угловая величина дуги, на которой лежит точка O, равна 360
◦
− (n − 1) · 360
◦
/n =
= 360
◦
/n. Следовательно, основания перпендикуляров делят окружность S на равных дуг.
2.10.
Ясно, что ∠(AA
1
, BB
1
) =
∠(AA
1
, AB
1
) +
∠(AB
1
, BB
1
) =
∠(MA
1
, MB
1
) +
+ ∠(AN, BN). Так как MA
1
⊥ BN и MB
1
⊥ AN, то ∠(MA
1
, MB
1
) =
∠(BN, AN) =
= −∠(AN, BN). Поэтому ∠(AA
1
, BB
1
) = 0
◦
, те Ясно, что, QD) = ∠(AQ, QP) + ∠(PQ, QD) = ∠(AB, BP) + ∠(PC, CD),
∠(CQ, QB) = ∠(CQ, QP) + ∠(PQ, QB) = ∠(CD, DP) + ∠(PA, Треугольники APB и CPD равнобедренные, поэтому ∠(AB, BP) = ∠(PA, и ∠(PC, CD) = ∠(CD, DP). Следовательно, ∠(AQ, QD) = ∠(CQ, Так как AB k DE, то ∠ACE = ∠BFD, атак как BC k EF, то ∠CAE =
= ∠FDB. Треугольники ACE и BDF имеют по два равных угла, поэтому третьи углы у них тоже равны. Из равенства этих углов следует равенство дуги, те. параллельность хорд CD и Доказательство проведём индукцией по n. Для четырёхугольника утверждение очевидно, для шестиугольника оно было доказано в предыдущей задаче. Допустим, что утверждение доказано для 2(n − угольника, и докажем его для угольника. Пусть A
1
. . . есть 2n-угольник,
в котором A
1
A
2
k A
n+1
A
n+2
, . . . , A
n−1
A
n
k A
2n−1
A
2n
. Рассмотрим 2(n − угольник. По предположению индукции при нечётном получаем A
n−1
A
n+1
= A
2n−1
A
1
, прич тном n получаем A
n−1
A
n+1
k Рассмотрим треугольники треугольник A
2n−1
A
2n
A
1
. Пусть чётно. Тогда векторы и –
A
2n−1
A
2n
,
# и параллельны и противоположно направлены, поэтому ∠A
n
A
n−1
A
n+1
= и A
n
A
n+1
= как хорды, отсекающие равные дуги, что и требовалось.
Пусть n нечётно. Тогда A
n−1
A
n+1
= A
2n−1
A
1
, те. В шестиугольнике имеем A
1
A
n−1
k A
n+1
A
2n−1
, A
n−1
A
n
k поэтому согласно предыдущей задаче A
n
A
n+1
k A
2n
A
1
, что и требовалось

Глава 2. Вписанный угол
2.14.
Пусть прямые FG, GE и EF проходят через точки A, B и C, причём треугольник EFG равносторонний, те. Тогда ∠(BE, EC) = ∠(CF, FA) = ∠(AG, GB) = ±60
◦
. Выбрав один из знаков, получим три окружности S
E
, и S
G
, на которых должны лежать точки E, F и G. Любая точка E окружности однозначно определяет треугольник Пусть O — центр треугольника EFG; P, R и Q — точки пересечения прямых OE, OF и OG с соответствующими окружностями S
E
, и Докажем, что P, Q и R — центры правильных треугольников, построенных на сторонах треугольника ABC для одного семейства внешним образом, для другого внутренним, а точка O лежит на описанной окружности треугольника PQR. Ясно, что ∠(CB, BP) = ∠(CE, EP) = ∠(EF, EO) = ∓30
◦
,
a ∠(BP, CP) = ∠(BE, EC) = ∠(GE, EF) = ±60
◦
. Поэтому ∠(CB, CP) = ∠(CB, BP) +
+ ∠(BP, CP) = ±30
◦
. Следовательно, P — центр правильного треугольника со стороной AB. Для точек Q и R доказательство аналогично. Треугольник равносторонний, причём его центр совпадает сточкой пересечения медиан треугольника ABC см. задачу
1.50
б). Можно проверить,
что ∠(PR, RQ) = ∓60
◦
= ∠(OE, OG) = ∠(OP, OQ), те. точка O лежит на описанной окружности треугольника Ясно, что 2(∠KEC + ∠KDC) = ( MB + AC) + ( MB + BC) = так как = Обозначим угловую величину дуги, высекаемой сторонами треугольника на окружности, через a
. Рассмотрим дугу, высекаемую продол- жениями сторон треугольника на окружности, и обозначим её угловую величину через a
0
. Тогда (
a
+
a
0
)/2 =
∠BAC = 60
◦
. Но a
=
a
0
, так как эти дуги симметричны относительно прямой, проходящей через центр окружности параллельно стороне BC. Поэтому a
=
a
0
= Так как ∠APB = ( AB + CD)/2 = ∠AOB, точка O лежит на описанной окружности треугольника Пусть O — точка пересечения прямых и B
1
D
1
;
a
,
b
,
g и
d
—
угловые величины дуги. Тогда (
A
1
B +
BB
1
+
C
1
D +
DD
1
)/2 = (
a
+
b
+
g
+
d
)/4 = Складывая равенства +
CA
0
= 2(180
◦
− ∠APC) = 240
◦
− и 240
◦
− 2∠C, а затем вычитая из их суммы равенство BA
0
+
+
CA
0
= 2∠A, получаем C
0
B
0
=
C
0
A +
AB
0
= 480
◦
− 2(∠A + ∠B + ∠C) = Аналогично а) Докажем, например, что AA
1
⊥ C
1
B
1
. Пусть M — точка пересечения этих отрезков. Тогда ∠AMB
1
= (
AB
1
+
A
1
B +
BC
1
)/2 =
∠ABB
1
+ ∠A
1
AB +
+ ∠BCC
1
= (∠B + ∠A + ∠C)/2 = б) Пусть и M
2
— точки пересечения отрезков и BC, и Прямоугольные треугольники AM
1
C и BM
2
C имеют общий угол C, поэтому =
∠A
1
AC, а значит =
A
1
C и =
∠A
1
C
1
C, те биссектриса угла Обозначим вершины треугольника через A, B и C; середины дуг, CA, AB через A
1
, B
1
, C
1
. Тогда T
2
= A
1
B
1
C
1
. Прямые AA
1
, BB
1
, являются биссектрисами треугольника T
1
, поэтому они пересекаются водной точке O. Пусть прямые AB и пересекаются в точке K. Достаточно проверить, что KO k AC. В треугольнике AB
1
O прямая является биссек-

Решения задач
45
трисой и высотой (задача
2.20
а), поэтому этот треугольник равнобедренный.
Следовательно, треугольник AKO тоже равнобедренный. Прямые KO и параллельны, так как ∠KOA = ∠KAO = Пусть l — касательная в точке A к первой окружности. Тогда, AP) = ∠(AQ, PQ) = ∠(BC, PB), а значит, l k Так как ∠(AB, AD) = ∠(AP, PD) = ∠(AB, BC), то BC k Ясно, что ∠(AB, BS) = ∠(AQ, QB) и ∠(BA, AQ) = ∠(BS, SA). Поэтому, AS) = ∠(AB, BQ), а значит, PS k QR. Далее, ∠(AP, PQ) = ∠(AB, BQ) =
= ∠(AS, SR), поэтому PQ k Пусть для определённости точка E лежит на луче BC. Тогда ∠ABC =
= ∠EAC и ∠ADE = ∠ABC + ∠BAD = ∠EAC + ∠CAD = Пусть P — вторая точка пересечения окружностей. Тогда ∠(AB, DB) =
= ∠(PA, PB) и ∠(DC, AC) = ∠(PC, PA). Складывая эти равенства, получаем последние два угла опираются на постоянные дуги.