Формула. В. В. Прасолов задачи по планиметрии
 Скачать 6.7 Mb.
|
|
§ 1. Касательные к окружностям 3.1. Прямые PA и PB касаются окружности с центром O (A и B точки касания. Проведена третья касательная к окружности, пересекающая отрезки PA ив точках X и Y. Докажите, что величина угла XOY не зависит от выбора третьей касательной. 3.2. Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны в точке K, а вневписанная — в точке L. Докажите, что CK = BL = = (a + b − c)/2, где a, b, c — длины сторон треугольника. 3.3. На основании AB равнобедренного треугольника ABC взята точка E, ив треугольники ACE и ECB вписаны окружности, касающиеся отрезка CE в точках M и N. Найдите длину отрезка если известны длины отрезков AE и BE. 3.4. Четырёхугольник ABCD обладает тем свойством, что существует окружность, вписанная в угол BAD и касающаяся продолжений сторон BC и CD. Докажите, что AB + BC = AD + Общая внутренняя касательная к окружностям с радиусами и r пересекает их общие внешние касательные в точках A и B и касается одной из окружностей в точке C. Докажите, что AC · CB = К двум окружностям различного радиуса проведены общие внешние касательные AB и CD. Докажите, что четырёхугольник описанный тогда и только тогда, когда окружности касаются Условия задач 57 3.7*. Дан параллелограмм ABCD. Вневписанная окружность треугольника касается продолжений сторон AD ив точках и N. Докажите, что точки пересечения отрезка MN си Рис. лежат на вписанной окружности треугольника На каждой стороне четырёхугольни- ка ABCD взято по две точки, и они соединены так, как показано на рис. 3.1. Докажите, что если все пять заштрихованных четырёхугольни- ков описанные, то четырёхугольник ABCD тоже описанный. 3.9*. Дана окружность и точка вне е из этой точки мы совершаем путь по замкнутой ломаной, состоящей из отрезков прямых, касательных к окружности, и заканчиваем путь в начальной точке. Участки пути, по которым мы приближались к центру окружности, берём со знаком плюса участки пути, по которым удалялись от центра со знаком минус. Докажите, что для любого такого пути сумма длин участков пути, взятых с указанными знаками, равна нулю. См. также задачи 1.21 а), 1.61 , 1.65 , 1.67 § 2. Произведение длин отрезков хорд 3.10. Через точку P, лежащую на общей хорде AB двух пересекающихся окружностей, проведены хорда KM первой окружности и хорда второй окружности. Докажите, что четырёхугольник KLMN вписанный. 3.11. Две окружности пересекаются в точках A и B; MN — общая касательная к ним. Докажите, что прямая AB делит отрезок MN пополам. 3.12. Прямая OA касается окружности в точке A, а хорда BC параллельна. Прямые OB и OC вторично пересекают окружность в точках K и L. Докажите, что прямая KL делит отрезок OA по- полам. 3.13. В параллелограмме ABCD диагональ AC больше диагонали такая точка диагонали AC, что четырёхугольник вписанный. Докажите, что прямая BD является общей касательной к описанным окружностям треугольников ABM и Даны окружность S и точки A и B вне е. Для каждой прямой l, проходящей через точку A и пересекающей окружность в точках M и N, рассмотрим описанную окружность треугольника. Докажите, что все эти окружности имеют общую точку, отличную от точки Даны окружность S, точки A и B на ней и точка C хорды. Для каждой окружности S 0 , касающейся хорды AB в точке C Глава 3. Окружности и пересекающей окружность S в точках P и Q, рассмотрим точку пересечения прямых AB и PQ. Докажите, что положение точки M не зависит от выбора окружности См. также задачи 3. Касающиеся окружности 3.16. Две окружности касаются внешним образом в точке A. К ним проведена общая (внешняя) касательная, касающаяся окружностей в точках C и D. Докажите, что ∠CAD = Две окружности и с центрами и касаются в точке. Через точку A проведена прямая, пересекающая в точке ив точке A 2 . Докажите, что O 1 A 1 k Три окружности S 1 , и попарно касаются друг друга в трёх различных точках. Докажите, что прямые, соединяющие точку касания окружностей и с двумя другими точками касания, пересекают окружность в точках, являющихся концами её диаметра. 3.19. Две касающиеся окружности с центрами и касаются внутренним образом окружности радиуса R с центром O. Найдите периметр треугольника Окружности и касаются окружности S внутренним образом в точках A и B, причём одна из точек пересечения окружностей S 1 и лежит на отрезке AB. Докажите, что сумма радиусов окружностей и равна радиусу окружности Радиусы окружностей и S 2 , касающихся в точке A, равны и r (R > r). Найдите длину касательной, проведённой к окруж- Рис. 3.2 ности из точки B окружности если известно, что AB = a. (Разберите случаи внутреннего и внешнего касания.) 3.22. На отрезке AB взята точка через точку C, пересекает окружности с диаметрами AC ив точках и L, а окружность с диаметром в точках M и N. Докажите, что KM = Даны четыре окружности, S 2 , и S 4 , причём окружности S i и касаются внешним образом для i = 1, 2, 3, 4 (S 5 = S 1 ). Докажите, что точки касания образуют вписанный четырёхугольник. 3.24*. а) Три окружности с центрами A, B, C, касающиеся друг друга и прямой l, расположены так, как показано на рис. Пусть a, b и c — радиусы окружностей с центрами A, B, C. Докажите, что 1/ √ c = 1/ √ a + 1/ √ b. Условия задач 59 б) Четыре окружности попарно касаются внешним образом (в шести различных точках. Пусть a, b, c, d — их радиусы 1/a, b = 1/b, g = 1/c и d = 1/d. Докажите, что 2( a 2 + b 2 + g 2 + d 2 ) = ( a + b + g + d ) 2 § 4. Три окружности одного радиуса 3.25. Три окружности радиуса R проходят через точку H; A, B и C точки их попарного пересечения, отличные от H. Докажите, что: а) H — точка пересечения высот треугольника б) радиус описанной окружности треугольника ABC тоже равен Рис. Три равные окружности пересекаются так, как показано на риса или б. Докажите, что 180 ◦ , где знак Рис. минус берётся в случае б. 3.27*. Три окружности одного радиуса проходят через точку, B и Q — точки их попарного пересечения. Четвёртая окружность того же радиуса проходит через точку и пересекается с двумя другими в точках C и D. При этом треугольники четырёхугольник ABCD выпуклый (рис. 3.4). Докажите, что ABCD — параллелограмм. Две касательные, проведённые из одной точки 3.28. Из точки A проведены касательные AB и AC к окружности с центром O. Докажите, что если из точки M отрезок AO виден под углом 90 ◦ , то отрезки OB и OC видны из неё под равными углами. 3.29. Из точки A проведены касательные AB и AC к окружности с центром O. Через точку X отрезка BC проведена прямая KL, Глава 3. Окружности перпендикулярная XO точки K и L лежат на прямых AB и Докажите, что KX = На продолжении хорды KL окружности с центром O взята точка A, и из неё проведены касательные AP и AQ; M — середина отрезка PQ. Докажите, что ∠MKO = Из точки A проведены касательные AB и AC к окружности и секущая, пересекающая окружность в точках D и E; M — середина отрезка BC. Докажите, что BM 2 = DM · ME и угол DME в два раза больше угла DBE или угла DCE; кроме того, ∠BEM = ∠DEC. 3.32*. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём касательные в точках B и D пересекаются в точке K, лежащей на прямой а) Докажите, чтоб) Прямая, параллельная KB, пересекает прямые BA, BD ив точках P, Q и R. Докажите, что PQ = Даны окружность S и прямая l, не имеющие общих точек. Из точки P, движущейся по прямой l, проводятся касательные PA и к окружности S. Докажите, что все хорды AB имеют общую точку. Если точка P лежит вне окружности S, аи касательные к окружности, то прямую AB называют полярой точки P относительно окружности Окружности и пересекаются в точках A и B, причём центр O окружности лежит на S 2 . Прямая, проходящая через точку O, пересекает отрезок AB в точке P, а окружность в точке. Докажите, что точка P лежит на поляре точки C относительно окружности S 1 § 6. Применение теоремы о высотах треугольника 3.35. Точки C и D лежат на окружности с диаметром AB. Прямые и BD, AD и BC пересекаются в точках P и Q. Докажите, что AB ⊥ Прямые PC и PD касаются окружности с диаметром AB (C и D — точки касания. Докажите, что прямая, соединяющая сточкой пересечения прямых AC и BD, перпендикулярна Даны диаметр AB окружности и точка C, не лежащая на прямой AB. С помощью одной линейки (без циркуля) опустите перпендикуляр из точки C на AB, если а) точка C не лежит на окружности; б) точка C лежит на окружности. 3.38*. Пусть O a , и O c — центры описанных окружностей треугольников и PAB. Докажите, что если точки и лежат на прямых PA и PB, то точка лежит на прямой PC. Условия задач 7. Площади криволинейных фигур 3.39. На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника построены полуокружности, расположенные так, как показано на Рис. рис. 3.5. Докажите, что сумма площадей образовавшихся луночек равна площади данного треугольника. 3.40*. В круге проведены два перпендикулярных диаметра, те. четыре радиуса, а затем построены четыре круга, диаметрами которых служат эти радиусы. Докажите, что суммарная площадь попарно общих частей этих кругов равна площади части исходного круга, лежащей вне рассматриваемых четырёх кругов (рис. Натр х отрезках OA, OB и OC одинаковой длины (точка лежит внутри угла AOC) как на диаметрах построены окружности. Докажите, что площадь криволинейного треугольника, ограниченного дугами этих окружностей и не содержащего точку O, равна половине площади (обычного) треугольника Рис. Рис. На сторонах произвольного остроугольного треугольника как на диаметрах построены окружности. При этом образуется три внешних криволинейных треугольника и один «внутренний» (рис. 3.7). Докажите, что если из суммы площадей внешних треугольников вычесть площадь внутреннего треугольника, то получится удвоенная площадь треугольника ABC. § 8. Окружности, вписанные в сегмент 3.43. Хорда AB разбивает окружность S на две дуги. Окружность касается хорды AB в точке M и одной из дуг в точке N. Глава 3. Окружности Докажите, что: а) прямая MN проходит через середину P второй дуги; б) длина касательной PQ к окружности равна Из точки D окружности S опущен перпендикулярна диаметр. Окружность касается отрезка CA в точке E, а также отрезка CD и окружности S. Докажите, что DE — биссектриса треугольника Две окружности, вписанные в сегмент AB данной окружности, пересекаются в точках M и N. Докажите, что прямая проходит через середину C дополнительной для данного сегмента дуги На диаметре AB окружности S взята точка K и из неё восставлен перпендикуляр, пересекающий S в точке L. Окружности S A и касаются окружности S, отрезка LK и диаметра AB, а именно, S A касается отрезка AK в точке A 1 , касается отрезка BK в точке. Докажите, что ∠A 1 LB 1 = Окружность, касающаяся сторон AC и BC треугольника в точках M и N, касается также его описанной окружности (внутренним образом. Докажите, что середина отрезка MN совпадает сцен- тром вписанной окружности треугольника Треугольники и вписаны в окружность S, прич м хорды и пересекаются. Окружность касается хорды в точке M 2 , хорды в точке и окружности S. Докажите, что центры вписанных окружностей треугольников иле- жат на отрезке На стороне BC треугольника ABC взята точка D. Окружность касается отрезков BD и DA и описанной окружности, окружность касается отрезков CD и DA и описанной окружности. Пусть I, I 1 , и r, r 1 , r 2 — центры и радиусы вписанной окружности и окружностей S 1 , S 2 ; f = ∠ADB. Докажите, что точка лежит на отрезке I 1 I 2 , причём I 1 I : I 2 I = tg 2 f 2 . Докажите также, что = r 1 cos 2 f 2 + r 2 sin 2 f 2 (Тебо). 3.50*. Четырёхугольник ABCD вписанный. Пусть r a , r b , r c , r d — радиусы вписанных окружностей треугольников BCD, ACD, ABD, Докажите, что r a + r c = r b + См. также задачи 9. Разные задачи 3.51. Две окружности имеют радиусы и R 2 , а расстояние между их центрами равно d. Докажите, что эти окружности ортогональны тогда и только тогда, когда d 2 = R 2 1 + R 2 2 Условия задач 63 3.52. Три окружности попарно касаются внешним образом в точках, B и C. Докажите, что описанная окружность треугольника перпендикулярна всем трём окружностям. 3.53. Две окружности с центрами и пересекаются в точках и B. Через точку A проведена прямая, пересекающая первую окружность в точке M 1 , а вторую в точке M 2 . Докажите, что ∠BO 1 M 1 = = ∠BO 2 M 2 § 10. Радикальная ось 3.54. На плоскости даны окружность S и точка P. Прямая, про- ведённая через точку P, пересекает окружность в точках A и Докажите, что произведение PA · PB не зависит от выбора прямой. Эта величина, взятая со знаком плюс для точки P вне окружности и со знаком минус для точки P внутри окружности, называется степенью точки относительно окружности Докажите, что для точки P, лежащей вне окружности S, её степень относительно S равна квадрату длины касательной, проведён- ной из этой точки. 3.56. Докажите, что степень точки P относительно окружности равна d 2 − R 2 , где R — радиус S, d — расстояние от точки P до центра Окружность задана уравнением f(x, y) = 0, где f(x, y) = x 2 + + y 2 + ax + by + c. Докажите, что степень точки (x 0 , y 0 ) относительно этой окружности равна f(x 0 , На плоскости даны две неконцентрические окружности и S 2 . Докажите, что геометрическим местом точек, для которых степень относительно равна степени относительно S 2 , является прямая. Эту прямую называют радикальной осью окружностей и Докажите, что радикальная ось двух пересекающихся окружностей проходит через точки их пересечения. 3.60*. На плоскости даны три окружности, центры которых не лежат на одной прямой. Проведём радикальные оси для каждой пары этих окружностей. Докажите, что все три радикальные оси пересекаются водной точке. Эту точку называют радикальным центром трёх окружностей. 3.61*. На плоскости даны три попарно пересекающиеся окружности. Через точки пересечения любых двух из них проведена прямая. Докажите, что эти три прямые пересекаются водной точке или па- раллельны. 3.62*. Постройте радикальную ось двух непересекающихся окружностей и S 2 Глава 3. Окружности 3.63*. Даны две неконцентрические окружности и S 2 . Докажите, что множеством центров окружностей, пересекающих обе эти окружности под прямым углом, является их радикальная ось, из которой (если данные окружности пересекаются) выброшена их общая хорда. 3.64*. а) Докажите, что середины четырёх общих касательных к двум непересекающимся кругам лежат на одной прямой. б) Через две из точек касания общих внешних касательных с двумя окружностями проведена прямая. Докажите, что окружности высекают на этой прямой равные хорды. 3.65*. На окружности S с диаметром AB взята точка C, из точки опущен перпендикулярна прямую AB. Докажите, что общая хорда окружности S и окружности с центром C и радиусом CH делит отрезок CH пополам. 3.66*. На сторонах BC и AC треугольника ABC взяты точки и B 1 ; l — прямая, проходящая через общие точки окружностей с диаметрами и BB 1 . Докажите, что: а) прямая l проходит через точку H пересечения высот треугольника б) прямая l тогда и только тогда проходит через точку C, когда AC = BA 1 : Продолжения сторон AB и CD четырёхугольника ABCD пересекаются в точке F, а продолжения сторон BC ив точке Докажите, что окружности с диаметрами AC, BD и EF имеют общую радикальную ось, причём на ней лежат ортоцентры треугольников, CDE, ADF и Три окружности попарно пересекаются в точках и и B 2 , и C 2 . Докажите, что A 1 B 2 · B 1 C 2 · C 1 A 2 = A 2 B 1 · B 2 C 1 · На стороне BC треугольника ABC взята точка A 0 . Серединный перпендикуляр к отрезку A 0 B пересекает сторону AB в точке а серединный перпендикуляр к отрезку A 0 C пересекает сторону в точке N. Докажите, что точка, симметричная точке относительно прямой MN, лежит на описанной окружности треугольника Решите задачу, используя свойства радикальной оси. 3.71*. Внутри выпуклого многоугольника расположено несколько попарно непересекающихся кругов различных радиусов. Докажите, что многоугольник можно разрезать на маленькие многоугольники так, чтобы все они были выпуклыми ив каждом из них содержался ровно один изданных кругов. 3.72*. а) В треугольнике ABC проведены высоты AA 1 , и Прямые AB и A 1 B 1 , BC и B 1 C 1 , CA и пересекаются в точках и B 0 . Докажите, что точки A 0 , и лежат на радикальной оси окружности девяти точек и описанной окружности. б) Биссектрисы внешних углов треугольника ABC пересекают продолжения противоположных сторон в точках A 0 , и C 0 . Докажите, что точки A 0 , и лежат на одной прямой, причём эта прямая пер Условия задач 65 пендикулярна прямой, соединяющей центры вписанной и описанной окружностей треугольника Докажите, что диагонали AD, BE и CF описанного шестиугольника пересекаются водной точке (Брианшон). 3.74*. Даны четыре окружности S 1 , S 2 , и S 4 , причём окружности и касаются внешним образом для i = 1, 2, 3, 4 (S 5 = Докажите, что радикальная ось окружностей и проходит через точку пересечения общих внешних касательных к и а) Окружности и пересекаются в точках A и B. Степень точки P окружности относительно окружности равна расстояние от точки P до прямой AB равно h, а расстояние между центрами окружностей равно d. Докажите, чтоб) Степени точек A и B относительно описанных окружностей треугольников BCD и ACD равны и p b . Докажите, что См. также задачи 3.76 — 3.82 , 8.90 , 14.56 б), 28.6 |