Формула. В. В. Прасолов задачи по планиметрии

• Название: В. В. Прасолов задачи по планиметрии
• Анкор: Формула
• Дата: 17.06.2022
• Размер: 6.7 Mb.
• Имя файла: planim5.pdf
• Тип: Учебное пособие; #599309
• страница: 4 из 70

§ 1. Углы, опирающиеся на равные дуги
2.1.
Вершина A остроугольного треугольника ABC соединена отрезком с центром O описанной окружности. Из вершины A проведена высота AH. Докажите, что ∠BAH = Две окружности пересекаются в точках M и K. Через M и проведены прямые AB и CD соответственно, пересекающие первую окружность в точках A и C, вторую в точках B и D. Докажите,
что AC k Из точки M, лежащей внутри данного угла с вершиной A, опущены перпендикуляры MP и MQ на стороны угла. Из точки A опущен перпендикулярна отрезок PQ. Докажите, что ∠PAK = а) Продолжение биссектрисы угла B треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке M; O — центр вписанной окружности, O
b
— центр вневписанной окружности, касающейся стороны. Докажите, что точки A, C, O и лежат на окружности с центром б) Точка O, лежащая внутри треугольника ABC, обладает тем свойством, что прямые AO, BO и CO проходят через центры описанных окружностей треугольников BCO, ACO и ABO. Докажите, что — центр вписанной окружности треугольника Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом A движется так, что его вершины B и C скользят по сторонам данного прямого угла. Докажите, что множеством точек A является отрезок и найдите его длину.
2.6.
Диагональ AC квадрата ABCD совпадает с гипотенузой прямоугольного треугольника ACK, причём точки B и K лежат по

Глава 2. Вписанный угол одну сторону от прямой AC. Докажите, что BK = |AK − и DK = (AK + В треугольнике ABC проведены медианы и BB
1
. Докажите, что если ∠CAA
1
= ∠CBB
1
, то AC = Все углы треугольника ABC меньше 120
◦
. Докажите, что внутри его существует точка, из которой все стороны треугольника видны под углом Точку из задачи
2.8
называют точкой Торричелли.
2.9.
Окружность разделена на равные дуги n диаметрами. Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из произвольной точки M, лежащей внутри окружности, на эти диаметры, являются вершинами правильного многоугольника.
2.10.
На окружности даны точки A, B, M и N. Из точки проведены хорды и MB
1
, перпендикулярные прямыми соответственно. Докажите, что AA
1
k Две окружности пересекаются в точках P и Q. Третья окружность с центром P пересекает первую окружность в точках A и а вторую — в точках C и D. Докажите, что ∠AQD = ∠BQC.
2.12.
Шестиугольник
ABCDEF
вписанный,
причём
AB k и k EF. Докажите, что CD k Многоугольник A
1
A
2
. . . вписанный. Про все пары его противоположных сторон, кроме одной, известно, что они параллельны. Докажите, что при нечётном n оставшаяся пара сторон тоже параллельна, а прич тном n оставшаяся пара сторон равна по длине.
2.14*.
Дан треугольник ABC. Докажите, что существует два семейства правильных треугольников, стороны которых (или их продолжения) проходят через точки A, B и C. Докажите также, что центры треугольников этих семейств лежат на двух концентрических окруж- ностях.
См. также задачу 2. Величина угла между двумя хордами
Решить задачи этого параграфа помогает следующий факт.
Пусть
A, B, C, D — точки на окружности в указанном порядке. Тогда угол между хордами AC и BD равен (
AB + CD)/2, угол между хордами AB и равен − CB|/2. (Для доказательства нужно через конец одной из хорд провести хорду, параллельную другой хорде.)
2.15.
На окружности даны точки A, B, C, D в указанном порядке — середина дуги AB. Обозначим точки пересечения хорд MC и с хордой AB через E и K. Докажите, что KECD — вписанный четы- рёхугольник.

Условия задач
33
2.16.
По стороне правильного треугольника катится окружность радиуса, равного его высоте. Докажите, что угловая величина дуги,
высекаемой на окружности сторонами треугольника, всегда равна Диагонали равнобедренной трапеции ABCD с боковой стороной пересекаются в точке P. Докажите, что центре описанной окружности лежит на описанной окружности треугольника На окружности даны точки A, B, C, D в указанном порядке, B
1
, и D
1
— середины дуги соответственно.
Докажите, что A
1
C
1
⊥ Внутри треугольника ABC взята точка P так, что ∠BPC =
= ∠A + 60
◦
, ∠APC = ∠B + и ∠APB = ∠C + 60
◦
. Прямые AP, BP и пересекают описанную окружность треугольника ABC в точках и C
0
. Докажите, что треугольник A
0
B
0
C
0
правильный.
2.20.
На окружности взяты точки A, C
1
, B, A
1
, C, в указанном порядке.
а) Докажите, что если прямые AA
1
, и являются биссектрисами углов треугольника ABC, то они являются высотами треугольника б) Докажите, что если прямые AA
1
, и являются высотами треугольника ABC, то они являются биссектрисами углов треугольника В окружность вписаны треугольники и T
2
, причём вершины треугольника являются серединами дуг, на которые окружность разбивается вершинами треугольника T
1
. Докажите, что в шестиугольнике, являющемся пересечением треугольников и T
2
, диагонали,
соединяющие противоположные вершины, параллельны сторонам треугольника и пересекаются водной точке 3. Угол между касательной и хордой
На языке ориентированных углов теорема об угле между касательной и хордой формулируется следующим образом. Если AB — хорда окружности,
а l — касательная, проведённая в точке A, то для любой точки X данной окружности имеет место равенство ∠(l, AB) = ∠(XA, Две окружности пересекаются в точках P и Q. Через точку первой окружности проведены прямые AP и AQ, пересекающие вторую окружность в точках B и C. Докажите, что касательная в точке к первой окружности параллельна прямой Окружности и пересекаются в точках A и P. Через точку A проведена касательная AB к окружности S
1
, а через точку прямая CD, параллельная AB точки B и C лежат на точка D — на S
1
). Докажите, что ABCD — параллелограмм.
2.24.
Окружности и пересекаются в точках A и B. Через точку A проведена касательная AQ к окружности точка Q лежит на S
2
), а через точку B — касательная BS к окружности точка S

Глава 2. Вписанный угол лежит на S
1
). Прямые BQ и AS пересекают окружности ив точках R и P. Докажите, что PQRS — параллелограмм.
2.25.
Касательная в точке A к описанной окружности треугольника пересекает прямую BC в точке E; AD — биссектриса треугольника. Докажите, что AE = Окружности и пересекаются в точке A. Через точку проведена прямая, пересекающая в точке B, а в точке C. В точках и B проведены касательные к окружностям, пересекающиеся в точке D. Докажите, что угол BDC не зависит от выбора прямой,
проходящей через Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку к этим окружностям проведены касательные AM и AN (M и N — точки окружностей. Докажите, что:
а) ∠ABN + ∠MAN = б) BM/BN = Две окружности касаются внутренним образом в точке Пусть AB — хорда большей окружности, касающаяся меньшей окружности в точке T. Докажите, что MT — биссектриса угла Через точку M, лежащую внутри окружности S, проведена хорда AB; из точки M опущены перпендикуляры MP и MQ на касательные, проходящие через точки A и B. Докажите, что величина не зависит от выбора хорды, проходящей через точку Окружность касается сторон угла ABC в точках A и Окружность касается прямой AC в точке C и проходит через точку B; окружность она пересекает в точке M. Докажите, что прямая AM делит отрезок BC пополам.
2.31.
Окружность S касается окружностей ив точках и A
2
;
B — точка окружности S, аи вторые точки пересечения прямых A
1
B и A
2
B с окружностями и S
2
. Докажите, что если прямая касается окружности S
1
, то она касается и окружности См. также задачи
1.55
а),
6.49
§ 4. Связь величины угла с длиной дуги и хорды
2.32.
В
окружность вписаны равнобедренные трапеции
ABCD
и с соответственно параллельными сторонами. Докажите,
что AC = Из точки M, двигающейся по окружности, опускаются перпендикуляры и MQ на диаметры AB и CD. Докажите, что длина отрезка PQ не зависит от положения точки В треугольнике ABC угол B равен 60
◦
, биссектрисы AD и пересекаются в точке O. Докажите, что OD = В треугольнике ABC углы при вершинах B и C равны 40
◦
;
BD — биссектриса угла B. Докажите, что BD + DA = BC.

Условия задач
35
2.36.
На хорде AB окружности S с центром O взята точка Описанная окружность треугольника AOC пересекает окружность в точке D. Докажите, что BC = Внутри квадрата ABCD выбрана точка M так, что ∠MAC =
= ∠MCD =
a
. Найдите величину угла Вершины A и B правильного треугольника ABC лежат на окружности S, а вершина C — внутри этой окружности. Точка D лежит на окружности S, причём BD = AB. Прямая CD вторично пересекает в точке E. Докажите, что длина отрезка EC равна радиусу окружности По неподвижной окружности, касаясь её изнутри, катится без скольжения окружность вдвое меньшего радиуса. Какую траекторию описывает фиксированная точка K подвижной окружности?
2.40*.
В треугольнике ABC угол A наименьший. Через вершину проведена прямая, пересекающая отрезок BC. Она пересекает описанную окружность в точке X, а серединные перпендикуляры к сторонами в точках и C
1
. Прямые и пересекаются в точке. Докажите, что BY + CY = AX.
§ 5. Четыре точки, лежащие на одной окружности
2.41.
Из произвольной точки M катета BC прямоугольного треугольника на гипотенузу AB опущен перпендикуляр MN. Докажите, что ∠MAN = Диагонали трапеции ABCD с основаниями AD и BC пересекаются в точке O; точки и симметричны вершинами относительно биссектрисы угла BOC. Докажите, что ∠C
0
AC Продолжения сторон AB и CD вписанного четырёхугольни- ка ABCD пересекаются в точке P, а продолжения сторон BC ив точке Q. Докажите, что точки пересечения биссектрис углов и BPC со сторонами четырёхугольника являются вершинами ромба.
2.44*.
Вписанная окружность касается сторон AB и AC треугольника в точках M и N. Пусть P — точка пересечения прямой и биссектрисы угла B или её продолжения. Докажите, что:
а) ∠BPC = б) S
ABP
: S
ABC
= 1 : Внутри четырёхугольника ABCD взята точка M так, что — параллелограмм. Докажите, что если = ∠CDM, то = Прямые AP, BP и CP пересекают описанную окружность треугольника ABC в точках A
1
, и C
1
. Точки A
2
, и взяты на прямых BC, CA итак, что ∠(PA
2
, BC) = ∠(PB
2
, CA) = ∠(PC
2
, Докажите, что Вокруг правильного треугольника APQ описан прямоугольник, причём точки P и Q лежат на сторонах BC и CD

Глава 2. Вписанный угол соответственно и Q
0
— середины сторон AP и AQ. Докажите, что треугольники BQ
0
C и CP
0
D правильные.
2.48*.
Докажите, что если для вписанного четырёхугольника выполнено равенство CD = AD + BC, то точка пересечения биссектрис углов A и B лежит на стороне Диагонали AC и CE правильного шестиугольника разделены точками M итак, что AM : AC = CN : CE =
l
. Найдите если известно, что точки B, M и N лежат на одной прямой.
2.50*.
Треугольники ABC и имеют соответственно параллельные стороны, причём стороны AB и лежат на одной прямой.
Докажите, что прямая, соединяющая точки пересечения описанных окружностей треугольников A
1
BC и AB
1
C, содержит точку В треугольнике ABC проведены высоты AA
1
, и Прямая KL параллельна CC
1
, причём точки K и L лежат на прямых и соответственно. Докажите, что центр описанной окружности треугольника A
1
KL лежит на прямой Через точку O пересечения биссектрис треугольника проведена прямая MN перпендикулярно CO, причём M и N лежат на сторонах AC и BC соответственно. Прямые AO и BO пересекают описанную окружность треугольника ABC в точках и B
0
. Докажите, что точка пересечения прямых A
0
N и B
0
M лежит на описанной окружности 6. Вписанный угол и подобные треугольники
2.53.
На окружности взяты точки A, B, C и D. Прямые AB и пересекаются в точке M. Докажите, что AC · AD/AM = BC · На окружности даны точки A, B и C, причём точка B более удалена от прямой l, касающейся окружности в точке A, чем C. Прямая пересекает прямую, проведённую через точку B параллельно в точке D. Докажите, что AB
2
= AC · Прямая l касается окружности с диаметром AB в точке C;
M и N — проекции точек A и B напрямую проекция точки на AB. Докажите, что CD
2
= AM · В треугольнике ABC проведена высота AH, а из вершин B и опущены перпендикуляры и напрямую, проходящую через точку A. Докажите, что 4ABC ∼ На дуге BC окружности, описанной около равностороннего треугольника ABC, взята произвольная точка P. Отрезки AP и пересекаются в точке Q. Докажите, что 1/PQ = 1/PB + На сторонах BC и CD квадрата ABCD взяты точки E и F так,
что ∠EAF = 45
◦
. Отрезки AE и AF пересекают диагональ BD в точках и Q. Докажите, что S
AEF
/S
APQ
= Прямая, проходящая через вершину C равнобедренного треугольника, пересекает основание AB в точке M, а описанную

Условия задач
37
окружность в точке N. Докажите, что CM · CN = и CM/CN =
= AM · BM/(AN · Дан параллелограмм ABCD с острым углом при вершине На лучах AB и CB отмечены точки H и K соответственно так, что = BC и AK = AB. Докажите, что:
а) DH = б ∼ а) Стороны угла с вершиной C касаются окружности в точках и B. Из точки P, лежащей на окружности, опущены перпендикуляры, и на прямые BC, CA и AB. Докажите,
что PC
2 1
= PA
1
· и PA
1
: PB
1
= PB
2
: б) Из произвольной точки O вписанной окружности треугольника опущены перпендикуляры OA
0
, OB
0
, на стороны треугольника и перпендикуляры OA
00
, OB
00
, на стороны треугольника с вершинами в точках касания. Докажите, что OA
0
· OB
0
· OC
0
=
= OA
00
· OB
00
· Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Расстояния от точки E до прямых AB, BC и CD равны a, b и c соответственно.
Найдите расстояние от точки E до прямой В треугольнике ABC проведены высоты AA
1
, и и C
2
— середины высот и CC
1
. Докажите, что На высотах треугольника ABC взяты точки A
1
, и делящие их в отношении 2 : 1, считая от вершины. Докажите,
что
4A
1
B
1
C
1
∼ Окружность с диаметром AB пересекает окружность с центром A в точках C и D. Через точку B проведена прямая,
пересекающая в точке M, лежащей внутри S
1
, а в точке Докажите, что MN
2
= CN · Через середину C произвольной хорды AB окружности проведены две хорды KL и MN точки K и M лежат по одну сторону от AB). Отрезки KN и ML пересекают AB в точках Q и P. Докажите,
что PC = QC задача о бабочке).
2.67*.
а) Окружность, проходящая через точку C, пересекает стороны и AC треугольника ABC в точках и B
1
, а его описанную окружность в точке M. Докажите, чтоб) На лучах AC и BC отложены отрезки и BB
1
, равные полупериметру треугольника ABC. M — такая точка его описанной окружности, что CM k A
1
B
1
. Докажите, что ∠CMO = 90
◦
, где O — центр вписанной окружности.
См. также задачу
2.27
б).
§ 7. Биссектриса делит дугу пополам
2.68.
В треугольнике ABC стороны AC и BC неравны. Докажите, что биссектриса угла C делит пополам угол между медианой

Глава 2. Вписанный угол и высотой, проведёнными из этой вершины, тогда и только тогда,
когда ∠C = Известно, что в некотором треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведённые из вершины C, делят угол на четыре равные части. Найдите углы этого треугольника.
2.70.
Докажите, что в любом треугольнике ABC биссектриса лежит между медианой AM и высотой Дан треугольник ABC. На его стороне AB выбирается точка и через неё проводятся прямые PM и PN, параллельные AC и соответственно (точки M и N лежат на сторонах BC и AC); Q — точка пересечения описанных окружностей треугольников APN и Докажите, что все прямые PQ проходят через фиксированную точку.
2.72.
Продолжение биссектрисы AD остроугольного треугольника пересекает описанную окружность в точке E. Из точки D на стороны AB и AC опущены перпендикуляры DP и DQ. Докажите,
что S
ABC
= S
APEQ