Формула. В. В. Прасолов задачи по планиметрии
 Скачать 6.7 Mb.
|
|
Решения 30.1. Обозначим данные прямые через и l, данные точки на прямой через A 0 , B 0 , C 0 , данные точки на прямой l — через A, B, Пусть l 1 — произвольная прямая, не проходящая через точку A. Возьмём Решения задач 569 произвольную точку O 0 , не лежащую на прямых и l 1 . Обозначим через центральное проектирование прямой напрямую с центром в точке а через A 1 , B 1 , C 1 — проекции точек A 0 , B 0 , C 0 . Пусть l 2 — произвольная прямая, проходящая через точку A, не совпадающая с прямой l и не проходящая через A 1 . Возьмём некоторую точку на прямой и рассмотрим центральное проектирование прямой нас центром в O 1 . Обозначим через A 2 , B 2 , проекции точек A 1 , B 1 , C 1 . Ясно, что совпадает с A. Наконец, пусть P 2 — проектирование прямой напрямую, которое в том случае, когда прямые и не параллельны, является центральным проектированием с центром в точке пересечения этих прямых, а в том случае, когда прямые и параллельны, является параллельным проектированием вдоль одной из этих прямых. Композиция P 2 ◦ P 1 ◦ является требуемым проективным отображением. 30.2. а) Обозначим точку пересечения четырёх данных прямых через пусть H — проекция этой точки напрямую и h = OH. Тогда OA · OC sin(a, c) = h · AC, 2S OBC = OB · OC sin(b, c) = h · BC, 2S OAD = OA · OD sin(a, d) = h · AD, 2S OBD = OB · OD sin(b, d) = h · Поделив первое равенство на второе, а третье — на четвёртое, получаем sin(a, c) OB sin(b, c) = AC BC , OA sin(a, d) OB sin(b, Деля получившиеся равенства, получаем = |(abcd)|. Для доказательства того, что числа (ABCD) и (abcd) имеют одинаковый знак, можно, например, выписать всевозможные способы расположения точек на прямой способа, ив каждом случае убедиться в том, что (ABCD) положительно тогда и только тогда, когда пара прямых a, b не разделяет пару прямых c, б) Является непосредственным следствием задачи а). 30.3. Пусть a, b, c, x, y — координаты точек A, B, C, X, Y. Тогда − a x − b : c − a c − b = y − a y − b : c − a c − Следовательно, поскольку все точки различны, (x − a)(y − b) = (x − b)(y − Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем ax − bx = ay − Сокращая это равенство на (a − b), получаем x = Пусть образ каждой из трёх данных точек при одном проективном преобразовании совпадает с образом этой точки при другом проективном преобразовании. Докажем, что тогда совпадают образы любой другой точки при этих преобразованиях. Обозначим образы данных точек через A, B, C. Возьмём произвольную точку и обозначим через X и Y е образы приданных проективных преобразованиях. Тогда согласно задаче) = поэтому согласно задаче = Эта задача является следствием предыдущей. 30.6. Фиксируем на прямой a три различные точки. Согласно задаче 30.1 существует проективное отображение P, которое эти точки отображает так же, как данное отображение. Нов решении задачи 30.4 фактически доказано, что Глава 30. Проективные преобразования любое отображение, сохраняющее двойное отношение, однозначно определяется образами трёх точек. Поэтому данное отображение совпадает с P. 30.7. Во-первых, покажем, что дробно-линейное преобразование) = ax + b cx + d , ad − bc 6= сохраняет двойное отношение. Действительно, пусть x 1 , x 2 , x 3 , x 4 — произвольные числа и y i = P(x i ). Тогда y j = ax i + b cx i + d − ax j + b cx j + d = (ad − bc)(x i − x j ) (cx i + d)(cx j + следовательно, (y 1 y 2 y 3 y 4 ) = В решении задачи 30.4 фактически было доказано, что если преобразование прямой сохраняет двойное отношение, то оно однозначно задаётся образами трёх различных точек. Согласно задаче 30.2 б) проективные преобразования сохраняют двойное отношение. Остаётся доказать, что для любых попарно различных точек x 1 , x 2 , и попарно различных точек y 1 , y 2 , y 3 най- дётся дробно-линейное преобразование P, для которого P(x i ) = y i . Для этого, в свою очередь, достаточно доказать, что для любых трёх различных точек найдётся дробно-линейное преобразование, переводящее их в три фиксированные точки z 1 = 0, z 2 = 1, z 3 = ∞. Действительно, если и P 2 — дробно-линей- ные преобразования, для которых P 1 (x i ) = и P 2 (y i ) = z i , то P −1 2 (P 1 (x i )) = Преобразование, обратное дробно-линейному, является дробно-линейным, так как если y = (ax + b)/(cx + d), то x = (dy − b)/(−cy + a); то, что композиция дробно-линейных преобразований дробно-линейна, проверьте самостоятельно.) Итак, надо доказать, что если x 1 , x 2 , x 3 — произвольные различные числа, то найдутся такие числа a, b, c, d, что ad − bc 6= 0 и+ b = 0, ax 2 + b = cx 2 + d, cx 3 + d = Найдя из первого и третьего уравнений b и d и подставив во второе, получаем уравнение x 1 ) = c(x 2 − из которого находим решение a = (x 2 − x 3 ), b = x 1 (x 3 − x 2 ), c = (x 2 − x 1 ), d = x 3 (x 1 − x 2 ). При этом ad − bc = (x 1 − x 2 )(x 2 − x 3 )(x 3 − x 1 ) 6= Первое решение. Пусть a, b, c, d — координаты данных точек. Тогда по условию (c − a)(d − b) = (c − b)(d − a). Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем cb + ad = ca + bd. Перенося всё в левую часть и разлагая на множители, получаем (d − c)(b − a) = 0, те. либо a = b, либо = Второе решение. Предположим, что C 6= D, и докажем, что в этом случае A = B. Рассмотрим центральное проектирование данной прямой на другую прямую, при котором точка D проецируется в бесконечно удалённую точку. Пусть A 0 , B 0 , C 0 — проекции точек A, B, C. Согласно задаче) = (A 0 B 0 C 0 ∞) = 1, те. Но это значит, что A = Согласно задаче 30.6 достаточно доказать, что преобразование P сохраняет двойное отношение четвёрки точек. Пусть A, B, C, D — произвольные Решения задач 571 точки прямой l. Обозначим через A 0 , B 0 , C 0 , их образы при преобразовании, а через a, b, c, d и a 0 , b 0 , c 0 , d 0 — прямые MA, MB, MC, и NA 0 , NB 0 , NC 0 , соответственно. Тогда согласно задаче 30.2 а) (ABCD) = = (abcd) и (A 0 B 0 C 0 D 0 ) = (a 0 b 0 c 0 d 0 ), а по теореме о вписанном угле, c) = = ∠(a 0 , c 0 ), ∠(b, c) = ∠(b 0 , c 0 ) и т. да значит, (abcd) = Пусть N = R −1 (M), m = R(l), P N — проектирование прямой l на окружность из точки N, Q — проектирование прямой m напрямую из точки M. Тогда P −1 M ◦ R ◦ P M = Q ◦ R ◦ P −1 N ◦ P M . Но согласно предыдущей задаче отображение P −1 N ◦ P M проективно. 30.11. Прямые, проходящие через O и параллельные плоскости соответственно, пересекают плоскость соответственно a 1 ) в точках прямой соответственно l 1 ). Поэтому если точка лежит на одной из плоскостей и не лежит на прямых l 1 , l 2 , то определено проектирование её на другую плоскость. Ясно, что разные точки проецируются в разные. 30.12. При центральной проекции на плоскость с центром O прямая проецируется в пересечение плоскости, проходящей через O и l, с плоскостью Эта задача является непосредственным следствием аксиом геометрии и определения. 30.14. а) Из задачи 30.13 в) следует, что если наряду с обычными точками рассматривать бесконечно удалённые, то преобразование P взаимно однозначно. При этом бесконечно удалённая прямая отображается на бесконечно удалённую прямую. Поэтому множество конечных точек тоже взаимно однозначно отображается на множество конечных точек. А поскольку прямые при отображении P переводятся в прямые, то P аффинно. б) Обозначим через l прямую, на которой лежат точки A, B, C, D, а через исключительную прямую преобразования P. Возьмём произвольную точку O вне плоскости и рассмотрим плоскость b , которая проходит через прямую l и параллельна плоскости, проходящей через прямую и точку Пусть Q — композиция центрального проектирования плоскости на плоскость с центром O и последующего поворота пространства вокруг оси переводящего плоскость в плоскость a . Исключительной прямой преобразования является прямая l 0 . Поэтому проективное преобразование R = P ◦ плоскости переводит бесконечно удалённую прямую в бесконечно удалённую прямую и согласно задаче а) является аффинным, в частности, сохраняет отношения отрезков, лежащих на прямой l. Остаётся заметить, что преобразование оставляет точки прямой l неподвижными. в) То, что параллельные прямые и переходят в параллельные, означает, что бесконечно удалённая точка A этих прямых переходит в бесконечно удалённую точку, те лежит на прообразе l бесконечно удалённой прямой. Следовательно, либо l — бесконечно удалённая прямая, и тогда согласно задаче а) преобразование P аффинно, либо прямая l параллельна прямыми г) Обозначим через бесконечно удалённую прямую. Если P(l ∞ ) = то P задаёт взаимно однозначное преобразование плоскости, которое каждую прямую переводит впрямую, и, значит, по определению является аффинным. В противном случае обозначим P(l ∞ ) через a и рассмотрим произвольное проективное преобразование Q, исключительной прямой которого является Обозначим Q ◦ P через R. Тогда R(l ∞ ) = l ∞ , и, значит, как было показано выше, R аффинно. Следовательно, P = Q −1 ◦ R проективно Глава 30. Проективные преобразования 30.15. а) Достаточно показать, что точки A, B, C, D можно перевести проективным преобразованием в вершины квадрата. Пусть E и F — точки (возможно, бесконечно удалённые) пересечения прямой AB с прямой и прямой BC с прямой AD соответственно. Если прямая EF конечна, то существует центральное проектирование плоскости ABC на некоторую плоскость для которого EF — исключительная прямая. В качестве центра проецирования можно взять произвольную точку O вне плоскости ABC, а в качестве плоскости a — произвольную плоскость, параллельную плоскости OEF и не совпадающую с ней. При этом точки A, B, C, D проецируются в вершины параллелограмма, который уже при помощи аффинного преобразования можно перевести в квадрат. Если же прямая EF бесконечно удалённая, то — уже параллелограмм. б) В силу задачи а) нам достаточно разобрать случай, когда и A 1 B 1 C 1 D 1 — один и тот же параллелограмм. В этом случае его вершины неподвижны, а значит, неподвижны две точки бесконечно удалённой прямой, в которых пересекаются продолжения противоположных сторон. Поэтому согласно задаче 30.14 а) отображение должно быть аффинными, следовательно, согласно задаче, — тождественным. в) Поскольку прямые l и мы можем спроецировать на бесконечно удалён- ные прямые (см. решение задачи а, нам достаточно доказать, что существует аффинное преобразование, которое данную точку O отображает в данную точку O 1 , а прямые, параллельные данным прямым a, b, c соответственно, отображает на прямые, параллельные данным прямым a 1 , b 1 , соответственно. Можно считать, что прямые a, b, c проходят через O, а прямые a 1 , b 1 , c 1 — через O 1 . Выберем на c и произвольные точки C и и проведём через каждую из них по две прямые a 0 , и a 0 1 , b 0 параллельно прямыми, соответственно. Тогда аффинное преобразование, которое параллелограмм, ограниченный прямыми a, a 0 , b, b 0 , переводит в параллелограмм, ограниченный прямыми a 1 , a 0 1 , b 1 , b 0 см. задачу 29.6 в), является искомым. г) Необязательно. Преобразование из задачи 30.21 (как и тождественное преобразование) оставляет неподвижными точку O и прямую а) Рассмотрим на координатной плоскости Oxz точки O(0, 0), N(0, 1), E(1, 0). Для произвольной точки M, лежащей на дуге NE единичной окружности (см. рис. обозначим через P середину отрезка Риса через и P * — точки пересечения прямых NM и NP соответственно с прямой OE. Решения задач 573 Докажем, что для любого числа k > 2 можно выбрать точку M таким образом, что M * E : P * E = k. Пусть A(a, b) — произвольная точка плоскости, 0) — точка пересечения прямых NA и OE, B(0, b) — проекция точки напрямую. Тогда = A * O ON = AB BN = a 1 − Поэтому, если (x, z) — координаты точки M, то точки P, M * , имеют соответственно координаты + 1 2 , z 2 , M * x 1 − z , 0 , P * (x + 1)/2 1 − (z/2) , значит : P * E = x 1 − z − 1 : x + 1 2 − z − 1 = x + z − 1 1 − z : x + z − 1 2 − z = 2 − z 1 − Ясно, что уравнение (2 − z)/(1 − z) = k имеет решение z = (k − 2)/(k − 1), прич м если k > 2, то 0 < z < 1, и, следовательно, точка M( √ 1 − z 2 , z) требуемая. Докажем теперь основное утверждение задачи. Обозначим данную окружность и точку внутри её соответственно через S и C. Если точка C является центром окружности S, то требуемым проективным преобразованием является тождественное преобразование. Поэтому будем считать, что C не центр. Обозначим через AB диаметр, содержащий точку C. Пусть для определённости BC > CA. Положим k = BA : AC. Тогда k > 2, и, следовательно, как было доказано, на единичной окружности в плоскости Oxz можно расположить точку так, что M * E : P * E = k = BA : CA. Поэтому преобразованием подобия окружность можно перевести в окружность S 1 , построенную в плоскости Oxy на отрезке как на диаметре, так, чтобы точки A, B, C перешли соответственно в точки E, M * , P * . При стереографической проекции окружность проецируется в окружность на единичной сфере, которая симметрична относительно плоскости Oxz, а значит, и относительно прямой EM. Поэтому диаметр окружности S 2 , а его середина — точка P — её центр. Пусть a — плоскость, содержащая окружность S 2 . Ясно, что при центральном проектировании плоскости Oxy на плоскость из северного полюса единичной сферы окружность S 1 перейдёт ваточка в её центр б) Диаметр AB, проходящий через M, переходит в диаметр. Поэтому касательные в точках A и B переходят в касательные. Но если параллельные прямые переходят в параллельные, то исключительная прямая им параллельна (см. задачу 30.14 в). |