Формула. В. В. Прасолов задачи по планиметрии
 Скачать 6.7 Mb.
|
|
30.13*. Докажите, что если наряду с обычными точками и прямыми рассматривать бесконечно удалённые, то а) через любые две точки проходит единственная прямая; б) любые две прямые, лежащие водной плоскости, пересекаются в единственной точке; в) центральное проектирование одной плоскости на другую является взаимно однозначным отображением. О пределен и е. Отображение P плоскости на плоскость b называют проективным, если оно является композицией центральных проектирова- ний и аффинных преобразований, те. если существуют плоскости a 0 = a , a 1 , . . . , a n = b и отображения плоскостей на a i+1 , каждое из которых является либо центральным проектированием, либо аффинным преобразованием, причём P является композицией преобразований P i . В случае, когда плоскость совпадает с плоскостью b , отображение P называют проективным преобразованием плоскости. Прообраз бесконечно удалённой прямой мы будем называть исключительной прямой данного проективного преобра- зования. 30.14*. а) Докажите, что проективное преобразование P плоскости, переводящее бесконечно удалённую прямую в бесконечно удалённую прямую, является аффинным. б) Докажите, что если точки A, B, C, D лежат па прямой, параллельной исключительной прямой проективного преобразования плоскости a , тов) Докажите, что если проективное преобразование P переводит параллельные прямые ив параллельные прямые, то либо P аф- финно, либо его исключительная прямая параллельна прямыми г) Пусть P — взаимно однозначное преобразование множества всех конечных и бесконечных точек плоскости, которое каждую прямую переводит впрямую. Докажите, что P проективно. 30.15*. Даны точки A, B, C, D, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и точки A 1 , B 1 , C 1 , D 1 , удовлетворяющие тому же условию. а) Докажите, что существует проективное преобразование, переводящее точки A, B, C, D соответственно в точки A 1 , B 1 , C 1 , б) Докажите, что преобразование из задачи а) единственно, те. проективное преобразование плоскости определяется образами четырёх точек в общем положении (ср. с задачей 30.4 ). в) Докажите утверждение задачи а, если точки A, B, C лежат на одной прямой l, а точки A 1 , B 1 , C 1 — на одной прямой г) Единственно ли преобразование из задачи в)? Рассмотрим в пространстве единичную сферу с центром вначале координат. Пусть N(0, 0, 1) — её северный полюс. Стереографической проекцией сферы на плоскость называют отображение, которое каждой точке M сферы сопоставляет точку пересечения прямой MN с плоскостью Oxy. Известно Условия задач 563 (см. например, задачу 16.19, б) в книге В. В. Прасолов, И. Ф. Шарыгин. Задачи по стереометрии. М Наука, 1989), что при стереографической проекции окружность на сфере переходит в окружность на плоскости (или впрямую. Воспользуйтесь этим фактом при решении задач 30.16 и 30.17 30.16*. а) Докажите, что существует проективное преобразование, которое данную окружность переводит в окружность, а данную точку, лежащую внутри окружности, переводит в центр образа. б) Докажите, что если проективное преобразование переводит данную окружность в окружность, а точку M — в её центр, то исключительная прямая перпендикулярна диаметру, проходящему через На плоскости дана окружность и не пересекающая её прямая. Докажите, что существует проективное преобразование, переводящее данную окружность в окружность, а данную прямую — в бесконечно удалённую прямую. 30.18*. Докажите, что существует проективное преобразование, которое данную окружность переводит в окружность, а данную хорду в её диаметр. 30.19*. Дана окружность S и точка O внутри е. Рассмотрим все проективные преобразования, которые S отображают в окружность, а O — в её центр. Докажите, что все такие преобразования отображают на бесконечность одну и туже прямую. Эта прямая называется полярой точки O относительно окружности Проективное преобразование некоторую окружность переводит в себя, а её центр оставляет на месте. Докажите, что это — поворотили симметрия. 30.21*. Даны две параллельные прямые a, b и точка O. Тогда для каждой точки M можно выполнить следующее построение. Проведём через M произвольную прямую l, не проходящую через O и пересекающую прямые a и b. Точки пересечения обозначим соответственно через A и B, и пусть M 0 — точка пересечения прямой OM с прямой, параллельной OB и проходящей через а) Докажите, что точка не зависит от выбора прямой б) Докажите, что преобразование плоскости, переводящее точку в точку M 0 , является проективным. 30.22*. Докажите, что преобразование координатной плоскости, которое каждую точку с координатами (x, y) отображает в точку с координатами, является проективным. 30.23*. Пусть O — центр линзы некоторая плоскость, проходящая через её оптическую ось, a и f — прямые пересечения плоскости с плоскостью линзы и с фокальной плоскостью соответственно (a k В школьном курсе физики показано, что если пренебречь толщиной линзы, то изображение точки M, лежащей в плоскости p , строится Глава 30. Проективные преобразования Рис. следующим образом (рис. 30.1). Проведём через точку M произвольную прямую l; пусть A — точка пересечения прямых a и l, B — точка пересечения прямой f с прямой, проходящей через O параллельно Тогда есть точка пересечения прямых AB и OM. Докажите, что преобразование плоскости p , сопоставляющее каждой точке её изображение, является проективным. Таким образом, через увеличительное стекло мы видим образна- шего мира при проективном преобразовании 3. Переведём данную прямую на бесконечность 30.24*. Докажите, что геометрическое место точек пересечения диагоналей четырёхугольников ABCD, у которых стороны AB и CD лежат на двух данных прямых и l 2 , а стороны BC и AD пересекаются в данной точке P, является прямой, проходящей через точку Q пересечения прямых и Пусть O — точка пересечения диагоналей четырёхугольни- ка ABCD, а E, F — точки пересечения продолжений сторон AB и CD, BC и AD соответственно. Прямая EO пересекает стороны AD ив точках K и L, а прямая FO пересекает стороны AB ив точках и N. Докажите, что точка X пересечения прямых KN и LM лежит на прямой Прямые a, b, c пересекаются водной точке O. В треугольниках и вершины и лежат на прямой a; и на прямой b; и C 2 — на прямой c. Пусть A, B, C — точки пересечения прямых и B 2 C 2 , и C 2 A 2 , и A 2 B 2 соответственно. Докажите, что точки A, B, C лежат на одной прямой (Дезарг). 30.27*. Точки A, B, C лежат на прямой l, а точки A 1 , B 1 , C 1 — на прямой l 1 . Докажите, что точки пересечения прямых и и CB 1 , и лежат на одной прямой (Папп). Условия задач 565 30.28*. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Пусть E, F — точки пересечения продолжений противоположных сторон AB и CD, AD и BC соответственно, M — произвольная точка внутри четырёх- угольника. Пусть S — точка пересечения прямых AD и EM, P — точка пересечения прямых AB и FM. Докажите, что прямые BS, PD и пересекаются водной точке. 30.29*. Даны два треугольника ABC и A 1 B 1 C 1 . Известно, что прямые, и пересекаются водной точке O, и прямые и пересекаются водной точке O 1 . Докажите, что прямые и тоже пересекаются водной точке теорема о дважды перспективных треугольниках). 30.30*. Даны четырёхугольник ABCD и прямая l. Обозначим через точки пересечения прямых AB и CD, AC и BD, BC и а через P 1 , Q 1 , R 1 — середины отрезков, которые эти пары прямых высекают на прямой l. Докажите, что прямые PP 1 , и пересекаются водной точке. 30.31*. Даны треугольники прямая l. Обозначим через A 1 , B 1 , середины отрезков, высекаемых на прямой l углами A, B, а через A 2 , B 2 , C 2 — точки пересечения прямых и BC, и и AB. Докажите, что точки A 2 , B 2 , лежат на одной прямой. 30.32*. Даны четыре точки A, B, C, D. Пусть P, Q, R — точки пересечения прямых AB и CD, AD и BC, AC и BD соответственно и L — точки пересечения прямой QR с прямыми AB и соответственно. Докажите, что (QRKL) = −1 (теорема о полном че- тырёхстороннике). 30.33*. Окружность пересекает прямые BC, CA, AB в точках и A 2 , и B 2 , и C 2 . Пусть l a — прямая, соединяющая точки пересечения прямых и CC 2 , и CC 1 ; прямые и определяются аналогично. Докажите, что прямые l a , и пересекаются водной точке (или параллельны). 30.34*. Докажите, что для любого нечётного n > 3 на плоскости можно указать 2n различных точек, не лежащих на одной прямой, и разбить их на пары так, чтобы любая прямая, проходящая через две точки из разных пар, проходила бы ещё через одну из этих точек 4. Применение проективных преобразований, сохраняющих окружность Основным инструментом для решения задач этого параграфа являются задачи 30.16 и 30.17 30.35*. Докажите, что прямые, соединяющие противоположные точки касания описанного четырёхугольника, проходят через точку пересечения диагоналей Глава 30. Проективные преобразования 30.36*. Докажите, что прямые, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с вписанной окружностью, пересекаются водной точке. 30.37*. а) Через точку P проводятся всевозможные секущие данной окружности S. Найдите геометрическое место точек пересечения касательных к окружности S, проведённых в двух точках пересечения окружности с секущей. б) Через точку P проводятся всевозможные пары секущих AB и окружности S (A, B, C, D — точки пересечения с окружностью. Найдите геометрическое место точек пересечения прямых AC и Даны окружность S, прямая l, точка M, лежащая на S и не лежащая на l, и точка O, не лежащая на S. Рассмотрим преобразование прямой l, являющееся композицией проектирований l на из M, S на себя из O и S на l из M, те пересечение прямых и MC, где C — отличная от B точка пересечения S с прямой а B — отличная от M точка пересечения S с прямой MA. Докажите, что преобразование P проективно. З а меча ни е. Если считать, что окружность S отождествлена с прямой посредством проектирования из точки M, то утверждение последней задачи можно переформулировать следующим образом центральное проектирование окружности на себя является проективным преобразованием. 30.39*. Даны окружность S, точка P, расположенная вне S, и прямая, проходящая через P и пересекающая окружность в точках и B. Точку пересечения касательных к окружности в точках A и обозначим через а) Рассмотрим всевозможные прямые, проходящие через P и пересекающие ив точках M и N. Докажите, что геометрическим местом точек пересечения отличных от AK и BK касательных к S, проведённых из точек M и N, является некоторая прямая, проходящая через K, из которой выкинутое пересечение с внутренностью б) Будем на окружности разными способами выбирать точку и проводить прямую, соединяющую отличные от R точки пересечения прямых RK и RP с S. Докажите, что все полученные прямые проходят через одну точку, и эта точка лежит на l. 30.40*. Вневписанная окружность треугольника ABC касается стороны в точке D, а продолжений сторон AB ив точках E и Пусть T — точка пересечения прямых BF и CE. Докажите, что точки, D и T лежат на одной прямой. 30.41*. Пусть ABCDEF — описанный шестиугольник. Докажите, что его диагонали AD, BE и CF пересекаются водной точке (Брианшон). 30.42*. В окружность S вписан шестиугольник ABCDEF. Докажите, что точки пересечения прямых AB и DE, BC и EF, CD и FA лежат на одной прямой (Паскаль Условия задач 567 30.43*. Пусть O — середина хорды AB окружности S, MN и PQ произвольные хорды, проходящие через O, причём точки P и N лежат по одну сторону от AB, E и F — точки пересечения хорды AB с хордами и NQ соответственно. Докажите, что O — середина отрезка задача о бабочке). 30.44*. Точки A, B, C и D лежат на окружности, SA и SD — касательные к этой окружности, P и Q — точки пересечения прямых и CD, AC и BD соответственно. Докажите, что точки P, Q и лежат на одной прямой 5. Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство 30.45*. На стороне AB четырёхугольника ABCD взята точка Пусть M 2 — проекция напрямую из D, M 3 — проекция на CD из A, M 4 — проекция на DA из B, M 5 — проекция на AB из C и т. д. Докажите, что M 13 = а значит, M 14 = M 2 , M 15 = и т. д.). 30.46*. Используя проективные преобразования прямой, докажите теорему о полном четырёхстороннике (задача 30.32 ). 30.47*. Используя проективные преобразования прямой, докажите теорему Паппа (задача 30.27 ). 30.48*. Используя проективные преобразования прямой, решите задачу о бабочке (задача 30.43 ). 30.49*. Точки A, B, C, D, E, F лежат на одной окружности. Докажите, что точки пересечения прямых AB и DE, BC и EF, CD и лежат на одной прямой (Паскаль 6. Применение проективных преобразований прямой в задачах на построение 30.50*. Даны окружность, прямая и точки A, A 0 , B, B 0 , C, C 0 , лежащие на этой прямой. Согласно задачам 30.1 и 30.4 существу- ет единственное проективное преобразование данной прямой на себя, отображающее точки A, B, C соответственно в A 0 , B 0 , C 0 . Обозначим это преобразование через P. Постройте при помощи одной линейки а) точку P(M); б) неподвижные точки отображения P задача Штей- нера). Задача построения неподвижных точек проективного преобразования является ключевой для этого параграфа в том смысле, что остальные задачи тем или иным способом к ней сводятся (см. также замечания после задач 30.10 и 30.38 ). 30.51*. Даны две прямые и и две точки A и B, не лежащие на этих прямых. Циркулем и линейкой постройте на прямой l 1 Глава 30. Проективные преобразования точку X так, чтобы прямые AX и BX высекали на прямой l 2 отрезок, а) имеющий данную длину a; б) делящийся пополам данной точкой прямой Точки A и B лежат на прямых a и b соответственно, а точка не лежит ни на одной из этих прямых. Циркулем и линейкой проведите через P прямую, пересекающую прямые a ив точках и Y соответственно таких, что длины отрезков AX и BY имеют а) данное отношение б) данное произведение. 30.53*. Циркулем и линейкой проведите через данную точку прямую, на которой три данные прямые высекают равные отрезки. 30.54*. Даны окружность S и две хорды AB и CD. Циркулем или- нейкой постройте на окружности точку X так, чтобы прямые AX и высекали на CD отрезок а) имеющий данную длину a; б) делящийся пополам данной точкой E хорды а) Даны прямая l и точка P вне е. Циркулем и линейкой постройте на l отрезок XY данной длины, который виден из P подданным углом б) Даны две прямые и и точки P и Q, не лежащие на этих прямых. Циркулем и линейкой постройте на прямой точку X и на прямой точку Y так, что отрезок XY виден из точки P подданным углом a , а из точки Q — подданным углом а) Дана некоторая окружность. При помощи одной линейки постройте угольник, стороны которого проходят через данные точек, а вершины лежат на n данных прямых. б) При помощи одной линейки впишите в данную окружность n-угольник, стороны которого проходят через данные n точек. в) При помощи циркуля и линейки впишите в данную окружность многоугольнику которого некоторые стороны проходят через данные точки, некоторые другие параллельны данным прямым, а остальные имеют данные длины (о каждой стороне имеется информация одного из трёх перечисленных типов 7. Невозможность построений при помощи одной линейки 30.57*. Докажите, что при помощи одной линейки нельзя разделить данный отрезок пополам. 30.58*. На плоскости дана окружность. Докажите, что при помощи одной линейки нельзя построить её центр. |